КРИТЕРИИ ОСЦИЛЛЯТОРНОСТИ И НЕОСЦИЛЛЯТОРНОСТИ ПОЛУЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

УДК 517.95

КРИТЕРИИ ОСЦИЛЛЯТОРНОСТИ И НЕОСЦИЛЛЯТОРНОСТИ ПОЛУЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

А. З. Алимагамбетова, Р. Ойнаров

Актюбинский государственный университет им. К. Жубанова 030000 Актобе ул. Бр. Жубановых, 263 zhanatarman@ok.kz

Для полулинейного разностного уравнения второго порядка устанавливаются необходимые и достаточные признаки его осцилляторности и неосцилляторности.

1. Введение.Рассмотрим полулинейное разностное уравнение второго порядка

∆(r_kφ(∆x_k)) +c_kφ(x_k+1) = 0, k= 0,1, . . . , (1) где 4x_k =x_k+1−x_k,φ(x)|x|^p−2x, p >1. Относительно коэффициентов уравнения (1) предпо- лагаем, что c r={r_k}^∞_k=0 иc={c_k}^∞_k=0 – последовательности действительных чисел. Последо- вательность действительных чисел x={x_k}^∞_k=0 называется решением уравнения (1), если она удовлетворяет уравнению (1) при всехk= 0,1, . . .

ПустьN – множество натуральных чисел и ¹_p+ _p¹0 = 1.

Приведем основные понятия, относящиеся к теме настоящей работы.

Говорят, что интервал(m, m+ 1],m∈N, содержит обобщенный нуль решения x={x_k}^∞_k=0 уравнения (1), еслиx_m 6= 0иr_mx_mx_m+1≤0. Нетривиальное решение уравнения (1) называется осцилляторным, если оно имеет бесконечно много обобщенных нулей на дискретном интерва- ле [n,∞), n ∈ N, в противном случае решение уравнения (1) называется неосцилляторным.

Известно [1], что все решения уравнения (1) либо осцилляторны, либо неосцилляторны, и в со- ответствии с этим уравнение (1) называется осцилляторным или неосцилляторным. Уравнение (1) называется уравнением без сопряженных точек на дискретном отрезке [0, n], если каждое его решение имеет не более одного обобщенного нуля на дискретном интервале (0, n+ 1]и его решение xс начальными условиями x₀ = 0,x₁6= 0 не имеет обобщенного нуля на(0, n+ 1].

Уравнение (1) приp= 2 имеет вид

∆(r_k∆x_k) +c_kφ(x_k+1) = 0, k= 0,1, . . . (2)

Keywords:half–linear difference equation, discrete oscillation theory, Hardy inequality 2000 Mathematics Subject Classification: 34A45

°c А. З. Алимагамбетова, Р. Ойнаров, 2007.

Уравнения (1) и (2) соответственно являются дискретными аналогами полулинейного диффе- ренциального уравнения второго порядка

(r(t)φ(x⁰(t)))⁰+c(t)φ(x(t)) = 0 (3) и уравнения Штурма–Лиувилля

(r(t)x⁰(t))⁰+c(t)x(t) = 0. (4)

Основные методы исследования и последние результаты, полученные для уравнения (3), хорошо изложены в работах [2, 3]. Методы исследования уравнения (3) перенесены и для урав- нения (1) (см. [1, 4] и приведенные там ссылки). Основные свойства уравнений (1) и (3) со- ответственно схожи со свойствами уравнений (2) и (4). В частности, для уравнений (1) и (3) справедливы теоремы Штурма о разделении нулей и о сравнении.

2. Вспомогательные утверждения. Исследование уравнения (1) опирается на следую- щие утверждения, приведенные в работе [1].

Т е о р е м а А. Уравнение (1) является уравнением без сопряженных точек на дискрет- ном отрезке[0, n],n∈N, тогда и только тогда, когда

F(x,0, n) = Xn

k=0

{r_k|∆x_k|^p−c_k||x_k+1}>0

для всех нетривиальныхx={x_k}ⁿ⁺¹_k=0, удовлетворяющих условию x₀ =x_n+1= 0.

Числовую последовательность x={x_k}^∞_k=0 назовем финитной, если конечное число ее чле- нов отлично от нуля, а множествоsuppx={k: x_k 6= 0, k≥0} – ее носителем.

Обозначим через X(m, n),˚ 0≤m < n≤ ∞, совокупность всех финитных последовательно- стейx, у которых supp x⊂(m, n).

Л е м м а 1. Уравнение (1) является уравнением без сопряженных точек на дискретном интервале[0,∞) тогда и только тогда, когда

F(x,0,∞) = X∞

k=0

{r_k|∆x_k|^p−c_k|x_k+1|^p}>0 (5) для всех нетривиальныхx∈X(0,˚ ∞).

Л е м м а 2. Уравнение (1) является неосцилляторным тогда и только тогда, когда су- ществуетm∈N такое, что

F(x, m,∞) = X∞

k=m

{r_k|∆x_k|^p−c_k|x_k+1|^p}>0 (6) для всех нетривиальныхx∈X(m,˚ ∞).

Л е м м а 3. Уравнение (1) является осцилляторным тогда и только тогда, когда для любого m∈N существует нетривиальная последовательность xe∈X(m,˚ ∞) такая, что

F(ex, m,∞) = X∞

k=m

{r_k|∆ex_k|^p−c_k|ex_k+1|^p} ≤0. (7)

Утверждения леммы 1 и 2 являются непосредственным следствием теоремы 1. Мы докажем лишь лемму 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 3.Пусть уравнение (1) осцилляторно, тогда на основа- нии леммы 2 не существует m ∈N такого, что (6) выполнялось бы для всех нетривиальных e

x∈X(m,˚ ∞), т.е. для каждого m∈N существует по крайней мере одна нетривиальная после- довательностьxe∈X(m,˚ ∞), для которой выполняется (7).

Обратно, пусть для каждого m ∈ N существует ex ∈ X(m,˚ ∞) и имеет место (7). Так как последовательность xeфинитная, то существуют n₁(m) ∈N, n₂(m) ∈N : m ≤n₁(m)< n₂(m) такие, что x_k = 0 при0≤k≤n₁(m),k≥n₂(m) и имеет место

F(x, m,∞) =F(x, n₁(m), n₂(m)) =

nX2(m)

k=n1(m)

{r_k|∆x_k|^p−c_k|x_k+1|^p} ≤0.

Тогда в силу теоремы А уравнение (1) имеет нетривиальное решение, имеющее на дискретном отрезке [n₁(m), n₂(m)] по крайней мере два обобщенных нуля. Берем возрастающую последо- вательность {m_k}^∞_k=0 так, чтобы n₂(m_k−1) < n₁(m_k) < n₂(m_k) < n₁(m_k+1). Тогда мы имеем непересекающиеся отрезки{[n₁(m_k), n₂(m_k)]}^∞_k=0, для каждого из которых уравнение (1) име- ет нетривиальное решение, имеющее там по крайней мере два обобщенных нуля. Тогда на основании теоремы Штурма о разделении нулей существует ненулевое решение уравнения (1), имеющее на каждом отрезке[n₁(m_k), n₂(m_k)], k= 0,1, . . ., по крайней мере один обобщенный нуль. Следовательно, уравнение осцилляторно. Лемма 3 доказана.

Пусть u = {u_k}^∞_k=1 и ρ = {ρ_k}^∞_k=1 – фиксированные, соответственно, неотрицательная и положительная последовательности. Для произвольной последовательности a ={a_k}^∞_k=1 рас- смотрим неравенство

à _∞ X

n=1

| Xn

k=1

a_k|^pu_n

!¹

p

≤C Ã_∞

X

n=1

ρ_n|a_n|^p

!¹

p

, (8)

которое называется дискретным неравенством Харди [5].

Положим

A₁(n) = Ã _∞

X

k=n

u_k

!¹

pà _n X

k=1

ρ^1−p_k ⁰

!¹

p0

,

A₂(n) = ÃXn

k=1

ρ^1−p_k ⁰

!₋¹

pà Xn

k=1

u_k ÃXk

m=1

ρ^1−p_k ⁰

!_p!¹_p ,

A₃(n) = Ã _∞

X

k=n

u_k

!₋¹

p0



 X∞

k=n

ρ^1−p_k ⁰ Ã _∞

X

m=k

u_m

!_p⁰



1 p0

. Из результатов работы [6, 7] следует

Т е о р е м а В.Неравенство (8) выполнено для всех последовательностейa={a_k}^∞_k=1, для которых конечна правая часть (8), тогда и только тогда, когда по крайней мере при одном значении i= 1,2,3 конечна величина A_i = sup

n≥1A_i(n), при этом для наименьшей константы C в (8) имеют место оценки

A₁ ≤C ≤(p)^1p(p⁰)^p10A₁,

1 p

pA₂ ≤C ≤(p⁰)A₂, 1

p⁰

1 p0

A₃ ≤C≤pA₃.

ПустьX˙ – множество числовых последовательностей, у которых конечное число начальных членов равны нулю.

Пусть W_p¹(r) ≡W_p¹(r,0,∞) – множество всех числовых последовательностейx = {x_k}^∞_k=0, для которых конечна норма

kxk_W1

p =|x₀|+ ÃX∞

k=0

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

, (9)

гдеr_k>0,k= 0,1, . . .

Пусть W˙_p¹(r) ≡ W˙_p¹(r,0,∞) и W˚_p¹(r) ≡ W˚_p¹(r,0,∞) – соответственно замыкания множеств X˙ T

W_p¹(r)и X(0,˚ ∞) по норме (8). Очевидно, чтоW˙_p¹(r)⊃W˚_p¹(r).

3. Основные результаты.

3.1. Неосцилляторность. Предположим, что коэффициенты r_k уравнения (1) удовле- творяют условиюr_k>0,k= 0,1, . . ., и дляm∈N имеем

X∞

k=m

r_k^1−p0 =∞. (10)

Введем следующие обозначения

B₁(m)≡B₁(m, r, c) = sup

n≥m

à _n X

k=m

r_k^1−p0

!¹

p0 Ã _∞ X

k=n

c_k

!¹

p

,

B₂(m)≡B₂(m, r, c) = sup

n≥m

à _n X

k=m

r^1−p_k ⁰

!₋¹

pà _n X

k=m

c_k à _k

X

i=m

r_k^1−p0

!_p!¹_p ,

B₃(m)≡B₃(m, r, c) = sup

n≥m

ÃX∞

k=n

c_k

!₋¹

p0



X^∞

k=n

r^1−p_k ⁰ ÃX∞

i=k

c_i

!_p⁰



1 p0

, B_i ≡B_i(r, c) =B_i(0), i= 1,2,3,

K₁(p)≡ µ1

p

¶¹

pµ 1 p⁰

¶¹

p0

, K₂(p) = 1

p⁰, K₃(p) = 1 p, k₁(p) = 1, k₂(p) = (p)^1p, k₃(p) = (p⁰)^p10, c⁺ ={c⁺_k}^∞_k=0, c⁺_k =max{0, c_k}, k= 0,1, . . .

Т е о р е м а 1.Пусть1< p <∞ и коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию (10) и c_k ≥ 0, r_k > 0, k = 0,1, . . . Тогда выполнение условий B_i ≤ k_i(p) при всех i = 1,2,3 необходимо, а выполнение условий B_i < K_i(p), по крайней мере, при одном из значений i = 1,2,3 достаточно для того, чтобы уравнение (1) было уравнением без сопряженных точек на дискретном интервале [0,∞).

Т е о р е м а 2.Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда выполнение условий

m→∞lim B_i(m)≤k_i(p)при всехi= 1,2,3необходимо, а выполнение условий lim

m→∞B_i(m)< K_i(p)по крайней мере при одном из значенийi= 1,2,3 достаточно для неосцилляторности уравнения (1).

Утверждение теоремы 2 вытекает из утверждения теоремы 1. Действительно, если уравне- ние (1) неосцилляторно, тогда существуетm∈N такое, что уравнение (1) является уравнением без сопряженных точек на интервале [m,∞). Тогда по теореме 1B_i(m)≤k_i(p) при i= 1,2,3.

Так как величиныB_i(m) не возрастают по m, то lim

m→∞B_i(m)≤k_i(p),i= 1,2,3.

Обратно, пусть выполняется условие lim

m→∞B_i0(m) < K_i0(p), 1 ≤ i₀ ≤ 3. Тогда существует m∈N такое, чтоB_i0(m)< K_i0(p),1≤i₀≤3. Следовательно, по теореме 1 уравнение (1) явля- ется уравнением без сопряженных точек на интервале[m,∞), что означает неосцилляторность уравнения (1). Теорема 2 доказана.

На основании теоремы 2 и теоремы о сравнении вытекает

С л е д с т в и е 1.Пусть 1 < p <∞, r_k >0, k = 0,1, . . ., и выполнено условие (10). Если при некотором m∈N выполнено одно из условий

B_i(m, r, c⁺)< K_i(p), i= 1,2,3, то уравнение (1) неосцилляторно.

Например, условиеB₁(m, r, c⁺)< K₁(p),i= 1,2,3, выполняется, если

n→∞lim à _n

X

k=0

r_k^1−p0

!¹

p0 Ã _∞ X

k=n

c⁺_k

!¹

p

<

µ1 p

¶¹

pµ 1 p⁰

¶¹

p0

, (11)

так как по определению верхнего предела существуетm∈N такое, что

B₁(m, r, c⁺)≤ sup

n≥m

à _n X

k=0

r^1−p_k ⁰

!¹

p0 Ã _∞ X

k=n

c⁺_k

!¹

p

<

µ1 p

¶¹

pµ 1 p⁰

¶¹

p0

. Поэтому справедливо

С л е д с т в и е 2. Пусть выполнены условия следствия 1. Если имеет место неравен- ство(11), то уравнение (1) неосцилляторно.

Сравнение утверждения следствия 2 с утверждением следующей теоремы, полученной в работе [1], представляет интерес.

Т е о р е м а С [1].Пусть выполнены условия следствия 1, и кроме того, предположим, что

ϕ_N =





sup

k∈N

Pk j=0

r^1−p_j ⁰

k−1P

j=0

r_j^1−p0







p(p−1)

<∞, ψ_N =

"

sup

k≥N

r_k r_k−1

#_1−p⁰

<∞,

0< lim

N→∞(1 +ψ_N)ϕ_n=ψ <∞.

Если

n→∞lim





n−1X

j=0

r^1−p_j ⁰





1 p0 

 X∞

j=n

c⁺_j





1 p

<

µ 1 µp⁰

¶¹

p0 µ 1 ψp

¶¹

p,

то уравнение (1) неосцилляторно, где µ=





 sup

t>s>0 t−s1

h Φ⁻¹

³t^p−s^p p(t−s)

´

−s i

, p≥2 sup

t>s>0 t−s1

h

t−Φ⁻¹

³t^p−s^p p(t−s)

´i

, p≤2.

Для доказательства теоремы 1 предварительно докажем два утверждения.

Л е м м а 4. Пусть 1 < p < ∞ и r_k > 0, k = 0,1, . . . Тогда для любого x ∈ W˙_p¹(r,0,∞) имеем x₀ = 0 и функционал

kxk_W¨1 p =

ÃX∞

k=0

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

(12) является нормой в пространстве W˙_p¹(r,0,∞).

Д о к а з а т е л ь с т в о.Пусть x – произвольный элемент пространстваW˙_p¹(r).

Тогда по определению пространства W˙_p¹(r) для любого ε > 0 существует последователь- ностьy∈X˙ T

W_p¹(r) такая, что kx−yk_W1

p =|x₀−y₀|+ ÃX∞

k=1

r_k|∆(x_k−y_k)|^p

!¹

p

≤ε. (13)

Так как y₀ = 0 для y ∈ X, то из (13) следует˙ |x₀| ≤ ε. Откуда в силу произвольности ε >0 имеем x₀ = 0. Тогда изx∈W˙_p¹(r) иkxk_W˙1

p = 0 легко следует, чтоx_k= 0,k= 1,2, . . . Лемма 4 доказана.

Л е м м а 5.Пусть1< p <∞ и r_k>0,k= 0,1, . . ., и выполнено условие (10). Тогда

W˙_p¹(r) = ˚W_p¹(r). (14)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как W˙_p¹(r) ⊃ W˚_p¹(r), то для доказательства равенства (14) достаточно показать, что для любого ε > 0 и для любого x ∈ X˙ T

W_p¹(r) существует x_ε ∈ X˚ такое, чтоkx−x_εk_W˙1

p(r)≤ε.

Пусть x∈X˙ T

W_p¹(r). Тогда дляε >0 существуетm∈N и Ã _∞

X

k=m

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

≤ ε

6. (15)

В силу (10) существуетn∈N такой, чтоn > m и

|x_m| Ã _n

X

k=m

r_k^1−p0

!₋¹

p0

≤ ε

3. (16)

Введем последовательность

w_k =



















1, при 0≤k≤m,

ÃPn

j=m

r^1−p_j ⁰

!₋₁ Pn i=k

r^1−p_j ⁰, при m+ 1≤k≤n,

0, при k≥n+ 1.

Положим x_ε={w_kx_k}^∞_k=0. Очевидно, чтоx_ε ∈X. Тогда˚

kx−x_εk_W˙1 p(r)=

à _∞ X

k=0

r_k|∆(x_k−w_kx_k)|^p

!¹

p

= Ã_∞

X

k=0

r_k|(1−w_k)∆x_k−x_k+1∆w_k|^p

!¹

p

≤

≤ Ã _∞

X

k=0

r_k(1−w_k)^p|∆x_k|^p

!¹

p

+ Ã _∞

X

k=0

r_k|x_k+1|^p|∆w_k|^p

!¹

p

=I₁+I₂. (17) Так как (1−w_k) = 0при1≤k≤m,1−w_k= 1 приk≥n+ 1и(1−w_k)≤2приm+ 1≤k≤n, то с учетом (15) имеем

I₁ = ÃX∞

k=0

r_k(1−w_k)^p|∆x_k|^p

!¹

p

≤2 ÃX∞

k=m

r_k|x_k|^p

!¹

p

≤ ε

3. (18)

Непосредственное вычисление показывает, что ∆w_k = 0 при 0 ≤ k ≤ m−1 , k ≥ n+ 1 и

∆w_k=−r_k^1−p0 Ã

Pn j=m

r^1−p_j ⁰

!₋₁

при m≤k≤n. Поэтому

I₂ = ÃX∞

k=0

r_k|x_k+1|^p|∆w_k|^p

!¹

p

= ÃXn

k=m

r_k^1−p0|x_k+1|^p

!¹

p



Xⁿ

j=m

r^1−p_j ⁰





−1

. (19)

Так как x_k+1= P^k

i=m

∆x_i+x_m приk≥m, то на основании неравенства Гельдера дляm≤k≤n получим

|x_k+1| ≤ Ã _n

X

i=m

r^1−p_i ⁰

!¹

p0 Ã _n X

i=m

r_i|∆x_i|^p

!¹

p

+|x_m|.

Подставляя полученную оценку в (19), с учетом (15) и (11) имеем

I₂ ≤ Ã _n

X

k=m

r_k^1−p0

!¹

p



Xⁿ

j=m

r_j^1−p0





−1Ã _n X

i=m

r^1−p_i ⁰

!¹

p0 Ã _n X

k=m

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

+

+ ÃXn

k=l

r^1−p_k ⁰

!¹

p



Xⁿ

j=m

r^1−p_j ⁰





−1

|x_m| ≤ ÃX∞

k=m

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

+|x_m|



Xⁿ

j=m

r^1−p_j ⁰





−_p¹₀

≤ 2ε

3. (20) Из (17), (18) и (20) следует, что kx−x_εk_W˙1

p(r)≤ε. Лемма 5 доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1.Необходимость.Пусть уравнение (1) является урав- нением без сопряженных точек на дискретном интервале [0,∞). Тогда по лемме 1 для всех ненулевых x ∈ X(0,˚ ∞) выполнено неравенство (5). В силу плотности множества X(0,˚ ∞) в W˚_p¹(r,0,∞) выполнено неравенство

Ã_∞ X

k=0

c_k|x_k+1|^p

!¹

p

≤ Ã _∞

X

k=0

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

(21)

для всехx ∈W˚_p¹(r,0,∞) или в силу леммы 5 для всех x∈W˙_p¹(r,0,∞). Так как в силу леммы 4x₀ = 0для всехx∈W_p¹(r), то, полагая∆x_k=a_k+1,k= 0,1, . . ., получимx_k = P^k

i=1

a_i ∀k∈N. В (21) выражая {x_k}через {a_k}, имеем, что справедливо неравенство

Ã_∞ X

k=0

c_k|

k+1X

i=1

a_i|^p

!_p¹

≤ Ã_∞

X

k=0

r_k|a_k+1|^p

!¹

p

или Ã

X∞

k=1

˜ c_k|

Xk

i=1

a_i|^p

!¹

p

≤ ÃX∞

k=1

˜ r_k|a_k|^p

!¹

p

(22) для всех a ∈ l_p,r, где r˜_k = r_k−1, c˜_k = c_k−1 ∀k ∈ N и l_p,r – пространство числовых последо- вательностейa={a_k}^∞_k=1, для которых конечна нормаkak_lp,r =

µP∞

k=1

˜ r_k|a_k|^p

¶¹

p. Заметим, что соотношения

∆x_k=a_k+1, x_k = Xk

i=1

a_i, k≥0, (23)

устанавливают изометрию между пространствамиW˙_p¹(r) иl_p,r, где полагаем P⁰

i=1

a_i = 0.

Неравенство (22) – это дискретное неравенство Харди (см.(7)) с наименьшей константой C≤1. Тогда по Теореме ВB_i ≤k_i(p) приi= 1,2,3. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполнено B_i0 < K_i0(p), 1 ≤ i₀ ≤ 3. Тогда по теореме В выполнено неравенство

Ã_∞ X

k=1

˜ c_k|

Xk

i=1

a_i|^p

!¹_p

≤K_i⁻¹₀ (p)B_i0 Ã _∞

X

k=1

˜ r_k|a_k|^p

!¹

p

для всех a ∈ l_p,r. Переходя от последовательности a ∈ l_p,r к последовательности x ∈ W˙_p¹(r), согласно (23) имеем

Ã_∞ X

k=1

˜ c_k|x_k|^p

!¹

p

≤K_i⁻¹₀ (p)B_i0 Ã _∞

X

k=1

˜

r_k|∆x_k−1|^p

!¹

p

или Ã_∞

X

k=0

c_k|x_k+1|^p

!¹

p

≤K_i⁻¹₀ (p)B_i0 Ã _∞

X

k=0

r_k|∆x_k|^p

!¹

p

(24) для всехx∈W˙_p¹(r). Так как по условиюK_i⁻¹₀ (p)B_i0 <1, то из (24) имеем

F(x,0,∞) = X∞

k=0

{r_k|∆x_k|^p−c_k|x_k+1|^p}>0

для всех нетривиальных x ∈ W˙_p¹(r) = ˚W_p¹(r), в частности для всех ненулевых x ∈ X(0,˚ ∞).

Тогда по лемме 1 уравнение (1) является уравнением без сопряженных точек на дискретном интервале[0,∞]. Теорема 1 доказана.

3.2. Осцилляторность.

Т е о р е м а 3. Пусть 1 < p < ∞, r_k >0, c_k >0, k = 0,1, . . ., и выполнено условие (10).

Тогда выполнение условий lim

m→∞B_i(m) ≥ K_i(p) при всех i = 1,2,3 необходимо, а выполнение

условий lim

m→∞B_i(m)> k_i(p)по крайней мере при одном из значений i= 1,2,3 достаточно для осцилляторности уравнения (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.Необходимость.Пусть уравнение (1) осцилляторно. Тогда по лемме 3 для любого m ∈ N существует ненулевой x˜ ∈ X(m,˚ ∞) и выполняется неравенство (7) или равносильное ему неравенство

à _∞ X

k=m

c_k|x_k+1˜ |^p

!¹

p

≥ Ã _∞

X

k=m

r_k|∆ ˜x_k|^p

!¹

p

. (25)

Так какx˜_m= 0, то для последовательностиa_k+1= ∆ ˜x_k,k≥m, выполнено неравенство Ã X∞

k=m+1

˜ c_k|

Xk

i=m+1

˜ a_i|^p

!¹

p

≥

à X∞

k=m+1

˜ r_k|a˜_k|^p

!¹

p

. (26)

Рассмотрим дискретное неравенство Харди Ã _∞

X

k=m+1

˜ c_k|

Xk

i=m+1

a_i|^p

!¹_p

≤C Ã _∞

X

k=m+1

˜ r_k|a_k|^p

!¹

p

, a∈l_p,r. (27)

Неравенство (26) показывает, что неравенство Харди (27) либо не выполняется, либо выпол- няется с наименьшей константой C≥1, так как

C= sup

a∈lp,r, a6=0

à P∞ k=m+1

˜ c_k| P^k

i=m+1

a_i|^p

!¹

p

à P∞

k=m+1

˜ r_k|a_k|^p

!¹

p

≥ Ã

P∞ k=m+1

˜ c_k| P^k

i=m+1

˜ a_i|^p

!¹

p

à P∞

k=m+1

˜ r_k|a˜_k|^p

!¹

p

≥1. (28)

Если неравенство Харди (27) не имеет место, то по теореме В

B_i(m) =∞, i= 1,2,3, (29)

причем по определению B_i(m), i = 1,2,3, соотношение (29) выполняется для всех m ∈ N, поэтому lim

m→∞B_i(m) > K_i(p), i = 1,2,3. Если неравенство Харди (27) выполняется, то по теореме В B_i(m) < ∞, i = 1,2,3, и имеет место оценка K_i⁻¹(p)B_i(m) ≥ C, которая вместе с (28) дает

B_i(m)≥K_i(p), i= 1,2,3. (30)

Если B_i(m), i = 1,2,3, конечно при одном m ∈ N, то оно конечно при всех m ∈ N, поэто- му неравенство (30) верно при всех m ∈ N. Следовательно, lim

m→∞B_i(m) ≥ K_i(p), i = 1,2,3.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть lim

m→∞B_i0(m) > K_i0(p), 1 ≤ i₀ ≤ 3. Если B_i0(m) = ∞, то по теореме В неравенство Харди (27) не имеет места, т.е. для любого C > 0 найдется a∈ l_p,r, при кото- ром неравенство (27) имеет знак ^À". В частности, для C = 1 выполняется (26). Переходя от последовательности ˜a∈l_p,r к последовательности x˜∈W˙_p¹(r, m,∞), получим неравенство (25).

Так как по лемме 4 W˙_p¹(r) = ˚W_p¹(r), то в X(m,˚ ∞) найдется последовательность, которую мы обозначим снова черезx, и выполняется (25) или (7). Следовательно, по лемме 3 уравнение (1)˜ осцилляторно.

Теперь рассмотрим случай, когдаB_i0(m)<∞,∀m∈N. По теореме В∀m∈N выполняется неравенство (27) с оценкойC ≥k⁻¹_i0 B_i0(m)>1с наименьшей постояннойC в (27). Тогда в силу плотностиX(m,˚ ∞)вW˙_p¹(r, m,∞)существуетx˜∈X(m,˙ ∞), для которой выполняется (25) или то же самое неравенство (7). Следовательно, по лемме 3 уравнение (1) осцилляторно. Теорема 3 доказана.

С л е д с т в и е 3.Пусть выполнено условие теоремы 3. Если

n→∞lim à _n

X

k=0

r^1−p_k ⁰

!¹

p0 Ã _∞ X

k=n

c_k

!¹

p

=∞, (31)

то уравнение (1) осцилляторно.

Из следствия 3 вытекает, что, если наряду с условием (10) имеем P^∞

k=n

c_k=∞, то уравнение (1) осциллятарно. Это утверждение при p= 2, т.е. для уравнения (2), доказано в [8].

Цитированная литература

1.Dosly O., Rehak P.// Comp. and Math. with Appl. 2001. V.42. P. 453–464.

2.Dosly O.// Czechoslovak Math.J. 2000. V.50(125). P. 657–671.

3.Dosly O.// Math.Bohemica. 2001. V.127. N 2. P.181–195.

4.Marik R. // Arch.Math. 2000. V.36. P. 513–518.

5.Kufner A. Persson L.–E.Weighted inequalities with weights of Hardy type. World Scienti- fic. 2003.

6.Bennett G. // Quart.J.Math. Oxford Ser. 1987. V.38. N 2. P.401–425.

7.Bennett G. // Quart.J.Math. Oxford Ser. 1991. V.42. N 2. P.149–174.

8.Dosly O.// Arch. Math. 2000. V.36. P. 329–342.

Поступила в редакцию 11.10.2006г.