УДК 514.113
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФИГУР СТЕРЕОМЕТРИИ
Бекова С.К.
КГУ имени Ш.Уалиханова, г.Кокшетау
Научный руководитель – Увалиева С.К.
Одной из причин, определяющих недостатки геометрического образования учащихся средней школы, является переход изучения стереометрии от планиметрии.
Учащиеся привыкли видеть плоскостные фигуры лежащими только в плоскости классной доски или ученической тетради.
Систематический переход в пространство при изучении геометрии поможет улучшить уровень геометрического развития учащихся. Этот переход осуществляется не в изучении отдельных теорем стереометрии, а в систематическом привлечении пространственных представлений учащихся при изучении плоскостных фигур.
Необходимо разработать систему упражнений или алгоритм, выполняя которые учащийся будет вынужден рассматривать изучение плоскостных фигур в пространстве.
Рассмотрим некоторый опыт изучения планиметрии при систематическом использовании пространственных представлений учащихся.
Как обычно, на начальном этапе изучения геометрии, рассматривают многочисленные примеры геометрических тел, поверхностей и линий, окружающих нас в жизни. Дают определение плоскостной и пространственной фигуры: фигура, все точки которой лежат на одной плоскости, называется плоскостной. Представление о такой фигуре дает любой рисунок ил чертеж, сделанный на листе бумаги или на классной доске.
Геометрическая фигура называется пространственной, если не все ее тоски лежат на одной плоскости. Например, тетраэдр, кур и шар являются пространственными фигурами [1].
Зададим учащимся вопрос: «Является ли треугольник, лежащий в плоскости классной доски, пространственной фигурой?». Учащиеся ответят отрицательно, так как треугольник – фигура плоскостная. А если поставить вопрос иначе: «Будет ли треугольник плоскостной фигурой, если рассматривать его не в плоскости классной доски». То соответственно мнения учащихся разделятся.
Как мы видим, при изучении стереометрии основных трудностей – две.
Первая – отсутствие алгоритмов. Практически каждая задача и каждая теорема решается и доказывается как новая.
Вторая – неразвитые пространственные представления учащихся.
Успех в обучении стереометрии во многом зависит от того, как учитель будет преодолевать указанные трудности. Главную роль в данном вопросе играет учебник: по тому, как он помогает учителю, можно судить о его качестве.
Изучая стереометрию необходимо соединять живость воображения с логикой, наглядные картины со строгими формулировками и доказательствами. Приводя формулировку определения, теоремы или задачи, нужно, прежде всего, понять их содержание: представить наглядно, нарисовать и еще лучше, хотя и труднее всего, представить то, о чем идет речь.
Основная ошибка учащихся старание заучить, не нарисовав, не вообразив того, о чем идет речь. Нет стремления, понять, как наглядное представление точно выражается в формулировке определения, теоремы или задачи.
Задача: «Приведите пример двух одинаковых неограниченных поверхностей, не являющихся плоскостями и имеющих единственную общую прямую». Смысл задания
ясен – показать отличие плоскости от другой поверхности в пространстве. Для ответа учащиеся мобилизуют собственные наглядные представления и пытаются привести нужные примеры.
Развитию пространственного представления, служит и такой прием: одна и та же операция проводится в разных ситуациях. Например, учащийся, верно, изображает высоту правильного тетраэдра, проведенную на основание, но затрудняется изобразить высоту, проведенную из вершины основания на боковую грань.
Приведем, следующую, хорошо известную задачу: «В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 , все грани которого равные ромбы с равными острыми углами при вершине А, построить перпендикуляр из вершины А1 на плоскость АВС». Фактически – та же самая задача, но это надо еще увидеть [2].
Пожалуй, самое ценное умение, которое можно добиться от учащегося, развивая его пространственные представления, - умение мысленно оперировать образами фигур. Вот характерная задача, дающая такую возможность: «В тетраэдре все ребра, кроме одного, равны 1. Вычислите наибольшее значение его объема». Из наглядных соображений решение ясно: грань, в которой три ребра равны 1, примем за основание, тогда общий конец двух других ребер, равных 1, будет вершиной тетраэдра. При своем движении в пространстве более всего она будет удалена от плоскости основания в том случае, когда боковая грань, являющаяся равносторонним треугольником, станет перпендикулярна основанию.
Отсутствие алгоритмов в геометрии приводит к тому, что существенно возрастает роль личного опыта учащегося в решении задач, в этом случае ему можно и нужно помочь. В разнообразных рисунках к задачам достаточной сложности легко выделить
«стандартные блоки», т.е. фигуры, которые встречаются много раз. Знание этих «блоков», умение их разглядеть в разных положениях помогает учащемуся решать задачи. В планиметрии таким «блоком» является треугольник, а в пространстве, соответственно, тетраэдр. Выделим три основных тетраэдра стереометрии:
1) тетраэдр, у которого все грани – прямоугольные треугольники;
2) тетраэдр, у которого в основании равнобедренный треугольник и вершина тетраэдра проектируется в общую точку равных сторон основания;
3) правильная треугольная пирамида [3].
В идеале учащийся должен знать, что если планиметрическая задача сводится к соотношению в треугольнике, то она, как правило, решена. Точно так же, сведение незнакомой стереометрической задачи о связи величин к нахождению соотношений в указанных «тетраэдрах-блоках» означает принципиальное решение задачи.
В целом, при целенаправленной работе можно добиться заметных результатов в развитии пространственных представлений учащегося и в формировании пространственного представления.
В связи со сказанным остановимся на вопросах методики изучения стереометрии.
Естественно возникает вопрос: если пространственное мышление столь важно для человека с точки зрения его общего образования, а пространственные представления учащихся так важны для изучения стереометрии, то почему вся работа по их формированию откладывается на последние два года? Может быть лучше вести эту работу с самых первых шагов обучения геометрии и не прерывать ее? Тем самым, не торопясь, без всяких доказательств существования тех или иных геометрических фигур, можно было бы знакомить учащихся на моделях и их рисунках с разными телами, их свойствами, считать расстояния, углы, сравнивать треугольники, не лежащие в одной плоскости. Тогда с течением времени учащиеся имели бы достаточный запас наглядных представлений пространственных фигур и некоторый опыт в решении стереометрических задач. И совершенно естественно, что их знания геометрии пространства были бы организованны на основе системы аксиом. Аксиомы геометрии, как и в других теориях, можно понимать в двух различных смыслах. В одном смысле они являются выражением
обобщения некоторых фактов, в другом - служат определению абстрактного предмета теории, и ее основных понятий [3].
В конце концов, геометрическая деятельность учащегося не сводится только к познанию науки. Реальные объекты стереометрии окружают его буквально со всех сторон.
Известно убеждение – знание того или иного объекта начинается с его определения.
Но это далеко не всегда так. Знакомство с правильной пирамидой может начаться с еѐ разглядывания, описания, рисунка. Затем устанавливаются его свойства – из еѐ наглядного образа. Некоторые из свойств являются характерными (характеристическими) для такой пирамиды. Одно из них и становится еѐ определением. Именно такой подход важен, если мы хотим показать учащимся, как развивается система математических знаний.
Знание объекта – это его опознание, знание его свойств, характерных свойств, признаков, знание его структуры, соотношений в нем, связей с другими объектами.
Фиксировать же в сознании учащихся, главным образом, определение объекта не так уж важно; это приводит к формализму в их знаниях. Конечно же, это не значит, чтобы в учебных учреждениях вообще перестали учить определения. Просто ничего страшного нет, если учащийся не помнит, то или иное определение. Куда хуже, если учащийся про указанный объект ничего, кроме определения не знает.
По нашему мнению, традиционный наглядный метод решения задач, в котором ход решения направляется рисунком или его мысленным образом, должен быть основным метод, которому мы обязаны учить в стереометрии.
Литература
1. Погорелов А.В. Геометрия 6-10. – М.: Просвещение, 1983.
2. Геометрия 9-10 / Под.ред. З.А. Скопеца. – М.: Просвещение, 1983.
3. «Математика в школе», №1, 1986.