Определение решения однородного интегрального уравнения Вольтерра - Вестник НИА РК

(1)

https://doi.org/10.47533/2020.1606-146X.228

Ж. м. тулеутаева*, в. в. Журов, Э. к. хайруллИна А.Сағынов атындағы Қарағанды техникалық университеті,

Қарағанды, Қазақстан

е-mail: [email protected], [email protected], [email protected] БІРТЕКТІ ВОЛЬТЕРРА ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІНІҢ ШЕШІМІН

АНЫҚТАУ

Мақалада Вольтерраның екiншi тектi интегралдық теңдеуiнiң шешiмі бар болатындығының анықтау сұрақтары зерттелдi. Интегралдық теңдеуге iзделiндi функция мен оң жақтағы функцияны ауыстыру қолданды. Осы ауыстыру қолданған соң, теңдеу ядросы «сығылмалы емес» интегралдық теңдеуіне келді. Жаңадан алынған теңдеуге Лаплас түрлендiруiн қолданып, қарапайым бiрiншi реттi дифференциалдық теңдеуге келтiрiлдi. Бұл теңдеудiң шешiмі анықталды.

Берілген бiртектi емес интегралдық теңдеуге сәйкес келетiн бiртектi интегралдық тецдеудiң шешiмі айқын түрде табылды. Бiртектi интегралдық теңдеудiң дербес жағдайлары және оның k параметрiнiң әртүрлi мәндерiндегi шешімдері жазылды. Шешімдері болатын интегралдық теңдеулердiң кластары анықталды. Сингулярлы интегралдық теңдеуі [1-2] жұмыстарында қарастырылған. Ол интегралдың теңдеулердің де ядросы «сығылмалы емес», бірақ теңдеу өзгеше түрде берілген. Сондықтан зерттеліп отырған жұмыста шешімдерінің бар болуының класста- ры өзгеше түрде анықталған.

түйін сөздер: Бессель функциясы, интегралдық оператор, «сығылмалы емес» ядро, Лаплас түрлендiруi.

Кіріспе. Кәзіргі сандық технология дәуірінде байланыс (контакт) техникасының қолдану аясы өте кең. Сондықтан, байланыс жүйесінде пайда болатын термофизикалық процестерді зерттеу автоматика мен бақылау-өлшеу аспаптарындағы, дәнекерлеу технологиясындағы, электр жабдықтарындағы байланыс элементтерінің негізгі бо- лып табылатын әртүрлі құрылғылардағы жаңа жетістіктердің алғышарты болып та- былады. Электр байланысының жылдамдығының жоғарылауына байланысты, яғни процестің қысқа мерзімінде байланыс жүйесінің температуралық өрісін және оның уақыт бойынша өзгеру динамикасын дәл анықтау тәжірибелік түрде мүмкін емес.

Сондықтан электродтар арасындағы жылу және масса алмасу процестерін зерттеу қажет. Бұл зерттеулерді жүргізу кезінде температуралық өрісті зерттеу қажеттілігі ту- ындайды.

Шекарасы жылжымалы болатын облыста параболалық теңдеу үшін шектік есеп- тер классикалық есептерден әлде қайда ерекшеленеді. Шектік есептерге жылу по- тенциалдары әдісін қолдану арқылы екінші текті Вольтерра интегралдық теңдеуіне келтіруге болады.

Зерттеу әдісі. Бұл мақалада екінші текті Вольтерра интегралдық теңдеуінің шешімінің бар екендігін анықтау және осы теңдеудің шешемдерін зерттеу мақсатында жазылған.

Бізге екінші текті Вольтерра интегралдық теңдеуі берілген

* E-mail корреспондирующего автора: [email protected]

(2)

v t a

t t e v d

ka t Z e v d

a

t a

( ) ( )

( )

− − ⋅ −

− − ^{− −} ⋅

2

∫

1

1 1

4 0

4

2

π τ τ τ τ

π τ

τ τ

τ

∫

0^t ττ = ^{f t}^{( ),}

(1)

мұндағы k – тұрақты оң шама, f(t) – берілген функция.

Бұл интегралдық теңдеулер осьтік симметриямен берілген, бір өлшемді тұрақсыз жылу процестерінің дамуын сипаттайтын шектік шарттарымен берілген жылуөткізгіштік теңдеулерді шешу барысында пайда болады.

(1) Қинтегралдық теңдеуді дифференциалдық теңдеуге келтіру (1) теңдеуді келесі түрде жазып аламыз:

v t

t e a

t t e v d

ka t t e v

t

a t a

a

( ) ( )

(

4 4

0

4

2 2

2

1 1

− − ⋅ ⋅ −

− − ⋅

π

∫

τ τ τ τ

π τ

τ τ

τ

ττ) τ ( )

 .









 =

∫

0^t ^d ^{f t}_t ^e⁴^a^t

2

(2)

(3) ауыстыруларды жасағаннан кейін 1 ₄ 1

1 4

1

2 2

te v t v t

te f t f t

t a

t

( )= ( ), a ( )= ( ) (3) (2) теңдеу келесі түрге келеді

v t a

t t v d

ka t t v d t f t

t t

1 2 0 1 0 1 1

1 1

( )− ( ) ( ) ( ).

− ⋅ −

− ⋅ =

∫ ∫

π τ τ τ

π τ

τ τ τ

немесе

t v t a

t v d

ka t v d f t

t t

⋅ −

− ⋅ −

− ⋅ =

∫ ∫

1 2 0 1 0 1 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ).

π τ τ τ

π τ τ τ τ (4) мұндағы f t₂( )=tf t₁( ).

Интегралдық операторы үздіксіз функциялар v t₁( )∈C( ;0 +∞) класында әрекет ететін ядросы K t( , )τ бар теңдеу болатынын ескереміз.

K t a

t t ka t t

( , )τ

π τ π

τ

= ⋅ τ

− + ⋅

− − 2

1 1

ол шектелмеген.

(4) теңдеуге көрсетілген белгілеулерді енгізе отырып, Лаплас түрлендіруін қолданамыз

v p v t e dt v t v p

f p f t e dt

pt

� �

�

1 0 1 1 1

2 0 2

( ) ( ) ( ) ( );

( ) ( )

= ⋅ ⇔ ÷

= ⋅ ⇔

∞ −

∫

∫∫

^{f t}²^{( )}^÷^�^f²^{( ),}^p

(3)

мұндағы

v p L v t f p L f t

�

1 1

2 2

( ) [ ( )];

( ) [ ( )].

=

= Бұдан

1 2 2

0

2

0

1 1

2

t e dt

pt z dt z

p dz p e dz

p t v t v p

pt z

⋅ =

=

= = =

⋅ ÷ ′

∞ − ∞ −

∫

^,

∫

^;

( ) ( )

π

� ..

(4) интегралдық теңдеуді келесі түрдегі дифференциалдық теңдеуге келеді

− ′v p − a − ⋅ ⋅ − ′ =

pv p

ka p v p f p

�₁ �₁ �₁ �

2 2

( ) ( ) 1 ( ( )) ( ),

π π

Шыққан дифференциалдық теңдеуді келесі түрде жаза аламыз

1

1 ¹ 2 ¹ ²

ka p v p a

pv p f p

 −











′ − =

� ( ) � ( ) � ( ). (5)

Біртекті сызықты дифференциалдық теңдеудің шешімін табу

(5) сызықты теңдеуге сәйкес келетін, біртекті теңдеудің шешімін табамыз

1

1 1 2 1 0

ka p v p a

pv p

 −











′ − =

� ( ) � ( ) . (6)

(6) дифференциалдық теңдеуі келесі түрге ие болады:

v p Ce ka

e p ka

k

a p

k

�₁

1

1 1

1 ( )

( )

= ⋅ ,

 −

 



−

(7)

мұндағы C-тұрақты сан.

№149 [3; 272] және №9 [3; 259] формулаларынан, аламыз:

e s ka

L k

e

as

k

k ka

− −

−

 −

 



= 

 















1 ¹ 1

1 1

τ ^τ

Γ

.

Осыдан кейін №29 [3; 261] формуласын ескеріп және (7) Лапластың кері түрлендіруін қолдана отырып, алатынымыз:

(4)

v t C k ka

a t

e e d

k

k t a

a ka

1 1

3 2

4

1 2

2

( )

= 

 



− ⋅ ⋅ =

− −

∞ − −

Γ

∫

τ τ π

τ τ τ

= 

 



⋅ ⋅ −

− ∞ − − +

Ce

∫

k ka t

a e d

k

k t ka

1

1 3

2

1 1 4

1 0

1 2

2

Γ ( )

( ) .

π

τ τ ^τ ^τ τ

Төмендегі

I t k( , )=

∫

0^∞^{τ τ}⋅ −( a)^k¹⁻¹e^{− +}^τ⁴^t ^ka^τd^τ,

2

енгізуді енгізе отырып, аламыз

v t Ce

k ka t

I t k

k

k 1

1

1 3

1 2

1 2 ( )

( )

( , ).

= 

 



⋅

−

Γ π (8) Интегралды есептейміз

I t k a ^k e ^t ^kad

( , )=

∫

a^∞^{τ τ}⋅ −( )¹⁻¹ ^{− +}^τ⁴ ^τ ^τ=

2

= ⋅ − − +





 +

∫

a∞^{τ τ}⁽ ^a^{) exp}^k ^τ_t _ka^τ ^d^τ

1 2

4

+ ⋅ − − +







−

∫

∞

a a

t ka d

k

a τ τ( ) exp τ τ τ.

1 1 2

4 [4, 2.3.15] (1) формуласын ескеріп, аламыз

I t k

k t

t

k a k

a t

( , )=  + t exp

 



 

  + −







− −

Γ 1

1 1

2 2

1

2 8

1 2

2 2

2

D

D ka t

ak t

−k+

 



 −





 +

1 1

2 2

2

+ 

 



 

  + −







− − a −

k t

t

k a k

a

t D ka t

k

Γ 1 1

2 2

1

2 8

2

1 2

2 2

2 1

2

exp aak 2t







 =

=  

 





  −





×

Γ 1 1

2 2

2 8

1 2

2 2 2

k k t t

k a a

t

exp ( ) k exp

×  −





+  −











− +

 

 −

1 2 2

2

1 2

k t D ka t

ak t aD ka t

ak t

k k







.

Табылған I(t, k) мәнін (8) өрнекке қойып, (4) интегралдық теңдеуге сәйкес келетін біртекті теңдеудің жалпы шешімін аламыз:

(5)

v t Ce ka

t t

t k a

a t

k

k 1

1

1 1 2

3 2

2 2

2 2 8

( ) ( )

( ) exp

= ⋅  −





× π

×  −





+  −











− +

 

 −

1 2 2

2

1 2

k t D ka t

ak t aD ka t

ak t

k k







, мұндағы [5, 9.241] (2) формуланы қараңыз)

D z e

p e x dx p

p

z

p zx x

p

−

− − −

=

∫

−∞ >

( ) ( ) , Re

( )

2

2 1

0 0

Γ

Γ (9)

– параболалық цилиндр функциясы (немесе Вебер функциясы).

(3) ауыстыруын орнына қойып, алатынымыз

v t Ce ka

t t

t k a

t a

a t

k t D

k

k k

( ) ( )

( ) exp

= ⋅  − −





×

×

1

1 1 2

2 2 2

2 2

2 2 4 8

1 2

π

−− +

 

 −

 −





 +  −

















1 

1 2

1

2 2

2

k k 2

ka t

ak t aD ka t

ak t ..

(10)

Алынған (10) өрнегі бастапқыда берілген (1) теңдеуге сәйкес келетін біртекті теңдеудің жалпы шешімі болып табылады.

k = 2 болған жағдайда. Тәжірибелік тұрғыдан қарағанда k = 2 жағдайы өзгеше

v t C e

a t

t a

a t

t D a

t t a ( )

( )

= ⋅exp− −





×

×  −







−

2 2 8 8

2

2 2 2

3 4

2 2

3 2

π

++  −

















 aD− a

t t

1 a

2 2 2 ,

(11)

мұндағы [7] формула [9] ескере отырып

D z z

K z

− = 







1 2

1 4

2

2 4

( ) π ,

K(x) – екінші текті Бессель функциясы.

[5, 9.247] [5] формуладан, алатынымыз

D z zD z d

dzD z

z K z d

dz z K z

− = − + − =

= 





 +

3 2

1 2

1 2 3

1 4

2

1 4

2

2 4 2

( ) ( ) ( )

π π

4 4















,

(6)

онда жоғарыда көрсетілген формулаларды ескере отырып

′ = − ₋ + ₋

K x_v( ) 1(K_v ( )x K_v ( ))x

2 ¹ ¹

(11) формуладағы квадрат жақшаның ішіндегі өрнектер K z

v 2

4







 функциясының сызықты комбинациясы болып табылады, мұндағы

v z a

t t

=  a





 = −

1 4

3 4

5

4 2 2

; ; , .

Асимптотикасынан байқайтынымыз

K x e

x x x

v

x

( )≈ +  









⋅ → +∞

π −

2 1 0 1

және шектік қатынастардан, байқайтынымыз

lim lim .

; ;

t t z t t a

t t

→ →+∞ = → →+∞ −a





 = +∞

0 2

0 2 2

Бұдан шығатын қортынды, (11) функциясы t∈ +∞( ;0 ) болған жағдайда шектелген болып табылады.

Сонымен, осы шыққан нәтижерге сүйене отырып, келесі теореманы аламыз.

Алынған нәтиже. Теорема 1. Интегралдық теңдеу

v t a

t t e v d

a t t e v

t t a

t a

( ) ( )

(

− − ⋅ ⋅ −

− − ⋅ ⋅

− −

2

∫

1 1

2

1

4 0

4

2

π τ τ τ τ

π τ

τ τ

τ

τ t ))d

∫

0 τ =⁰

v t( )∈L_∞( ;0 +∞) функциялар класында (11) формуламен анықталатын шешімге ие.

k = 1 болған жағдайда. k = 1 болған жағдайда (10) өрнектен алатынымыз

v t Ce

a l

t a

a t

t D a

t t

a aD a

t

( )= exp −





×

×  −





+ −

− −

2 4 8

2 2

2

2 2

2 1

π

2 2t a





















(12)

[5, 9.254] (1) және (2) формулаларынан (12) үшін:

v t Ce

a t

t a

a

t t a

t t

( )= ⋅exp − exp a





  + −





×





2 4 8 2 2

8 2

1

2 2

π 2

 π

×  − −





− −





  −





 + +

2 1

4 2

2

π 2

π

exp a

t t a

a t

t

a erfc a t

t a

a 22 8 2

1

2 2

1

2 2

3 2

exp

exp a

t t

a erfc a

t t a Ce

a t

t

+ −







  −











=

= −

π 44 4

3

4 2

2 2

a 2

a

t ae

t

a erfc a t

t

− a







+ 





  −



















πexp .

(7)

Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. 2023. № 1 (87) 178

a 2πt 4a 8t 2 8t 2a 2

×  − −





− −





  −





+ +

2 1

4 2

2

π 2

π

exp a

t t a

a t

t

a erfc a t

t a

a 22 8 2

1

2 2

1

2 2

3 2

exp

exp a

t t

a erfc a

t t a Ce

a t

t

+ −







  −











=

= −

π 44 4

3

4 2

2 2

a 2

a

t ae

t

a erfc a t

t

− a







+ 





  −



















πexp .

Сонымен, k = 1 болған жағдайда (10) теңдеу келесі түрге ие болады:

v t Ce

a t

t a

a t

ae

t a erfc

( ) exp

exp

= − −









 +

+ 







3 2

2 2

2

1

4 4

3 4 π

π aa

t t 2 − a













.

(13)

Осыған байланысты келесі теорема дұрыс болып табылады.

Тұжырым. Теорема 2. Интегралдық теңдеу

v t a

t t

t

a v d

a t t

t

( ) exp ( )

exp

− − ⋅ − −





⋅ −

− − ⋅ −

2

∫

1

4

1 1

0 2

π τ τ

τ τ τ

π τ

τ

 −−





⋅ =

∫

0^t ₄a²^τ v( )^{τ τ}d ⁰

exp− ( ) ( , )





 ∈ _∞ +∞

t

a₂ v t L 0 функциялар класында жататын (13) формула шешімі болып табылады.

ӘДЕБИЕТ

1 Amangaliyeva M.M., Jenaliyev M.T., Kosmakova M.T., Ramazanov M.I. About Dirichlet boundary value problem for the heat equation in the infinite angular domain// Boundary Value Problems. –2014. № 213. – Р. 1–21.

2 Amangaliyeva M.M., Jenaliyev M.T., Kosmakova M.T., Ramazanov M.I. On one homogeneous problem for the heat equation in an infinite angular domain. //Siberian Mathematical Journal.

–2015. № 56 (6). – Р. 982-995.

3 Dech G. Rukovodstvo k prakticheskomu primeneniiu preobrazovaniia Laplasa i Z-preobrazovaniia [Guide to the practical application of Laplace transform and Z-transform]. – Moscow: – Nauka.

4 Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Москва. Наука.

1981. – С.688.

5 Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Мо- сква. 1963. –С.1108.

RefeRences

1 Amangaliyeva M.M., Jenaliyev M.T., Kosmakova M.T., Ramazanov M.I. About Dirichlet boundary value problem for the heat equation in the infinite angular domain// Boundary Value Problems. – 2014. № 213. – R. 1-21.

(8)

2 Amangaliyeva M.M., Jenaliyev M.T., Kosmakova M.T., Ramazanov M.I. On one homogeneous problem for the heat equation in an infinite angular domain. //Siberian Mathematical Journal. –2015.

№ 56 (6). – R. 982-995.

3 Dech G. Rukovodstvo k prakticheskomu primeneniiu preobrazovaniia Laplasa i Z-preobrazovaniia [Guide to the practical application of Laplace transform and Z-transform].

–Moscow: – Nauka.

4 Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integraly i ryady. Moskva. Nauka. 1981. – S.688.

5 Gradshtejn I.S., Ryzhik I.M. Tablicy integralov, summ, ryadov i proizvedenij. – Moskva. 1963.

– S.1108.

Ж. м. тулеутаева, в. в. Журов, Э. к. хайруллИна Карагандинский технический университет имени А.Сагынова

Караганда, Казахстан

е-mail: [email protected], [email protected], [email protected], ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

В статье исследованы вопросы разрешимости Вольтеррового интегрального уравнения вто- рого рода. С помощью замен искомой функции и правой части интегральное уравнение сведено к интегральному уравнению, ядро которого не является «сжимаемым». С помощью преобразования Лапласа полученное уравнение сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Найдено его решение. Решение однородного интегрального уравнения, соответствующе- го исходному неоднородному интегральному уравнению, найдено в явном виде. Выписаны частные случаи однородного интегрального уравнения и его решения при различных значениях параметра k. Указаны классы, в которых интегральное уравнение имеет решение. Сингулярные интегральные уравнения были рассмотрены в работах [1–3]. Их ядра также были «несжимаемы», но имели другой вид. В связи с этим весовые классы существования решения отличаются от класса суще- ствования решения уравнения, исследуемого в данной работе.

ключевые слова: функция Бесселя, интегральный оператор, класс существенно ограниченных функций, преобразование Лапласа.

zh. м. tUleUtayeva, v. v. zhUrov, i. k. khairUllina Karaganda Technical University named A. Sagynov,

Karaganda, Kazakhstan

е-mail: [email protected], [email protected], [email protected], DEFINITION OF THE SOLUTION OF THE HOMOGENEOUS

VOLTERRA INTEGRAL EQUATION

In this paper, we study the solvability of a second-kind Volterra integral equation. By replacing the right-hand side and the unknown function, the integral equation is reduced to an integral equation, the kernel of which is not «compressiblek. Using the Laplace transform, the obtained equation is reduced to an ordinary first-order differential equation (linear). Its solution is found. The solution of the homogeneous

(9)

integral equation corresponding to the original nonhomogeneous integral equation found in explicit form.

Special cases of a homogeneous integral equation and its solutions are written for different values of the parameter k. Classes are indicated in which the integral equation has a solution. Singular integral equations were considered in works [1–3]. Their kernels were also «incompressiblek, but kernels had an another form. In this connection, the weight classes of the solution existence differ from the class of the solution existence for the equation considered in this work.

keywords: Bessel function, integral operator, class of essentially bounded functions, Laplace transformation.