ПРОГРАММНАЯ СРЕДА АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА ПРИ АДГЕЗИОННОМ СПОСОБЕ ДВИЖЕНИЯ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2346

*

Hk, соответствующим _i^min, точность их определения практически не превышала точности обучения соответствующей сети. При внесении случайных изменений в вектор U_k^*, порядка 0-5% точность не превышала 10%.

Список использованных источников

1. Ободан Н.І. Ідентифікація навантажень за допомогою динамічної нейронної мережі / Н.І. Ободан, Н.А. Гук // Машинознавство. – 2013. – №4. – С. 38-45.

2. Kenneth O. Stanley and Risto Miikkulainen (2002). "Evolving Neural Networks Through Augmenting Topologies". Evolutionary Computation 10 (2): 99-127.

УДК 539.3

ПРОГРАММНАЯ СРЕДА АНАЛИЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА ПРИ АДГЕЗИОННОМ СПОСОБЕ ДВИЖЕНИЯ

Маландий Александр Алексеевич a.malandiy@gmail.com

Студент факультета прикладной математики Днепропетровского национального университета им. О. Гончара, Днепропетровск, Украина

Научный руководитель – А. Михальчук

В работе предлагается программная среда, предназначенная для исследования особенностей движения тела по поверхности с использованием механизма сцепления. В основу положена математическая модель адгезионного движения упругого тела по твердым поверхностям [1]. Этот способ движения представляет собой последовательность шагов.

Выполнение каждого шага осуществляется в три этапа. Первоначально тело расположено на недеформируемой поверхности, называемой далее поверхностью перемещения (рис.1, а). На первом этапе адгезионного движения передняя часть поверхности тела жестко закрепляется к поверхности перемещения. Под действием внутреннего источника энергии тело деформируется, а незакрепленная область тела перемещается (рис.1, б). При этом может происходить отрыв части поверхности тела от поверхности перемещения. На втором этапе осуществляется закрепление задней части поверхности тела к поверхности перемещения (рис.1, в). Третий этап состоит в освобождении первоначально закрепленного участка. Тело частично восстанавливает свою форму, и центр масс получает перемещение (рис.1, г).

Пунктиром на рисунках показано положение тела на предыдущем этапе.

Отметим, что сцепление упругого тела с поверхностью может осуществляться с использованием разных механизмов, в частности, при помощи клейких веществ, сцепления когтями, при помощи присасывания. В данной работе не уточняется конкретно механизм, обеспечивающий сцепление упругого тела с твердой поверхностью, и вводится модельное представление о тонком слое материала сцепления, в котором осуществляется соединение и разъединение тела и поверхности. В дальнейшем будем называть этот слой контактным слоем. Процесс деформирования считаем квазистатическим, а возникающие перемещения и деформации – малыми на каждом шаге. Считаем, что энергия деформации, освобождающаяся при разгрузке тела, полностью аккумулируется в нем и волновых процессов не возникает.

Изучение предложенного способа движения связано с анализом сцепления, отрыва, отставания тела от поверхности. Это позволяет рассматривать класс задач, основанных на принципе сцепления с поверхностью, как контактные задачи механики деформируемого твердого тела. Подчеркнем, что условия контактного взаимодействия имеют сложный вид, в частности, содержат неравенства. Вследствие этого математическая задача, возникающая в рамках модели, является нелинейной даже в случае линейно-упругого тела. Для ее решения

2347

использован вариационный подход [2]. Получена формулировка задачи в виде вариационного неравенства и в виде экстремальной вариационной задачи. Доказана эквивалентность этих формулировок, а также доказано, что решение вариационного неравенства является обобщенным решением задачи в дифференциальной постановке [3].

а) б)

в) г)

Рисунок 1 – Схема адгезионного способа движения

Принципиальная трудность численного решения связана недифференцируемостью полученного функционала. Известно, что недифференцируемость функционала может привести к явлениям «заедания» алгоритма в неоптимальной точке. Алгоритм минимизации может сходиться к некоторой функции, которая не является решением экстремальной задачи.

Один из путей решения проблемы состоит в регуляризации экстремальной задачи, т.е.

приближенной замене недифференцируемого функционала некоторым близким, но уже дифференцируемым функционалом. В работе [3] выполнена такая замена, рассмотрена последовательность регуляризованых экстремальных задач и доказано, что последовательность решений регуляризованых задач сходится к решению исходной задачи.

Дискретизация вариационной задачи выполнена методом конечных элементов. Для минимизации полученной функции многих переменных использован метод последовательной верхней релаксации, модифицированный для учета ограничений в виде линейных неравенств.

На основе предложенной модели разработана программная среда, которая позволяет моделировать движение тела по гладкой горизонтальной поверхности в "нормальном"

положении и в положении "спиной вниз"; движение по вертикальной поверхности по направлению вверх и вниз; движение по горизонтальной поверхности с препятствием.

Ядро программной среды составляют следующие процедуры.

1. Построение конечноэлементной сетки. Сетка в общем случае является неравномерной. Она строится таким образом, чтобы граница области адгезионного сцепления всегда совпадала с узлом конечноэлементной сетки.

2. Формирование начальных перемещений в узлах сетки.

3. Задание признаков варьирования значений перемещений в узлах сетки на каждом этапе адгезионного движения.

4. Определение результирующих перемещений в узлах сетки. В этой процедуре выполняется минимизация функции многих переменных методом последовательной верхней релаксации.

2348

5. Определение компонент тензора напряжений в серединах узлов сетки с помощью соотношений Коши и соотношений закона Гука.

6. Определение компонент тензора напряжений в узлах сетки путем усреднения по найденным значениям в центрах конечных элементов, окружающих данный узел. Для нахождения напряжений на границе области использовалась квадратичная экстраполяция по трем узлам из глубины области.

7. Расчет потенциальной энергии деформации тела.

Программная среда снабжена удобными средствами задания исходных данных и визуального представления результатов. Она предоставляет следующие возможности.

1. Рассчитывать значений перемещений точек тела в узлах конечно-элементной сетки и на основе полученных значений графически представлять результат деформирования тела при выполнении каждого этапа движения.

2. Находить значения напряжений в узлах сетки и строить изолинии компонент тензора напряжений.

3. Строить эпюры напряжений на контактной поверхности.

4. Формировать график, характеризующий изменение энергии системы в процессе осуществления адгезионного движения.

5. В анимированном виде демонстрировать деформирование тела при его движении по гладкой горизонтальной поверхности в "нормальном" положении и в положении "спиной вниз"; по вертикальной поверхности по направлению вверх и вниз; по горизонтальной поверхности с препятствием.

Отметим, что моделирование адгезионного движения проводилось для упругого тела в рамках теории малых деформаций. Функция, описывающая препятствие, выбиралась таким образом, чтобы высота препятствия была соизмерима с величиной перемещения точек тела при выполнении одного шага движения. При разработке алгоритма учтено, что в процессе движения тело перемещается на некоторое конечное расстояние. Для того чтобы перемещения на каждом шаге оставались малыми, положение тела после выполнения очередного шага было отнесено к новой системе координат, начало которой связано с центром масс тела.

Для оценки результатов численного решения в программную среду включена возможность исследования параметров, влияющих на точность приближенного решения.

Исследуется зависимость полной энергии системы и времени работы алгоритма от следующих параметров:

- количество конечных элементов, на которое разбивается тело;

- параметр релаксации;

- параметр



, используемый для прерывания итерационного процесса в методе последовательной верхней релаксации.

Анализ полученных зависимостей позволяет обосновать практическую сходимость алгоритма и осуществить рациональный выбор вычислительных параметров.

В программной среде реализована возможность оперативного анализа напряженно- деформированного состояния тела при его движении по различно ориентированным поверхностям. Программная среда позволяет также выявлять наиболее уязвимые участки тела, подбирать оптимальные физические и геометрические характеристики тела, исследовать изменение потенциальной энергии системы в процессе движения.

Результаты работы могут быть использованы при изучении особенностей движения биологических объектов, а также при проектировании систем, способных перемещаться в условиях невесомости.

Список использованных источников

1. Кузьменко В.И., Михальчук А.И. Модель адгезионного движения // Вісник Дніпропетр. ун-ту: Механіка. – 1999. – Вип. 2, Т. 2. – С. 82–89.

2349

2. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике.– М.

МГАПИ, 1997. – 340 с.

3. Кузьменко В.І., Михальчук Г.Й. Контактні задачі руху пружних тіл вздовж твердих поверхонь // Математичні методи та фізико-механічні поля. – Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, 2013.

– Т. 56, №1 – С. 84-93.

УДК 519.6

ЦИФРЛІК СҮЗГІ АЛГОРИТМІ НЕГІЗІНДЕ САНДЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУ АМАЛЫ

Манарбек Махпал makpal9136@mail.ru

Л: Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Университетінің механика-математика факультетінің 1 курс магистранты, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекші – Б. Г. Муканова

Қазіргі таңда практикада біз торлы функция қолданылатын процестерді жиі кездестіреміз: доллар курсы, ауа райының өзгерісі, аурулардың таралу заңдылығы және т.б.

статистикалық мәліметтер. Алайда кездейсоқ қателіктер салдарынан біз нақты нәтижелер ала алмаймыз. Осыны дәлелдейтін бір мысал қарастырайық.

Бізге келесі заңдылыққа бағынатын функция берілсін:

] ) (

exp[

)

( ^{0 2}

delta x x x

f 



 , (1) мұндағы x, x0 – тәуелсіз функциялар, x0=0.5, delta=0,1. Бұл функцияның бірінші және екінші туындыларын алып және оларды сәйкесінше df(x) және ddf(x) деп белгілейік:

), ( )

( f x

dx x d

df  (2) ).

( )

( df x

dx x d

ddf  (3) Графикті салмас бұрын оның торының қадамдарын белгілейік: j=1…100, h=

100 1 . Өлшеудің қателігі - δ=0.01. Алынған функциямызды қателікпен қабылдап, Q_jоны белгілейміз:



* ) 5 . 0 ) 1 ( ( )

(   

 f j h rnd

Q_j (4) f(x) функциясының және қателікпен есептелінген Q_j функциясының графигін көрсетеміз: