Просмотр «РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА » | «Физико-математические науки»

МРНТИ 27.31.17 УДК 517.956

https://doi.org/10.51889/2020-2.1728-7901.04 С.Е. Айтжанов ^1,2, Г.Р. Ашурова¹

1Казахский национальный университет имени аль-Фараби, г.Алматы, Казахстан,

2Институт математики и математического моделирования, г.Алматы, Казахстан РАЗРЕШИМОСТЬОБРАТНОЙЗАДАЧИДЛЯУРАВНЕНИЯСОБОЛЕВСКОГОТИПА

Аннотация

Исследование нелинейных уравнений математической физики, в том числе обратных задач на сегодняшний день является актуальной. Эта работа посвящена фундаментальной проблеме исследованию качественных свойств обратной задачи для псевдопараболических уравнений (называемых также уравнениями соболевского типа) с достаточно гладкой границей. В статье методом Галеркина доказывается существование слабого решения обратной задачи в ограниченной области. Использование теорем вложения Соболева, получены априорные оценки решения. Использование Галеркинских приближений позволяет получить оценку сверху времени существования решения. Получены локальная и глобальная теорема о существовании решения.

Рассматриваются вопросы асимптотической поведении решений при t , а также разрушение за конечное время. Получены достаточные условия "разрушения" решения за конечное время, а также получена оценка снизу разрушения решения.

Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, обратная задача, метод Галеркина, существование решения, разрушение решения, асимптотическое поведение решения.

Аңдатпа

С.Е. Айтжанов ^1,2, Г.Р. Ашурова¹

1Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы қ., Қазақстан,

2Математика және математикалық модельдеу институты, Алматы қ., Қазақстан СОБОЛЕВТИПТІТЕҢДЕУҮШІНКЕРІЕСЕПТІҢШЕШІМДІЛІГІ

Математикалық физиканың сызықты емес теңдеулерін, соның ішінде кері есептерді зерттеу бүгінгі күні өзекті болып табылады. Бұл жұмыс жеткілікті тегіс шекарасы бар псевдопараболикалық теңдеулер (сондай-ақ Соболев типтес теңдеулер деп аталатын) үшін кері есептің сапалы қасиеттерін зерттеуге арналған. Мақалада Галеркин әдісімен шенелген аймақтағы кері есептің әлсіз шешімінің болуы дәлелденеді. Соболев салынымы теоремаларын пайдаланып, шешімнің априорлық бағалары алынды. Галеркин жуықтауларын пайдалану, шешімнің болу уақытының жоғарғы бағасын алуға мүмкіндік береді. Шешімнің болуы туралы локальді және глобальдытеорема алынды. Сонымен қатар, шешімдердің асимптотикалық t  болғандағы тұрпатын, сондай-ақ ақырлы уақытта қирау мәселелері қарастырылды. Ақырлы уақытта шешімнің "қирауының"

жеткілікті шарттары алынды, сондай-ақ шешімнің қирауының төменнен бағасы алынды.

Түйін сөздер: Псевдопараболалық теңдеулер, кері есеп, Галеркин әдісі, шешімнің бар болуы, шешімнің қирауы, шешімнің асимптотикалық тұрпаты.

Abstract

THESOLVABILITYOFTHEINVERSEPROBLEMFORTHESOBOLEVTYPEEQUATION Aytzhanov S.E. ^1,2, Ashurova G.R. ¹

1Kazakh National University named after al-Farabi, Almaty, Kazakhstan,

2Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan

The study of nonlinear equations of mathematical physics, including inverse problems, is currently relevant. This work is devoted to the fundamental problem of investigating the qualitative properties of the inverse problem for pseudo-parabolic equations (also called Sobolev-type equations) with a sufficiently smooth boundary. In the article, the Galerkin method proves the existence of a weak solution to the inverse problem in a bounded domain. Using Sobolev embedding theorems, a priori estimates of the solution are obtained. Using Galerkin approximations, you can get a top- down estimate of the existence of the solution. A local and global theorem on the existence of a solution are obtained.

We consider the problems of asymptotic behavior of solutions at, as well as blow-up in finite time. Sufficient conditions for t the "blow-up" of the solution in a finite time are obtained, and a lower estimate of the blow-up of the solution is obtained.

Keywords: Pseudo-parabolic equations, inverse problem, Galerkin method, existence of a solution, blow up of a

Моделированию физических процессов, приводящих к уравнениям типа Соболева и, в частности, псевдопараболического типа, посвящены работы [1-7]. Исследованию разрешимости начально- краевых задач для уравнении соболевского типа существенный вклад внесли Осколков А.П., Антонцев С.Н., Кожанов А. И., Свешников А. И., Корпусов М. О. и многие другие ученые.

В работах [8-11] изучались некоторые обратные задачи близкие по постановке нашей.

Рассмотрим в цилиндре Q_T {(x,t):x, Rⁿ,0tT} обратную задачу для псевдопараболического уравнения

), ( ) (

|

| ) ,

(xt u ²u f t h x b

u u

u_t



 _t   ^  (1)

), ( ) 0 ,

(x u₀ x

u  (2)

,

0 uS

(3) ).

( ) ( ) ,

(xt h x dx t

u  





(4) Здесь Rⁿ,n1 ограниченная область, граница  достаточно гладкая,  и  положительные константы, которые  0,  2.

Функции (x), u₀ удовлетворяет следующим условиям:

. ,

| ) (

|

, 1 ) ( ) ( ), ( )

( ) (

2

2 C

Ce t

dx x x h x x

x h

t



 





























(5)

. 2 ), ( ),

( ) ( )

( ₂

0 2 2

2       

  

 L L_ W L (6)

).

( ) ( ),

0 (

0 1 2 0

0    



_^{u hdx  u W L (7)}

Лемма. Задача (1)-(4) эквивалентна следующей задаче для нелинейного параболического уравнения содержащего нелинейный нелокальный оператор от функции u(x,t)

, 0 , ), ( ) , (

|

| ) ,

( ²   









 u u b xt u ^ u f tu h x x t

u_t



_t ^ (8)

. 0 ,

), ( ) 0 ,

(  ₀  

uS

x x u x

u (9)

Здесь

,

|

| ) , ( )

( ) ,

(

 

²













 

 t u dx b x t u u dx u

t

f   ^  (10)

Доказательство. Действительно, из уравнения (1) следует, что

, ) ( ) (

|

| ) ,

( ²











 



















 u dx u dx b x t u u dx f t h x dx dx

u_t  _t  ^   (11)

тогда, если выполняется условие (4) и (5), то

.

|

| ) , ( )

( ) ,

(

 

²













 

 t u dx b x t u u dx u

t

f   ^  (12)

Следовательно соотношение (10) выполняется.

Рассмотрим теперь задачу (8)-(9). Если соотношение (10) выполняется, то из него очевидным образом вытекает равенство (12). Тогда

.

|

| ) , ( )

(

|

| ) , ( )

( ) , (

2

2

























 











 



dx u u t x b dx u t

dx u u t x b dx u t

u t f

















В силу (11) получаем, что

.

|

| ) , ( )

( ) (

|

| ) , ( )

(

|

| ) , ( )

( ) , (

2

2 2















































 











 



dx u u t x b dx x h t f

dx u u t x b dx u dx

u t

dx u u t x b dx u t

u t f

t t



























. 0 ) (

)

(    







dx u

t _t   



Таким образом, () ( ) 0.









 



 



dx u

dt t

d    

Обозначим через







 t uh x dx t

v() ( ) ( ) . Тогда функция v(t) может быть найдена как решение задачи Коши : v(t)0, v(0)0. (v(0)0 следует из условия согласования (7)). Единственным решением задачи является функция v(t)0, следовательно,



uh(x)dx(t).



Лемма доказана.

Определение. Слабым обобщенным решением задачи (8)-(9) называется функция u(x,t) из пространства (0, ; ( ))

0 1 2 1

2 T W 

W , которая удовлетворяет интегральному тождеству

, ) , (

|

| ) , (

0 0

2

1 2

xdt d hv u t f dt dx uv u t x b v u t v u x

v x t

u

T T

p N

i i i



 

_^_^ _ ^{       }_^{ } _ ⁽¹³⁾

для всех ( , ) (0, ; ( )).

0 1 2

2 

L T W t

x v

Выберем в W⁰₂¹

 

 некоторую систему функций {_j(x)} образующую базис в данном пространстве. Такая система заведомо существует, поскольку W⁰₂¹

 

 - сеперабельное пространство.

Будем искать приближенное решение задачи (8)-(9) в виде ) ( ) ( )

, (

1

x t C t

x

u _k

m

k mk

m 



_  ⁽¹⁴⁾

где коэффициенты C_mk(t) ищутся из условий

. ) ( ) , (

|

| ) , (

) (

2

1 1

dx x h u t f dx u u t x b

dx u

x dx t x

C

j m

j m m m

k

j m m

i i

j i k j

k mk





   



   







 







    























 



 





(15)



_ ^{ }



_ ^





m

k

m

k k k k

mk m

m u C

u

1 1

0 (0) (0)  (16)

причем

0

0 u

u_m  сильно в W⁰2¹

 

^ при m (17) введем обозначения



_1m( ),..., _mm( )



^T,

m C t C t

C 



₁,...,_m



^T,



  

^,

 

^,

















 dx

a_{kj k j k j}

 

x,t |u | ² dx f(t,u )h(x) dx, b

dx

b_kj



_{k j}



_{m k j}



_{m j}



 

    











 ^

 

m



jk

 

m



m C a C

A  

 , Gm

 

Cm



bjk

 

Cm



Cm

 .

Тогда система уравнений (15) и условие (16) принимает матричный вид

 

^{ ,  (0) .}

 



  _{m m m}

m

mC f C C

A (18)

Умножим обе части равенства (15) на C_mj(t) и просуммируем обе части получившегося равенства по j1,m.

В результате получим равенство

. ) , (

|

| ) , (

|

| ]

|

|

| 2 [|

1 2 2 2

dx hu u t f dx u t x b dx u dx

u dt u

d

m m m

m m

m

  



   











 ^ (19)

Оценим правую часть (19), применим следующее интерполяционное неравенство

,

) , (

2 , 1 2 2

, 2

) 1 ( 2

, 2 2 0 1

2 , 2 )

1 ( 2

, 2 2

, 2 2 0 2

,

1 1 1









































u C u

u C C

u u

u C

u _ ^{  q}   ^{q q}

где , 0 1,

2 ) 2

(   

 



  ^N , 3,

2

2 2 

 

 N

N

 N (1 ) ¹ .

2 0 1 1





 

 ^{ }



 C

C Тогда правая часть оценивается следующим образом

 

^,

|

| ) ,

( _{0 , 0} ²_{2, 1} ²_2, ²

 





















^{b x t um dx} ^{b um b um C um (20)}

,

| 4|

| 1

| )

( ²

, 2 2

, 2 2 ,

2 ,

2   



 

 

^t



^humdx^{ h um  h um}

 (21)

 

^.

|

| ) , (

2 2 , 1 2 2

, 2 ,

1 0 ,

1, , 0 ,

2





 



 

















 



 



























m m

m m

m m

u C u

h b

h u

b dx u u t x b dx hu

(22)

 

^.

2 1 2

1 ²

, 2 2 , 2 , 2 2

, 2 ,

2 , 2 ,

2 ,

2       























^{humdx um dx h um um  um h  um}

(23) Подставляя полученные неравенства (20)-(23) в тождество (19), получим

   

^{| | .}

2 1

|

| ]

|

|

| [|

2 , 2 2 2

2 , 2 2

, 3 2 2

, 2 2

, 2 2

2 2

2















 



























h u

u C u

u C

dx u dx

u dt u

d

m m

m m

m m

m









 (24)

Обозначим через ( ) ² ,

, 2 2

,

2   

 u_m u_m t

y  тогда (24) примет вид

.

| 2| )] 1 ( [ ) ) (

( ²

, 2 2 2

3

2    

C y t C y t h

dt t

dy ^ 

Обозначим через z(t)e^C2ty(t),

.

| 2| )] 1

( ) [

( 2

, 2 2 2

2 2 3

2 2





  

C e z t e h

dt t

dz Ct Ct

 



Интегрируем от 0 до t, получим

.

| ) ( 2 |

)] 1 ( [ )

0 ( ) (

0 2 2

, 2 0

2 2

2 3

2 2





^{ }



 ^ _ ^

t s C t

s C

ds s e

h ds s z e C z t

z ^{ } 

Применим условие (5)

. )]

( ) [

( ) 2 0 ( ) (

0

2 2

2 3 2

2 , 2 2



^ 2

 

 



t s

C z s ds

e C C

h z C

t z







Применив к которому лемму Гронуолла-Беллмана-Бихари [12], если T t

C h z C

C e

C ^Ct

















 





 



  _





0 , ) ( ) 2 0 ( 1 1

2 2

2 2

, 2 2 2

2

2

3 ²







,

тогда справедливо неравенство

. ) 1

( ) 2

0 , ( )

0 , ( 1

) ( ) 2 0 , ( )

0 , (

) , ( )

, (

2 2

2 2

2 3 2

2

2 2

, 2 2 2

, 2 2

, 2

2 2

, 2 2 2

, 2 2

, 2 2

, 2 2

, 2

2









































 



 













 







 



















 





t C m

m

m m

m m

C e C C

h x C

u x

u

C h x C

u x

u t x u t

x u

(25)

Из этой оценки можно сделать вывод, что существует T₀ 0 такое, что

4,

2 , 2 2

,

2 u C

u_{m }  _{m }  для всех t[0,T],T T₀, (26)

Возвращаясь к (24) и учитывая (26), получим еще одно неравенство:

.

|

| ₅

0

2dxdt C

u

T

m 



_  ⁽²⁷⁾

Теперь умножим равенство (15) на C_mj (t) и просуммируем по j1,m. В результате получим

. ) ( ) , (

|

| ) , 1 (

|

| ) , 1 (

| 2 |

1 2

2 , 2 2

, 2

dx u x h u t f dx u t x b

dx u t x dt b dx d dt u

u d u

m t m m

t

m m

m m



















































 

(28)

Проинтегрируем по  от 0 до t, тогда получим соотношение

 

. )

( ) , (

|

| ) , 1 (

|

| ) , 1 (

| ) 0 , (

| ) 0 , 1 (

| ) 0 , ( 2 |

| 1 2 |

1

0 0

2 2

0

2 , 2 2

, 2



























































t

m m

t

m

m m

m m

t

m m

dxd u x h u t f d

dx u x b

dx u t x b dx

x u x b

dx x

u dx

u d

u u





 









 











(29)

Оценивая правую часть (29), получим следующую оценку

 

^{| |} 6^.

2

0

2 , 2 2

,

2 u d u dx C

u _m

T

m

m     







^{     } _ ⁽³⁰⁾

Из полученных оценок (26), (27), (30) вытекают соответственно следующие утверждения:

um ограниченно в L_(0,T;H¹()), (31) um

 ограниченно в L₂(Q_T),Q_T (0,T), (32)

m tu

 ограниченно в L₂(0,T;H¹()), (33)

Кроме того, в силу поставленных условий на  :

m

m u

u | ²

| ^ ограниченно в (0, ; ( )),

1









L

T

L , 3.

2

2 2 

 

 N

N

 N (34)

Из (31) следует, что существует подпоследовательность

mk

u последовательности u_m, *-слабо сходящаяся к некоторому элементу uL_(0,T;H¹()), т.е.

u

u_mk  *-слабо в L_(0,T;H¹()).

Аналогичным образом, из (32)-(34) вытекает, что существует такая последовательность {u_mk}{u_m},

что u u

mk  слабо в L₂(0,T;H¹()),

В силу теоремы Реллиха-Кондрашова, вложение W₂¹(Q_T) в L₂(Q_T) компактно. Это означает, что последовательность u_mл можно выбрать так, что u u

mk  в норме L₂(Q_T), а значит сходящейся почти всюду [13].

Приведенные рассуждения позволяют перейти к пределу в (15). Но сначала умножим каждое из равенств (15) на d_j(t)С[0,T] и просуммируем обе части получившегося равенства по j1,m. Затем проинтегрируем по t от 0 до T , получим

, ) , (

|

| ) , (

0 0

2

1 2

xdt d u t f dt

dx u u t x b t u

u x x t

u

T

m T

m m m

m N

i i i

m



 

_^_^ _ ^{      }_^{ } _ ^{ (35)}

где







 ^m

j

j

j t x

d t

x

1

) ( ) ( )

,



( .

Учитывая полученные включения и сходимости, перейдем в (40) к пределу при m и получим (13) для v. Так как множество всех функций (x,t) плотно в (0, ; ( ))

0 1 2 1

2 T W 

W , то предельное

соотношение выполняется для всех ( , ) (0, ; ( )).

0 1 2

2 

L T W t

x v

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4), а также , 3. 2

2 2 

 

 N

N

 N

Тогда на интервале (0,T),T T₀, существует слабое обобщенное решение u(x,t) задачи (8)-(9), причем имеют место следующие включения:

)), (

; , 0

( ¹ 

L_ T H

u uL₂(Q_T),Q_T (0,T), )),

(

; , 0

( ¹

2 

L T H

u_t | | (0, ; ( )).

1

2  











 u L T L

u

Теорема 2. Пусть выполняются условия (4), а также 0b₀b(x,t)b₁,1 , либо .

3 , 2 1

, )

, (

0b₀b x t b₁  N

Тогда на интервале (0,T), существует глобально слабое обобщенное решение u(x,t) задачи (8)- (9).

Теперь докажем разрушение слабого обобщенного решения обратной задачи (1)-(4). Чтобы не было громоздких вычислений положим (t)1, b(x,t)1.

Теорема 3. Пусть выполняются условия  2, тогда решение обратной задачи (1) - (4) разрушается за конечное время T, ограниченное снизу t₁, определяемое как

,

) 0

( 3

2 1

1^



^ _



 







t d (36)

где ₁ 2² ₁²,

 

  C C ( ) ,

4 1

, 2

, 3 2



 





   _C _ max ,(1 )² ,

2

1 



 

 



C  1.

2 ) 2

(  

 

  ⁿ

Доказательство. Обозначим через

 

^,

2 ) 1

( ²

, 2 2

,

2  

 u u

t 

 Умножим последовательно

уравнение (1) на функции (x),u(x,t) и проинтегрируем по области : ,

|

| )

(

 

²













 u dx u u dx

t

f  ^  (37)

).

( )

( ,

2 ,

2 u f t

u

t    

 _ ^_

 (38)

Подставляя соотношение (37) в тождество (38), получим

.

|

| )

( _, ²_2,

 

²









     

t  u u u dx u udx

 ^_ ^ (39)

Оценим правую часть

4 ,

| 1

|

|

| ²

, 2 2

, 2 2

1

2 2

1

2

















 











 











 









 



^{u dx u dx  dx u }

, ) (

|

|

|

|

|

| , ,

1 1

2 

















   _   _









   

























 



^{u u dx u dx dx u C}

где .

1 ) 1

( _1



 







 _



 

 C

Подставляя полученные оценки в (39)

. ) 4 (

2 1 )

( ,

2 , 2 ,







   

^t ^ u _ ^{ } _^C _ (40)

Теперь применим неравенство Гальярдо-Ниренберга



_2, ^{(1 )} _2,



^,

1 , 2 , 2

,  







 Cu u C u   u

u_ ^{ }  

где 1,

2 ) 2

(  

 

  ⁿ возведем в квадрат полученное неравенство

   

 

^,

2

) 1 ( 2

) 1 (

2 , 2 2

, 1 2 2

2 , 2 2 2

, 2 2 2 2

, 2 ,

2 2 2

,







































u u

C C

u u

C u

u C u









 

где max ,(1 )² ,

2

1 



 

 

 C 

Возведем в степень 2

 , получим

).

( 2² ₁^{2 2}

, C C t

u







 

_  

Подставляя в (40), находим

. ) ( )

( ₁² ₃

t  ^ t  Интегрируем последнее неравенство от 0 до t, получим

, )]

( [

) (

0 3

2 1

d t

t







_{ }^_^{ } _

Полагая, что tT в последнем неравенстве, докажем, что конечное время T имеет нижнюю границу t₁, которая определяется формулами

,

) (

) 0

( 3

2 1

d t

t











 





 ₁ .

) 0

( 3

2 1

T d t 



^ 



 







Рассмотрим в цилиндре Q_T {(x,t):x,Rⁿ,0t} следующую обратную задачу для уравнения соболевского типа

), ( ) (

|

| ²

0 u u u f t x

a u

u_t  _t   ^   (41)

), ( ) 0 ,

(x u₀ x

u  (42)

,

0

uS (43)

).

( ) ( ) ,

(x t xdx t

u  





(44) Умножим уравнение (41) на функции (x),u(x,t) и проинтегрируем по области :

,

|

| )

( )

( ₀

 

²













 

 t a u dx u u dx

t

f   ^  (45)

), ( ) ( )

( ,

2 ,

0 u 2 u t f t

a

t 

   _  ^_  (46)

Подставляя соотношение (45) в тождество (46), получим

.

|

| ) ( )

( ) ( ) ( )

( ₀ ²

, 2

,

0 ^ 2^{    }



_^{  }



_ ^

t a u u  t t a t u dx  t u udx

 ^_ ^ (47)

Оценивая правую часть (47), получим

 

, ^{2 ()( ( )} 4^).

2 , 0 2 2

, 2 2

,

2_  u _ a u _  u^_  t t 

dt u

d (48)

Неравенство Пуанкаре дает ²

, 1 2 2

,

2  

u  u . Тогда, имеем

 

^.

1 1

1

1 ²

, 2 2

, 2 1 2 1

, 2 1 2 1

, 2 1 2

,

2     

 

 



 



u u u u  u











 ⁽⁴⁹⁾

Используя только второе слагаемое в левой части (48), рассмотрим случай, когда 1 .

, ),

exp(

) (

1 1 0



 



 _{  }

 





 a

C C t

C

t (50)

В неравенстве (48) используя (49), тогда получим дифференциальное неравенство для функции

2 , 2 2

,

) 2

(t  u _ u _



).

exp(

) ( )

(t C t C t

dt

d   _  _  Из этого неравенства получаем оценки

 

(0) , ;

exp )

( _





 

 

 C

C t C

C

t  



 





 



 (51)

  

⁽⁰⁾



^{, .}

exp )

( _  _  _

 t  C t tC C (52)

Теорема 4. Пусть выполнены условия .

1 ), ( ),

(   ₂  

  

 L L



₀  (0), ₀ ¹()



H u dx

u   и (50).

Тогда решение задачи (41)-(44) удовлетворяет оценке (51) или (52).

Список использованной литературы:

1 Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1954. -№ 18. - C. 3-50.

2 Benjamin T.B., Bona J.L., Mahony J.J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems // Pliilos.

Trans. Roy. Soc. London A. 1972. V. 272. № 1220. P. 47 - 78 .

3 Showalter R. E. Existence and representation theorems for a semilinear Sobolev equation in Banach space//

SIAM J. Math. Anal. -1972.-Vol.3. -№ 3. -P. 527-543.