Некоммерческое акционерное общество г

(1)

Некоммерческое

акционерное общество

г : '

АЛМАТИНСКИИ УНИВЕРСИТЕТ

ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА 1

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальностей 5В071700 — Теплоэнергетика, 5В071800 — Электроэнергетика,

5В071900- Радиотехника, электроника и телекоммуникации.

Часть 3.

Алматы 2015

(2)

СОСТАВИТЕЛИ: С. Е. Базарбаева, Б.Ж. Толеуова. Математика 1.

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальностей 5В071700 - Теплоэнергетика, 5В071800 - Электроэнергетика, 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Часть 3. - Алматы: АУЭС, 2015. - 25 с.

Представлены методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ № 3 дисциплины «Математика 1» для студентов специальностей 5В071700 - Теплоэнергетика, 5В071800 - Электроэнергетика, 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный материал соответствует разделу «Интегральное исчисление функции одной переменной» курса «Математика 1», предусмотренного учебными планами для студентов указанных специальностей.

Табл.22, библиогр. - 4 назв.

РЕЦЕНЗЕНТ: старший преподаватель кафедры ИС Альмуратова К.Б.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2015 г.

(3)

Введение

В представленной методической разработке даны задания расчетно

графической работы (РГР), или, как принято в терминологии математиков, типового расчета. Задания соответствуют программе раздела «Интегральное исчисление функции одной переменной» дисциплины «Математика 1».

Необходимые теоретические знания приведены в конспекте лекций [6], лекции 3-8, с. 12-35.

Даны основные методические указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности. Приводится решение типового варианта.

Вариант задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется аналогично предыдущим контрольным работам как остаток от деления номера зачетной книжки на число 30.

Расчетно-графическая работа, равно как и контрольная работа, должна быть решена в отдельной тетради. Все объяснения должны быть лаконичными и ясными для понимания.

1 Теоретические вопросы

1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства.

2. Таблица интегралов.

3. Разложение дробно-рациональной функции на простейшие дроби.

Интегрирование дробно-рациональной функции.

4. Интегрирование иррациональной функции.

5. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Частные подстановки и правила их применения.

6. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.

Основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Применение определенного интеграла.

7. Метод замены переменной в неопределенном и определенном интегралах.

8. Метод интегрирования по частям в определенном и неопределенном интегралах.

2 Задания расчетно-графической работы

1. Вынести функцию f (х) из под знака дифференциала.

№ d ( f ( х ) ) № d ( f ( х ) ) № d ( f ( х ) ) 1.1

d 1 1

1.2 d (^2 х + 5 ) 1.3 d ( l n ( 2 - х ) )

^ л/ х 2 - 1 )

1.4 d (c o s (3 x - 1 ) ) 1.5 d ( 2 sin 2 х ) 1.6 d (sin (4 х - 5))

(4)

1.7 d (a rc sin (2 x — 1)) 1.8

d' 2 1 W J

1.9 d (arctg (2 x + 5)) 1.10

d (e

“ s2

x )

^1.11

d' 1 1

1.12 d

(

V x + 35

)

^л/ x2 + 1

J

1.13 d (ln(2 x + 7) ) 1.14 d (2cos(4 x + 1)) 1.15

d (3

“

5 x)

1.16 d (2 sin (x + 6 )) 1.17 d (etg 2 x

)

^1.18 ^d

(

arcsin(x — 2)

)

1.19 d (arctg (3x

+

15)

)

1.20 d

(

arccos(2 x — 1)

)

1.21

d

'

25

^ 3j

x

'0 J

1.22 d

(

arcsin(2 x

+

5)

)

1.23

d (ex 2 + 2)

^1.24 _d

\^ x2 — 16 у 1.25 d (V3x — 5 ) 1.26 d (ln(2 — 3x)) 1.27 d (3sin(4 x + 25))

1.28

d (5sin2 x)

^1.29 ^d (4cos(5x — 2)) 1.30 d (arccos(x + 3))

2. Внести функцию f (x) под знак дифференциала.

№ f (x) № f (x) № f (x)

2.1 5

x3

2.2 sin(3x + 5) 2.3 ^2 x+1

2.4 cos(3 — 2 x) ^2.5 ¹

x ln x

2.6 tg (6 x — 2)

2.7 1

■Jx 2.8 ctg (x + 2) 2.9 2

V3 — x

2.10 (2 x — 1)7 2.11 15 2.12 ^ —2 x+1

(x + 2 )3

2.13 3 sin(5x + 9) 2.14 1 2.15 5 cos(3 + 4 x)

(x + 1)ln( x + 1)

2.16 (2 + 12 x )4 2.17 tg(6 — 2 x) 2.18 1

л/2 x +1

2.19 — ctg(x — 2) 2.20 2 2.21 3

V3 + 2 x (2 x — 1)2

2.22 1 2.23 ^2 x—15 2.24 — sin(2 x — 5)

л/4 — 2 x

2.25 (2 x + 4 ) 9 ^2.26 ¹ ^2.27 ^{7 cos(5x —}¹⁾

(2 x — 1)ln(2 x — 1)

2.28 35—x ^2.29 ¹ ^{§ 7}^{7 i w} ^2.30 ctg (5 x + 2)

(5)

3. Найти неопределенный интеграл.

№ Задание № Задание № Задание

3.1 J 2 x • 5 x dx 3.2 J 3 x (5 - 7 - x )dx 3.3 <1 i * + L/i 'Г 3.4 J e-x (2x - 3 • ex+3 )dx 3.5 J 5-x (4 - 3x+' d 3.6 J (4 • ex • 5x - ^ 2x )dx 3.7 J 3-x (7 + 2 x+1 )dx 3.8 J(ex + •e2 x )2 dx 3.9 J(ex - 2 • e - x )dx 3.10 Jex •J'Tdx 3.11 J 5 * • 31-xdx 3.12 J ^ x • ex+1 dx 3.13 j(5x - 5-x Jd x 3.14 J3-x (4 - 5x+2 )dx 3.15 J(5x+1 + 5-x J dx 3.16 _f2x + 3x .

1---— dx J ^x+1

3.17 -x x+3

J . dx

J 2x+1

3.18 Г x -x Л2 J 32 - 3 2 dx

V )

3.19 J 4x (7+ 2-x )dx 3.20 J e x

(1

- 5 • e 3"x ) d x ^3.21 J 2 - x (3- 5 x+2 )d x 3.22 f ^ 2 x( — - 3x+1 V

J 12x )

3.23 J1 (ex + 2 • e “x )dx 3.24 J (ex - 2)2 dx 3.25 J (e - x - e x )3 dx 3.26 J(ex + 2-x )2 dx 3.27 J 3x (7 + 2 - x )dx 3.28 n-x . ^x+3

J , dx

J ^x+1

3.29 J (ex + •e2 x) dx 3.30

J — (ex+1 + 2 • e“x )dx J ex

4.1 С dx 4.2 C 7dx 4.3 5 dx

3л/9 - x2 Ч x2 + 9 4 x2 - 9

4.4 С dx 4.5 С dx 4.6 dx

V 3x - x 2 ■W 5 + x2 V x 2 + 7

4.7 С dx 4.8 С dx 4.9 г dx

J 3x2 +1 J 3x2 - 1 J 1 - 3x2

4.10 С dx 4.11 (■ dx 4.12 r dx

J 4 - 5 x 2 W x2 - 9 W 16 - x2

4.13 (■ dx 4.14 С dx 4.15 <• dx

Kl x2-3 W x2 +16 л/1 - 9 x 2

4.16 С dx 4.17 С dx 4.18 <• dx

W 3x2 - 27 W 2 x2 + 8

4.19 С dx 4.20 С dx 4.21 dx

W 4 + x2 Ч 1 + 9 x 2 W x2 + 5

4.22 С dx 4.23

d x2 - 3 . 4.24 r^l x + 3 ,

4 x 2 - 5 J _ dx

J x2 - 3 | — ^---dx

J 2 x + 6

(6)

4.25 f x 2+Vx2 — 4

I 0 dx

J x 2 — 4

4.26 f л/x + 9 — x ,

I 0 dx

J x 2 + 9

4.27

j(x 2 — 5) 2 dx 4.28

j(x 2 + 5) 2 dx

4.29

j(3 — x 2) 2 dx

4.30 | (x 2 + 25) 2 dx

Найти неопределенный интеграл.

5.1

9 + х2 dx 5.2 ⁴

-а 2 ^ . 2

3 — л 5 + л d x 5.3 ^dx

1 — 7 x 2

5.4 ^dx

3 x 2 + 2

5.5 ^dx

2 x 2 — 3

5.6 ^dx

3 + 7 x 2

5.7

2 x 2 — 1

-dx 5.8 dx 5.9 ^dx

5 — 3x² ^{3 x 2 — 2}

5.10

x

2

x + 2 jdx 5.11

x2 x2 — 2 dx 5.12

x 2 — 3 x 2 + 3 dx

5.13 ^dx 5.14

4 x 2 +1 x 2 — 5 x 2 + 3 dx 5.15 dx

4 x2 — 1 5.16

4 — x2 1 + x2 dx 5.17 7 4

■ + ■

9 — x2 25 + x2 Idx 5.18 dx

4 x2 + 25

5.19 dx 5.20

16 — 27 x 2

I

25 x z — 1²² ^-dx ^5.21 63 + 7 x2^dx

5.22 dx 5.23 5

25x2 — 36 ^{x 2 + 36} dx 5.24 6dx

36x2 — 25

5.25 1 2

x 2 x 2 + 4 ^dx

5.26 2 4

A 9 + x 2 + 4 — x 2 \dx 5.27 dx 49x 2 +16

5.28 dx 5.29

4 x2 — 1

I

_{64 x 2}^dx₊₁ ^5.30 81 — x⁷ dx

6. Найти неопределенный интеграл, используя таблицу интегралов и свойство о линейном аргументе подынтегральной функции.

6.1 | (cos 2 x —3 sin x)dx 6.2 C dx 6.3 С dx

J cos 3x20 J 1 — sin2 5x

6.4 | tg 2 2 xdx 6.5 ( x ^

J e5x —3e + 4e2 dx

V J

6.6 J(e 4 x —2e "3x )2 dx 6.7 | sin (2 x + 3)dx 6.8 ^)3x tx

J

² ^dx

J

^32x

6.9

I (e x + 5)2 dx J e x

5

7

2

5 7

1

3 2

3

(7)

6.10 J ( ^ e - х )d x 6.11 p dx 6.12 С dx

J 4 7 * W 6e5 x-1

6.13 [(cos x + sin x )2 dx 6.14 J(cos x - sin x)2 dx 6.15 J (cos 3x + sin 3x)2 dx 6.16 J (cos 2x - sin 2x)2 dx 6.17 r dx 6.18 p dx

J

_{sin 5 x}^• ^{2 с} J cos2(x/3) 6.19 J cos(l - 5x )dx 6.20 J sin2 xdx 6.21 J cos2 xdx 6.22 J

^

^{cos X}

-

^sin^X

j

^dx ^6.23 ^{J sin2}^xdx ^6.24

J J

^{^2x}^2x^o-x ^dx

6.25 c2 x-1 r2-2 x

[ 5 - 5 dx 6.26 *

l i

*

5 :

6.27

r

^e

x+ 1 . 1-x +

^e ^{^}

J 4

^x

J e 2x

^{^}

1

^dx

e

x

6.28 J

^

^cosX

-

^{5 sin}^X

j

^dx ^6.29 ^{J cos x}

(

l - 25 cos x

)

^dx ^6.30

j 3

^{tgx - 4}^dx

5 sin 2 x 7. Найти неопределенный интеграл.

7.1 dx

J x - 5

7.2

J J

^{(x + 3)}^{x 2}

^{d x}

^7.3 J 3x +1^p ^dx 7.4 С dx

J 5 - 7 x

7.5 С dx 4 x + 9

7.6 dx

^2 - x 7.7 J (x - a) dx 7.8 J 3 (x + 3)4 dx 7.9 p dx

3 (x + 2)4

7.10 dx 7.11 J 3 (x + 2 )5 dx 7.12

Г 1 7 dx

J (x + l)-V 2x + 2 4 ( x - 2)5 dx

7.13

С j dx

7.14

4 - 2 ) 7 *

7.15

J V

^{(x + a}^{) 5 d x}

7.16 f x dx 7.17

J x dx 7.18

J 1 - 2 x dx

J (x - 3)5 J V x + 2

J

^{v x r}¹^{d x}

7.19 p x 7.20

f x dx 7.21

[ x dx J (x - 2)3 dx 4 x + 2 ^J(x - 3)5 dx 7.22 dx

J x - 5

7.23

J J

^{(x - 3)2}² ^dx

7.24 dx

J 3x +1

7.25 p dx 7.26 J 3 (x + 2 )5 dx 7.27

f 1 1 i-

J (x + 25)-Vx + 25 4(x-21)5

7.28 p dx 7.29 J 3 (x + 25) dx 7.30 p 3dx

J (25x + 1)-V25x +1 J (x - 5)3

(8)

8. Найти неопределенный интеграл методом подведения под знак дифференциала._______________ __________________ ______ _________________

8.1 Jex • xdx 8.2

J e ~ x • xdx 8.3 J e5x • xdx 8.4

J е • xdx

8.5 Jex +3 • xdx 8.6 J e1-3x • xdx 8.7 J x •>/ x2 + 1dx 8.8

J x •3 (x2 + з) dx 8.9 С xdx Ч x2 + 9

8.10 j* xdx 8.11 С e xdx 8.12 Jex -xl3ex - 7dx

J x2 +10 J e x + 5

8.13 С exdx 4 e 2 x - 5

8.14 f exdx

J ^e2 x + 10 8.15

J 11,2 x dx J x

8.16 С dx 8.17 j* dx 8.18

J

^{t g x d x}

J x • ln x^{, 3} J x • ln x

8.19 J ctgxdx 8.20

J

^cos^x • V sin x d x 8.21 _Je ~ x • x 2 dx

8.22 f e xdx 8.23 С dx 8.24

J x • V(x 2 + з)5 dx

J e 2 x - 4

x • (ln2 x + 1)

8.25 f ^ ln x , 8.26

J

⁴cosx sin x d x 8.27

f COsx dx i ^dx

J x J 2 + 3sin x

8.28 f x 2 dx 8.29

г 6 x dx 8.30

f

^{e x} ^Lt^x

I — H

J 1 ^-x³ ¹ dx

J 1- 6x

J

^/ ^{\ 2} ^{d x}

(e x ^- ¹)

9. Найти неопределенный интеграл (интегрирование квадратного трехчлена).

9.1 C dx 9.2 С dx 9.3 С dx

x + 8x + 5 J x2 - x + 1 W x2 - 6 x +10

9.4 j dx 9.5 j dx 9.6 С dx

л/ x + 6 x + 11 л/ x + 3x +1 J V1 + 2x - x 2

9.7 j dx 9.8 С xdx 9.9 C (x - 1)dx

V 2 - 2 x - x x + 2 x + 5 x - 2 x + 5

9.10 f 1 - x dx 9.11 С dx 9.12 С dx

J x - x + 12 ^ , dx J x + x + 2 J x + (x + 1)2

9.13 J 3x + 1 dx 9.14 г x 2 + 7 9.15 С dx

J (x - 2)2 +(x +1) ---dx

J x 2 + 4 J x + x 2 + 3

(9)

9.16 f x +1 ^9.17 ^C ^dx ^9.18 ^C ^dx

J x+ (x2+ э) J x 3 +1 J x 3 — 8

9.19 f Х dx 9.20

f x dx 9.21

f 3x + 5 dx

1 ry dX

x + 6 x — 1 1 _ dx

x — 4 x +1 J r-y---dx V x + 6 x — 5

9.22 f 1 — 2 x dx 9.23 С dx 9.24 С dx

1 0 dx

x2 — 6 x +10 J V 3 + 2 x — x 2 J 2x 2 — 3x +1

9.25 С dx 9.26 С (2 x — 3)dx 9.27 С dx

J 5x — x — 6 J 4 + 3x — x2 W x2 — 4 x + 5

9.28 С dx 9.29 f 2 x + 1 dx 9.30 j* dx

x + x — 3 1 0 dx

x + x — 3 x + 8 x + 7

10. Найти неопределенный интеграл с помощью формулы интегрирования по частям. __________________ ______ _________________

10.1 Jx • e2xdx ^10.2 J (x — 1) - e ~ xdx 10.3 x J (2 x + 5) • e3dx 10.4 J x 2 • e xdx 10.5 J x • 3 x dx ^10.6 J x • ln xdx

10.7 J x • ln5 xdx ^10.8 JVx • ln xdx 10.9 J(ln x — 2 ln 2 x )dx 10.10 rln x ,

J~~r dx 10.11 J x • arctgxdx ^10.12 J x • cos xdx 10.13 J x • sin xdx 10.14 Jx • c o s 3xdx 10.15

1" x • sin x dx

J 2

10.16

J x • cos x dx

J 3

10.17 J x • sin 5 xdx 10.18 J x 2 • e ~ xd x 10.19 J x • 5 x dx ^10.20 J— dx

2 x

10.21 J x 24 exdx 10.22 J x • e —3 xd x 10.23

J x • sin x dx

J 3

10.24 x

J x • e 2dx 10.25 J 3Jx ln xdx 10.26 J (x + 5)3 x dx 10.27

f dx J vx 10.28 J x • sin 3xdx 10.29 J J — dx7x 10.30 J x j ^ d x

11. Найти неопределенный интеграл, выделив целую часть неправильной дробно-рациональной функции.______________________________

11.1 г 3x 2 +1 f

1 ---dx J x 2 + 25

11.2 г x — 3 + 2 x + 6 . 1--- ;---dx J x2 — 9

11.3

J 2 dx J x + 9

(10)

11.4

f 2 dx J x 2 + 9

11.5

f Xl + 1 d f x 2 + 5

11.6 p 2 x 2 - 2 , 1 —:---dx f x 2 - 1 6 11.7 f X 2 + 1 dx 11.8 f x 2 + 2 dx 11.9 (• x + 2 x + 4 ,

1 , dx

f x2 - 25 ¹ dx

f x 2 -1 ¹ dx

f x + 2x -1 11.10 f x 2 + 2 dx 11.11

f 3x2 + 1 ck 11.12 r x 2 + x - 2

1 cx

f x2 -1 ¹ dx

x + 6 x + 25 ¹ » dx

f x - 8x + 20 11.13

f x + 2 dx 11.14

f x 2 + 7 dx f x 2 + 4

11.15

f x 4 dx

f x 2 - 6 x +10 _fx2 + 9

11.16 f 1 0 x 2 + 2 x dxdx 11.17 f x 2 + 1 dx 11.18 f x +2 dx

f x - 8x + 25 1 dx

J x + 4 x + 5 1 dx

f x - 4x +13 11.19

f x 3 dx

11.20

f x4 dx 11.21

f x 3 *

f x 2 - 1 f x2 + 1 i 0 c x

f x 3 + 8 11.22 с x + 3 7

—z---d x f x 2 + 9

11.23 f 3x + 2 x +1 j 1 ---:--- dx f x 2 + 25

11.24 c x — 4 x + 2 7 1---^---dx f x2-1 11.25 _г x + 2

1 —z---dx x + 6 x — 1

11.26 _{(• x +}2 x +16 --- z---dx f x 2 - 9

11.27 (• x + x + 1 1---- ^---dx f x 2 + 5 11.28

f 3x2 + 1 dx 11.29 _fx 3 + 2 x ,

—z---d x f x2 + 49

11.30 _fx 2 - 3 + 2 x dx

1 dx

x — 2 x + 26 ¹ cx

f x 2 - 9

12. Найти неопределенный интеграл от правильной дробно- рациональной функции.

12.1 С dx 12.2

f (x + 1) dx 12.3

f (x - 1 ) Cx

f (x - 2)2 (x + 3) f (x - 3)2 (x + 4) x f (x + 2)²(x - 3) x 12.4 f (x + 1) dx 12.5 f x - 7 dx 12.6 С (x - 14)dx

f x2 (x + 3) f (x + 5)(x - 4)3 x f (x + 2)2 (x + 3) 12.7 f (2 x + 1) dx 12.8 f (2 x -1 ) d x 12.9

f (2 x + n ) dx f (x + 3)2 (x + 4) ^ f (x + 2)2 (2 x - 3) f x2 (x + 3)

12.10 С (x - 1)dx 12.11 f dx 12.12 ^c ^dx

f (x - 2)3 (x + 3) f x2 (x + 2) x • (x +1)2 12.13 f 3x + 1 d x 12.14 f x2 + 7 x 12.15 P dx

(x - 2 )2 • (x + 1) f (x 2 + 4)(x -1) Cx f x • (x2 + 3) 12.16

f x ²+ 1 dy 12.17 ^С dx 12.18 ^P dx

f x ^{- (}x 2 ⁺3⁾dx ^{f x 3 +} 1 f ^x3 - 8

12.19

f 4

,

^dx

J x ^- 1

12.20

Г x dx

f ( x3 + 1 ) ( x + 1 )

12.21

f (4x + 1) dx f x 2 (x + 3)

(11)

12.22 f 2 х - 7 c/x 12.23

f (х+12) dx 12.24 [■ (2 х + 1)dx J (х - 5 Xх - 4)3 J (x - 3)3 (х + 4) ^ J (x - 2)3 (х + 3) 12.25 Г (3х -1) dx 12.26

f (х +1) dx 12.27

f 3х - 7 dx J (x + 2)3 (х - 3) J х(х + 3)2 х J (x + 5)2 (х - 4) ^ 12.28

f (5Х + 1 dx 12.29

f (2 х -1) dx 12.30 f (х - 1 ) dx J х3 (х + 3) d J(x - 3)(х + 4)2 х J (x + 2)(х - 3)2 х 13. Найти неопределенный интеграл от правильной дробно- рациональной функции.______________ ____________________________________

№ Задание № Задание

13.1 Г 3х + 13 13.2 г 5 x + 3

J (x — l)(x2 + 2x + 5) J (x + 2)(x2 + 2x + 4) 13.3 Г 12 - 6 x ^

J (x + l)(x2 - 4x + 13) 13.4 г 2 x + 2 x + 20 , J (x - 1)(x2 + 2x +10) 13.5 Г ---6---dx

J (x + l)(x + 6x + 13) 13.6 1* x + 3x + 20 ^ J (x — 1)(x2 + x +1)

13.7 г 36 13.8 Г 3x + 13 d x

J (x + 2 )(x 2 — 2 x + 10) J (x + 3)(x2 + 6x + 13) 13.9 J (x — 2)(x2 + 4 x + 13) 13.10. (• 4 x + 2 x + 17 ,

J (x - 1)(x2 + 2x + 5) 13.11 f 3x + 13

J (x — 1)(x2 + 2x + 5) 13.12 r x + 2 x + 40 J (x + 2)(x2 - 2x +10) x 13.13 с 4 x — x —12 1 13.14 Г x 2 - 13x + 40 ^

J (x - 1)(x2 + 2x +10) x J (x + 1)(x2 - 4x +13) *

13.15 f 30 13.16 Г 7 x + 3

J (x + 2)(x2 + 6x + 25) J (x — 4)(x2 + 8x + 20)

13.17 r 3 6

J (x + 1)(x2 —12x + 4 0) 13.18 p 2 x + 2 x + 20 j J (x - 1)(x2 + 6x + 13) 13.19 г 2 x + 7 x + 7 ,

J (x + 1)(x2 + 2x + 5)

13.20 f (6 x - 3) dx

J (x - 2)(x2 + ^{1 0}) 13.21 r 5 x + 10

J (x + 3)(x2 + 2x + 10) 13.22 С 4 x2 + 38 J (x + 2)(x2 - 2x +10)

13.23 Г 8 ^{d x} 13.24 Г 18 dx

J (x + 1)(x2 + 6 x + 13) J (x — 3)(x2 — 6x + 25) x 13.25 (• 4 x + 7 x + 5 j

J (x — 1)(x2 + 2x + 5)

13.26 f x + 15

J (x + 5 )(x 2 + 2 x + 5 )

13.27 Г 13x + 3 13.28 f 72 x

J (x — 1)(x2 + 12x + 40) J (x + 2)(x2 — 4x + 2 0 ) 13.29 (• 2 x + 2 x + 20 ^

J (x + 1)(x2 + 4x + 5)

13.30 r 3 x + 13

J (x — 5 )(x 2 + 12^x+ 4 0 ) 14. Найти неопределенный интеграл.

(12)

№ Задание № Задание № Задание 14.1 (•1 — 5 x ,

J 4

_x ^dx ^14.2 ^{rVx —} 3x • Vx + x5 ,

1 - dx

x

14.3 A f i — 2 ^ f d x x

14.4 J x •3a • xdx 14.5 j- 3 x + 2 4 V 7 ^ J

dx 14.6

( 1 1 Y J a3 — x 3 dx

V /

14.7

J

^{5x3 ----}^dx

ч J

14.8 r| x f 2 a \

J l v x + x4 —x ,dx 14.9 j(V 7 — 2x 2 + 3x 4 dx

J x

14.10

—w )d x

14.11

f ( yfx + -^= | dx

J V J

14.12 l( II x • sin a- ---- — ^ Vdx

V x J

14.13

J [ j a —,4x) dx

14.14 f x3 — 3л/Х 1----j=— dx

Vx

14.15 г x — 2 x — Vx , i---^---dx J x

14.16 J x 2 • 4 b • xdx 14.17

— x J dx

J x

14.18

J *x —r dx x • v x 14.19

f (2x ++ a ^ dx x

14.20

J |x л/x dx

14.21

f( b' x+ x J , J vx dx 14.22

^ — 1 dx x

14.23 j(2x + b)3 dx

x 14.24 ex3 — 24~x + x34x ,

!---dx x

14.25

J <2 x + 5)3 dx J x

14.26

( x + 1 )2

J 1 V2 ) dx

14.27

f(2 — a~ P 1 dx J x

14.28

J i V i l dx J x

14.29 r x4 —2jx + x , 1---;---dx J x

14.30

f l 2 ^ ^ I )l dx J x

15.1 5 • cosx - 7

sin x• 2 dx 15.2

3 • sin x + - 2 cos2 x dx 15.3 sin x - 3 • sin x■ 2 , • 5 15.4 г 5 • s i n 2 x — 5 • t g x ,

J ---;--- d x

sin x s i n x • c o s x

sin x dx 15.5 cos 2x — 5 • cos3 x

cos 2 x2 dx 15.6

J

1 + 5 • co s x c o s 2 2 x d x 15.7 r1 — 3sin3 x ,

J :---dx 15.8

sin2 x

J

2 + cos x

cos2 x dx 15.9 5 • sin x — 4

cos2 x Jdx 15.10 r sin 2 x 7

J — —

_{cos x}^{d x}

(13)

15.11 ^гs i n 2 x 7

| ---— dx

J s in x

15.12 ^сcos2x 7

J 2 d x

cos x 15.13 ^сcos 2x 7

J , 2 dx sin x

15.14

J

⁽³^•^cos^{x —}⁴^•^{sin x)dx}

15.15 С cos x ² + 5 ^{^}• cos x ^ 15.16 2о 2 f cos 2x — cos x ^

I dx

cos x J^I sin ^{. 4}x ^{d x}

15.17 rco s22x - cos2 x ,

I . 4 dx

J sin x

15.18 <•(sinx 7 ^ 7

II 2 + 2 d x

V 2 cos x у

15.19

f C lg dx sinx • cosx

15.20

f lgx dx sin 2 x 15.21

f Clgx dx sin 2 x

15.22 _rcos22x ^—cos2x 7

I . 4 d x

J sin x

15.23 J clg 2 xdx 15.24 г 5 sin 2x 7

I --- -— dx J cos x

15.25 _{| (i +}_{i g}₂x jdx 15.26 rcos 2 x ^-cos²x 7

I . 4 dx

J sin x

15.27

c I---

^{cos x}²

+

⁵

^ •

^{cos x 7}^ax ^15.28 ^r

I---

^cos ^x

+

⁵

•

^cos^x^dx

7

cos x ^J ^{cos x}

15.29

r

^{cos 2x}

-

^cos

2

^x ^.

I .4

^{d x}

J sin x

15.30

r I----—

^{5 sin 2x}^dx

7

cos3 x

16. Найти неопределенный интеграл с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

16.1 r dx 16.2 r dx

I 5 + 2 sin x + 3 cos x I 5 — 4 sin x + 2 cos x

16.3 r dx 16.4 r 3sin x — 2 cos x 7

I 5 + 3 sin x — 5 cos x 1 dx

J 1 + cos x

16.5 r dx 16.6 r dx

I 3 + 2 sin x — cos x I 10sin x + 5 cos x

16.7 r dx 16.8 г dx

I 5 — 3cos x I 8 — 4 sin x + 7 cos x

16.9 j* dx 16.10 dx

I 3 + 5 c o s x I 3 + 2 sin x + 3cos x

16.11 r dx 16.12 r dx

I 5 + 4 sin x I 3sin x — 4 cos x

16.13 r dx 16.14 r dx

I 7 + 3 sin x I 8 + 4 cos x

16.15 r dx 16.16 r dx

I 2 + 4 sin x + 3cos x I 7 sin x — 3 cos x

(14)

16.17 г dx 16.18 г dx

J 3 - 4 sin x J 5 + sin x + 3 cos x

16.19 r dx 16.20 r 7 + 6 sin x — 5 cos x 1

J 5 + 4 sin x + 3cos x 1

J 1 + cos x

16.21 r dx 16.22 r 6 sin x + cos x 7

J 3 + sin x + cos x 1

J 1 + cos x

16.23 г dx 16.24 r dx

J 5 - 4 sin x + 3 cos x J 5 + 3 cos x

16.25 г dx 16.26 г dx

J 4 cos x + 3 sin x J 4 — 4 sin x + 3cos x

16.27 г dx 16.28. dx

J 7 — 3 sin x + cos x J 3 + 5 sin x + 3cos x

16.29 r dx 16.30 r dx

J 3 sin x — cos x J 2 + sin x — 3 cos x

17. Вычислить определенный интеграл.

17.1 2 J x 4 dx

—1

17.2

J

^(>/^{x —}^{l )}^{2 dx}

0

17.3 ¹⁰

J

^{3 x}^{— 2 d x}

3

17.4 8 dx J зГТ

1 V x

17.5 ⁿ

2

J

^{sin 2}^{xd x}

n 4

17.6 0 dx

J

_n_{cos 2}²^о_x

8 17.7 r x ^{+ 2 j}

1---dx

Q x + 1

17.8 ¹

J

^e^{“ 2}

^x

⁺¹^{d x}

0.5

17.9 e ln x r 1---d x

•J x 17.10 ⁿ

4

J

x sin x 2 d x

0

17.11 1 dx _1x + 2 x + 5

17.12

—

^r¹^dx

-2

x 2

17.13

1 dx 17.14 ⁰

J

^cos²^tdt

n 4

17.15 ⁿ

2

^dx

0

J (x + r)

²

J

^f

0

^cos

2

^—

V 2 J 17.16

J sin x'1 — cos x '1 d x 0 - v2 J V2/_

17.17 ^—^0.5 ² ^л

J x —1

^{d x}

— 1

17.18 0 d x _^{1 3}x ⁺2 17.19 ⁰

J sin2 tdt

n 4

17.20 ⁷

J

^{V x}^{+ 1dx}

0

17.21 1 2 dx 0

(

^{x —}

1)

³

(15)

17.22 _- dx 17.23

f x ^{2 +} ¹d x

17.24 ¹⁶ J ^{V x 5}dx - sin2 0

2 ' x ¹

v 2 ^,

J 4 d x

1 x 2 17.25 ^{2 —} ^j

J

^— ⁹

— cos x ( x ¹

v 4^у

17.26 ^—

J t g ^ d x

0 2

17.27 ₁ dx

0J5 (2 x ^{+ 1}⁾³

17.28 ₁ dx

0.25 (4^x+ l)²

17.29 2 dx J x 2 + 4 x + 5

17.30

J x 2 : 1 dx 1 x

3

18. Вычислить определенный интеграл, используя замену подынтегральной переменной.

18.1 2

J

x 3 • e x d x 0

18.2 0.5

J

^{x 3 •}^{e ~x d x}

0

18.3 42 2

J

x 3 • e ~x dx 1

18.4 ₃ dx

J 1W 2 x — 1

18.5 e dx

J x •(ln2 x + 1)

18.6 -

2 dx J 3 + 2 c o sx

18.7 6 dx

^ x + ■%/3x — 2

18.8 ⁹

J

^e~24xdx

4 18.9 ²

JV 4 — x2 dx 0

18.10 >/2/2 I J2l£_—Idx 1 x 18.11 ln 3

2 d x

J x . —x 1П1 e + e

18.12 p xdx _j •%/ 5 + 4 x 18.13 2 dx

J x • ln3 xe

18.14 ³

Jyj 9 — x2 dx

0

18.15

J

^{e ^ dx}

0 V x

18.16 ^{l n}2 2

J

e ~ ^ x d x

1

18.17 ^— 2 ^{d x} J 4 + 3cosx

18.18 ⁴

J

^yfx • e _4x dx 0

18.19 ¹

J x3 • ex dx 0

18.20 x d x

J x 4 + 2 x 2 + 2 5

(16)

18.21 ⁱ

1 7 1 7 т 1 7 2

18.22 _e* dx

J /i 3

e x • V l n x

18.23 ¹ dx 18.24 ^ln2_p dx^j

1 x • V x2 + 1

43 J ex+ 2e"x

18.25 ¹

J V1 - x2 dx

0

18.26 ^d2 1

p x d x

J x 4 + 1 2 x 2 + 22 5

18.27 ¹ dx 18.28 er dx

1x •л/ x2 + 4

43

J

e x • V In x^/i ⁵

18.29 er dx

J

e x • V In x^/i ⁵

18.30 1

1 x J T2 dx

1x 2

19. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям ^ и заменой подынтегральной переменной.

19.1 ³

J x ln( x - 1)dx 2

19.2 ⁰

J

^{x 2}^{e ~x}²^dx

-2

19.3 ^я^{/ 2}

J

^{x c o s}^xdx

0

19.4 ^Я

J x 2 sin xdx

0

19.5 ¹²

J arccos 2 xdx

-12

19.6 ²

J ⁽x ^{- 1 ) 1n(}x)dx

i

19.7 ⁰

J

^xe^~2^xdx

-1/2

19.8 ^Я

J

x s in x c o s xdx

- Я

19.9 ^-13

J x 2 e _3 Xdx

-2/3

19.10 ^{e 1 2}

f 2 x dx J1 x

19.11 e²

J Vx 1n(x)dx i

19.12 1

J arctg^ fxdx

0

19.13 ^Я ^{^}

J (x + 2) cos —dx

0 2

19.14 Я 8

J x2 sin 4 xdx

0

19.15 3

J x21n(x)dx 1

19.16 f h r ( x+1) dx f (x- +1)2

19.17 2

J ^{a rc tg}(2^x- ^3)dx 3/2

19.18 ^я/ 2

J (x + ^{3) sin xdx} 0

19.19 e

J x ¹ⁿ2⁽x⁾dx i

19.20 0

J (x - 2)e -x 3 dx

-3

19.21 Я9 xdx

J ^cos2 ³x 19.22 l

J ^arcsin(1- ^x)dx 12

19.23 ^V3 j

J a rc tg — dx

i x

19.24 0

J

^{x 1n(1 -}^x⁾^dx

-1

19.25 ₂₎dx

o V2 - x

19.26 2

J

1n(3x + 2 )d x i

19.27 4

J

^xЗл/ ^x2 + ^9dx 0

(17)

19.28 0

j (x + 1)e ^{~ 2} xdx

-1

19.29 т^/4 j xtg2 ^{x d x} 0

19.30 1

j xarctg xd x

0

20. Вычислить несобственный интеграл (или доказать его расходимость).

20.1 ^+даС dxⁱ 20.2 ^+pС dx^j 20.3 ^+p_p dx ⁷

J x ln x J 9 x2 ⁺1 J0 ^V3x2 ⁺5

20.4 ^+P dx^у 20.5 +r e “^ d x 20.6 +p ⁷

p dx

W 4 - 9 x2 J л/x J ^ ³x-¹

1 2

20.7 +p p ^{d x}i 20.8 С dx 20.9 +P J₁* ^dx

J (x + 2)(2x + 1) W x2 + 25 J0 x2 + 9

20.10 +P ⁷

г dx 20.11 +p p dxi 20.12 +P ⁷

dx J (x + 1)ln( x +1) J (x - 1)(2x + 4)

W 16 - x2

20.13 +p ⁷ p dx J ^{o 4}x-¹

1 3

20.14 +p p dx 1 J (x - 1X2 x + 6)

20.15 +r e dx

1 •s/ x + 1 20.16 +a> j

p dx 20.17 p dx 20.18 +P 7

(• dx

J л/25 - 9x2 J 9x2 +16 W16 x2 +1

20.19 +r e ~42x dx 20.20 +p 7

p dx 20.21 +p 7

p dx

1 V2x J x ln 2 x J ^ ⁴x+¹

1 5

20.22 +p С ^dxj 20.23 +P p ^dx_7 20.24 +P 7

p dx J (x + ¹)(³x + ⁷) ^{J (5x}+ 2)(x + 3)

I b x 2 +15

20.25 +p 7С ^dx 20.26 +p 7

p dx 20.27 +p e - v 3 x+1 dx

J0 4 x +1

J V64 ^-49x2 ¹ ^{V 3 x + 1} 20.28 ⁺^<p ^X^> dx^/ 20.29 _Y 3dx 20.30 ^+pp dx⁷

J ^{^}³^x^{+ 11}

1 6 J (2x + 1)ln(2x + 1) W 4 x 2 + 5

21. Вычислить несобственный интеграл (или доказать расходимость).

21.1 p dx 21.2 64 jp dx 21.3 2 dx

J 4 x2 - 1 ₀ Vx J 4x2 • Vx

21.4 ₁ dx 21.5 p dx 21.6 1 dx

J xsvx J x ln x J (x + 1)(3x + 7)

21.7 ₅ dx 21.8 2 dx 21.9 p dx

W 2 5 - x2 J 4x2 - 16 0 vx

(18)

21.10 e dx 21.11 ₃ dx 21.12 2 d x f (x - 1)(2 x + 1)

i xV ln x f x 24 x

21.13 3 dx 21.14 ₁₃ dx 21.15 ₁dx

] x 2Ux f л/225 - x 2 ⁰ 5Jx

21.16 4 d x 21.17 e dx 21.18 2 dx

!(x - 2)(5x + 7) f x l n 2 x 0 x2 -1

21.19 3 dx 21.20 8 dx 21.21 p dx

0 V(x - 3)7 f x 24 x ₀ л/1 - x 2

21.22 i dx 21.23 3 dx 21.24 0 d x

о 3Jx f x 4x f2(x + 1)(3x + 7)

21.25 21.26 e ln -2 xdx 21.27 ₃ dx

{ 4x2 - 32 f x ₀ л/25 - 9x 2

21.28 ₅ dx 21.29 27 xdx 21.30 ₃ dx

f (x - 4)(x + 1) ₀ v x j V x - 3

22. Вычислить площадь фигуры D, ограниченной данными линиями.

№ Уравнения

границ области D

границ области D 22.1 y = x 2, y = 4 22.2 y = d x, y = 0,

y = 1, y = 4

22.3 x2 „ 5

y = —, y = 2^x+ —

2 2

22.4 y2 = 16 x, y = x 22.5 y²= x, y = x² 22.6 y = x2, y = 1 - x 2 22.7 y = x2 - 5, y = x - 3 22.8 y = cos2 x,

y = 0, x = 0

22.9 _{4; I}Î Î K> H 4; 1 ô^j II 0

2.10 y = x2 -1, y = x +1 22.11 y = tgx, y = ^13, x = 0

22.12 y = x2-1, y = x + 3 22.13 y = ctgx, y = - 1,

x = 0

22.14 y = —2x + 3x + 6, y = x + 2.

22.15 y = 4x - x2, y = x. 22.16 x = y2, x = 1. y = 0. 22.17 y = (x - OX

y = x +1.

22.18 y = 2x2 +1, y = x = 2, y = 1.5

22.19 y = x 2 + 2 x, y = x + 2

22.20 ^y^{2 =}4x, x2 = 4y 22.21 _{y = - x}2,

y = - x - 2

22.22 _y_{= ---}^{x 2}9 , y = ---- + ^x3 2 22.23 y = y = -1,

x = 0 22.24 2 x 2

y = x , y = - y , y = 5.

(19)

22.25 y = x2 — x, y = 0, x = 2.

22.26 y = x2 + 4 x, y = 2 x + 4

22.27 y = ctgx, y = 1, x = —7

2 22.28 y = tg2 x y = 1

x = 0 22.29 y = x2 + x, y = x +1 22.30 y = tgx y = 1 x = 0

3 Методические указания к решению задач раздела «Интегральное исчисление функции одной переменной». Решение типового варианта

Задание 1 решается с помощью формулы (2.35) d (f (x )) = f '(x ) d x, см. [2], с. 28.

Задание 2 решается с помощью этой же формулы для обратного действия, т.е. / '(x)dx = d ( f (x)) или f (x )d x = d (F ( x ) ) , где F(x) - первообразная функция для функции f(x), см. формулу (3.3) из [2], с.36.

Задания 3 - 5 надо решить с помощью метода непосредственного интегрирования, т.е. с использованием правил интегрирования, тождественных преобразований подынтегральных функций и таблицы основных интегралов, [2], с. 36. Приведем образцы примеров для этих заданий.

Найдите неопределённый интеграл:

1 . 1

(а — Vx )2 d x . x

Решение:

С (а — V x ) ^ _ j- а 2 — 2а • V x + ₃ x 2 ^ _ г

J “^э dx = J “^э dx = J

а2 2 а • Vx V x2

3 3 + 3

x3 x3 x3

V У

dx =

= J ( а 2x 3dx - 2 ax 3 + x 3)dx = а2 J x 3dx - 2 а J x 3d x + J x 3 d x = а2

2 а x ^{—8 + i}³

+ x ^{—7 + i}³

8 + 1i 7 + 1

3 3

а2 x 2 6 o x

+ C = ---h

J x

5 4

3 3 x 3

x^-3+1

— 3 +1

2 5 4 + C .

• 52x — 3x 2 . J ,x d x = /

5 2x 3 x

3. J 1 J 1 5 1 + cos x

x x

V 5 5 У

dx = J 5 x dx — Jl

5 dx =

5 x

^ x

______

t a5 In3 5

+ C.

+ cos2x dx = Применим формулу тригонометрии 1 + cos2x = 2cos2 x

=J

1 + cos x 2 cos2 x

, 1 f dx 1 г , 1 1

dx = — J — h — J dx = — tg x + — x + C . 2 J cos x 2 0 0

3 x

(20)

4 .Jl

6 + ■ 12

2 x2 + 9 2 x2 — 9 уdx = J 6dx 2| x 2 + 9

+ ¹²dx

2 2Vx 2—2

1 1 x

;= a rctg—;= + 2 |9

V 2

+ л/2 л/2x V2 ,

+ C = QTCtg I 1n

6 3 6

3 — л/2.x

3 + л/2.x + C .

5. J dx = — J . dx - = — 1n(x + л/x 2 + 5 )+ C .

о J ²^. ^о ^v ^/

если J f (x)dx = F (x) + C ,

2 x 2 + 1 0 2 J V x 2 + 5 2

Задания 6-7. Эти примеры базируются на использовании замены переменной (формула интегрирования функций с линейным аргументом):

то J/ (ax + b)dx = — F(ax + b) + C а ф 0. Образцом

J а

применения этой формулы является интеграл

J cos(3x + 8)dx = 1 J cos(3x + 8)d(3x + 8) = 1 sin (3x + 8)+ C .

Задание 8. Решается с помощью формулы подведения (внесения) функции под знак дифференциала, в частности, с помощью формулы J и = In|u(x)| + C. Например, J _ ^ = J d(x + 8) = | J x + 81 + C.

J u(x) ^ J x + 8 J x + 8 1 1

Кроме того, осуществляется реализация методических указаний к заданиям 1, 2.

Например, применим указанный способ в следующем интеграле J <e x x 4dx =

З а м е н а:

5 x 4 dx = d t, x 4 dx =

x5 = t, d (x5 )= d t, dt

5

С 5 5

Задание 9. Решается пример на тему: интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен, см [2], с.39, или рекомендуется использовать один из известных способов выделения полного квадрата:

qx2 + bx + c = а x + -Ъ_

2q

Ъ2 2 7

+ c или ax + bx + c :

4^q л/а.ax + b 2

2y[a + c — -b^_ 4a

J

С помощью этих формул проводится интегрирование функций вида

dx f dx г dx f (Ax + B )dx

J- J- , J

ax2 + bx + c ’ J ax2 + bx + c J лЮл^+Ьл + c ’ J Vax2 + bx + c

Задание 10. Применяется формула интегрирования по частям, см [2], формула (3.11). с. 38.

Рекомендуется для интегралов вида J x ne axd x, J x nsin axdx , JX cos Qxdx принимать, что u = x n , dv = {e^dx, sin axdx, cos axdx}. А для

2