21
\
T M
[K]
P
Пытаясь объяснить, почему ламинарное пламя в газе устойчиво к гидродинамическим возмущениям Дж. Маркштейн предположил, что скорость пламе- ни unзависит от кривизны Kего фронта [1]. Когда фронт обращен выпуклой стороной к горючей сме- си unуменьшается, а если вогнутой увеличивается.
Это означает, что изогнутый под действием возму- щений фронт пламени стремится принять плоскую форму. В предложенной формуле Маркштейна
(1) где un0скорость пламени с плоским фронтом, при- сутствует неопределенная величина lMразмерности длины (постоянная Маркштейна). Им же были сде- ланы первые попытки экспериментального опреде- ления этой величины. Дальнейшие теоретические поиски [25 и др.] приводили к выражению посто- янной Маркштейна в виде отношения коэффици- ента температуропроводности газа Nна скорость un0 (2) Но в этом случае объяснение гидродинамичес- кой устойчивости пламени ограничено. Экспери- менты показывают устойчивость пламени при чис- лах Рейнольдса Re, по меньшей мере, на порядок превышающих критическое значение Recr, которое следует из формул (1) и (2).
Кроме указанного Маркштейном механизма, приводящего к устойчивости пламени, может иметь место случай ухода возмущений из рассматриваемой области горения [3]. Дело в том, что в экспериментах пламя, как правило, занимает ограниченное прост- ранство (пламя горелки Бунзена или в трубе, свечи).
Эти виды пламени имеют касательную составляю-
щую скорости газа к поверхности горения, благодаря чему гидродинамические возмущения или затухают на стенках, или уходят в свободное пространство из области горения прежде, чем они успевают заметно вырасти [3]. Но такие явления наблюдается при дос- таточно больших числах Рейнольдса.
Механизм ухода возмущений не объясняет пол- ностью наблюдающуюся гидродинамическую ус- тойчивость пламени. Если основываться только лишь на таком механизме и на формулах (1, 2), то мы уже при относительно небольших числах Рей- нольдса (Re ~10…100) должны были видеть пламя с непрерывно колеблющимся фронтом. В реальнос- ти это не имеет место: колебание фронта, свиде- тельствующее о наличии гидродинамической неус- тойчивости, возникает внезапно и при больших числах Рейнольдса (Re ~103).
Дальнейшие пути объяснения гидродинамичес- кой устойчивости пламени можно искать в самой теории ламинарного горения. Предложенные в ра- ботах [25] способы нахождения lM, несмотря на их математическую строгость расчетов, не исключают существования других подходов. Дело в том, что если в теории Зельдовича-Франк-Каменецкого од- номерного пламени с плоским фронтом его ско- рость движения определяется единственным обра- зом [5], то скорость распространения искривлен- ного пламени без привлечения дополнительного физического принципа не является однозначно определенной [6, 7]. Это обстоятельство приводит к неожиданному результату при исследовании не- одномерной диффузионно-тепловой устойчивости пламени [8]. Использование известной [5] схемы анализа на основе формулы (1) и без привлечения
0.
M n
l u
N
0(1 ),
n n M
u u l K УДК 536.46
К ВОПРОСУ НАХОЖДЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ МАРКШТЕЙНА
К.О. СабденовТомский политехнический университет E-mail: [email protected]
На примере простой модели показано, что уравнения горения допускают решения со смещенными профилями температуры и участвующей в реакции горения концентрации вещества. Скорость искривленного пламени определяется однозначно, а длина Маркштейна оказывается существенно больше, чем в ранних теориях. Это позволяет, по меньшей мере, на порядок расширить область гидродинамической устойчивости по числу Рейнольдса.
дополнительных предположений относительно процессов в зоне химической реакции приводит к абсолютной неустойчивости пламени.
В работе [9] было высказано предположение, что при искривлении фронта пламени меняется его структура: происходит своеобразное рассогласование полей температуры и концентрации (выгорания).
Имеется в виду сдвиг распределений температуры и реагирующего вещества относительно друг друга и по направлению движения плоского исходного пламе- ни. Величина смещения считается пропорциональ- ной обратной величине энергии активации.
Настоящая работа ставит целью дальнейшее развитие изложенных представлений об искрив- ленном пламени на основе более точного, чем в [9]
теоретического анализа процессов во фронте неод- номерного пламени.
1. Нахождение скорости пламени при слабо искривленном фронте. Бесконечно тонкая зона химической реакции
Для описания процессов медленного горения, когда давление меняется слабо по сравнению с тем- пературой и плотностью газа, воспользуемся мо- делью с одностадийной химической брутто-реакци- ей АoВ [5]. Анализ задачи об искривленном пламе- ни будем проводить в линейном приближении. Это означает, что величина деформации фронта и вызы- ваемые деформацией возмущения малы, и можно пренебречь их квадратичными и более степенями.
Рассмотрим модель ламинарного пламени в следующей формулировке, согласно которой ос- новное движение пламени происходит отрицатель- ному по направлению координаты xc[5]:
(1.1)
где W(N,T) скорость химической реакции;
vскорость газа; Tтемпература; Nконцентра- ция реагента A; D коэффициент диффузии;
Q тепловой эффект реакции; tc время;
ycкоордината, поперечная оси xc; cp теплоем- кость при постоянном давлении.
Примем, что химическая реакция имеет первый порядок:
(1.2) где k0константа, зависящая от свойств исходной горючей смеси; Eэнергия активации; Rунивер- сальная газовая постоянная.
Выражения (1.1) и (1.2) в безразмерной форме имеют вид:
(1.3) где
Символом N0обозначена начальная концентра- ция реагирующего вещества. Здесь v* масштаб скорости. Его детальное определение нам сейчас не требуется, но в дальнейших расчетах удобно считать v* равным скорости движения стационар- ного пламени с плоским фронтом. Такого опреде- ления масштаба скорости мы будем придерживать- ся в дальнейшем.
Граничные условия. Пусть пламя не ограничено в пространстве, а возмущения имеют локальный характер по направлению y. Тогда необходимые ус- ловия имеют следующий вид:
(1.4) Приведем анализ искривленного фронта пла- мени в приближении бесконечно тонкой зоны хи- мической реакции и произвольных числах Льюиса.
В этом случае достаточно рассматривать вместо (1.3) уравнения
(1.5) Наличие химической реакции учитывается раз- рывом (при x= 0) первых производных от темпера- туры Tи выгорания b[5]. Стационарные решения
описывают плоский фронт пламени. При малом иск- ривлении фронта мы ищем решение (1.5) в виде [9]
(1.6) Здесь [1, [2смещение профилей температуры и выгорания. Причем
[2= [1(1+H), [1= [1(t, y). (1.7) Числовой параметр H, который считаем малым, но пока не конкретизируем, задает величину рассог- ласования распределений температуры и выгорания.
При xof малые возмущения температуры и концентрации должны обратиться в ноль. Физи- чески это означает, что при малой деформации фронта пламени его температура в приближении бесконечно тонкой зоны химической реакции не меняется. Поэтому решения T=b=1 в области x> 0 остаются неизменными с точностью до второго по- рядка по [1и его производных. Как мы увидим ни- же, такая деформация приводит только к измене- нию нормальной скорости пламени.
1 1
2
( , , ) exp( ) exp( )(1 ), ( , , ) exp( ) 1 .
Le Le
t x y x x
b t x y x
T [ [
[
|
§ ·
¨ ¸
© ¹
0 0 0 0 0
exp( ), exp( ), 0; 1, 0, 1,
Le
x b x x b x w
T T !
2 2 2 2
2 2, b b b2 b2 .
w w Le
t x x y t x x y
T T T T § ·
ww ww ww ww ww ww ¨©ww ww ¸¹
: 0, : / / 0,
: / / 0.
x b x x b x
y y b y
T T
T
o f o f w w w w o rf w w w w
0 0
0 0 0
0 0 0
2 0
*
( ); ; ;
; ; ; ; ; ; .
p
b
b p
b b
T T c Q N N
T T T T N b
T T QN c N
T RT x v y v t v v
Le D x y t w
T E v
T
P E
N N N N
c c c
1 2 0
1 1
(1 )exp 1 , ,
(1 )
W q b q k e
v N E
E P T P
ª § ·º
«¬ ¨© ¸¹»¼
2 2
2 2
2 2
2 2
( , ),
( , ),
w W b
t x x y
b b b b
w Le W b
t x x y
T T T T T
T ww ww ww ww
§ ·
ww ww ¨©ww ww ¸¹ ( , ) 0 exp( E ), W N T k N
RT
2 2
2 2
2 2
2 2
( , ),
( , ),
p
T v T T T QW N T
t x x y c
N v N D N N W N T
t x x y
N§ ·
ww c ww c ¨©ww c ww c ¸¹
§ ·
ww c ww c ¨©ww c ww c ¸¹
Выражения (1.6) удовлетворяют линеаризован- ным граничным условиям на фронте химической реакции с точностью до высших порядков по [1и его производным на границе x=[1.
Используя выражения (1.6) в ур. (1.5), учитывая представление w=1+wc, где wcизменение скорос- ти пламени, и удерживая только линейные члены, приходим к следующей паре уравнений
Принимая в расчет представления (1.7), получим (1.8) Если считать скорость пламени не зависящей от кривизны его фронта, то мы должны полагать wc=0.
Тогда из (1.8) следует равенство [1=0, что означает абсолютную устойчивость пламени, т.к. его фронт просто недеформируемый. Полученный результат не зависит от того, что Le>1 или Le<1. Следова- тельно, [1=0 и при равенстве Le=1. Значит, фронт пламени с бесконечно тонкой зоной химической реакции недеформируемый, и пламя абсолютно ус- тойчиво к гидродинамическим возмущениям. Этот вывод противоречит теории Ландау-Дарье [5, 10].
Пусть теперь wcz0. Преобразуя (1.8), находим
Тогда уравнение для поверхности фронта пла- мени запишется как
Уточним вид параметра H. Его появление может быть обусловлено только процессами в зоне хими- ческой реакции, других видимых причин нет. Тогда при малой (порядка E<<1), но конечной толщине зоны химической реакции возмущения температу- ры и концентрации, вызванные деформацией фронта, будут отличаться. Величина отличия будет порядка E, так как это рассогласование распреде- лений температуры и концентрации вызваны про- цессами в зоне химической реакции. Тогда H~E. Кроме того, в предельном случае E=0, когда H=0 и [1=[2, пламя должно быть, как мы уже видели, аб- солютно устойчивым. Причем, вне зависимости от величины отличия числа Льюиса от единицы: при H=0 из (1.8) следует [1=0. Сказанное означает, что
H= s(Le 1)E, (1.9) где sнеопределенная константа. Тогда формула для изменения скорости пламени приобретает форму
(1.10) где индекс 1 у символа [опущен для простоты за- писи. Фронт пламени будет меняться во времени согласно уравнению [9]
(1.11)
Приведенное выше предположение постоян- ства температуры пламени строго не обосновано.
Это видно уже из того, что не были вовлечены в рассмотрение все возможные решения уравнений (1.5). В линейном приближении они, кроме приве- денных (1.6), имеют еще соответственно для перво- го и второго уравнений решения вида [5]
(1.12) с комплексной частотой : и волновым числом k, где f(x), g(x) удовлетворяют обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям
Поэтому мы рассмотрим сейчас задачу о слабо искривленном фронте пламени в расширенной постановке.
2. Расширенный анализ искривленного фронта пламени
Пусть теперь возмущенные профили темпера- туры и выгорания имеют вид
где Fи Gновые неизвестные функции, имеющие смысл возмущений. Считая их малыми по абсо- лютной величине, представим Tи bв линеаризо- ванной форме
(2.1) где T0(x), b0(x) являются решениями уравнений
(2.2)
с первыми четырьмя граничными условиями из (1.4).
Подставив (2.1) в уравнения (1.3) и учитывая равенство w=1+wc и (2.2) в промежуточных вык- ладках, после несложных преобразований получим линеаризованные уравнения
где производные от скорости химической реакции вычисляются через стационарные распределения температуры T0и выгорания b0.
В операторе Лапласа '* дифференцирование производится по переменным x, y. Выражения, стоящие в скобках левых частей приведенных вы-
0 2
1 1
2 0
2 1
0 0 0
0 2
2 2
2 0
2 1
0 0 0
( ),
Le
Le ( ),
F F d w
t x dx t y
W W W db
F F G
b b dx
G G db w
t x dx t y
W W W d
G F G
b dx
[ [
T
T [ [
[ [
T [ [
T T
§w w · ww ww ¨©w cw ¸¹
w w w
'
w w w
§w w ·
ww ww ¨© w c w ¸¹
w w w
'
w w w
0 2 0
0 0 0
2
0 2 0
0 0 0
2
( , ),
Le ( , ),
d d
w W b
dx dx
db d b
w W b
dx dx
T T T
T
0 0
1
0 0
2
( ) / ( , , ),
( ) / ( , , ),
x d dx F t x y b b x db dx G t x y T T [ T
[
0 0
1 2
(x ) F t x y( , , ),b b x( ) G t x y( , , ),
T T [ [
2 2
2 2
2 ( ) 0, d g2 dg ( Le ) 0.
d f df
k f Le k g
dx dx
dx : dx :
( )exp( ), ( )exp( ), 1
f x : t iky g x : t iky i{
2 2
1 Le
, s .
D D
t y s
E
[ [
E
w w
w w
2 2
1 ( 1)
s Le ,
w s y
E [
E
w
c w
2
1 1
2
(Le 1)(1 )
, 1 .
D D
t y
[ [ H
H
ww ww
2 1 2
(Le 1)(1 ) .
w y
H [ H w
c w
2 2
1 1 1 1
2, Le 2.
1 w w
t y t y
[ [ [ [
H
w c w w c w
w w w w
2 2
1 1 2 2
2, 2.
w w Le
t y t y
[ [ [ [
w c w w c w
w w w w
ражений, следуя рассуждениям предыдущего раз- дела, приравняем нулю. Эта процедура даст две па- ры уравнений, первая пара это уравнения для на- хождения смещений [1, [2:
Вторая же пара это уравнения для нахождения откликов температуры и выгорания на изменение формы пламени:
(2.3)
где учтена связь (1.7) между [1и [2и опущен индекс
"1" у смещения [. Эволюция [(t, y) подчиняется уравнению (1.11).
Остается теперь показать, что возмущения тем- пературы F и концентрации продукта реакции G, во-первых, падают с течением времени при произ- вольных малых начальных деформациях [плоской поверхности, во-вторых, они локализованы в зоне химической реакции, а температура пламени не меняется. Для этого численно решались уравнения
Начальные условия:
t=0: F=G=0, [=[0(y). (2.5) Граничные условия для F и G:
xof: F=G=0; xo+f: wF/wx=wG/wx=0;
yorf: wF/wy=wG/wy=0.
Граничные условия для деформации задава- лись в двух формах:
1) yorf: w[/wy= 0; 2) yorf: [=0. (2.6) Кроме того, брались различные варианты на- чального отклонения [0(y).
Стационарные распределения T0, b0 получены как асимптотические (tof) решения нестацио- нарной задачи
(2.7) с начальными условиями
(2.8) и граничными условиями
xof: T=b=0, xo+f: w[/wx=wb/wx=0. (2.9) Производные от Wв (2.4) вычисляются по ста- ционарным значениям температуры и выгорания и имеют вид
Полная схема решения поставленной задачи та- кова: сначала решением уравнений (2.7) с началь- ными (2.8) и граничными (2.9) условиями находят- ся установившиеся распределения T0(x), b0(x). Пос- ле этого начинается решение уравнений (2.4), для которых начальные и граничные условия задаются выражениями (2.5, 2.6).
Для численного решения всех уравнений при- менялась неявная схема. Причем, система (2.4) ре- шалась методом расщепления по пространствен- ной переменной Писмена-Рэдфорда [11] в квадра- те 40u40. Функции источников вычислялись по значениям F, Gна предыдущем временном слое.
На рисунке приведены распределения F, G в различные моменты времени, после возрастания в начальные периоды. Начальное отклонение [0(y) задавалось в виде:
[0(y)=А, если y[19,75; 20,25];
[0(y)=0, если y[19,75; 20,25]; (2.10) A=10 с граничными условиями 2) из (2.6). Значения F, Gберутся в сечении по yмаксимального отклонения [(t, y), т.е. при y=20,0, а постоянные параметры q, s, P, Eполагались равными q=20,0; s=2,0; P=0,15; E=0,1.
Как видно из приведенных графиков, возмуще- ния температуры Fи выгорания Gсосредоточены в зоне пламени и убывают со временем. Изменения Fносят колебательный характер, причем это наб- людается вне зависимости от того, больше или меньше единицы число Льюиса. В то время как G (или концентрация продуктов реакции) стремится к нулю монотонно. Все изменения температуры и выгорания сосредоточены преимущественно в уз- кой зоне химической реакции, но незначительные затухания колебания могут распространяться и в сторону пламени, где находятся только продукты горения. Это означает, что природа зависимости скорости пламени от кривизны его фронта кроется в процессах, протекающих в самой зоне химичес- кой реакции, и не связана с распределением кон- центрации реагирующего вещества и температуры за пределами этой зоны. Поэтому утверждение пропорциональности H~Eвполне обоснованно.
Обращает также на себя внимание большее по амплитуде значение выгорания по сравнению с максимумом температуры. Причем это имеет место вне зависимости от значения числа Льюиса. Если число Льюиса больше единицы, то при деформа- ции фронта пламени в сторону продуктов горения происходит уменьшение температуры и выгорания свежей смеси. Если же деформация происходит в сторону свежей смеси (рисунок), то прирост темпе- ратуры и выгорания положителен.
0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0
1 1 1
(1 ) exp 1 ,
(1 ) (1 )
1 1
exp 1 , ( ), ( ).
(1 )
W q b
W q x b b x
b
P
T E P T P E P T P
T T
E P T P
ª § ·º
w « ¨ ¸»
w ª¬ º¼ ¬ © ¹¼
ª § ·º
ww «¬ ¨© ¸¹»¼
0 : ( ), ( ) 1, ,
0, t b f x f x x
T xo f
®¯ o f
2 2
2 W( , ),b b Le b2 W( , ),b
t x t x
T T T T
w w w w
w w w w
(2.4)
2 2 0
2 2 0 0 0
2 2
2 2
0
0 0 0
2 2
,
,
1 Le
, .
F F F F WF WG s W db
t x x y b b dx
G G Le G G
t x x y
WF WG s W d b dx
D D s
t y s
E [
T
E T [
T T
[ [ E
E
ww ww ww ww ww ww ww
§ ·
ww ww ¨©ww ww ¸¹
w w w
w w w
w w
w w
0
0 0 0
0
0 0 0
, ,
F F F WF WG s W db
t x b b dx
G G G W F WG s W d
t x b dx
E [
T
E T [
T T
ww ww ' ww ww ww ww ww ' ww ww ww
2 2
1 1 2 2
2, Le 2 .
w w
t y t y
[ [ [ [
w c w w c w
w w w w
а )
б)
Рисунок.Распределения возмущений температуры F и выго- рания G в различные моменты времени: а) t = 2,0;
б) t = 10,0. Le = 0,8
Прежде чем делать выводы по результатам нас- тоящей работы, заметим, что однородные части уравнений для F и G совпадают с однородными частями системы (2.3). Так как отклонение [(t, y) поверхности пламени от плоского состояния быст- ро убывает ввиду большого значения коэффициен- та "диффузии" D*, то условие стремления к нулю F, G, в сущности, должно совпадать с условием диф- фузионно-тепловой устойчивости пламени, полу- ченным в приближении неизменности скорости пламени. Расчеты показали, что если числовые зна- чения параметров q, P, Eлежат за пределами облас-
ти устойчивого режима горения, возмущения Fи G с течением времени неограниченно растут. Изогну- тый фронт пламени при этом стремится к плоской форме, согласно (1.11).
Все рассуждения проводились в рамках линей- ного приближения по величине кривизны фронта пламени, поэтому в пределах допустимости такого приближения решение задачи о пространственно искривленном ламинарном пламени может быть сформулировано следующим образом:
1. форма искривленной поверхности горения явля- ется решением параболического уравнения (1.11) с эффективным коэффициентом диффузии;
2. скорость движения искривленного пламени яв- ляется суммой скорости плоского пламени и поправки по формуле (1.10);
3. условие существования такого неодномерного пламени определяется диффузионно-тепловой устойчивостью ламинарного горения с посто- янной скоростью пламени.
Теперь можно привести численную оценку по порядку величин устойчивого по отношению к гидродинамическим возмущениям размера L*пла- мени. Для этого достаточно воспользоваться изве- стной формулой Маркштейна [1, 5], в которую не- обходимо внести множитель 1/(sE):
Для наблюдаемого экспериментально устойчиво- го пламени коэффициент n теплового расширения находится в пределах 6…9, E~0,1, N~105 м2/с, un0~0,1 м/с [5]. Считая n/s(n1)|1, находим L*~0,01 м.
Отсюда получаем для критического числа Рейнольдса согласующуюся с экспериментом оценку Recr~103.
Что касается определения константы s, то этот вопрос остается открытым и находится на стадии проработки.
* 0
4 .
1 n
L n
n s u S N E
0 10 20 30 40
0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
x G
F
0 10 20 30 40
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012
x G
F
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нестационарное распространение пламени / Под ред.
Дж.Г. Маркштейна. М.: Мир, 1968. 220 c.
2. Рогоза Б.Е. О маркштейновской поправке к нормальной ско- рости распространения пламени // Физика горения и взрыва.
1985. Т. 21. № 3. С. 4548.
3. Зельдович Я.Б., Истратов А.Г., Кидин Н.И., Либрович В.Б.
Гидродинамические течения и устойчивость искривленного фронта при распространении пламени в каналах. М.: 1980.
(Препр. ИПМ АН СССР; № 143).
4. Игнатьев С.М., Петухов Ю.И. Нелинейный анализ ячеистой структуры фронта пламени с учетом гидродинамических и диффузионно-тепловых процессов // Физика горения и взры- ва. 1989. Т. 25. № 5. С. 5862.
5. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвила- дзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Нау-
ка, 1980. 422 с.
6. Karpov A.I., Galat A.A., Bulgakov V.K. // Combustion Theory Modeling. 1999. V. 3. P. 535546.
7. Сабденов К.О. К линейной теории искривленного пламени //
Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74. № 5.
C. 8186.
8. Сабденов К.О. О диффузионно-тепловой неустойчивости ла- минарного пламени // Инженерно-физический журнал.
2002. Т. 75. № 4. C. 7379.
9. Сабденов К.О. К разрешению парадокса Л.Д. Ландау о гидро- динамической неустойчивости пламени // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск:
Изд-во ТГУ, 1998. С. 8485.
10. Ландау Л.Д. К теории медленного горения // Журнал экспери- ментальной и теоретической физики. 1944. Т. 14. № 6.
С. 240244.
11. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука,
1982. 202 с.
