ПОТОКИ РИЧЧИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЧАСТИ ГОРЛОВИННОГО РЕШЕНИЯ

УДК 530.1:51-72

ПОТОКИ РИЧЧИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЧАСТИ ГОРЛОВИННОГО РЕШЕНИЯ

Баданова Ж.К.

Магистрант, Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, г.Астана Научный руководитель- д.ф.-м.н, профессор Мырзакулов Ратбай

Согласно потоку Риччи горловинное решение, приводит к сингулярности при λ →λ₀. Применяя стандартную операцию хирургии в точке, где появляется сингулярность мы получим изменение исходной топологии.

Рассмотрим 3D часть метрики

ds

²

 e

^{2F (r )}

dt

²



^{dr2  (r2  r2 )d2 (1)}

A(r) ⁰

в следующем виде

dl² e^{2u (r , )}dr² e2v( r , ) (d ² sin² d² )

где начальные условия λ = 0 дают нам 3D часть метрики горловинного решения (1)

u(r,0)  1

2 ^{ln A(r) (2)}

e2v ( r ,0) r ² r⁰² (3)

Потоком Риччи являются следующие уравнения

u  2e^2u (v uv v² ),

 x

v  e^2u (v uv 2v² )  e^2v ,

 где

u  u(r,),v  v(r,).

(4) (5)

(6) Отметим, что имеется солитонное решение, которое определено как

u  v  0. (7)

 

В этом случае решением уравнений (4) – (5) является

(e^v )e^u . (8) Можно показать, что вводя новую координату x

 e^u dr  (e^v )dr  dx (9) метрика (14) может быть написана в форме

dl²  dx²  x² (d ²  sin ² d² ) (10)

Непосредственно мы видим, что это есть 3D трехмерное Евклидовое пространство. По всей видимости аналитическое решение уравнений (4) – (5) не существует. Поэтому мы ищем численное решение уравнений (4)(5). Начальные и граничные условия выглядят следующим образом

278

u(r,0)  1 ln A(r), (11)

2

1 2 2 (12)

v(r,0)  2ln(r  r0 ),

v(0, )  0, (13)

r

v(r,)  1 ln(r²  r² ) . (14)

r  2 ⁰ _r

Отметим, что мы рассматриваем  ₂ симметричное решение u(r,)  u(r,).(15)

Для численных вычислений существуют некоторые проблемы. В уравнении

 x²  x²

2 A 1 x 1 1

 ( 2 x ⁰  A  x  x²  x² ) A sin  есть слагаемое x , и следовательно, мы

0

должны начать численные вычисления не с x = 0, а с некоторого x    0.

Поэтому численные решения проводятся в области для:

  r  x₁.

Таким образом, начальные и граничные условия имеют следующий вид: u(r, ) 

1

2

^{ln A(r),}

u(x1, )  1

2 ^{ln A(x1 ),}

u(r,0)  1

2 ^{ln A(r),} v(x₁, ) 

1

2

^{ln A(x1 ),}

v( , ) 0.

r

Результат численных вычислений для потока Риччи представлен на рис. 4 и 5. На Рис. 4 мы видим, что радиус кротовой норы

e^v(0,)^^^00 Одновременно в этой точке появляется сингулярность так как

e

u (0,) 

0

4.2

(x) 4.0

3.8

3.6

3.4

x 2 ^{4 6 8 10}

279

Рис.1. Профиль скалярного поля (x). 1.

60

50

40

A(x)

30

20

x 2 4 6 8 10

Рис.2. Профиль

A(x).

2.0

1.5

F(x)

1.0

0.5

x 2 4 6 8 10

Рис.3. Профиль

F (x).

4

1

3

2 3

2 4

5

x 1 2 ^{3 4}

0

Рис.4. Профиль

e

^{v( r , )}

.1    0;

2    0.3   ; 3    0.6   ; 4    0.9   ; 5     .

0 0 0 0

280

25 000

20 000

15 000

10 000

5000

x 1 2 3 4

Рис.5. Профиль

^{eu(r,) .}

Заключение Общепринятая точка зрения заключается в том, что процесс должен быть описан на языке

интеграла по траекториям. Здесь предлагается идея, заключающаяся в том, что проблема изменения топологии пространства может и не быть связана со стандартной схемой квантования. Возможно, что это есть независимая проблема, связанная с потоками Риччи.

В этом подходе вероятность каждой метрики между статической кротовой норой и конечным состоянием с сингулярностью определена положительным функционалом, определенным потоком Риччи. И основе горловинного решения в теории Эйнштейна изучена деформация горловины связывающей две браны, с помощью потока Риччи.

Литература

1. Серикбаев Н.С. Сигма-модельные представления D-бран типа дирака-борна-инфельда //

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Астана-2010.