В методе стрельбы предполагается, что задача Коши для уравнения (1) с начальным условием x( )0 =s имеет решение x( )t,s на всем интервале ] , 0 [ T при s∈Rn

30

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ НАХОЖДЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Д.С. Джумабаев, С.М. Темешева

Институт математики МОН РК, Алматы, Казахстан e-mail: anar@math.kz, dzhumabaev@list.ru

Аннотация

На основе разбиения интервала и введения дополнительных параметров предлагается алгоритм на- хождения решений нелинейной двухточечной краевой задачи. По исходным данным задачи построе- на система уравнений для нахождения начального приближения параметра и получены достаточные условия сходимости алгоритма. Для изолированных решений рассматриваемой задачи установлено существование такого шага разбиения интервала, при котором построенная система имеет решение и алгоритм сходится.

Нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений служат математической моделью различных процессов естествознания и возникают во многих разделах прикладной математики.

Вопросы разрешимости краевых задач и разработка алгоритмов, позволяющих найти решение исследуемой задачи или его приближения рассмотрены многими ав- торами. Библиографию и анализ работ по основным группам методов исследования краевых задач можно найти в [1].

В настоящей работе рассматривается нелинейная двухточечная краевая задача

, ],

, 0 [ ),

,

(t x t T x Rⁿ

dt f

dx = ∈ ∈ (1)

, 0 )) ( ), 0 (

(x x T =

g (2)

где ^{f :[0,T]×Rn →Rn}, g:Rⁿ×Rⁿ →Rⁿ непрерывны.

Часто применяемым методом решения краевых задач является метод стрельбы и его модификации [2-7]. В методе стрельбы предполагается, что задача Коши для уравнения (1) с начальным условием x

( )

0 =s имеет решение x

( )

t,s на всем интервале

] , 0

[ T при ^s∈Rn. Подставляя значения x

( )

t,s в точках ^t=0 и ^{t =T} в краевые условия (2) получим систему уравнений Ψ

( )

s ≡g

(

s, x

( )

T,s

)

=0 относительно начального значе- ния. Построение функции ^x

( )

^t,s эквивалентно нахождению общего решения уравне- ния (1), что возможно в исключительных случаях. Для каждого ^s∈Rn можно указать алгоритм вычисления значения Ψ

( )

s [5, с. 585]. При этом мы имеем апостериорную информацию о свойствах функции Ψ

( )

s , которой недостаточно для применения из- вестных теорем существования решения уравнения Ψ

( )

s =0.

Аналогичная ситуация имеет место в модификациях метода стрельбы: в методе параллельной пристрелки, в методе интервальной пристрелки и др.

В связи с этим в работах, где применяется метод стрельбы или его модифика- ции, либо не приводятся условия существования решения и сходимости к нему пред- лагаемого алгоритма, либо они даются в терминах общего решения рассматриваемого дифференциального уравнения.

Известные условия сходимости алгоритмов метода стрельбы в терминах ис- ходных данных очень жесткие и не выполняются для большинства краевых задач.

Поэтому в [8] задача (1), (2) была исследована методом параметризации, кото- рый ранее в [9] был применен к линейной двухточечной краевой задачи.

Было предложено двухпараметрическое семейство алгоритмов нахождения ре- шения задачи (1), (2) и в терминах исходных данных установлены достаточные усло- вия их сходимости.

Каждый шаг алгоритма состоит из двух пунктов: а) решения систем уравнений относительно вектора параметров ^λ, составленной по разбиению отрезка ^[0,T] и функциям ^f , g при известных решениях задач Коши на соответствующих интерва- лах; б) решения задач Коши на интервалах длины ^h>0 при найденных значениях компонент параметра ^λ.

В настоящей работе предлагаются алгоритмы нахождения решения задачи (1), (2), где нет необходимости в решении задачи Коши.

Возьмем число ^N∈Ν и разобьем промежуток ^[0,T) с шагом ^{h=T N}:



^N

r

rh h r T

1

) , ) 1 [(

) , 0 [

=

−

= .

Через ^C

( [ ]

^{0,T ,h,RnN}

)

обозначим пространство систем функций x^[t^]=

(

x1

( ) ( )

t ^,x2 t ^,^,

( ))

^{t '}

x_N с нормой ^{[] max sup ( )}

) , ) 1 : [(

2 1 x t

x _r

rh h r Nt

r= ∈ −

=

⋅ , где функция xr :[(r−1)h,rh)→Rⁿ непрерыв- на на ^{[(r−1)h,rh)} и имеет конечный предел при ^t→rh−0, r=1:N.

Сужение функции ^x(t) на ^r-ый интервал ^{[(r−1)h,rh)} обозначим через ^xr^(t) и задачу (1), (2) сведем к многоточечной краевой задаче

( )

t x t r h rh r N

dt f dx

r

r = , , ∈[( −1) , ), =1: , (3)

(

1^{(0), lim}₀ ^{( )}

)

=⁰

−

→ x t

x

g _N

Nh

t , (4)

( )

^{( ), 1:( 1)}

lim ₁

0 = ₊ = −

−

→ x_s t x_s sh s N

sh

t , (5)

где (5) – условия склеивания решения во внутренних точках разбиения интервала.

Решением задачи (3) – (5) является система функций x

[ ]

t =

(

x₁(t),x₂(t),,x_N(t)

)

'∈

( [ ]

^{T h RnN}

)

C 0, , ,

∈ , где непрерывно дифференцируемая на ^{[(r−1)h,rh)} функция ^xr^(t), N

r=1: , удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) при всех ^{t∈[(r−1)h,rh)}, N

r=1: и имеют место равенства (4), (5).

Если ^x*(t)– решение задачи (1), (2), то система его сужений

[ ] (

^{( ), *}2^{( ), ,}

* 1

* t x t x t 

x =

)

^'

)

*( t

x_N принадлежит пространству ^C

( [ ]

^{0,T ,h,RnN}

)

и будет решением задачи (3) – (5).

Наоборот, если система функций ~

[ ] (

~( ),~( ), ,~ ( )

)

'

2

1 t x t x t

x t

x =  _N – решение задачи (3) – (5), то функция ^~x(t), определенная равенствами: x~(t)=~x_r

( )

t при ^{t∈[(r−1)h,rh)}, r =1:N,

= )

~x(T lim ~ ( )

0x_N t

Nh t→ −

= , является решением задачи (1), (2). Отметим, что условия склеи- вания решения (5) и дифференциальные уравнения (3) обеспечивают так же и непре- рывность производных в точках разбиения интервала ^[0,T].

32 Обозначим через λr значения функции ^xr^(t) на левых концах интервалов их определения: λr^:=^xr^((r−^1)h), r=1:N. Произведем замену ur

( )

t =xr(t)−λr,

) , ) 1 [(r h rh

t∈ − , r=1:N, и от задачи (3) – (5) перейдем к эквивалентной краевой задаче с параметрами

(

t u

)

t r h rh r N

dt f du

r r

r = ,λ + , ∈[( −1) , ), =1: , (6)

N r h

r

u_r(( −1) )=0, =1: , (7)

(

^{1, +} _→^lim₋₀^{u (t)}

)

⁼⁰

g _N

Nh N t

λ

λ , (8)

( )

0, 1:( 1)

lim ₁

0 − = = −

+ ₊

−

→ u_s t _s s N

sh

s t λ

λ , (9)

Если ^x(t) – решение задачи (1), (2), то система пар

(

λ_r =x_r((r−1)h); u_r

( )

t =x_r(t)−

)

) ) 1 ((r h x_r −

− , r =1:N, где ^xr^(t) – сужение функции ^x(t) на ^{[(r−1)h,rh)}, r=1:N, явля- ется решением многоточечной краевой задачи (6) – (9). И, обратно, если система пар

(

r ^ur

( )

^t

)

,~

λ~ , r =1:N, является решением задачи (6) – (9), то функция ^~x(t), определенная равенствами:

( )

t u t

x ~_r ~_r )

~( =λ + при ^{t∈[(r−1)h,rh)}, r =1:N, ~ lim ~ ( ) )

~(

0u t

T

x _N

Nh N +t→ −

=λ ,

будет решением нелинейной двухточечной краевой задачи (1), (2). Однако, задача с параметрами преимущественно отличается от задачи (3) – (5) наличием начальных условий (7).

При фиксированном значении λr задача Коши (3), (4) эквивалентна интеграль- ному уравнению Вольтерра второго рода

( ) (

,

( ) )

, [( 1) , ), 1: .

) 1 (

N r rh h r t d

u f

t u

t

h r

r r

r =

∫

+ ∈ − =

−

τ τ λ

τ (10)

Из (10) определив ^{lim ( )}

0u_r t

rh

t→ − , r =1:N, подставив их (8), (9), предварительно умножая (8) на ^{h=T N >0}, получим систему нелинейных уравнений относительно λr ∈Rⁿ:

( )

(

,

)

0

,

) 1 (

1 =









 + +

⋅

∫

− Nh

h N

N N

N f t u t dt

g

h λ λ λ , (11)

( )

(

,

)

₁ 0, 1:( 1)

) 1 (

−

=

=

− +

+ ₊

−

∫

^{f t u t d s s N}

sh

h s

s s

s λ τ λ

λ , (12)

которую запишем в виде

( )

, 0

,

1 u =

Q _h λ , λ∈R^nN. (13)

Условие A.При заданном ^N∈Ν

(

h=T N

)

уравнение

( )

^nN

h R

Q_1, λ,0 =0, λ∈ , (14)

имеет решение λ^{( )0} =

(

λ₁^{( )0} ,λ^{( )}₂⁰ ,,λ^{( )}N⁰

)

'∈R^nN и система функций ^{( )[ ]}

(

^{( )}

( )

^, 2^{( )0}

( )

^{, ,}

0 1

0 t u t u t 

u =

( )⁰

( )

^t

)

^'

u_N с координатами ^{( )}

( ) (

^,

)

^{, [( 1) , )}

) 1 (

) 0 (

0 t f d t r h rh

u

t

h r

r

r =

∫

∈ −

−

τ λ

τ , r =1:N, принадлежит

пространству ^C

( [ ]

^{0,T ,h,RnN}

)

^.

Выберем числа ρλ ^>0, ρ_u >0, ρ_x >0 и определим множества

(

λ( )⁰ ,ρλ

)

=

{ (

λ₁,λ₂, ,λ_N

)

'∈R^nN : λ_r −λ^{( )}_r⁰ < ρλ

}

S  ,

(

^u( ) ^{t u}

) {

^{ut C}

( [ ]

^{T h RnN}

)

^{u u( ) u}

}

S ρ = ∈ ⋅ − ⋅ < ρ

2 0

0 [ ], [ ] 0, , , : [] [] ,

( ) ( )

(

^{0 , 0[ ],}

) { ( )

^{, : [0, ], ( )0 ( )0}

( )

^{, [( 1) , ), 1: ;}

1 u t t x t T x u t t r h rh r N

G λ ρ_x = ∈ −λ_r − _r < ρ_x ∈ − =

( ) ^u( )

( )

^{t t T}

}

x _{N x}

Nh

N −t < =

− →lim− ⁰ ,

0

0 ρ

λ ,

( ) ( )

(

^{u t x}

) { ( )

^{( ) ( )N} _{t Nh} ^{u( )N}

( )

^{t x}

}

G λ ρ_λ ρ = λ < ρ_λ λ − <ρ

−

→ 0 0 0

0 1 0

0

2 , [ ], , v,w : v- , w- lim .

Условие B. Функции ^f , g соответственно в G₁

(

λ^{( )0} ,u^{( )0} [t],ρx

)

,

( ) ( )

(

u t x

)

G₂ λ⁰ , ⁰[ ],ρ_λ,ρ имеют равномерно непрерывные частные производные fx′, g_v′, g′w и выполняются неравенства

( )

t,x L(t)

f_x′ ≤ , gv′

(

v,w

)

≤L1, gw′

(

v,w

)

≤L2, где ^L(t)- непрерывная на ^[0,T] функция, L1, L2– постоянные.

При выполнении условия B существует равномерно непрерывная в ^S

(

^{λ( )0 ,ρ}_λ

)

^×

(

u( ) t u

)

S ⁰[ ],ρ

× матрица Якоби

( )

λ λ

∂

∂Q_1,h ,u

. Ввиду специальной структуры системы (11), (12), матрица Якоби имеет блочно-ленточный вид:

( )





















−

= −

∂

∂

−

−

− u I

c I

u c

с u с u

u Q

N N N N

N N N N

N h

) , ( 0

0

0 0

) , (

) , , ( 0 0

) , , ( ,

1 1 1 , 1

1 21

1 1 1

11 ,

1

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ

















,

где

( )

_^









 + +

= ′

∫

− Nh

h N

N N N

N

N u hg f t u t dt

c

) 1 ( 1 v 1

11(λ,λ , ) λ,λ ,λ ( ) ,

( ) ( )

_^









 + ′ +

×











 + +

= ′

∫ ∫

−

−

Nh

h N

N N x Nh

h N

N N N

N N

N u hg f t u t dt I f t u t dt

c

) 1 ( )

1 ( 1 w 1

1 (λ,λ , ) λ,λ ,λ ( ) ,λ ( ) ,

(

, ( )

)

, 1:( 1)

) , (

) 1 ( ,

1 = +

∫

′ + = −

−

+ u I f t u t dt r N

c

rh

h r

r r x r

r r

r λ λ ,

0 – нулевая

(

ⁿ×ⁿ

)

-матрица, ^I – единичная матрица размерности ⁿ.

34

Как следует из [9], матрица Якоби

( )

λ λ

∂

∂Q_1,h ,u

обратима тогда и только тогда, когда обратима ^(n×n)-матрица

( )

( )

( )

+











 + +

= ′

∫

− Nh

h N

N N

N f t u t dt

g h M

1 1

v λ,λ ,λ

( )

( )

( )

( ( ) )

∏

( )

∫

∫

= −

− 









 + ′ +











 + +

+ ′ ¹

1 1

1

w , , ,

N r

rh

h r

r r x Nh

h N

N N

N f t u t dt I f t u t dt

g

h λ λ λ λ .

При этом обратная к

( )

λ λ

∂

∂Q_1,h ,u

матрица имеет вид

( )





















 =



 





∂

∂ ⁻

4 3

2 1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11 1 ,

1 ,

N N

N N

N N N

h

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d u

Q



















λ

λ ,

где блочные ^(n×n)-матрицы dij, i,j=1:n, определяются рекуррентными формулами:

1 11

=M−

d ,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

N j

dt t u t f I dt t u t

f g

hM d

j

N r

rh

h r

r r x Nh

h N

N N N

j , , , , 2:

1 1

1 w 1

1  =









 + ′ +











 + +

= ′

∫ ∏

₌

∫

−

−

− λ λ λ λ ,

( )

( )

( ) ^rj

rh

h r

r r x j

r I f t u t dt d

d 









 + ′ +

=

∫

− +

1 ,

1 ,λ , r=1:(N−1), j=1:N, j≠r+1,

( )

( )

( )

I d dt t u t f I

d _rr

rh

h r

r r x r

r  −









 + ′ +

= ₊

− +

+

∫

^{, 1}

1 1

,

1 ,λ , r=1:(N−1).

За начальное приближение решения задачи (6) – (9) возьмем пару

(

^{λ( )0 ,u( )0[t]}

)

и найдем последовательность

(

^{λ( )k ,u( )k [t]}

)

, k =1,2,, по следующему алгоритму:

Шаг 1. а) Из уравнения Q1,_h

(

λ^,u^{( )0}

)

=⁰ найдем λ^{( )1} =

(

λ^{( )}₁¹ ,λ^{( )}₂¹,,λ^{( )}N¹

)

'∈R^nN; б) компоненты системы функций ^{( )[ ]}

(

^{( )( ),} 2^{( )1( ), , ( )1( )}

)

^'

1 1

1 t u t u t u t

u =  _N найдем по формулам

( )

( )

^{t f}

(

^u

( ) )

^{d t r h rh r N}

u

t

h r

r r

r , , [( 1) , ), 1:

) 1 (

) 0 ( ) 1 (

1 =

∫

+ ∈ − =

−

τ τ λ

τ .

Шаг 2. а) Из уравнения Q1,_h

(

λ^,u^{( )1}

)

=⁰ найдем λ^{( )2} =

(

λ₁^{( )2} ,λ^{( )}₂² ,,λ^{( )}N²

)

'∈R^nN; б) компоненты системы функций ^{( )[ ]}

(

^{( )( ), ( )}2^{2 ( ), , ( )2( )}

)

^'

2 1

2 t u t u t u t

u =  _N найдем по формулам

( )

( )

^{t f}

(

^u

( ) )

^{d t r h rh r N}

u

t

h r

r r

r , , [( 1) , ), 1:

) 1 (

) 1 ( ) 2 (

2 =

∫

+ ∈ − =

−

τ τ λ

τ .

И т.д.

Шаг k.а) Решая уравнение Q1,_h

(

λ^,u^(k−1)

)

=⁰, найдем ^{( )}

(

^{( ) ( ) ( )}N^k

)

^nN

k k

k = λ₁ ,λ₂ , ,λ '∈R

λ  ;

б) компоненты системы функций u^{( )k[}t^]=

(

u1^{( )k (}t^),u2^{( )k (}t^),^,u_N^{( )k (}t⁾

)

^' найдем по формулам

( )

( )

^{t f}

(

^u

( ) )

^{d t r h rh r N}

u

t

h r

k r k r k

r , , [( 1) , ), 1:

) 1 (

) 1 ( )

( + ∈ − =

=

∫

−

− τ τ

λ

τ .

И т.д.

Таким образом, получили последовательность пар

(

^{λ( )k ,u( )k [t]}

)

^{, k =0,1,2,}. Дос- таточные условия осуществимости, сходимости предложенного алгоритма, одновре- менно обеспечивающие существование изолированного решения многоточечной за- дачи с параметрами (6) – (9) устанавливает

Теорема 1. Пусть при некоторых ^N∈Ν

(

^h=^{T N}

)

, ρ_λ >0, ρ_u >0, ρ_x>0 вы- полняются условия A, B, ^(n×n)-матрица ^M обратима для всех

(

λ^,u[t]

)

^∈S

(

λ^{( )0} ,ρλ

)

^×S

(

u^{( )0}[t],ρu

)

и имеют место неравенства:

1) 



























 +

+

∑∏

₌

∫

= −

− 1 1 ( ) ,

max

2 ( 1)

2 1

N

j j

N r

rh

h r

dt t L hL

M

) ( 1

) ( 1

) ( 1

1 )

( 1

max ₁

1 ( 1)

) 2

2 ( 1) (

2 1

) 1 (

) 2 ( :

2 L t dt M hL L t dt L t dt h

N

i j

j

N r

h r

h r N

j j

N r

rh

h r i

N r

h r

h r N

i ≤γ

















 +









 +

+























 +

 +











 +

∑∏ ∫ ∑∏ ∫

∏ ∫

₌⁻ ₌ ⁻

= = − −

−

=

−

= − ,

2)

( )

^{max ( )}

( )

^{max ( ) 1}

) 1 ( : 1 1 )

1 ( :

1 = 1

∫

+

∫

<

= −

= −

rh

h r N r rh

h r N

r L t dt h L t dt

h

q β , где

( ) ( ) ( ) ∫

= −

=

rh

h r N

r L t dt

hL h

h

) 1 ( : 2 1 1

1 γ max ,1 max ( )

β ,

3)

( )

( )

^ρλ

β <

− ⁼ M h

h q

h

N r r 1: 1

1 max

1 , где

( )

^{( )0}

) , ) 1 [(

,

sup _r

rh h r t

r f t

M λ

−

∈

= ,

4)

( )

( )

^{h r NMrh u}

q h

q <ρ

− ₁ ^=1:

1 max

1 , 5) ρ_λ +ρ_u <ρ_x.

Тогда определяемая по алгоритму последовательность пар

(

^{λ( )k ,u( )k [t]}

)

^{, k =0,1,2,,}

принадлежит S

(

λ^{( )0} ,ρλ

)

^×S

(

u^{( )0}[t],ρu

)

сходится к решению

(

^λ*,u*[t]

)

^∈ S

(

λ^{( )0} ,ρλ

)

^×

(

u( ) t u

)

S ⁰[ ],ρ задачи (6) – (9) и справедливы оценки:

a)

( ( ) )

( )

h ^{M h} q

h u q

u _r

N r k k

: 1 1

1 1 2 ) (

* max

] 1 [ ]

[ =

+

≤ −

⋅

−

⋅ ,

b) ^{( )}

( )

2 ) (

* 1

*−λ^k ≤β h u [⋅]−u^k [⋅]

λ .

Причем любое решение задачи (6) – (9) в S

(

λ^{( )0} ,ρλ

)

^×S

(

u^{( )0}[t],ρu

)

изолировано.

Доказательство теоремы проводится по схеме доказательства теоремы 2 из [8, с. 47] c учетом особенностей предложенного алгоритма нахождения решения задачи.

При нахождении параметра на каждом шаге алгоритма мы используем усиление ло- кального варианта теоремы Адамара из [8, с.41].

36 Предложенный алгоритм начинается с нахождения решения системы урав- нений (14). В силу нелинейности эта система уравнений относительно λ^∈RnN может иметь несколько решений. Поэтому и задача (6) – (9) так же может иметь несколько решений в окрестностях соответствующих λ^{( )0 ∈RnN} – решений системы уравнений (14).

Функции ^{x( )k (t)}, k =0,1,, определим равенствами: ^{x( )(t) ( ) u}r^(k)(t) k

r

k =λ + при

) , ) 1 [(r h rh

t∈ − , r=1:N, ^{( )}( ) lim ^{( )}( )

0 )

( u t

T

x _r^k

Nh t k r k

−

+ →

=λ и через S

(

x⁽⁰⁾(t),ρx

)

обозначим множе- ство кусочно-непрерывно дифференцируемых функций ^x:[0,T]→Rn, удовлетворяю- щих неравенствам

( ) ( )

x

x t r h rh r N xT x T

t x t

x( )− ⁰ ( ) <ρ , ∈[( −1) , ), =1: , ( )− ⁰ ( ) <ρ . Ввиду эквивалентности задач (1), (2) и (6) – (9) из теоремы 1 следует

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то последовательность функ- ций ^{x( )k (t)}, k =0,1,, содержится в S

(

x⁽⁰⁾(t),ρx

)

, сходится к решению

(

x t x

)

S t

x^*( )∈ ⁽⁰⁾( ),ρ задачи (1), (2) и справедливы неравенства

( )

( )

( ) (

h

)

M h

h q h t q

x t

x _r

N r k

k

: 1 1 1

1 ) 1

(

* 1 ( ) max

) 1 ( )

( =

+

− +

≤

− β , t∈[0,T].

Причем любое решение задачи (1), (2) в S

(

x⁽⁰⁾(t),ρx

)

изолировано.

В теореме 2 изолированность означает, что существует окрестность решения )

*( t

x задачи (1), (2), в которой нет других решений. Однако известно, что изолиро- ванное в этом смысле решение, вообще говоря, не обладает свойством непрерывной зависимости решений от изменений правой части дифференциального уравнения и граничного условия. В связи с этим рассматривается изолированное в более узком смысле решение задачи (1), (2).

Следующее определение является модификацией определения изолированного решения задачи (1), (2) из [10, с. 792].

Определение. Решение ^x*(t) задачи (1), (2) называется "изолированным", если существует число ρ0 >⁰ при котором функции ^f и ^g соответственно в

( ) [ ]

{

0

}

*

* ,

1 , : 0, , ( )

0 ρ

ρ = t x t∈ T x−x t <

G ,

{ ( )

0

}

* 0

*

* ,

2 v,w : v ( ) , w ( )

0 ρ ρ

ρ = −x t < −x T <

G имеют

равномерно непрерывные производные fx′, g′v, g′w и линейная однородная двухточеч- ная краевая задача

( )

ⁿ

x t x t y t T y R

dt f

dy = ′ , ^*( ) , ∈[0, ], ∈ ,

(

^{(0), ( )}

)

⁽⁰⁾ w

(

^{*(0), *( )}

)

^{( ) 0}

*

*

v + ′ =

′ x x T y g x x T y T

g

имеет только тривиальное решение ^y(t)≡0.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 1 любое решение (1), (2) из

(

x t x

)

S ⁽⁰⁾( ),ρ является "изолированным".