особенности решения систем типа клаузена

https://doi.org/10.47533/2020.1606-146X.185

н. радЖаБов, Ж. н. ТаСмамБеТов, Ж. К. уБаева*

актюбинский региональный университет им. К.Жубанова актобе, Казахстан

E-mail: Zhanar_ubaeva@mail.ru

ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ТИПА КЛАУЗЕНА

Исследуются особенности построения решений вблизи особенности регулярной однородной системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений в частных производных третьего по- рядка. Доказан ряд свойств произведения функций Клаузена, построенных вблизи этих особен- ностей. Исследованы особенности построения общего решения системы Клаузена. на решение таких систем в последнее время начали удалять особое внимание в связи с исследованиями много- мерных вырождающихся дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: уравнения Клаузена, система типа Клаузена, особые точки, особенности, система.

Постановка задачи. Исследуются особенности построения решений вблизи осо- бенности (0,0) регулярной однородной системы, состоящей из двух дифференциаль- ных уравнений в частных производных третьего порядка вида

r x x y p

t y

j k j k

h j k

j k

j k

j k

j k j k h j k

, , ,

, ,

− ⋅ ,

( )

^{⋅ ⋅ ⋅ =}

− ⋅

( )

+ = + = +

+

∑

^α

β

ω 0

1

0

==

+ = +

∑

^{⋅ ⋅ ⋅ =}











0 1

0

j k

j k

x y pj k ω

, ,

(1)

где p_{0 0,}

( )

x y, ⁼Z x y

( )

,

(

j⁼0,k⁼0

)

общая неизвестная для двух уравнений системы (1); через p_{j k,} обозначены различные порядки частных производных неизвестной функции Z x y

( )

, . Порядок зависит от значения w. Если w = 1, то получим системы второго порядка

x r²

(

_{2 0,} −^α_{2 0,} ⋅x^h

)

^⋅p_{2 0,} ⁺xy r

(

_{1 1,} ^−α_{1 1,} ^⋅x^h

)

^⋅p_{1 1,} ⁺x r

(

_{1 0,} ^−α_{1 0,} ^⋅x^h

))

^{⋅ +}

(

^{− ⋅}

)

^{⋅ +}

+

(

− ⋅

)

^{⋅ =}

p y r x p

r x p

y t

h

h

1 0 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0

2 0 2

0

, , , ,

, , ,

,

,

α α

−− ⋅

(

^{β0 2, yh}

)

^{⋅p0 2, +xy t}

(

^{1 1, −β1 1, ⋅yh}

)

^{⋅p1 1, +x t}

(

^{1 0, −β1 0, ⋅yh}

)

^{⋅p1,00 0 1 0 1 0 1}

0 0 0 0 0 0 0

+

(

− ⋅

)

^{⋅ +}

+

(

− ⋅

)

^{⋅ =}

y t y p

t y p

h

h

, , ,

, , , ,

β β

(2)

где p_{0 0,}

( )

x y, ⁼Z x y

( )

, общая неизвестная, r_{j k,} ,α_{j k,} ,t_{j k,} ,β_{j k,}

(

j k, =^{0 2},

)

неизвестные постоянные; коэффициенты системы (1) – многочлены двух переменных.

Случай h=1 наиболее исследован. Я. Горн доказал, что все 34 известные ги- пергеометрические функции, в частности четыре гипергеометрические функции двух

* Е-mail корреспондирующего автора: Zhanar_ubaeva@mail.ru

переменных. П. Аппеля F₁−F₄ , являются решениями частных случаев таких систем.

При h=2 получим системы, решениями которых являются ортогональные многоч- лены двух переменных. Таким образом, решениями введенные нами системы вида (2) являются более сорока специальные функции двух переменных. Установление этой связи важно при приближенном вычислении значений гипергеометрических функ- ции двух переменных. Определенная работа в этом направлении начала проводиться в работах американского учёного О.И. Маричева.

Когда ω =2 , получим системы третьего порядка. Наиболее интересными из них являются системы типа Клаузена. Исследования таких систем не получили достаточ- ного развития.

Функция Клаузена

3 2 1 2 3 1 2

1 1

2 2

3 1 2

F α α α β β x F α x n n

β α β

α α α

, , ; , ; ,

, , ,

( , ) ( , )

( )

^{= }_ ^_ ^{= ⋅}_⋅ ^⋅⋅_⋅ ^⋅

=

∑

∞ _{( , ) (β β , ) ( , )}^{(α3, ) ,}

1 2

0 1

n

n n n x

n

n (3)

где использованы обозначения Похгаммера ( , )α 0 =1,, ( , )α n =α α( +1)...(α+ −n 1 ), n>0 1, ( , )n = ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 ... n n!с пятью параметром α_j

(

j=^{1 2 3, ,}

)

^{и β}l

(

l=^{1 2,}

)

является первым примером (1828 г.) обобщенной гипергеометрической функции [1].

Справедливо утверждение.

Теорема 1. Функция Клаузена (3) является частным решением дифференциально- го уравнения гипергеометрического типа третьего порядка

x x d y

dx x xd y

dx

2

3

3 1 2 1 2 3

2 2

1 2 1

1 1 3

1

(

−

)

^{+ + +}_ ^{− +}

(

^{+ +}

)

_ ⁺

+ ⋅ − +

β β α α α

β β

(

α ++ + + + +

)

 α₂ α₃ α α_{1 2} α α_{2 3} α α_{1 3} x − ⋅ ⋅ ⋅ =dy α α α_{1 2 3} 0

dx y ,

(4)

а общее решение представляется в виде суммы

y x C y x_{i i} C F x C x F

i

( )

⁼

( )

^{= ⋅ }_ ^_^{+ ⋅ − ⋅ +}

∑

= ^{1 1}

1 2 2

3 2

1 0

3

1 1 1

α β

α β

α _β α

, ,

, ,

−−

−

+ − + −

 + −





+

+ ⋅ ₋ ⋅ + −

β β

α β

β β

α β

α β

β

1 1

2 1

2 1

3 1

3

1 1

2

1 1

1

2 1

, ,

,

, x

C x F ²²

1 2

2 2

2

3 2

1

1 2

1 ,

,

,

, .

β β

α β

β

α β

+ −

+ −

−

+ −





 x

(5)

Приведем определение обобщенной гипергеометрической функции.

Определение 1. Обобщенной гипергеометрической функцией называется функ- ция вида

p q p q

n

n n n

F x n n

α α β β α α

β β

1 1

1

1 1

,..., ; ,... ; ( , )...( , )

( ) ...( ) ( ,

( )

⁼ _{⋅ nn} ^x

n

n

= )

∑

∞ ^⋅

0

(6) при этом предполагается, что ни одно из b не является целым отрицательным числом. Ряд (6) сводится к многочлену, если хотя бы одно из a является отрицательным числом.

Определены и изучены также обобщенные гипергеометрические функции многих переменных.

Определение 2. Обобщенные гипергеометрические функции двух переменных определяются двойными рядами

F x y a_{m n} x y

m n

m n

( , ) _, ,

,

= ⋅ ⋅

=

∑

∞ 0

(7) коэффициенты которых удовлетворяют следующим соотношениям

a a

P m n R m n

a a

Q m n S m n

m n

m n

m n m n

+^1, = +¹ =

,

, ,

( , )

( , ), ( , )

( , ), (8) P m n Q m n

R m n S m n

P m n Q m n R m n S m

, ,

, ,

, ,

, ,

(

+

)

^⋅

( )

(

+

)

^⋅

( )

⁼

( )

^⋅

(

⁺

) ( )

^{⋅ +}

1 1

1 1nn

( )

(9) где P, Q, R и S многочлены от m и n. Они (8) подчинены трём условиям. Из них условие совместности (9) обеспечивает однозначное определение коэффициентов a_m,n ряда (7).

Простая система типа Клаузена с решениями в виде произведения функций Клау- зенаВ данной работе изучены два вида системы типа Клаузена.

Теорема 2. Система типа Клаузена

x² x p_{30 1 2 1 2 3} x p₂₀

1 2 1 2 3

1 1 3

1

(

−

)

^{+ + +}_ ^{− +}

(

^{+ +}

)

_{ +}

+ − + + + +

β β α α α

β β α α α α_{11 2 1 3 2 3 10 1 2 3 00}

2

03 1 2

0

1 1

α α α α α α α α β β

+ +

( )

  − =

(

−

)

^{+ + + −}

x p p

y y p

,

' ' 33

1

1 2 3 02

1 2 1 2 3 1 2 1

+ + +

( )

  +

+ − + + + + +

α α α β β α α α α α α

' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

y yp

αα₃^' +α α₂^' ₃^' ₀₁ α α α₁^' ₂^' ₃^' ₀₀ 0

( )

 y p − p =

(10)

имеет девять линейно-независимых частных решений в виде произведения различ- ных функций Клаузена, одна из которых является функция типа Клаузена

Z x y_{1 3}F_{2 1 2 3 1 2} x ₃F₂ y F

1 2 3 1 2

, , , , , , ^', ^', ^', ^', ^',

( )

⁼

(

^{α α α β β}

) (

^{α α α β β}

)

^{=• αα α}_{β β} ^{α α}_{β β} ^{α α}

α α α α

1 2 2 3 3

1 1 2 2

1 1 2

, 1 , ,

, , ,

' ' '

' '

'

x y

m n m



 

 =

( ) ( ) ( )

^{22 3 3}

1 1 2 2

0

'

' '

,

( ) ( ) ( )

! !.

( ) ( ) ( ) ( )

^{⋅ ⋅}

=

∑

∞ ^{n m n}

m n m n

m n

m n

x m

y n

α α

β β β β

(11)

Система (10) состоит из двух совместных обыкновенных дифференциальных уравнений. Их объединяет общая неизвестная p_{0 0,}

( )

x y, ⁼Z x y

( )

, . Каждое уравнение имеет общее решение вида (5). Комбинируя построенные частные решения, получим ещё восемь линейно-независимых частных решений:

Z₂ x y F ¹ x y F

1 2 2

3 1 ₁ 1 1 2

1

1

, , 2

, , ,

, ,

,

'

' '

( )

^{= } '





⋅ ⋅ + −

− α −

β α β

α α β

β

β α

'' '

' '

' '

, ,

, ,

+ − + −

 + −

 



1 1

1 1

1

3 1

2

β

β β

α β

y (12)

Z₃ x y F ¹ x y F

1 2 2

3 1 2

2 1

1 2

1 1

, ,

, , ,

, ' ,

' '

( )

^{= }_ ^_^{⋅ ⋅} ' ^{+ −}

+ − α −

β α β

α α β

β β

β

''

' '

'

' '

,

, ,

, ,

α β

β

α β

2 2

2

3 2

1 2

+ − 1

−

 + −

 



y (13)

Z₄ x y x¹ F ^{1 1} x

1

2 1

2 1

3 1

1 1

2

1 1

, , 1

,

, ,

( )

^{= −β ⋅ }_^α₋^{+ −}_β ^β _β^α _{+ −}^{+ −}_β^{β α + −β}, ^_{ ⋅} ^

 



F α y

β α β

1 2 α3

1 2

', ' '

, , ,

, , (14)

Z₅ x y x¹ F ^{1 1} x

1

2 1

2 1

3 1

1 1

2

1 1

, , 1

,

, ,

( )

^{= −β ⋅ }_^α₋^{+ −}_β ^β _β^α _{+ −}^{+ −}_β^{β α + −β }_^⋅⋅

⋅ ⋅ + −

−

+ − + −

− + −

y^{1 1} F ^{1 1 1} y

1

2

2 1

3 1

1 2

1 1

β α β 1

β

α β

β β

α β

'

' '

'

' '

' '

' '

, ,

, ,

 ,

 

,

(15)

Z₆ x y x¹ F ^{1 1} x

1

2 1

2 1

3 1

1 1

2

1 1

, , 1

,

, ,

( )

^{= ⋅ } ₋^{+ −} _{+ −}^{+ − + −} ,







−β α β

β

α β

β β

α β

 ⋅

⋅ ⋅ + −

+ −

+ −

−

− + − y¹ F

1

2 2

2 1 2

2

2 3 2

1 1

1 2

β α β 1

β β

α β

β

α β

'

' '

' '

' '

'

' '

, ,

, ,

, yy



 

,

(16)

Z₇ x y x¹ F ^{1 2} x

1 2

2 2

2

3 2

2 1

1

1 2

, , 1

,

, ,

( )

^{= −β ⋅ }_^α_{β + −}^{+ −}_β^{β α}₋^{+ −}_β ^{β α + −β} , ^_{ ⋅} ^

 



F α y

β α β

1 2 α3

1 2

' '

' '

, '

, , ,

, , (17)

Z₈ x y x¹ F ^{1 2} x

1 2

2 2

2

3 2

2 1

1

1 2

, , 1

,

, ,

( )

^{= −β ⋅ }_β^α _{+ −}^{+ −}_β^{β α}₋^{+ −}_β ^{β α + −β} , ^_{ ⋅}

⋅ ⋅ + −

−

+ − + −

− + − y¹ F

1

1 1

1 1 1 2

2

3 1

1 2

1 1

β α β 1

β

α β

β β

α β

'

' '

'

' '

' '

' '

, ,

, ,

, yy



 

,

(18)

Z₉ x y x¹ F ^{1 2} x

1 2

2 2

2

3 2

2 1

1

1 2

, , 1

,

, ,

( )

^{= −β ⋅ }_β^α _{+ −}^{+ −}_β^{β α}₋^{+ −}_β ^{β α + −β} , ^_{ ⋅}

⋅ ⋅ + −

+ −

+ −

−

− + − y¹ F

1

2 2

2 1 2

2

2 3 2

1 1

1 2

β α β 1

β β

α β

β

α β

'

' '

' '

' '

'

' '

, ,

, ,

, yy



 

.

(19)

Аналогичные результаты получены в работе [2], где рассматриваются произведе- ния функции Бесселя первого рода

J_{k s,}

( )

x y, ⁼J_k

( )

x ^⋅J_s

(

y^ρ

( )

x

)

;^ρ

( )

x ^>0,x^>0, и исследованы их различные свойства.

Такие же исследования требуется проводить с построенными решениями вида (11)–(19).

Теорема 3. Общее решение системы типа Клаузена (10) представляется в виде суммы

Z x y C Z x y_{i i}

i

( , )= ⋅

( )

, ,

∑

= 1 9

(20) где C i_i

(

=^{1 9,}

)

– произвольные постоянные. Это доказывается методом Фробениуса–

Латышевой [3].

Теорема 4. Обобщенная гипергеометрическая функция Клаузена (3) имеет произ- водную m-го порядка

d F

dx

m m m

m

m = ^{α α1}

(

¹+¹

)

^...

(

^{α1+ −1}

)

^{⋅α α2}

(

²⁺¹

)

^...

(

^{α2+ −1}

)

^⋅α3...

((

^{α3+ −1}

)

⋅

(

+

) (

^{+ −}

)

^{⋅ ⋅}

(

⁺

) (

^{+ −}

)

^⋅

⋅ + +

β β β β β β

α α α

1 1 1 2 2 2

1 2

1 ... 1 1... 1

, ,

m m

F m m ₃₃

1 2

+

+ +









m

m m x

β , β , .

(21)

Отсюда при различных значениях m можно получить производные 1-го, 2-го и.т.

других порядков.

Так, из (21) при m = 1 получим производную первого порядка dF

dx = ⋅ ⋅ F x

⋅ ⋅ + + +

+ +









α α α β β

α α α

β β

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2

1 1 1

1 1

, ,

, , , . (22) Таким образом, можно найти производные второго и третьего решения

y₂ x x¹ F ^{1 1 2 1 3 1} x

1 2 1

1 1 1 1

2 1

( )

^{= −β ⋅ }_^{α + −}_−β^β_, ^{, α}_{β + −}^{+ −}_β^β_,^{, α + −β , }_ (23) и

y x₃ x¹ F ^{1 2 2 2 3 2} x

1 2 2

2 1 1 1

1 2

( )

^{= −β ⋅ }_^α_{β + −}^{+ −}_β^β _,^{, α + −}_−β ^β_, ^{, α + −β , }_^. (24) При этом сначала лучше найти производные от функций, потом от произведения двух функций:

d

dxF α β x

β

α β

β β

α β α β

1 1

1

2 1

2 1

3 1 1 1

1 2

1 1

1 1

+ −

−

+ − + −

+ −







 =

(

+ −

)

, ,

, ,

, ⋅⋅

(

+ −

)

^⋅

(

^{+ −}

)

(

−

)

^⋅

(

^{+ −}

)

^⋅

⋅ + −

−

+ −

α β α β

β β β

α β

β

α

2 1 3 1

1 2 1

1 1

1

2

1 1

2 1

2 3

F , 2

,

ββ

β β

α β

1

2 1

3 1

2

2 ,

,

, ,

+ −

+ −





 x

(25)

d

dxF α β x

β β

α β

β

α β α β

1 2

1 2

2 2

2

3 2 1 2

1 1

1 2

1 1

+ − + −

+ −

−

+ −







 =

(

+ −

)

, ,

, ,

, ⋅⋅

(

+ −

)

^⋅

(

^{+ −}

)

(

+ −

)

^{⋅ −}

( )

^⋅

⋅ + −

+ −

α β α β

β β β

α β

β β

α

2 2 3 2

1 2 2

1 2

1 2

2

1 1

1 2

2

F 2 ,

,

++ −

−

+ −









2 3

2 2

2

3 2

β β

α β

, ,

, x .

(26) dy x

dx d

dx x F x

2 1 1 1

1

2 1

2 1

3 1

1 1

2

1 1

( )

_{= ⋅} ^{+ −} 1

−

+ − + −

+ −

−β α β

β

α β

β β

α β

, ,

, ,

,



















( )

_{= ⋅} ^{+ −}

+ −

− + −

, ,

, dy x ,

dx d

dx x F

3 1 1 2

1 2

2 2

2 1

1

β α β 1

β β

α β

2 2

1

2

3 2

−

+ −

















 β 

α β

,

,x .

Свойство. Следуя [1], если в (11) вводить обозначения

(

α₁,m

) ( )α'1,n ,(α2,m) ( )α2',n ,( )( )α'3,m α'3,n ,(β1,m) ( )β1',n ,(β22,m) ( )β'2,n

α₁ α α₂ α₂ α α β₁ β β

1 3 3 1

,m ^',n , ,m ^',n , ^',m ^',n , ,m ^',n ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

^22,m

) ( )β'2,n через (α1,m+n),(α2,m+n),(α3,m+n),(β1,m+n),(β2,m+n),

α₁,m+n , α₂,m n , α₃,m n , β₁,m n , β₂,m n ,

( ) (

⁺

) (

⁺

) (

⁺

) (

⁺

)

то получим представление F

(

α α α β β₁, ₂, ₃; ₁, ₂;x+y

)

^.

Это свойство приводит нас к теореме сложения двух функций Клаузена.

Теорема 5. Произведения обобщенных гипергеометрических функций Клаузена двух переменных (22)-(26) имеет:

• производные первого порядка по независимой переменной x

∂

∂







⋅ 

 

x ₃F₂ ¹ x F y

1 2 2

3

3 2

1

1 2

2

α 3

β α β

α α

β α β

α ,

, , ,

, ,

, , ,

' ,

' ' '

'













=

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ +

+

+ +

+ α α α 

β β

α β

α β

1 2 3 α

1 2

3 2 1 1

2 2

1 3

1

1 1

F , 1 x

,

, ,

,





⋅ 

 



3 2

1

1 2

2

F α 3 y

β α β

α

' '

' '

, '

, , ,

, .

(27)

Далее можно определить производные двух функций относительно независимой переменной y как (27), тогда:

∂

∂







⋅ 

 

x ₃F₂ ¹ x F y

1 2 2

3

3 2

1

1 2

2

α 3

β α β

α α

β α β

α ,

, , ,

, ,

, , ,

' ,

' ' '

'













=

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ 







α α α β β

α β

α β

1 2 3 α

1 2

3 2

1 1

2 2

3

' ' '

' '

, ,

, ,

F ,x ⋅⋅ +

+

+ +

 +

 



3 2

1

1

2

2

3

1 1

1 1

F α 1 y

β

α β

α

' '

' '

, '

,

, ,

, .

Показатели рядов (11)–(19) определяются из системы, определяющих уравнения относительно особенности (0,0):

f f

0 0 1

1 2

0 0 2

1 1 0

1 1

, ,

'

, ,

,

( ) ( )

( )

^{= ⋅ − +}

( )

^{⋅ − +}

( )

⁼

( )

^{ρ σρ σ = ⋅ − +ρ ρσ σ}

(

^ββ

))

^{⋅ − +ρ}

(

^β

)

⁼



 σ 1 β 0

2

' ,

в виде пар:

(

ρ σ₁, ₁

)

⁼

( )

0 0, ,

(

ρ₁⁼0,σ₂^{= −}1 β₁

)

,

(

ρ₁⁼0,σ₂ ^{= −}1 β₂

)

,

(

ρ₂^{= −}1 β σ₁, ₁⁼0

)

ρ₂ 1 β σ_{1 2} 1 β ρ₂ 1 β σ_{1 3} 1 β ρ₃ 1 β σ_{2 1} 0 ρ₃ 1

1 2

= − = −

(

^{, '}

)

^,

(

^{= − , = − '}

)

^,

(

^{= − , =}

)

^{, = −ββ σ β}

ρ β σ β

2 2

3 2 3

1

1 1

1

2

, ,

, .

'

'

(

= −

)

= − = −

( )

Эти пары определили показатели рядов (11)–(19).

Переходим к изучению второй основной теоремы.

Теорема 6. Система гипергеометрического типа Клаузена

x² 1 x p₃₀ xyp₂₁ 1 3 _{1 2 3} x xp₂₀ yp₁₁ 1

(

−

)

^{+ +}_ ^{+ + − + +}

(

⁺

)

_ ^{+ +}

+ − +

γ δ β β β δ

γδ β_{11 2 3 1 2 1 3 2 3 10 1 2 3 00}

2

03

0 1

+ + + + +

( )

  − =

(

−

)

⁺

β β β β β β β β x p β β β p

y y p x

,

yyp₁₂ 1 3 y yp₀₂ xp₁₁

1

1 2 3

1 2

+^ + + − +

(

+ +

)

 + +

+ − + +

γ δ β β β δ

γδ β β

' ' ' ' '

'

(

' '' + ' + ' ' + ' ' + ' '

)

' ' '

 β β β β β β β  −β β β =

3 1 2 1 3 2 3 y p01 1 2 3p00 0

(28)

вблизи регулярной особенности (0,0) имеет девять линейно-независимых частных ре- шений вида

Z x y x y A_{m n} x^m yⁿ

m n

, _, ,

,

( )

^{= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}

=

∑

∞

ρ σ

0

(29) где r, s и A_m,n (m, n –неизвестные постоянные), при выполнении условий совместно- сти

P m n Q m n R m n S m n

P m n Q m n R m n S m

, ,

, ,

, ,

, ,

(

+

)

^⋅

( )

(

+

)

^⋅

( )

⁼

( )

^⋅

(

⁺

) ( )

^{⋅ +}

1 1

1 1nn

( )

(30) для коэффициентов A_{m n,}

(

m n, =^{0 1 2}, , ,...

)

ряда (5) и условий интегрируемости [4]:

∆

∆ ∆

1 12 21

2 1

2

21 12 12 12 21 21

2

1 1 0

1 1

= − = ≠

= −

(

+

) (

⁺

)

^{= −}

(

₋

)

a b

a a b b b a y

x x

,

⋅⋅

(

−

)



 

 = − −

( ) (

⁻

)

^≠

x

y 1 y 1 x1 y

1 1 0. (31)

При этом одним из частных решений (29) является обобщенный гипергеометри- ческий ряд двух переменных

F₁=F₁ ^{1 1 2 2 3 3} x y ^{1 m 1 n 2}





 =

( ) ( )

^⋅

(

β β β β β β γ δ δ

β β β

, , , , , ,

, , , ,

' ' '

'

'

)) ( )

^⋅

( )

^⋅

( )

( )

+ ^⋅

( )

^⋅

( )

^{⋅ ⋅}

=

∑

∞ ^{m n m n}

m n m n

m n

m n

x m

y n

β β β

γ δ δ

2 3 3

0

' '

'

, ! !. (32)

Между свойствами двух систем типа Клаузена проведен сравнительный анализ и выделены их основные свойства.

Следует отметить, что девять линейно-независимых частных решений система Клаузена имеет только тогда, когда выполняются условия совместности (30) и ин-

тегрируемости (31). В связи с трудностями построения различных решений обычно ограничиваются построением решений в виде функций Клаузена (32). Остановимся на отдельных свойствах функции Клаузена.

Свойство дифференцируемости

Теорема 7. Обобщенная гипергеометрическая функция Клаузена двух перемен- ных (32) имеет:

• производные первого порядка по независимым переменным x и y

∂

∂ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + + +

+ +

F

x β β β F x y

γ δ

β β β β β β

δ δ γ

1 2 3 1 1 2 1 3 1 1 2 3

1 1

, , ; , ,

, , ; ,

' ' '

'







, (33)

∂

∂ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + + +

+ +

F

y β β β F γ δ

β β β β β β

δ δ γ

1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 3 1

1 1

' ' '

'

' ' '

'

, , ; , ,

, , ;; x y, ,







 (34)

• производные высших порядков

∂

∂ ∂ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ +

( )

^{⋅ ⋅ ⋅ + + +}

2 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1

1 1 1

F

x y β β β β β β F γ γ δ δ

β β β β

' ' '

'

, , ; ₁₁ 1 ₂ 1 ₃ 1

1 1 2

' ' '

'

, ,

, + , + ; + , ,

+ + +









β β

δ δ γ x y (35)

∂

∂ =

(

+

)

^⋅

(

⁺

)

^⋅

(

⁺

)

⋅ +

( )

^{⋅ ⋅ +}

( )

^{⋅ + +}

2 2

1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2

1 1

F 2

x β β β β β β F

γ γ δ δ

β ,β 22 2

2 2

3 1 2 3

, ; , ,

, , ; , ,

' ' '

'

β β β β

δ δ γ

+

+ +





 x y (36)

∂

∂ =

( )

+ ^⋅

(

⁺

)

^⋅

(

⁺

)

⋅ +

( )

^{⋅ ⋅}

( )

^{+ ⋅}

2 2

1 1 1 2 2 1 3 3 1

1 1

F

y β β β β β β F

γ γ δ δ

' ' ' ' ' '

' '

ββ β β β β β

δ δ γ

1 2 3 1 2 2 2 3 2

2 2

, , ; , ,

, , ; ,

' ' '

'

+ + +

+ +





 x y (37)

∂

∂^m =

(

+

) (

^{+ −}

)

^⋅

(

⁺

) (

^{+ −}

)

^⋅

(

⁺

)

m

F x

m m

β β_{1 1} 1... β₁ 1 β β_{2 2} 1... β₂ 1 β β_{3 3} 1... ββ

γ γ γ δ δ δ

β β β

3

1 2

1

1 1 1 1

(

+ −

)

⋅ +

( ) (

^{+ −}

)

^{⋅ ⋅ +}

( ) (

^{+ −}

)

^⋅

⋅ + +

m

m m

F m m

... ...

, , ₃₃+ _{1 2 3}

+ +









m

m ; , m, x y

, , ; , ,

' ' '

'

β β β

δ δ γ

(38)

∂

∂ⁿ =

( )

+

(

^{+ −}

)

^⋅

(

⁺

) ( + − )⋅

n

F y

n n

β β β β β β β β

1 1 1 1 1 2 2 1 ₂ 1 3 3

' ' ' ' ' ' '

... ... ^{'' '}

' ' '

...

... ...

(

+

) ( + − )

⋅ +

( ) (

^{+ −}

)

^{⋅ ⋅}

( )

⁺

(

^{+ −}

)

^⋅

⋅

1 1

1 1 1 1

β3

γ γ γ δ δ δ

n

n n

F

F n n n

n n x y

β β β β β β

δ δ γ

1, 2, 3; 1 , 2 , 3

, , ; , ,

' ' '

'

+ + +

+ +









(39)

∂

∂ ∂^{m n+} =

(

+

) (

^{+ −}

)

^{⋅ ⋅}

(

⁺

) (

^{+ −}

)

m n

F x y

m n

β β_{1 1} 1 β₁ 1 β β 1 β 1

3 3 3

... ... ^{' '} ... ^'

γγ γ γ δ δ δ δ δ

β

⋅ +

( ) (

^{+ + −}

)

^{⋅ ⋅ +}

( ) (

^{+ −}

)

^⋅

(

^{+ −}

)

^⋅

⋅ +

1 1 1 1 1

1

... m n ... m ^'... ^' n

F mm m m n n n

m n m n x y

, , ; , ,

, , ; , .

' ' '

'

β β β β β

δ δ γ

2+ 3+ 1+ 2+ 3+

+ + + +









(40)

Все формулы (33) – (39) можно выводить из общей формулы (40).

Вывод частных случаев функций Клаузена:

• если один из параметров β β β1⋅ ⋅ =2 3 0, то получится ряд относительно перемен- ной y.

• если один из параметров β β β

1 2 3 0

' ⋅ ⋅' ' = , то получим ряд относительно перемен- ной x.

• F β β β x

δ δ γ

1, 2, 3 0 0 0

, _', ; ;







 F ;;; , , y

, , ;

' ' '

'

β β β

δ δ γ

1 2 3



 

 − ряд одной переменной от- носительно .

• F β β β β β β y

δ δ γ

1, 2, 3 1 2 3 0

, , ; , ,

' ' '

'







 F β β β β β β x

δ δ γ

1 2 3 1 2 3

, , 0

, , ; ,

' ' '

'







 − ряды относи- тельно x и y.

• если некоторые из параметров b_j и β^'_j принимают отрицательные значения, то функции Клаузена превращаются в многочлены. Так, при 1). β₁= −1,β₁^' = −1; или 2).

β₂= −1,β₂^' = −1; или 3). β₃= −1,β₃^' = −1 ряд Клаузена превращается в многочлен двух переменных вида

F− − x y x y





 = − ⋅ ⋅

1 1

2 3 2 3 1 2 3 2 3

, , , ,

, , ; ,

' '

'

' ' '

β β β β

δ δ γ

β β γδ

β β

∓ γδ ++

(

+

)

^⋅

β β β β γ γ δδ

2 3 2 3

1

' ' ' xy, а также возможны и другие комбинации параметров.

• Обе системы (10) и (28) имеют регулярные особенности

( ) ( ) ( ) ( )

0 0, , 0 1, , ,1 0 , ,1 1 0,∞ , ,0 , ,1 , ,1

( ) ( )

^∞

( )

^∞

( )

^∞ и

(

∞ ∞^,

)

, поэтому система не имеет нормальные и нормально- регулярные решения, поскольку в этом случае многочлен Q x y

( )

, ^≡0, и существуют решения только в виде обобщенных степенных рядов двух переменных.

Однако решения систем (10) и (28) отличаются, хотя есть сходство в решениях систем, определяющих уравнения относительно особенности (0,0):

ρ₁=0 σ₁=0 ρ₁ 0σ₂ 1 δ₁ ρ₁ 0 σ₃ 1 δ₂ ρ₂ 1 δ σ_{1 1} 0

(

^,

)

^,

(

^{= , = − '}

)

^,

(

^{= , = − '}

)

^,

(

^{= − , =}

)

^,,

(

^{ρ2 = −1 δ σ1, 2= −1 δ1'}

)

^,

ρ₁=0 σ₁=0 ρ₁ 0σ₂ 1 δ₁ ρ₁ 0 σ₃ 1 δ₂ ρ₂ 1 δ σ_{1 1} 0

(

^,

)

^,

(

^{= , = − '}

)

^,

(

^{= , = − '}

)

^,

(

^{= − , =}

)

^,,

(

^{ρ2= −1 δ σ1, 2= −1 δ1'}

)

^,

ρ₂ = −1 δ σ_{1 3}= −1 δ₂ ρ₃ 1 δ σ_{2 1} 0 ρ₃ 1 δ σ_{2 2} 1 δ₁ ρ₃ 1

(

^{, '}

)

^,

(

^{= − , =}

)

^,

(

^{= − , = − '}

)

^,

(

^{= −δδ σ2, 3= −1 δ2'}

)

^.

ρ₂= −1 δ σ_{1 3}= −1 δ₂ ρ₃ 1 δ σ_{2 1} 0 ρ₃ 1 δ σ_{2 2} 1 δ₁ ρ₃ 1

(

^{, '}

)

^,

(

^{= − , =}

)

^,

(

^{= − , = − '}

)

^,

(

^{= −δδ σ2, 3= −1}