УДК 517.51
О НЕПРЕРЫВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА СОБОЛЕВА–МОРРИ
Дуйсенгалиева Б., Джумакаева Г.
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор Темиргалиев Н.
Пусть даны Φ
( )
δ -положительная и неубывающая на(
0,+∞)
функция, число s(
s=1,2,...)
и закрытая областьΩ
из R . s Следуя Морри [1] (см. также [3, §27]), положим для функции f( )x ∈Lp( ) (Ω 0< p<∞)( )1 ( ) ,
sup
1
, ,
p
E p T
T E
p f t dt
f E
≡ Φ ∫
Φ ∈
где Т есть фиксированное семейство измеримых подмножеств Ω положительной конечной меры, содержащее возрастающую последовательность множеств, сходящуюся к Ω, а | | означает s –мерную меру Лебега измеримого множества Е.
Пусть даны числа αj(j=1,...,s) -неотрицательные целые, rj (j=1,...,s) -целые положительные, ℵj(j=1,...,s)-положительные, 1≤ p<∞ ипусть Ω =[ ]0,1s. Классом Соболева – Морри pr Tr
( )
ss s
W ;1,...,; 0,1
,...,
1 ℵ
Φ ℵ называют множество всех тех измеримых на Ωфункций f(x), для каждой из которых конечна норма
∑
= ΦΦℵ ℵ
Φ ℵ ≡ + s
j p T
r T x
p
W f D f
f jj
Т rp
1 , ,
, , ,
,
.
Здесь Djf(x)
j
r
x – производная порядка rj по j – ой переменной в x=(x1,x2,...xs) , (ℵ ℵы)
=
ℵ 1,..., , ( ) [ ] ( )
⊂ < < = < ≤
− +
=
=
= ∏
=
ℵ ℵ
ℵ ℵ
ℵ ℵ 0,1 :0 1 1,..., ,0 1
2 , 1 2 1
1 ,...,
1 Iϑ y y ϑ y ϑ y j s ϑ
T
T s j
s
j
j j
j j
s
.
Для степенных функций Φ(δ)=δα классы Wrp,Φ,T(0,1)s впервые были изучены Морри [1]. В дальнейшем, эти исследования были продолжены в работах различных авторов (см.
[2-12], в том числе [3, §27], [4, c. 39-40]).
По результатам исследований 1981-1985 годов (см. [5, 8-11]) задачи по теме
«Морри» были сформулированы в Обзоре-1997 (см. [6]).
Справедлив
Критерий А (Г.Т. Джумакаева [5, 1985г.]). Пусть даны числа
p
(1≤p<+∞), s иr ( s,r=1,2,... ) такие, что rp≠s . Пусть также дана неубывающая на
(
0,1]
положительная функция Φ
( )
δ , для которой при некотором C>0 справедливо неравенство ( ) ( ) ( )1 0< < <
≤ Φ
Φ η δ
η η δ
δ p
p
С . Тогда для того чтобы имело место вложение
( )( )s ( )s
r
p C
W ;Φ;1,...,1 0,1 ⊂ 0,1
необходимо и достаточно выполнение условия
+∞
<
Φ
∫δ s−p ⋅ δ dδδ
1 r
0 1
)
( .
Через D(α1,...,αs)C( )0,1s обозначим класс функции f с непрерывными на [ ]0,1s производными f(α1,...,αs).
Нами доказана
Теорема 1. Пусть даны числа s
(
s=1,2,...)
, αj(j=1,...,s)- неотрицательные целые, (j s)rj =1,..., - целые положительные, ℵj(j=1,...,s) - положительные, 1≤ p<∞. Пусть также дана неубывающая на
(
0,1]
положительная функция Φ( )
δ .Тогда условие
∫ ( )
+
+
− ℵ
ℵ
+∞
<
Φ
∑ ∑=
=
=
0
1 1 1
max
1 1
,..., 1
δ δ δ δ
τ τ τ α
d
s
j j
s j
t t s
r p r
влечет вложение
( )
s ( )( )
sr r
T
p D C
W s s
s
1 , 0 1
,
0 ,...,
,...,
;
;
1 1
,..., 1
α
⊂ α
ℵ
Φ ℵ .
Имеют место следующие следствия.
Следствие 1 (В.П. Ильин [2]). Если
1 0 max
1 1
1 1
,..., 1 1
0 ∑ >
∑ ⋅
ℵ
∑ℵ
−
−
−
= = =
= s =
j
s j
s s
t t
j j
j
a p r r r
τ τ τ
δ α
, то имеет место вложение
( )
s ( )( )
sr r
T p
C D
W s s
s p
a 0,1 ,..., 0,1
,...,
;
;
1 1
,..., 1
α α
δ ⊂
ℵ
ℵ .
Следствие 2. Достаточное условие в критерии А следует из Теоремы 1.
Литература
1. Morrey C. B. Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics. – Univ. California, Publ. 1, 1943.
2. Ильин В.П. О некоторых свойствах функций из пространств l ℵ
( )
ℜa
Wp,, . – Зап.
науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1971, т. 23, с. 33-40.
3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Физматлит. 1996.
4. Кудрявцев Л.Д., Никольский С.М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения // Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 26. С. 5 - 158.
5. Джумакаева Г.Т. Критерий вложения класса Соболева - Морри Wp1,Φ в пространство С // Матем. заметки. 1985. Т. 37. № 3. С. 399-406.
6. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестник Евразийского университета. 1997. № 3.
С. 90-144.
7. Темиргалиев Н. Непрерывная и дискретная математика в органическом единстве в контексте направлений исследований // Электронное издание. ИТМиНВ.
Астана, 2012. С. 1-259.
8. Джумакаева Г.Т., Наурызбаев К.Ж. О пространствах Лебега - Морри // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-матем. 1982. № 5. С. 7-12.
9. Джумакаева Г.Т. О непрерывности гладких в смешанной норме функций.
Тезисы VII Межвузовской научной конференции по математике и механике (16- 18 сентября 1981, Караганда), С. 19-20.
10. Джумакаева Г.Т. Об одной комбинации теорем вложения С.М. Никольского и Ч.
Морри. “Методы исследования операторных уравнений”. Ярославль, 1982. С.
53-66.
11. Наурызбаев К.Ж., Темиргалиев Н., Джумахаева Г.Т. Критерий вложения классов Лебега – Морри в пространства Лоренца и смежные задачи // Вестник ЕНУ им.
Л.Н. Гумилева, 2012. – №6 (91). – С. 6-29.
OMTSA (Operators in Morrey-Type Spaces and Applications). Book of Abstracts. Dedicated to 70th birthday of professor Victor I. Burencov, 20-27 May, 2011, Ahi Evran University. Kirşehir.
Turkey (Website: http:// fef.ahievran.edu.tr/matematik/omtsa11).