функциональный анализ и его приложения^
1989, т. 23, вып. 1, 78—79
У Д К 517.9
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КОРНЕЙ
СЛАБОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ Е . Д . Н у р с у л т а н о в
Вопросу факторизации гиперболического пучка операторов посвящены статьи 11]—[5] и др. Наиболее сильный результат приведен в работе А. С. Маркуса, В. И. Ма- цаева [5], в которой получена теорема факторизации для слабогиперболического пучка операторов, т. е. таких гиперболических пучков, спектральные зоны которых допускают смыкание. Оставался открытым вопрос — в случае, когда точка смыкания двЗ^х соседних спектральных зон является собственным значением пучка, будет ли оно собственным зна
чением отщепляемого фактора и, если будет, то какая часть собственных и присоединенных векторов (у слабогиперболического пучка может появиться жорданова клетка размера 2 именно в общей точке соседних зон) будет являться собственными и присоединенными векторами фактора.
В этой заметке приводится теорема факторизации слабо гиперболического пучка, доказательство которой основано на использовании теории операторов в пространстве' с индефинитной метрикой, причем описывается, какую часть собственных векторов забирает фактор.
Пусть ^ — гильбертово пространство. Полиномиальный операторный пучок L {X) =
= TJ^I + }J^~'^An-\ + . . . + ^ 0 будем называть слабогиперболическим, если при любом f фО все корни полинома (L {X)f, f) вещественны. Обозначим через Р^ (/) ^ Pg (/) ^
^ . . . > Рд (/) корни полинома (L (k)f, / ) . Множество значений функционала Р^ (/) (/ е е Э \ { 0 } ) называется /-й спектральной зоной пучка L{X) и обозначается А/. Можно дать эквивалентное определение слабогиперболического пучка. Пучок L (Х) называют слабо
гиперболическим, если существуют вещественные числа а^ ^ ag ^ . . . «zi-i' (—1)^-^ («i) ^ О (случай, когда а^ = я^ ^^ ^ тривиальный, т. е. L (aj) = 0; поэтому будем рассматривать
слабогиперболические пучки, у которых а^ > «з > . . . > «TI-I)-
п
Сопоставим пучку L (Х) определенный в ортогональной сумме ^ = ^ф ^ п экзем- пляров гильбертовых пространств ограниченный оператор 1
'bj О . . . ^1
О бз/ . . . ^2
^ = 1 nix- i' W'
1
где операторы Z)JH Bt удовлетворяют условию
D^B. = -L{b.)/]l(b.-b^).
Л е м м а 1 [6]. Спектр пучка L (к) совпадает со спектром оператора Н, причем, зная систему собственных и присоединенных к нему векторов одного из них, можно постро
ить собственные и присоединенные векторы другого.
В частности, слабогиперболическому пучку L (к) в пространстве ^ соответствует самосопряженный оператор Н, где В. = — D.=: lL{a.) / Ц (а^—а^)\ , ai, ^2, . . . . . ., а^_^, — из определения слабогиперболического пучка; только в этом случае при
соединенному вектору пучка L (К) будет соответствовать собственный вектор оператора Н.
Зафиксируем индекс /, 1 ^ у ^ д — 1, и сопоставим числам а^, а2, . . ., a^-i числа h, ^2, . . ., bn-i такие, что &i > «i и L (b-^) ^ 0 , bg = «i, . . ., bj = aj_i, bj^^ =
Пусть aj — нормальное собственное значение слабогиперболического пучка L (к), /о' ' • '' -^0' -^0^"^' ^1^"^' • • • •' /о' ^1 ~~ собственные и присоединенные векторы, отвечаю
щие Uj. Введем числа
л^"* = п («^ - ^р [(^' («р с- fi,)+4 (^" (-j) с /p,-i) 1
где /_j = о, pjf = о при А: <.' 5, р}^ = 1 при /с > 5.
о некоторых свойствах корней операторов 79
Л е м м а 2. Цепочки собственных и присоединенных векторов можно выбрать так, чтобы М^^ = О при т 4= к и М^^ ф О при т = к.
Доказательство аналогично [7], лемма 8.
Пусть
л /S fS+1 fS+l rp rp ,r,.
— приведенная система собственных и присоединенных векторов, соответствующая соб
ственному значению ау, т. е. М^'''^ = О при кфт и М'^^^фО. Собственный вектор /о^, 1 ^ А: ^ 5 называется вектором первого рода, если М^^ У> 0. Из системы векторов (2) выделим подсистему £"+, в которую кроме векторов первого рода входят векторы /^"'"•^,
•fS+2 гр
Т е о р е м а . Пуст.ъ j — фиксированный индекс, i ^ j ^ п — 1. Для слабогипер
болического пучка L {%) имеет место факторизация L (к) = Q (Х)Р{Х), где Q (X), Р (к) — полиномиальные операторные пучки соответственно порядков п — у, / и о {Р (к)) d U ^К? i —
причем если точка Uj является нормальным собственным значением L (к), то aj будет соб
ственным значением пучка Р (к) тогда и только тогда, когда система Е"^ не пуста и в этом случае Е"^ есть система собственных векторов пучка Р (к), отвечающая Uj.
Э т а п ы д о к а з а т е л ь с т в а . Показывается, что некоторый оператор вида (1) дефинитный и, следовательно, (см. [1]) существует максимальное /-неотрицательное инвариантное подпространство, где
/ = diag (/, . . . , / , — / , . . . , — Т).
j
Отсюда получаем (см. [6]) разложение. При расщеплении корневого подпространства используется аппарат, построенный А. Г. Костюченко и М. Б. Образовым [7].
Аналогично получается факторизация, когда правый фактор соответствует произ
вольно фиксированному набору спектральных зон.
Автор приносит благодарность А. Г. Костюченко и А. А. Шкаликову за полезное обсуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лангер Г. II ДАН СССР.— 1966. Т. 169.— С. 12—15. 2. Маркус А. С, Ма- цаев В. Я . , Руссу Г. И. II Acta Scient. Math.— 1973. V. 34.— P. 245—271. 3 . Оразов М.Б.,
Радзиевский Г. В. II Сиб. мат. журн.— 1975. Т. 16, № 3.— С. 572—587. 4. Langer Н. II Acta sci math.— 1976. V. 38, № 1—2.—P. 83—86. 5. Маркус A. С, МацаевВ.И. И
•Функцион. анализ и его прил.— 1976. Т. 10, вып. 1.— С. 81—83. 6. Нурсултанов Е. Д.Ц Изв. АН КазССР. Сер. Физ.-мат.— 1982. Т. 5.— С. 60—63. 7. Костюченко А. Г., Ора
зов М. В, II Фукцион. анализ и его прил.— 1975. Т. 9, вып. 4.— С. 28—40. 8. Шкали
ков А, АЛ ДАН С С С Р . - 1985. Т. 283, № 5.— С. 1100—1105.
Карагандинский государственный Поступило в редакцию университет 30 апреля 1987 г.