УДК 531+524.3/.4 О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ ИССЛЕДОВАНИЙ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛ В ЗВЕЗДНОЙ
ДИНАМИКЕ.
Д.И.Кенжалиев, Р.Мырзакулов
Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана010008, Казахстан, E-mail: [email protected]
При изучении движений тел, например звезд в различных звездных системах, актуальна проблема интегрирования уравнений движений тел в потенциалах, моделирующих реальные гравитационные поля. В звездной динамике такими моделями являются потенциалы, предложенные Контопулосом, Эноном и Хейлсом, Оортом, Кузминым для моделирования полей в реальных звездных системах. Эти поля в большинстве случаев характеризуются неинтегрируемыми потенциалами. Однако существует определенный класс полей, которые можно моделировать потенциалами, очень близкими к интегрируемым.
Необходимы методы, которые позволяли бы получить решение уравнений движений в таких потенциалах хотя бы в виде рядов. Эти методы рассматриваются в теории возмущений.
Имеется ряд хорошо известных методов интегрирования уравнений движений тел в подобных потенциалах.
В работе рассматриваются новые варианты методов теории возмущений, которые применены к случаям движений тел в потенциалах Контопулоса и Энона –Хейлса, а также к классу потенциалов, близких к потенциалам Кузмина. Метод, развитый Кузминым можно применить непосредственно и к движению в потенциале Оорта с малым возмущением.
Потенциалом Контопулоса называют возмущенный потенциал вида
2 2
22
1 AR Bz Rz
, (1)
где ε-малый параметр. Потенциал Энона –Хейлса имеет вид:
2 2 2 3
3 1 2
1 AR Bz Rz R , (2)
где α- малый параметр.
Для интегрирования уравнений движений тел в этих потенциалах разработан вариант метода последовательных приближений – метод Витта-Горелика[1,2,3]. Он позволяет не только получить решение в виде рядов по степеням малого параметра, но и получать уравнения периодических траекторий, исходя из условия отсутствия перекачки энергии между степенями свободы. Решения ищем в виде рядов:
R=R(0)+R(1)+R(2)+ …, z=z(0)+z(1)+z(2)+ … , (3) где R(0) и z(0) представляют собой опорное решение:
R(0)=acos(ω1t+θ1) ; z(0)=b cos(ω2t+θ2); (4) При этом следующие члены считаются малыми степени εn. В данном методе парциальные частоты колебаний ω1 и ω2 представляются в виде рядов по степеням малого параметра:
11 2(2) ......
,.) 1 ( 2 2
) 2 ( 2 ) 1 ( 1 1
B
A (5)
При подстановке рядов (3) в уравнения движения в потенциале Контопулоса,
z Z R R
RZ BZ
Z
Z AR R
Z Z BZ
Z R AR
2 2
2 2 2
эти нелинейные уравнения заменяются системами линейных уравнений. Уравнения нулевого приближения представляют собой уравнения линейного гармонического осциллятора.
0 0
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
Bz z
AR R
А уравнения первого приближения будут иметь вид:
cos cos
2 cos
., cos
2 2
2 cos 2
2 2 )
1 ( 2 2
1 2 1 2
1 2 1 )
1 ( ) 1 (
1 1 )
1 ( 1 2
2 2
2 ) 1 ( ) 1 (
t b
B t
t ab
Bz z
t a
A b t
AR b R
(6
) Решение будет квазипериодическим, если положить равными нулю члены, дающие начало секулярным членам в решениях. В первом приближении это члены с cos
1t1
в первом и cos
2t2
во втором уравнениях. Отсюда получаются условия квазипериодичности:) 0
1 ( 2 ) 1 (
1
. (7)
Во втором приближении получены условия квазипериодичности следующего вида:
. 2 0
3 2 8
4 2 1
, 4 0
2 2
2 2
2 ) 2 ( 1
2 2 ) 2 ( 1
A b A a B
A B B
b
A B A b
a
(8) Отсюда получены следующие поправки к частотам парциальных колебаний.
2 .3 2 8
4 2
1 4 , 2
2 2
2 ) 2 ( 1
2 2
) 2 ( 1
A b A a B
B A B
B A A
b
(9) В двумерной системе, вследствие взаимных связей между парциальными системами, частоты всегда будут отклоняться от этих значений, что ведет к попеременной перекачке энергии между степенями свободы с периодом:
Т=|2π/Ω|. (10)
где Ω=21(2)-21(2). Перекачка энергии отсутствует при периодических колебаниях. Отсюда условия периодичности получаются в виде:
) 2 ( 2 ) 2 (
1
. (11)
В общем случае получено условие периодичности:
2 2
4 4
3 b
A B
a A . (12)
Для резонанса A: B 2:1 наблюдается наиболее сильное взаимодействие между парциальными системами. Периодические колебания наступают при соотношениях амплитуд:
b2 = 8a2.
При других резонансах: 1:1, 4:1, 1:3, 2:3 - резонансные явления менее заметны [1,3,8,9].
Потенциалы Кузмина (или потенциалы Штеккеля, или потенциалы Уиттекера) является особым классом потенциалов следующего вида:
0 ,
2 2 , 0
n m
n m n
m R z
d . (13)
При движении тел в этих потенциалах сохраняется так называемый третий интеграл Кузмина:
К0= (RVz-zVR)2+z2Vθ2+z02(Vz2-2Φ*). (14) При наличии малых возмущений вида:
Φ=Φ0+αR4z2 +βR2z4 . (15)
Формальный интеграл Кузмина может быть получен в виде рядов [4,7]:
К=К0+αí́+βí́. (16)
Подставляя их в бесстолкновительное уравнение Больцмана:
0
z y
x z
y x
K z K y K x z K y
K x
K
. (17)
И приравниваются члены с одинаковыми степенями α и β в специальной сфероидальной системе координат:
22
2 1
0 1 1
z
R , z=z0ξ1 ξ2, (18)
получим уравнения огибающих линий к траектории движения в сопутствующей плоскости.
02 1/ 1//,
1 2
1 F F
(19)
02 2/ 2//,
2 2
2 F F
(20)
где F1',F2', F1", F2"- особого вида функции координат и интегралов энергии Е, момента J, а
0 2
1 , 2 02 соответствуют невозмущенному потенциалу Кузмина.Далее нами рассмотрен класс плоских потенциалов вида(13), но зависящих от z :
0 ,
2 2 1 2 , 2 0
n m
m n n
m R z
d . (21)
Для таких потенциалов сохраняется третий интеграл Кузмина. При наличии малого возмущения в виде:
2 3 4
0 R z R z
. (22)
методом Контопулоса определен вид третьего интеграла Кузмина в виде бесконечного ряда по степеням малых параметров α, β [5,7]:
К=К0+ αi'+βi"+… . (23)
Нами найден вид только для первого приближения. Для потенциала Оорта:
2 2 2
2 AR Bz
z
R
. (24)
Также можно определить вид третьего интеграла в форме Кузмина, и огибающие к траекто- риям в сопутствующей плоскости.
Таким образом, в данной работе нами рассмотрены движения тел в ряде потенциалов, моделирующих реальные гравитационные поля в звездных системах. Показана эффективность методов интегрирований уравнений движений тел, для рассмотренного класса потенциалов. Далее предполагается исследование со скалярными полями.
Литература
1. Кенжалиев Д.И.Движение звезд в потенциале Контопулоса //Сб.Динамика гравитирую- щих систем и методы аналитической небесной механики.-Алма-Ата, Наука, 1987, с.25 2. Генкин И.Л., Кенжалиев Д.И.Движение звезд в полях, заданных неинтегрируемыми
потенциалами.// Динамика бесстолкновительных гравитирующих систем. Алма-Ата, Наука, 1988, с.40-45
3. Кенжалиев Д.И.Движение звезд в потенциале Контопулоса.// Астрономо-геодезические исследования,- Свердловск,1988, с.51-52.
4. Генкин И.Л., Кенжалиев Д.И. Формальный интеграл движения для потенциала Кузмина. // Астрономический журнал, 1989, т.66, 428-431.
5. Кенжалиев Д.И. Неаналитический интеграл движения для возмущенного потенциала Кузмина. //Сб.Вопросы небесной механики и звездной динамики.-Алма-Ата, «Наука»
1990, с.91-92.
6. Кенжалиев Д.И. Взаимосвязь резонансного и нерезонансного интеграла движения звезд для потенциала Кузмина с малым возмущением. //Тезисы конференции молодых ученых и специалистов КазГУ.-Алма-Ата, «Наука» 1988, с.216.
7. Генкин И.Л., Кенжалиев Д.И. Третий интеграл движения для сложных потенциалов //Доклады Министерства Науки-Академии Наук РК,№1,1997, с.33-36(на англ. языке) 8. Кенжалиев Д.И. Контопулос потенциалының 3:1 резонансы кезіндегі қозғалыстарды
зерттеу// Вестник Гуманитарной академии -Уральск,2002,№1-2, с.100-107.
9. Кенжалиев Д.И. Резонансы третьего порядка в нелинейных потенциалах //А.Д.Тайма- новтың 85жыл толуына және БҚМУ-дің 70жылдығына арналған Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары, Орал,2002, 110-114
10. Кенжалиев Д.И.О некоторых особенностях движений в модельном Ньютоно-гуковс-ком потенциале.// «Тайманов оқулары»атты Халықаралық ғылыми-практикалық кон- ференция материалдары. Орал,2004, 224-227.
РЕГИСТРАЦИОННАЯ ФОРМА
«ХАОС И СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ. ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ»
Астана, Казахстан, 3-4 октября 2008 г.
Фамилия Кенжалиев
Имя Досым
Отчество Исатаевич
Организация ЕНУ им. Гумилева, кафедра ОиТФ
Должность доцент
Ученая степень кандидат физико-математических наук
Ученое звание доцент ВАК
Адрес для связи ЕНУ им. Гумилева, кафедра ОиТФ
E-mail [email protected]
Факс
Тел. 8-777-6916053,
Намерен принять участие в работе секции Динамика нелинейных процессов переноса
Намерен сделать доклад:
□ пленарный
секционный
□ стендовый
Название доклада О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ ИССЛЕДОВАНИЙ ДВИЖЕНИЙ ТЕЛ В ЗВЕЗДНОЙ ДИНАМИКЕ.
Резюме
В работе рассмотрены результаты исследований посвященных движениям тел в некоторых модельных потенциалах, моделирующих реальные гравитационные поля во внутренних и внешних областях галактик и звездных скоплений. Это известные потенциалы Контопулоса и Энона-Хейлса, Оорта и возмущенный потенциал Кузмина. Для интегрирования уравнений движений в этих потенциалах применены вариации метода последовательных приближений Линдштедта-Пуанкаре: методы Контопулоса, Витта-Горелика. С помощью этих методов определены:
Решения уравнений движений тел в потенциалах Контопулоса и Энона-Хейлса, описывающих как периодические, так и квазипериодические движения в этих потенциалах.
Формулы формального третьего интеграла движения тел в виде рядов по степеням малого параметра для аналитического и неаналитического потенциалов Кузмина. С
помощью найденных интегралов определена форма огибающей к траекториям в проекции на меридианальную сопутствующую плоскость.
Исследовано движение в потенциале Оорта а именно, в слабонелинейном потенциале Ньютона с малым квазиупругим возмущением.
