МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

МРНТИ 27.39.19 УДК 517.98

https://doi.org/10.51889/5008.2022.53.73.001 А.Т. Бесжанова^1*, А.М. Темирханова¹

1Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан

*e-mail: beszhanova@mail.ru

ВЕСОВАЯ ОЦЕНКА ОПЕРАТОРА ТИПА ГИЛЬБЕРТА СТИЛТЬЕСА ПРИ 1

 q  p  

Аннотация

В теории матричных операторов большое значение имеют точные оценки их норм в различных пространствах последовательностей. В настоящее время, нахождения точных значений норм дискретного оператора, даже, в классических пространствах последовательностей Лебега, вообще говоря, является открытой проблемой и не всегда можно найти необходимые и достаточные условия выполнения различных весовых оценок для некоторых классов матричных операторов. Поэтому установление весовых оценок для некоторых классов матричных операторов, двухсторонних оценок норм являются актуальными задачами современной теории дискретных операторов. В работе рассматривается задача нахождения необходимых и достаточных условий для выполнения дискретного неравенства типа Гильберта-Стилтьеса при 1qp. Кроме того, представлен альтернативный способ доказательства дискретного неравенства типа Харди с переменными пределами суммирования.

Ключевые слова: Неравенство типа Харди, ограниченность оператора, весовые пространства Лебега, оператор типа Гильберта-Стилтьеса.

Аңдатпа

А.Т. Бесжанова¹, А.М. Темирханова¹

1 Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті, Астана қ., Қазақстан







q p

1 ЖАҒДАЙДАҒЫ ГИЛЬБЕРТ- СТИЛТЬЕС ОПЕРАТОРЫНЫҢ САЛМАҚТЫ БАҒАЛАУЫ Матрицалық операторлар теориясында олардың әртүрлі тізбекті кеңістіктеріндегі нормаларын нақты бағалаудың маңызы зор. Қазіргі уақытта дискретті оператор нормаларының дәл мәндерін табу, тіпті классикалық Лебег тізбектері кеңістігінде де, жалпы алғанда, ашық мәселе болып табылады және кейбір матрицалық операторлар кластары үшін әртүрлі салмақтық бағалауларды орындалуының қажетті және жеткілікті шарттарын табу әрқашан мүмкін емес. Сондықтан матрицалық операторлардың кейбір кластары үшін салмақтық бағалауларды орнату, нормалардың екі жақты бағалауларын алу қазіргі заманғы дискретті операторлар теориясының өзекті мәселелері болып табылады. Бұл жұмыста 1q p жағдайындағы Гильберт-Стилтьес типті дискретті теңсіздіктің орындалуының қажетті және жеткілікті шарттарын табу мәселесін қарастырамыз.

Сонымен қатар, қосындылау шектері айнымалы болатын Харди типті теңсіздікті дәлелдеудің балама жолы ұсынылған.

Түйін сөздер: Харди типті теңсіздік, оператордың шенелгендігі, Лебег салмақты кеңістіктері, Гильберт- Стилтьес типті операторы.

Abstract

A WEIGHTED ESTIMATE OF THE HILBERT STIELTJES TYPE OPERATOR FOR 1qp Beszhanova А.Т. ¹, Тemirkhanova А.М. ¹

1 Gumilyov Eurasian National University, Astana, Kazakhstan

In the theory of matrix operators, the sharp estimates of their norms in various spaces of sequences are of great importance. At present, finding the exact values of the norms of a discrete operator, even in the classical spaces of Lebesgue sequences, is an open problem and it is not always possible to find necessary and sufficient conditions for fulfillment various weighted estimates for some classes of matrix operators. Therefore, the establishment of weighted estimates for certain classes of matrix operators, two-sided estimates of norms are actual problems of the modern theory of discrete operators. In this paper we consider the problem of finding necessary and sufficient conditions for the

fulfillment of a discrete Hilbert-Stieltjes type inequality when 1q p. Moreover, an alternative proof of a discrete Hardy-type inequality with variable limits of summation is presented.

Keywords: Hardy-type inequality, boundedness, weighted Lebesgue spaces, Hilbert-Stieltjes type operator.

Введение

Пусть

^{    }

1,

^  

^_1

' 1 , 1 ,

1

u u

_{i i}

p q p

p

последовательность неотрицательных,

v    v

_i ^_i1- последовательность положительных действительных чисел. Пусть l_pv^- пространство последовательностей

f    f

_{i i}^_1 действительных чисел, для которых конечна норма









 







^



p f

v f

p i

p i v i

p ,1

1

1

, .

В начале ХХ века было доказано известное неравенство двойного ряда Гильберта следующего вида



/



^{, 1}

sin

' 1

1 ' 1

1

1 1



 

 



 



 



 

  



^















p g

p f n

k g

f

^p

n p n p k

p k

n k

n k





, (1)

где



^



















1 1

, '

, 0 ,

n n

p n p

n n

k

g f g

f

и

  p 



sin наилучшая константа в (1) (см. [1]).

Неравенство (1) эквивалентно неравенству Харди-Гильберта следующего вида

 

^{, 0}

sin

1

1 1

1 1



 

 



 

 





 



 



 





 

 

^











n p n

p n p

n

p

k

k

f f

p n

k f





(2)

выполнение которого означает ограниченность оператора Гильберта:

  

^







1 k

k

n

k n

Hf f

изl_pв l_p(см. [2]). Отметим, что аналогичная связь сохраняется между интегральными аналогами неравенств (1) и (2) с наилучшей постоянной

  p 



sin (см. [1], [2]).

Неравенство (1) и его обобщение сыграли фундаментальную роль в развитии многих разделов математики, и значительное внимание многих авторов было уделено неравенствам двойного ряда Гильберта, его интегральному аналогу, обратным неравенствам, и различным обобщениям. В работах [3], [4] были установлены ограниченность интегрального оператора Стилтьеса следующего вида

   







 



0

0 ,

0 ,

)

( _



 dt x

t x

t x f

f

S ,

в весовых пространствах Лебега и весовые оценки для его дискретного аналога.

  

^

 



 



1

0 ,

k k

n

k n

Sf f

_



при1 pq и 1q p соответственно. Более того, в работе [5] были получены эквивалентность четырех альтернативных условий выполнения весового интегрального неравенства для оператора Стилтьеса при 1 pq. Аналогичный результат для весового интегрального неравенства

Стилтьеса при 0q p,1 p было получено в [6], где, в частности, дано новое доказательство результата Г. Синнамон [4], который также охватывает случай 0q1.

В данной работе мы рассматриваем обобщенное неравенство Гильберта-Стилтьеса следующего вида

 

pv

p n

p n n q

n

q n

n Tf C v f f l

u _,

1

1 1

1

,  



 



 



 





 

^







, (3)

где

  

^

 







1 ( ) ( )

k

k

n

b k b n

Tf f

_ (4)

оператор типа Гильберта-Стилтьеса,

 

0и

  b

(

n

) ^_n1- строго возрастающая последовательность натуральных чисел, таких что

  



 ( )

lim , 1 ) 1

(

b n

b

n .

Целью работы является установить необходимое и достаточное условие выполнения весовой оценки (3) для оператора типа Гильберта – Стилтьеса при 1

 q  p  

. Отметим, что при

n n

b 



1, ( )



и

q  p

неравенство (3) совпадает с неравенством (2). При

b

(

n

)

 n

оператор T совпадает с дискретным аналогом оператора Стилтьеса.

Оператор (4) для неотрицательной последовательности действительных чисел f 

 

f ^_i₁можно представить в виде суммы двух дискретных операторов типа Харди с верхним и нижним переменными пределами суммирования следующим образом

  

^

       

 











 



1

) (

1 ( )

2

) 1

( )

( 1 )

( )

k (

n b

k k b n

n n

k k

k

n

T f T f

k b f f

n n b

b k b

Tf f

_{  } . (5)

Тогда выполнение неравенства (3) характеризуется разбиением на два весовых неравенства типа Харди для

f 

0, и, таким образом, мы получаем два различных условия. В работах [7], [8] получены необходимые и достаточные условия выполнения весового неравенства (3) для дискретных операторов типа Харди

Т

₁,

Т

₂ при

 

0. Случай когда 1

 p  q  

было доказано в работе [9].

Из вышесказанного следует, что для получения основного результата статьи (см. Теорему 1), прежде всего, необходимо установить критерии выполнения дискретных весовых оценок неравенства типа Харди (см. теоремы 2 и 3) для операторов

Т

₁,

Т

₂ с переменными пределами суммирования следующих видов

pv p p

k k k q

n n q b

k k

n

f C v f f l

u    





 



 

 





 



   

^





 

,

1

1 1

1 ) (

1

, (6)

pv p p

k k k q

n

q

n b k

k

n f C v f f l

u   









 













  

^











,

1

1 1

1 ( )

, (7)

которые также имеют важные независимые значения. Отметим, что метод доказательства достаточности неравенств (6) и (7) отличается от доказательства работ [7] и [8].

Методы исследования

Здесь мы применяем метод локализации, т.е. метод разбиения на «пачки» последовательности значений матричного оператора в каждой точке, позволяющий удобно оценить суммы по пачкам, благодаря которому достигаются основные результаты. Также в ходе оценки использовались различные классические неравенства.

Приведем необходимые утверждения используемые в доказательстве основных результатов:

Лемма A. [10] Пусть

 

0и 1

 n  N  

. Тогда для любой последовательности h_k 0

k N

n k

k

n i

i N

n k

k h h

h

1

 



 



^



 



 



 



 ^{ }

, (8)

k N

n k

N

k i

i N

n k

k h h

h

1

 



 



^



 



 



 



 ^{ }

. (9)

Лемма B. [7] Пусть 1

 q  p  

. Тогда

1 '

) 1 (

1 '

1 ( )

) 1 ( )

(

1 ' 1 1

1: :

~

1

B v

v u

u v

u B

pq q p

p k q p

q p k

i p i k

q p

p

k b j

q j pq

q p

q k q p

p q n

b

k p k n

q p

q

n k

q

k



 







 







 

 



 







 



 

 







 







 

 



 



 



 



 





 

















 



 



   

 



Замечание. В дальнейшем символM K означает, что

M  cK

, где константа

c 

0 зависит только от несущественных параметров. Если M K M, то M K. Также предположим, что



 m



k i

0^{, если}

m  k

.

Основные результаты. Обозначим через



(s):{nN:b(n)s}. Отметим, что



(s), т.к. по крайней мере 1



(s). Пусть

s  N

. Для

 s  N

положим b^1(s):max{



(s)}. Тогда

s s b b s s b

b^1( ( )) , ( ^1( )) .

Теорема 1. Пусть 1

 q  p  

. Тогда неравенство (3) выполняется тогда и только тогда, когда







 F

₁

F

₂

F

, где



 

 





 







 

 



 







 



 



 





 









 



_

pq q p

p k q p

q p k

i p i q p

p

k b j

q j k

v j v

b

F u

^'

) 1 (

1 ' )

1 ( 1

1 ^( ) ^,

pq q p

p k q p

p k b

i q i q

p q p

k j

p j k

v j u

b F v



 











 



  





 







 





 





 





 



    

^{( ) '}

1 ) 1 ( '

1 2

1

)

( .

Кроме того,

F  C

, где С – наименьшая константа в (3).

Прежде чем доказать Теорему 1, установим критерии выполнения неравенств (6) и (7).

Теорема 2. Пусть 1

 q  p  

. Тогда неравенство (6) выполняется тогда и только тогда, когда



 

 





 







 

 



 







 



 



 





 









 





pq q p

p k q p

q p k

i p i q p

p

k b j

q j k

v v

u

B

^'

) 1 (

1 ' )

1 ( 1

1

, (10)

Кроме того,

B

₁

 C

, где С – наименьшая константа в (6).

Доказательство. Необходимость. Пусть неравенство (6) выполняется для f l_pv. Покажем что



1



B

. Пусть

m 

1 и рассмотрим тестовую последовательность следующего вида:

' 1

1 ' 1

)

1(

~ p

k q p q k

i p i q p m

k b j

q j

k u v v

f ^{ }





 





 



 















_



^{при 1}

^{ k  m}

^{и ~}

^f

^k

^

^{0 при}

^{k  m}

^.

Тогда

p m

k

p k q p

q p k

i p i q p

p m

k b j

q j p

k p k p

pv vk f u v v

f

1

1

' ) 1 (

1 ' )

( 1

1 ¹

~

~



















 



 











 



 





   



 





 





 ^

. (11)

Подставляя ~f_k

в левую часть неравенства (6), применяя (8) и поменяв порядок суммирования получим

 











 











 













     

 

_



















 

m

k b n

q n k q

i i m

b

k k k q

i i n

b

k k m

n q n q

n n b

k k

n f u f f f f u

u

) ( 1

1 ) (

1 1

1 ) (

1 1 1

) (

1 ¹

~

~

~

~

~

 

 





 







 

 



 







 





 





 



 













 



 

   



_{ }

1 ' 1

1

1 ' 1

) ( )

( )

(

1 ^{1 1}

~

q p i k

i

q p q i

s p s q m p

i b j

q j m

k b n

q n m

b

k

k

u u v v

f



 

 



 







 



 

 







 







 

 



 







 





 





 



 

^







 















 









     



_{  } ^{p q}

q p k

i p i q p p m

k b n

q n m

b

k k q

q p p k

i p i q

p q m

k b j

q j m

k b n

q n m

b

k

k

u u v f u v

f

) 1 )(

1 (

1 ' 1

) ( )

(

1 1 1

1 ' 1

) ( )

( )

(

1 ^{1 1 1}

~

~

 















































  ^













 















 

 

_



_ ^pq

q p k

i p i q p p m

k b n

q n m

b

k

p k q p q k

i p i q p m

k b j

q

j v v u v

u

) 1 )(

1 (

1 ' 1

) ( )

(

1

' 1

1 ' 1

)

( ¹

1

' ) 1 (

1 ' )

(

1 ¹( )

p k q p

q p k

i p i m

b

k

q p

p m

k b j

q

j v v

u ^













 























 

 _



^,

^{ m  N}

^{. (12)}

Из (6), (11) и (12) следует что





 C

B

₁ . (13)

Достаточность. Пусть

f 

0. Для

i 

1определим следующее множество

 

^{b i} _{i i}

k k i

k

i

k Z Pf f k  

 



 

   



 



max ,

2 :

1

. (14) Тогда

 

2 , 1

2^ki  Pf _i  ^ki1 i . (15) Пусть

m

₁



1 и M1



iN:k_i k1k_m1



. Предположим, что

m

₂ такой, что sup

M

₁



1

 m

₂ Очевидно,

m

₂

 m

₁ и если множество

М

₁ ограничено сверху то

m

₂

 

и

m

₂



1



max

M

₁



sup

M

₁. Пусть определен 1m₁ m₂ ...m_s ,s1.

Для определения m_s1 предположим, что m_s1 supM_s 1, где

M

s

  i  N : k

i

 k

m_s



. Пусть



^{ }



 s N m_s

N₀ : . Далее мы предполагаемk_ms n_s,sN₀. По определениюm_s и из (15) следует, что при sN₀

 

2 , 1

2^ns  Pf _i  ^ns1 m_s im_s1 (16)

и

         

0 0

1

1 , ,

,

N

s s N

s s s

s m N bm bm

m N

    

 ,

где



m_s,m_s1







m_l,m_l1



,



b(m_s),b(m_s1)







b(m_l),b(m_l1)



,sl. Отсюда