Критерий вложения классов Лебега-Морри в пространстве Лоренца и смежные задачи

МАТЕМАТИКА

К. Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев, Г. Т. Джумахаева

Критерий вложения классов Лебега – Морри в пространства Лоренца и смежные задачи

(Институт теоретической математики и научных вычислений

Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)

Получен критерий вложения в классы Лоренца классов Лебега-Морри, на основе которой обсуждаются общие проблемы теории вложений

Постановке задач и результатам по ним предпошлем ряд определений.

Пространства Лоренца. Более тонкой классификацией функций, нежели пространства Лебега L^p(0,1)^s, являются пространства Лоренца L(µ, ν):

L(µ, ν) =

f(x)∈L(0,1)^s: kfk^ν_{L(µ, ν)}≡ Z 1

0

[f^∗(t)]^νt^νµ−1dt <∞

(0< ν, µ <∞), где f^∗(t) - равноизмеримая невозрастающая перестановка |f(x)|, т.е.

f^∗(t) = inf{y >0 :mes{x∈[0,1]^s:|f(x)> y|}< t}.

Другими словами, невозрастающая неотрицательная на (0,1] функция [f^∗(t)]^ν (интеграл от которой равен kfk^ν_Lν(0,1)^s), помноженная на степенную функцию t^νµ−1, которая при ^ν_µ−1>

0, т. е. при ν > µ „помогает„ сходимости интеграла kfk^ν_L(µ,ν)≡ kfk^ν_µ,ν ≡

Z 1 0

[f^∗(t)]^νt^νµ−1dt,

тем самым, расширяя исходный класс L^ν(0,1)^s, в то время как при _µ^ν−1<0, т.е. при 0< ν < µ ситуация обратная и получаем „сужение„ класса L^ν(0,1)^s.

И, наконец, в случае ν =µ получаем равенство классов L^ν(0,1)^s=L(ν, ν).

Классы H_p^ω (см. [1]). Пусть ω(δ)-непрерывная на [0,1] функция, удовлетворяющая условиям

0 =ω(0)≤ω(δ)≤ω(δ+η)≤ω(δ) +ω(η) при всех 0≤δ≤δ+η≤1. Такие функции называютмодулями непрерывности.

Пусть 1 ≤p≤ ∞ (причем L^∞(0,1)≡C[0,1]) и f ∈L^p(0,1). Модулем непрерывности (в L^p) функции f называют

ωp(δ, f) =









 sup

0<h≤δ

R1−h

0 |f(x+h)−f(x)|^pdx ¹

p при1≤p <∞, sup

|x−y|≤δ

|f(x)−f(y)| приp=∞, где δ ∈(0,1].

Пусть ω(δ)-модуль непрерывности и 1 ≤p ≤ ∞. Через H_p^ω обозначают множество всех функций f ∈L^p(0,1) таких, что

ωp(δ;f)≤ω(δ) при всех δ ∈(0,1].

Обобщенные пространствa Морри. Пусть Φ (δ)-положительная и неубывающая на (0,+∞) функция. Пусть Ω - измеримое подмножество R^s(s= 1,2, ...) положительной меры.

Следуя Морри [2] (см. также [3, §27] и имеющуюся в ней библ.) положим для функции f(x)∈L^p(Ω) (0< p <∞), (s= 1,2, ...),

kfk_P,Φ,T ≡ sup

E∈T

1 Φ (|E|)

Z

E

|f(t)|^pdt ¹_p

, (1)

где T есть фиксированное семейство измеримых подмножеств Ω положительной конечной меры, содержащее возрастающую последовательность множеств, сходящуюся к Ω, а |E|

означает s - мерную меру Лебега измеримого множества E. Приведем некоторые конкретизации исходного определения (1).

Обобщенные пространства Лебега-Морри. В случае Φ (δ) ≡ 1 норма kfk_p,Φ,T совпадает с обычной лебеговской L^p - нормой, а в общем случае, в зависимости от величины интегралов от |f(t)|^p, принимаемых на выделенных измеримых подмножествах Ω, порождает еще одну классификацию функций из L^p(Ω) - классы Лебега - Морри L_p,Φ,T функций с конечной нормой (1):

L_p,Φ,T = (

f ∈L^p_loc: kfk_p,Φ,T ≡ sup

E∈T

1 Φ (|E|)

Z

E

|f(t)|^pdt ¹_p

<+∞

)

. (2)

Перейдем к теме данной статьи. К центральным в теории вложений относится критерий Ульянова [1] (достаточность также доказана Петре [4] – Гриваром [5] - Головкиным [6]) вложения классов H_p^ω в пространство Лебега L^q(0,1) (1≤p < q <∞):

H_p^ω⊂L^q(0,1)⇔

∞

X

k=1

k

q p−2

ω^q 1

k

<∞. (3)

Возникает естественная задача вложения H_p^ω в пространство Лоренца L(µ, ν), ответ на который следующий (см. Н.Темиргалиев [7-8])

H_p^ω⊂L(µ, ν)⇔





 P∞

n=1n^ν

1 p−¹_µ

−1ω^ν _n¹

<∞, приµ > p, 0< ν <∞, P∞

n=10 1 n(lnn)

ν

pω^ν _n¹

<∞, приµ=p,0< ν < p. (4) Во всех остальных случаях имеет место вложение L^p(0,1)⊂L(µ, ν), так что задача в (4) теряет смысл.

Ясно, что в случае 1≤p < q=µ=ν <+∞, критерий (4) сводится к (3).

Еще в 1980 году критерий (4) П. Л. Ульянов оценил как основной докторский результат. В свете дальнейшего развития темы, принципиальный результат в (4) заключается, по-видимому, в выяснении полной картины решения исследуемой задачи как предъявления всех возможных видов окончательного ответа (с переносом такой постановки во все аналогичные задачи).

В свете критерия (4) возникают следующие задачи и уточняются их постановки.

1^◦. Заменой как в уже решенных, так и ранее не исследованных задачах пространств Лебега L^p на пространства Лоренца L(µ, ν) (равно как и их различных видоизменений), можно получать большое количество задач, чему, на самом деле, посвящена обширная литература (см., напр., [13-15] и имеющуюся в них библ.).

Именно так, заменой L^q(0,1) на L(µ, ν) в критерии (3), выполнены работы [7-8].

2^◦. Основной целью исследования в пространствах Лоренца становится установление всех возможных случаев с различными видами неулучшаемых условий решения поставленной задачи, - таков результат критерия (4).

И не только в теоремах вложения, но и во всех других задачах - интерполяционных, сходимости рядов Фурье и оценок норм полиномов по тем или иным системам, норм тех или иных операторов, и т.п., где производится замена лебеговских норм на лоренцовские полунормы (и, как ниже увидим, не только на лоренцовские).

В противном случае речь скорее всего будет идти лишь об обобщениях, не вносящих какого-либо заметного вклада в развитие темы, или, в лучшем случае, лишь о промежуточном результате.

Обсуждение темы обобщений дано в [13]. Здесь же приведем пример, где установлены все различные виды решений поставленной задачи, - задачи вложения пространства Лебега – Морри в пространство Лоренца.

Всюду ниже T0 - семейство всех измеримых подмножеств Ω≡[0,1]^s положительной меры.

Также будем пользоваться следующими определениями и обозначениями. Через c(α, β, ...) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.

Если {A_N}^∞_N=1 - последовательность положительных чисел и {B_N}^∞_N=1 - произвольная числовая последовательность, то запись B_N

α,β,...A_N означает, что найдется постоянная c(α, β, ...), для которой при каждом целом положительном N выполнено неравенство |B_N| ≤ c(α, β, ...)A_N. Если же {A_N}^∞_N=1 и {B_N}^∞_N=1 - две последовательности положительных чисел, то запись A_N

α,β,...B_N означает, что одновременно выполняются соотношения A_N

α,β,...B_N и

AN

α,β,...BN.

Пространства Лебега-Морри изучены К. Ж. Наурызбаевым и Г. Т. Джумакаевой, в частности, ими установлен следующий критерий.

Теорема А (К. Ж. Наурызбаев и Г. Т. Джумакаева [9, 1982г.]).Пусть 1 ≤p < q <

∞, тогда

L_p,Φ,T0 ⊂C(0,1)^s⇔ lim

δ→+0infΦ^p(δ)

δ = 0, L_p,Φ,T0 ⊂L^q(0,1)^s⇔ Z 1

0

δ^−qpΦ^q(δ)dδ <+∞, (5)

L_p,Φ,T0 ⊂L_q,ψ,T0 ⇔ Z η

0

δ^−qpΦ^q(δ)dδψ^q(η) (0< η ≤1).

Необходимое и достаточное условие вложения пространства Лебега-Морри в пространства Лоренца, выполненное в соответствии с 10 и 20, выяснено в следующей теореме.

Теорема. Имеют место следующие утверждения:

Если 1≤p < µ <+∞, 0< ν <+∞, то L_p,Φ,T0 ⊂L(µ, ν)⇔

Z 1 0

δ^−νp+µνΦ^ν(δ)dδ

δ <+∞; (6)

Если 1≤p=µ <∞, 0< ν < p, то L_p,Φ,T0 ⊂L(p, ν)⇔

Z 1 0

ln1

δ −^ν_p

Φ^ν(δ)dδ

δ <+∞. (7)

(в случае необходимости предполагается Φ(δ)Φ(δ²)).

В случае 1≤p < µ=ν=q <∞ критерий (6) сводится к (5).

Доказательство критерия (6). Достаточность в (6). Пусть f ∈ Lp,Φ,T0(Ω) выполнено условие

Z 1 0

δ^−νp+νµΦ^ν(δ)dδ

δ <+∞. (8)

Для всякой измеримой почти всюду конечной на Ω функции f и для всех h ∈ (0,1) выполнено равенство (0<p,q<∞)

sup

E⊂Ω

|E|=h

Z

E

|f(x)|^pdx= Z h

0

[f^∗(t)]^p (9)

и

Z

Ω

|f(x)|^qdx= Z 1

0

[f^∗(t)]^qdt. (10)

Для Ω = (0,1) равенство (8) доказано П.Л. Ульяновым [1], для общего случая доказательство сохраняется; справедливость (9) следует из равноизмеримости |f(x)|^q и

|f^∗(t)|^q.

Пусть f ∈L_p,Φ,T0(Ω) и пусть выполнено (8).

Тогда, в силу (9) и определения Lp,Φ,T0(Ω), для некоторого Kf >0 и всех h∈(0,1) будем иметь неравенство

Z h 0

[f^∗(t)]^pdt= sup

E⊂Ω

|E|=h

Z

E

|f(x)|^pdx≤K_f^pΦ^p(h), откуда, поскольку

Z h 0

[f^∗(t)]^pdt≥[f^∗(h)]^p·h, при h= ₂¹k (k= 1,2, ...) получаем

f^∗ 1

2^k

≤Kf2^kpΦ 1

2^k

(k= 1,2, ...). (11)

Далее, в силу (10), (11) и (8) имеем kfk^ν_µ,ν ≡

Z 1 0

[f^∗(t)]^νt^νµ−1dt=

∞

X

k=0

Z ¹

2k

1 2k+1

[f^∗(t)]^νt^νµ−1dt

∞

X

k=1

f^∗

1 2^k

ν

2^νµk

∞

X

k=1

2^k

ν p−_µ^ν

Φ^ν 1

2^k

Z 1

0

δ^{−νp+νµ−1}Φ^ν(δ)dδ, т.е. вложение в (6) действительно выполнено.

Необходимость в (6). Пусть Z 1

0

δ^{−νp+µν−1}Φ^ν(δ)dδ= +∞. (12) Ниже мы будем пользоваться следующей леммой.

Лемма. Пусть даны числа a >1, θ >1 и неотрицательная последовательность {ρ_m}. Тогда справедливо неравенство

+∞

X

n=k

aⁿ

+∞

X

m=n

ρ_m

!θ

≤C(a, θ)

+∞

X

n=k

aⁿρ^θ_n (k= 1,2, ...), (13) где постоянная C(a, θ) зависит от a и θ, но не зависит от k и {ρ_m}.

Доказательство. Мы будем следовать рассуждениям из [16].

Пусть ε= _2θ¹ . Тогда

+∞

X

n=k

aⁿ

+∞

X

m=n

a^−εma^εmρm

!θ

≤

+∞

X

n=k

aⁿ





+∞

X

m=n

a^−εmθ

0

!¹

θ0 +∞

X

m=n

a^εmθρ^θ_m

!¹_θ



θ

=

=C1(a, θ)

+∞

X

n=k

aⁿa

−εθ^{0 θ}

θ0

n +∞

X

m=n

a^εmθρ^θ_m=

=C1(a, θ)

+∞

X

n=k

a^(1−εθ)n

+∞

X

m=n

a^εmθρ^θ_m =

положим γ(m, n) =

(0, дляm < n a^εmθρ^θ_m, дляm≥n

=

=C1(a, θ)

+∞

X

n=k

a^(1−εθ)n

+∞

X

m=k

γ(m, n) =

=C1(a, θ)

+∞

X

m=k +∞

X

n=k

a^(1−εθ)nγ(m, n) =

C₁(a, θ)

+∞

X

m=k m

X

n=k

a^(1−εθ)nγ(m, n) +

∞

X

n=m+1

a^(1−εθ)nγ(m, n)

!

=

=C1(a, θ)

+∞

X

m=k m

X

n=k

a^(1−εθ)na^εmθρ^ϑ_m =C1(a, θ)

+∞

X

m=k

a^εmθρ^ϑ_m

m

X

n=k

a^(1−εθ)n≤

≤

т.к.1−εθ = 1

2 >0,то дляq=a^1−εθ>1получим

≤

≤C₂(a, θ)

∞

X

m=k

a^εmθρ^θ_ma^(1−εθ)m=C₂(a, θ)

∞

X

m=k

a^mρ^θ_m,

где

C₂(a, θ) = 1

1−a^−θ0ε · a^1−εθ a^1−εθ−1, т.е. (13) доказано.

Заметим, что при k = 1 неравенство (13) справедливо и при 0 < θ ≤ 1. Действительно, применяя неравенство Иенсена (см. [17, стр. 42-43]).

+∞

X

m=n

ρ^β_m

!_β¹

≤

+∞

X

m=n

ρ^α_m

!_α¹

(0< α < β) при β = ¹_θ, α= 1 получим

∞

X

n=1

aⁿ

∞

X

m=n

ρm

!θ

=

∞

X

n=1

aⁿ

"_+∞

X

m=n

ρ^θ_m

¹_θ

#θ

≤

∞

X

n=1

aⁿ

+∞

X

m=n

ρ^θ_m=

∞

X

m=1

ρ^θ_m

m

X

n=1

aⁿ≤C

∞

X

m=1

a^mρ^θ_m. (14) Теперь покажем, что если p, ν, µ и Φ таковы, что имеет место (12), то в классе L_p,Φ,T0(Ω) найдется функция f /∈L(µ, ν).

Заметим, что (12) эквивалентно следующему условию

∞

X

k=1

2

ν p−^ν

µ

kΦ^ν

1 2^k

= +∞,

что, в свою очередь, в силу (14) (где следует положить a= 2

ν p−^ν

µ

, θ = ^ν_p, ρm= Φ^p ₂¹m

− Φ^p ₂m+1¹

) эквивалентно условию

∞

X

k=1

2

ν p−^ν

µ

k

Φ^p 1

2^k

−Φ^p 1

2^k+1

= +∞. (15)

Далее, по определению выпуклости Φ^p(δ) для всех n≥1 имеем Φ^p

1 2ⁿ⁺¹

≥ 2 3Φ^p

1 2ⁿ⁺²

+1

3Φ^p 1

2ⁿ

,

откуда

2ⁿ⁺¹

Φ^p 1

2ⁿ⁺¹

−Φ^p 1

2ⁿ⁺²

≥2ⁿ

Φ^p 1

2ⁿ

−Φ^p 1

2ⁿ⁺¹

,

т.е.

(??)2ⁿ

Φ^p 1

2ⁿ

−Φ^p 1

2ⁿ⁺¹

↑ приn↑ ∞. (16) Пусть измеримые множества Ek(k= 1,2, ...) таковы, что EkT

Ei = ∅ при k 6= i, |E_k|=

1

2^k, Ω =S∞ k=1E_k.

Для каждого k= 1,2, ... положим (??)f(x) = 2^kp

Φ^p

1 2^k

−Φ^p 1

2^{k+1 1}

p

(x∈E_k), (17)

и покажем, что так определенная функция является искомый.

В силу (17) и (16) для каждого m= 1,2, ...

sup

E⊂Ω,|E|=₂¹_m

Z

E

|f(x)|^pdx=

∞

X

k=m+1

Z

Ek

|f(x)|^pdx=

∞

X

k=m+1

2^k Φ^p ₂¹k

−Φ^p ₁

2^k+1

2^k =

= Φ^p 1

2^m+1

≤Φ^p 1

2^m

,

т.е. f(x)∈L_p,Φ,T0(Ω).

Покажем, что f(x)∈/ L(µ, ν). Действительно (см. (15)) kfk^ν_µ,ν ≡

Z 1 0

[f^∗(t)]^νt^µν−1dt=

∞

X

k=0

Z ¹

2k

1 2k+1

2^νpk

Φ^p 1

2^k

−Φ^p 1

2^{k+1 ν}_p

·t^µν−1dt

∞

X

k=0

Φ^p

1 2^k

−Φ^p 1

2^{k+1 ν}_p

·2

ν p−^ν

µ

k= +∞, т.е. необходимость доказана.

Таким образом, соотношение (6) полностью доказано.

Доказательство критерия (7).Достаточность в (7). Пусть выполнено неравенство Z 1

0

ln1

δ −^ν_p

Φ^ν(δ)dδ

δ <+∞ (18)

и пусть f(x)∈Lp,Φ,T0(Ω). Положим f^∗ ₂¹k

=λk. Тогда Φ^p

1 2^k

≥ Z ¹

2k

0

[f^∗(t)]^pdt

+∞

X

m=k

λ^pm

2^m. Введем обозначение

α_k≡

+∞

X

m=k

λ^p_m 2^m. Тогда

Φ^p 1

2^k

≥C₁α_k (19)

и

λk= 2^kp (αk−αk+1)^1p. Поэтому

kfk^ν_p,ν ≡ Z 1

0

[f^∗(t)]^νt^νp−1dt≤C₂

∞

X

k=1

λ^ν_k2^−νpk ≤C₂

∞

X

k=1

2^−νpk2^νpk(α_k−α_k+1)^νp =

=C₂

∞

X

k=1

(α_k−α_k+1)^νp

∞

X

m=1 2^m+1

X

k=2^m+1

(α_k−α_k+1)^νp.

Применяя к внутренней сумме неравенство Гельдера с показателем _ν^p > 1 и пользуясь (19) получим

kfk^ν_p,ν ≤

+∞

X

m=1





2^m+1

X

k=2^m+1

(α_k−α_k+1)





ν p 



2^m+1

X

k=2^m+1

1





1−^ν_p

≤

≤

∞

X

m=1

α

ν p

2^m2^m

1−^ν_p

≤

∞

X

m=1

2^m

1−^ν_p

Φ^ν 1

2^2m

.

(20)

Далее, в силу неравенств 2^m

1−^ν

p

Φ^ν 1

2^2m

≤C₃

2^m+1−1

X

k=2^m

k^−νpΦ^ν 1

2^k

,

(20) и (18), имеем kfk^ν_ν,p

∞

X

k=1

k^−νpΦ^ν 1

2^k

∞

X

k=1

Z ¹

2k

1 2k+1

2^kk^−νpΦ^ν 1

2^k

dx

∞

X

k=1

Z ¹

2k

1 2k+1

2^k

ln 2^k−^ν

pΦ^ν 1

2^k

dx

∞

X

k=1

Z ¹

2k

1 2k+1

1 δ ln

1 δ

−^ν_p

Φ^ν(δ)dδ Z 1

0

ln 1

δ −^ν_p

Φ^ν(δ)dδ

δ <+∞, т.е. вложение в (7) действительно имеет место.

Необходимость в (7). Пусть числа p и ν (0< ν < p), функция Φ (δ) таковы, что

Z ₁

0

ln1

δ −^ν

p

Φ^ν(δ)dδ

δ = +∞, (21)

или, что то же самое,

+∞

X

k=1

2^k

1−^ν_p

Φ^ν 1

2^2k

= +∞.

Но тогда в силу леммы (где надо взять a = 2

1−^ν

p

> 1, θ = ^ν_p > 0, ρ_m = Φ^p ₂₂¹m

− Φ^p

1 2^2m+1

) справедливо

+∞

X

k=1

2^k

1−^ν_p

Φ^p 1

2^2k

−Φ^p 1

2^{2k+1 ν}

p

= +∞. (22)

Для n= 2^k, ...,2^k+1−1 (k= 1,2, ...) положим β_n≡Φ^p

1 2^2k

−n−2^k 2^k

Φ^p

1 2^2k

−Φ^p 1

2^2k+1

. (23)

Тогда в силу (23) и условия

Φ (δ)≤CΦ δ²

(24) имеем для всех n (n= 1,2, ...)

βn≤Φ^p 1

2^2k

≤CΦ^p 1

2^2k · 1 2^2k

=CΦ^p 1

2^2k+1

≤CΦ^p 1

2ⁿ

. (25)

Из построения β_n ясно, что β_n↓0 при n↑+∞. Теперь определим функцию s переменных

f(x) =λn≡[2ⁿ(βn−βn+1)]^1p дляx= (x1, ..., xs)∈En≡ 1

2ⁿ, 1 2ⁿ⁻¹

×[0,1]^s−1 (n= 1,2, ...). (26) Убедимся в том, что f является искомой.

Наряду с f(x) определим функцию F(t) одной переменной следующим образом:

F(t) =λ_nдля всехt∈ 1

2ⁿ, 1 2ⁿ⁻¹

(n= 1,2, ...). (27) Так множество значений f и F является одно и то же множество {λ₁;...;λ_n;...} и для каждого n меры множества {x:f(x) =λn} и {t:F(t) =λn} равны ₂¹n , то для каждого y >0 справедливо

|{x∈(0,1)^s, f(x)> y}|= X

n:λn>y

1

2ⁿ =|{t∈(0,1), F(t)> y}|, т.е. f(x) и F(t) равноизмеримы.

Отсюда следует, что их невозрастающие перестановки совпадают, т.е.

f^∗(t)≡F^∗(t). (28)

Сначала покажем, что f ∈L(p, ν). Отметим, что (F ≥0, 0< ν <+∞) (F^ν)^∗= (F^∗)^ν,

что следует из следующей цепочки равенств

mes{x:F^ν(x)> y}=mesn

x:F(x)> y^1νo

=mesn

x:F^∗(x)> y^ν1o

=mes{x: [F^∗(x)]^ν > y}. Так как для всех неотрицательных измеримых функций g(t) и ϕ(t) справедливо неравенство ([24, стр. 94]):

Z 1 0

g(t)ϕ(t)dt≤ Z 1

0

g^∗(t)ϕ^∗(t)dt, то, полагая g(t) =t^νp−1, ϕ(t) =F^ν(t), получим (см. также (28))

Z 1 0

t^νp−1F^ν(t)dt≤ Z 1

0

t^νp−1[F^∗(t)]^νdt= Z 1

0

t^νp−1[f^∗(t)]^νdt, откуда в силу (27), (26) и (22) имеем

Z 1 0

t^νp−1[f^∗(t)]^νdt≥

∞

X

n=0

Z ¹

2n

1 2n+1

t^νp−1F^ν(t)dt=

∞

X

n=0

2^−νpnλ^ν_n=

+∞

X

n=0

2^−νpn·2^νpn(βn−βn+1)^νp

+∞

X

k=1 2^k+1−1

X

n=2^k

(β_n−β_n+1)^νp =

+∞

X

k=1 2^k+1−1

X

n=2^k

1 2^k

Φ^p

1 2^2k

−Φ^p 1

2^{2k+1 ν}_p

=

=

+∞

X

k=1

2^k

1−^ν_p

Φ^p 1

2^2k

−Φ^p 1

2^{2k+1 ν}

p

= +∞, т.е.

f /∈L(p, ν). (29)

Осталась показать, что неотрицательная функция f из (26) принадлежит классу L_p,Φ,T0(0,1)^s.

Зафиксируем целое положительное число k. Отметим, что (см. (26) и (25))

Z

S+∞

n=k+1En

f^p(x)dx=

+∞

X

n=k+1

Z

En

f^p(x)dx=

+∞

X

n=k+1

λ^p_n 2ⁿ =

=

+∞

X

n=k+1

(βn−βn+1) =βk+1 ≤CΦ^p 1

2^k+1

≤CΦ^p 1

2^k

.

(30)

Далее, если

E⊂

k

[

n=1

E_n, |E|= 1

2^k, (31)

то

Z

E

f^p(x)dx≤ |E| max

n=1,...,kλ^p_n=|E| max

n=1,...,k2ⁿβn=|E| ·2ⁿ⁰βn0. (32) Пусть сначала 0≤n₀ ≤ ^k₂ . Поскольку

Φ^p(η)

η ≤CΦ^p(δ)

δ (0< δ < η≤1),

то при 0< δ < η= 1 имеем

δ ≤C₁Φ^p(δ). (33)

Далее, в силу (24) при δ= ¹

2^k2

выполнено неравенство Φ

1 2^k2

≤CΦ 1

2^k

. (34)

Стало быть, в силу (31), (32),(33), (34) и ограниченности убывающей к нулю последовательности {β_n}, справедливо

Z

E

f^p(x)dx≤ 1

2^k2^k2β_n0 1 2^k2

Φ^p 1

2^k2

Φ^p 1

2^k

Φ^p(|E|). (35) Если же ^k₂ ≤n0 ≤k, то

Z

E

f^p(x)dx≤ 1

2^k2ⁿ⁰β_n0 ≤Φ^p 1

2ⁿ⁰

≤CΦ^p 1

2^k2

≤C₁Φ^p 1

2^k

. (36)

Таким образом, для всех E ⊂Sk

n=1En, |E|= ₂¹k выполнено (см. (32), (35) и (36)) Z

E

f^p(x)dx≤C3Φ^p 1

2^k

=C3Φ^p(|E|). (37)

Поэтому для любого E ⊂(0,1)^s,|E|= ₂¹_k на основании (30) и (37) имеем

Z

E

f^p(x)dx= Z

ET Sk s=1Es

f^p(x)dx+

Z

ET S+∞

s=k+1Es

f^p(x)dxΦ^p 1

2^k

Φ^p(|E|) (k= 1,2, ...), т.е.

f ∈Lp,Φ,T0(0,1)^s. (38)

Из (29) и (38) следует, что выполнение условия (21) необходимо для справедливости вложения в (7).

Теорема полностью доказана.

Задачи. 1^◦. Заменяя во всех постановках задач, где это возможно, лебеговскую L_p - норму на норму kϕk_p,Φ,T ≡ sup

E∈T 1 Φ(|E|)

R

E|ϕ(t)|^p1_p

и на различные ее модификации (см. §2 из [13-14]), получим, подобно приведенным выше утверждениям, необозримое количество классов и задач.

Таковыми являются, например, задачи вложения пространств Лебега - Морри, Никольского - Морри, Соболева – Морри и Бесова - Морри, приложения к дифференциальным уравнениям, рядам Фурье и т.п. (определения некоторых из них приведены ниже в 20).

Эти задачи были сформулированы в Обзоре-1997 [15] по результатам исследований 1981- 1985 годов (см. [9-12], а также Послесловие).

2^◦. Пространства Морри на основе параметризованных семейств множеств.

Семейства T множеств положительной меры из области Ω ⊂ R^sмогут задаваться параметрически (также можно сказать „‘индексированными как отдельными числами, так и числовыми наборами, или же, более общими поддающимися интегрированию по ним переменными„’). Например (δ >0;δ1>0;. . .;δs >0)

E_x,δ ={y ∈Ω⊂R^s: ky−xk_Rs < δ} (39)

и

Ex,δ1,...,δs =

y= (y1, . . . , ys)∈Ω :|y_j−xj|< δ_j

2 (j= 1, . . . , s)

. (40)

В общем случае,

T =T(Ω_T,) ={E_x,b ⊂Ω⊂R^s :x∈Ω_T ⊂Ω, b∈ }, (41) причем

Ω = [

x∈Ω_T,b∈

E_x,b,|E_x,b|<+∞(x∈Ω_T, b∈B). (42) В условиях определений и обозначений (39)-(42) приходим к следующей конкретизации определения (2) пространств Лебега – Морри (0 < p < ∞,Ω ⊂ R^s-измеримое множество положительной меры)

T₁ ≡ (Ω₁,4₁) ={E_x,δ ⊂Ω : x∈Ω₁ ⊂Ω, δ∈ 4₁ ⊂(0,+∞)} (43) и

L_{p,Φ,T(Ω1,∆1)} =







f ∈L^p_loc: kfk_p,Φ,T

1 ≡ sup

x∈Ω1,Ex,δ∈∆1

1 Φ (|E_x,δ|)

Z

Ex,δ

|f(t)|^pdt

!¹_p

<+∞





 , (44)

T₂≡T(Ω₂,∆₂) ={E_{x,δ1,...,δs} ⊂Ω : x∈Ω₂ ⊂Ω, (δ₁, ..., δ_s)∈∆₂ ⊂(0,+∞)^s} (45) и

L_{p,Φ,T(Ω2,∆2)}=

=







f ∈L^p_loc: kfk_p,Φ,T

2 ≡ sup

x∈Ω2, Ex,δ1,...,δs∈∆2

1 Φ(|Ex,δ1,...,δs|)

R

E_{x,δ1,...,δs}

|f(t)|^pdt

!¹_p

<+∞







, (46)

и, в общем случае (41)-(42), L_{p,Φ,T(ΩT,B)}=







f ∈L^p_loc: kfk_p,Φ,T ≡ sup

x∈Ω_T,b∈B

1 Φ (|E_x,b|)

Z

Ex,b

|f(t)|^pdt

!¹_p

<+∞







. (47) В целях дальнейшей конкретизации параметризованных определений пространств Лебега- Морри, обратимся известным в литературе локальным и глобальным пространствам Морри (см., напр.,[19] и имеющуюся в ней библ.).

В случае (39) последовательно получаем |E_x,δ| = V (s)δ^s, где V (s) = ^π

s2

Γ(₂^s+1). Отсюда, δ =

|Ex,δ|

V(s)

¹_s

, далее, положим по определению ω(δ) := Φ⁻¹

|Ex,δ|

V(s)

¹_s!

=

= Φ⁻¹₁ (|E_x,δ|), где Φ₁(δ) := Φ

δ V(s)

¹_s . Тогда при Ω =R^s получаем соответственно

L

p,Φ⁻¹





|Ex,δ|

V(s)

!¹

s

,T({0},(0,+∞))

=:LMp,+∞,ω (48)

и

L

p,Φ⁻¹





|Ex,δ|

V(s)

!¹_s

,T(R^s,(0,+∞))

=:GMp,+∞,ω (49)

- локальные и глобальные пространства Морри (в терминах [19]).

Таким образом, как это видно из определений (1)-(2), (39)-(49) локальные и глобальные пространства Морри являются конкретизациями общего определения (1) –(2).

Добавление множителей вида ϕ(δ) и ϕ(x, δ) под знак sup в определениях (43)-(49) приводит к, как называют в [19], соответствующим обобщенным пространствам Морри.

И ещё одну серию пространств Морри составляют пространства, получающихся при весовом интегрировании или, что тоже самое, при „‘усреднении„’ по параметрам (с одновременным ослаблением условий на Φ (δ) как положительной измеримой на (0,+∞) функции).

Пространство Морри на основе „‘усреднений„’ по параметризованным множествам.Положим

kgk_Lθ h(B)=







sup vrai

B

h(b)|g(b)|приθ= +∞

R

Bh(b)|g(b)|^θdµ(b)¹_θ

при0< θ <+∞, где h(b)-весовая функция.

Тогда, по определению, в общем случае (41)-(42) положим (0< θ≤+∞) kfk_p,Φ,T,θ = supvrai

x∈Ω_T

kfk_p,Φ,E

x,b

L^θ_h(B) , (50) где

kfk_p,Φ,E = 1 Φ(|E|)

Z

E

|f(t)|^pdt ¹

p

.

В частности, согласно(43) –(44) и (45) –(46) получим при 0< θ <+∞

kfk_P,Φ,T(Ω

1,∆1),θ = sup

x∈Ω₁





 Z

∆1



 1 Φ (|E_x,δ|)

Z

Ex,δ

|f(t)|^pdt

!¹_p



θ

dδ







1 θ

(51) и

kfk_P,Φ,T(Ω

2,∆2),θ = sup

x∈Ω₂





 Z

∆2





1 Φ (|E_{x,δ1,...,δs}|)

Z

Ex,δ1,...,δs

|f(t)|^pdt

!_p¹



θ

dδ1...dδs







1 θ

. (52)

Соответственно, с продолжением, от θ = +∞ к 0 < θ < +∞, определений (48) и (49)получим

LMp,θ,ω =L

p,Φ⁻¹





|Ex,δ|

V(s)

!¹_s

,T({0},(0,+∞)),θ

(53)

и

GMp,θ,ω =L

p,Φ⁻¹





|Ex,δ|

V(s)

!¹_s

,T(R^s,(0,+∞)),θ .

(54)

Обобщенные пространства Соболева – Морри (см., напр., [10]).

Пусть даны числа s(s= 1,2, ...), r(r >0) и 1 ≤ p < ∞. Классом Соболева – Морри W_p,Φ,T^r (Ω),Ω - область в R^s,называют множество всех тех измеримых на Ω функций f(x), для каждой из которых конечна норма

kfk_Wr

p,Φ,T(Ω)≡ kfk_p,Φ,T +

s

X

i=1

kD_i^rfk_p,Φ,T. (55)