Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
Д.Б. Акпанбетов
Методика расчета обратной связи по скорости электропривода с частотным преобразователем
((Казахский национальный технический университет имени К.И. Сатпаева, г. Алматы, Казахстан )
Формирование требуемых статических и динамических свойств асинхронного частотно-регулируемого электропривода возможно лишь в замкнутой системе регулирования его координат.
Устойчивость и динамические показатели качества регулирования в системе ПЧ-АД в значительной степени зависят от коэффициентов обратной связи по скорости.
Рассмотрены различные варианты использования обратных связей. Однако для увеличения диапазона регулирования по скорости в данную систему регулирования необходимо введение отрицательной обратной связи по скорости. Поэтому в математическом описании переходных процессов электропривода учитывается эта обратная связь. Структурная схема системы ПЧ- АД с отрицательной обратной связью по скорости, в этом случае, будет иметь вид [1]:
Рисунок 1- Структурная схема системы ПЧ-АД с обратной связью по скорости
Динамику электропривода по системе ПЧ-АД, согласно структурной схеме рисунка 1, можно представить дифференциальным уравнением [2]:
TэTмd2∆ω
dt2 +Tмd∆ω
dt + ∆ω = ∆ω0, (1)
где Tэ - эквивалентная электромагнитная постоянная времени цепей статора и ротора АД;
Tм - электромеханическая постоянная времени;
∆ω - угловая скорость вала АД. Для удобства решения поставленной задачи (задачи определения коэффициентов обратной связи) дифференциальное уравнение (1) представим в следующем виде:
( d∆ω dt =y;
dy dt = T1
эTм∆ω0−T1
эy−T1
эTм∆ω (2)
Кроме этого, введем допущения, что преобразователь частоты (ПЧ) и регулятор скорости (РС) описываются уравнениями:
∆ω0 =KПЧ∆uРС; (3)
∆uу=KРС∆uу, (4)
где KПЧ- передаточный коэффициент ПЧ;
KРС - передаточный коэффициент РС.
На основе принятых допущений (3), (4) и уравнения
∆uу= ∆uз.с.−kо.с.∆ω (5)
после несложных преобразований, т.е. подставляя уравнение (5) в уравнение (4), уравнение (4) в уравнение (3), а полученное выражение (3) во второе уравнение системы уравнений (2).
Таким образом уравнение (2) примет вид:
( d∆ω dt =y;
dy dt = TKp
эTм∆uз−KTpko.c.
эTм ∆ω−T1
эy− T1
эTм∆ω (6)
178
Д.Б. Акпанбетов
где Kп.ч.Kp.c. =Kp . Подставив в уравнения (6) значения Kp =KП.Ч.KP.C. = 2·20 = 40, T=0.086с, T1=0.344с и обозначив ∆ω = x1, y = x2 , получим систему дифференциальных уравнений (6) в следующем виде:
dx1
dt =x2
dx2
dt = 1352.08u−(1352.08ko.c.+ 33.8)x1−11.628x2. (7) Согласно теоремы прямого метода Ляпунова А.М. для обеспечения устойчивости системы (7) необходимо выполнение условия [3]
V =−dV
dt, (8)
где V - функция Ляпунова;
dV
dt - полная производная функции Ляпунова.
Таким образом, определение коэффициентов обратной связи далее будет производится из вышеуказанного условия (8).
Заданная функция V будет иметь вид:
V =A11x21+A12x1x2+A22x22. (9) Частные производные функции V
( ∂V
∂x1 = 2A11x1+A12x2
∂V
∂x2 = 2A22x2+A12x1. (10)
Частные производные от функции Ляпунова представим в следующем виде:
dV dt = δV
δx1 ·dx1 dt + δV
δx2 ·dx2
dt . (11)
Подставив (10) и уравнения системы уравнений (7) в (11), а также учитывая что , запишем уравнение (11) в следующем виде:
dV
dt = (2A11x1+A12x2)·x2+ (2A22x2+A12x1)(−(1352.08ko.c.+ 33.8)x1−11.628x2). (12) Уравнение (12) можно записать в следующем виде:
dV
dt = 2A11x1x2+ 2704.16ko.c.A22x1x2−67.6A22x1x2−
−11.628A12x1x2−1352.08ko.c1.A12x21−33.8A12x21+A12x22−23.256A22x22 (13) Подставляя в уравнения (8) уравнения (13) и (9) получим
A11x21+A12x1x2+A22x22+ 2A11x1x2+ 2704.16ko.c.A22x1x2−67.6A22x1x2−
−11.628A12x1x2−1352.08ko.c.A12x21−33.8A12x21+A12x22−23.256A22x22 = 0 (14) Приравнивая нулю коэффициенты уравнения (14) при соответствующих степенях: 1; 2 и
12 , составим систему алгебраических уравнений:
A11−1352.08ko.c.A12−33.08A12= 0;
A12+ 2A11−2704.16ko.c.A22−67.6A22−11.628A12= 0;
A22+A12−23.256A22= 0.
(15)
179
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2012, №4
После несложных преобразований система уравнений (15) примет вид:
A11−(1352.08ko.c.+ 33.08)A12= 0;
2A11−(2704.16ko.c.+ 67.6)A22−10.628A12= 0;
A12−22.256A22= 0.
(16)
Рисунок 2- m-file для определения определения ko.c.1 (а) и значения коэффициентов обратной связи (б)
Из системы уравнений (16) видно, что количество неизвестных (A11, A12, A22ko.c.) больше чем количество уравнений. Поэтому воспользуемся методом Монте-Карло и методом координатного спуска для минимизации функции многих переменных. При этом систему уравнений (16), как функцию многих переменных, представим в виде:
F = [A11−(1352.08ko.c.+ 33.8)A12]2+ [2A11−(2704.16ko.c.+ 67.6)A22−10.628A12]2+
+[A12−22.256A22]2. (17)
Программа решения функции многих переменных (17) составлена на алгоритмах языке MatLab.7. Для решения данного (17) уравнения составим m-file, который показан на рисунке 2,а, результаты решения значений kо.с представлены на рисунке 2,б.
Из полученных 77 случайных значений k. выбраны наиболее часто встречающиеся числа 0,2. . . - 5 раз, 0,4. . . - 8 раз. 0,6. . . - 18 раз, 0,8 - 8 раз, которые сведены в таблицу 1.
Для определения оптимального значения коэффициента обратной связи kо.с из наиболее встречающихся значении примем средние значения и сравним при этом динамические характеристики.
Таким образом, в соответствии с рисунком 3,б, по графикам переходных процессов, при значении коэффициента обратной связи kо.с=0,4544 по времени переходного процесса и перерегулированию является наиболее оптимальным вариантом, тем самым обеспечивает устойчивую работу системы электропривода с частотным преобразователем и улучшает динамические показатели качества регулирования.
Подставив значения k.. в систему уравнений (7), составим программу, которая показана на рисунке 3,а, для определения переходных процессов, по которой получены графики на рисунке 3,б.
180
Д.Б. Акпанбетов
Таблица 1- Значения коэффициентов обратной связи Значения
коэффициентов
обратной связи ko.c.=0,2. . . ko.c.=0,4. . . ko.c.=0,6. . . ko.c.=0,7. . . ko.c.=0,8. . .
Случайные k=0.2897 k=0.4860 k=0.6038 k=0.7919 0.8936
значения k=0.2523 k=0.4057 k=0.6721 k=0.7468 k=0.8801
коэффициентов k=0.2324 k=0.4186 k=0.6822 k=0.7889 k=0.8928 обратной связи k=0.2393 k=0.4289 k=0.6979 k=0.7313 k=0.8903
k=0.2644 k=0.4120 k=0.6449 k=0.8560
k=0.4544 k=0.6213 0.8376
k=0.4574 k=0.6614 k=0.8066
k=0.4893 k=0.6435 k=0.8230
k=0.6288 k=0.6288 k=0.6299 k=0.6124 k=0.6315 k=0.6756 k=0.6458 k=0.6501 k=0.6318 k=0.6991 k=0.6649
Среднее значение 0,2556 0,444 0,6498 0,7647 0,86
Приближенное значение 0,2523 0,4544 0,6501 0,7468 0,8560
а б
Рисунок 3- Программа в m-file (а) и графики переходных процессов при различных коэффициентах обратной связи
ЛИТЕРАТУРА
1. Терехов В.Н., Осипов О.И. Системы управления электроприводов. - М.: Академия, 2006.
- 300 с.
2. Онищенко Г.Б. Электрический привод. - М.: Академия, 2006. - 288 с.
3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - М.:
Профессия, 2004. - 752 с.
Акпанбетов Д.Б.
Жылдамдық бойынша керi байланысты электр қозғағыш пен жиiлiк түрлендiргiштiң есептеу әдiстемесi
Мақалада жиiлiк түрлендiргiштi электр жетегiнiң жылдамдық бойынша керi байланыс коэффициентiн анықтау әдiстемесi құрылды, жылдамдық бойынша керi байланыс коэффициентi жүйенiң орнықты жұмысын қамтамасыз етедi және реттеу сапасының динамикалық көрсеткiштерiн жақсартады.
Akpanbetov D.B.
Methodology of calculation of feed-back on speed electromechanic with a frequency transformer
In article the technique of definition of factor of feedback on speed of the electric drive with the frequency converter where the feedback factor on speed provides steady work of system is developed and improves dynamic indicators of quality of regulation.
Поступила в редакцию 15.05.2012 Рекомендована к печати 30.05.2012
181