Решение задачи об устойчивости многослойных пластин вариационным методом

60 УДК 539.3 : 534.1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

К.К. Коксалов¹, А.А. Баймухаметов²

1Казахский национальный педагогический университет, E-mail: kkapal@mail.ru, ул. Толеби, 86, 050012, г. Алматы, Казахстан

2Институт механики и машиноведения МОН РК,

E-mail: abayab@mail.ru, ул. Курмангазы, 29, 050010, г. Алматы, Казахстан

Рассмотрена задача об устойчивости деформирования слоистой пластины при двустороннем боковом сжатии. Уравнения устойчивости и граничные условия выведены при помощи вари- ационного принципа теории упругой устойчивости. Пластина находится в условиях плоской деформации. Исследуются уравнения шестого порядка в частных производных относительно функции перемещений. Получены формулы для определения горизонтальных и вертикаль- ных перемещений пластины.

Деформация, упругая устойчивость, пластина, сжатие

SOLUTION OF PROBLEM ON STABILITY OF MULTILAYERED PLATES BY VARIATIONAL METHOD

K.K. Koksalov¹, A.A. Baimukhametov²

1Kazakh National Pedagogical University,

E-mail: kkapal@mail.ru, 86 Tolebi Str., Almaty 050012, Kazakhstan

2Institute of Mechanics and Machine Engineering, RK Ministry of Education and Science, E-mail: abayab@mail.ru, 29 Kurmangazy Str., Almaty 050010, Kazakhstan

Under consideration is deformation resistance of a laminated plate under bilateral compression. The stability equations and the boundary conditions are derived using the variational principle of the theory of elastic stability. The plate is in the plane strain condition. The scope of the analysis en- compasses sixth-order equations in partial derivatives relative to displacement functions. The for- mulas to determine the horizontal and vertical displacements of a plate are obtained.

Deformation, elastic stability, plate, compression

Рассмотрим устойчивость слоистой пластины длины a и толщины H при двустороннем сжатии.

В условиях плоской деформации для вывода уравнений упругой устойчивости воспользуемся вариационным принципом, согласно которому вторая вариация полной энергии системы 2*Э принимает для состояния «нейтрального» равновесия стационарное значение [1]:

. 0 ) (2*Э 

 (1) Выражение для второй вариации полной энергии слоистой пластины имеет вид [2]:

1,

1 2

1 0 2

1 2 0

/

0

2

1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2

1 2

*

2 dxdz

x N w z

E w x w z G u h h x

w h

D x

B u

Э _x

h a

h H









 







 









 



















  



 







 



 



 







 



 







^

 



 (2)

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ГОРНЫХ НАУК Том 4, № 3, 2017

61

где N_x⁰ Pph₁ – критическое усилие; ₂

1 1 1

1

 Eh

B – жесткость при сжатии;



1²



1 3 1

1 12 

 h E

D –

цилиндрическая жесткость; E₁– модуль упругости; ₁– коэффициент Пуассона; h₁ – толщина жесткого слоя;

2 2 2

2 1 2

) 1 ( 2







 G 

E – трансверсальный модуль; G₂– модуль сдвига; ₂– коэффициент Пуассона; h₂ – толщина мягкого слоя; ₁ ,

h

x  x ₁ ; h

z  z h h₁ h₂, u,w – горизон- тальные и вертикальные перемещения.

Подставляя

 

2 в равенство

 

1 , получим вариационное уравнение:

 







 



 











 







 



 











 





^h 

H

x w z

u h

G h x

w h D x

w x

w h u D x B u

/

0 1 1

2 2 1 3 1 3 2 1 1

2 1 2 2 1 1

2 4

4 



 









 



 





















 









 







 











^h

z H

z h

a h x a

x

dx x w w h

h u E

x w z

u h

G dz h

x w p w

1

1 1

1 0

1 1

2 1 2 1

0 1

2 2 1 0

1 1

2

2  



 

3

 







 



 









 



 





 



 

^h

a h h H

a h H

x w h dz D

z udx x

w z

u h

G h x B u

0 /

0

4 1 4 2 1 1

1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 0

/

0 2 1 2

4

2 

, 2 0

2

1 2 1

1 2 2

1 2 2 1 2 2

1 2

1 1

2 2

1  







 



 



 













  wdxdz

x p w z

w h

h E x

w z

x u h

G

h 

которое в силу произвольности вариаций u,w,(w/x₁) позволяет получить уравнения равновесия:

, 0

1 1

2 2 1 2 2 2 4 1 2



 









 



 





z x

w z

K u x

u

,

2 0

1 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 2

1 1

2 2 4 1 1

4 



 



 



 













 





x K w z K w x

w z

x K u x

w

 

4

где

) , 1 (

) 1 ( 12

3 1

2 1 2 2

1  





  E

K G ,

) 1 (

) 1 ( 12

3 1

2 1 2 2

2  





  E K E

) , 1 (

12 2

2 1

2 2 1

3 K P

E

K   P 



 ,

) 1 (

) 1 (

1 2 1 2 2

4  





  E

K G ¹.

h

 h

 Граничные условия имеют вид:

,

0

w ₂ 0,

1 2

 

 x

w 0

1

 

 x

u при x₁ 0, ₁ , h x  a

,

0

w 0

1 1

 





 x w z

u при z₁ 0,

 

5

, 0

1

 

 z

w 0

1 1

 





 x w z

u при ₁ .

h z H

Для определения критического усилия исследуем нетривиальные решения системы уравнений

 

4 при граничных условиях

 

5 . Введем функцию перемещений Ф



x₁,z₁



по формулам:

62



,



,

1 1 2 2 4 1

1 x z

K Ф z x

u  

 





,



₂ .

1 2 2 2 4 1 2 1

1 z

K Ф x z Ф x

w 

 





 

6 При этом первое уравнение системы

 

4 обращается в тождество, а второе уравнение принимает вид:

   

₄ 0.

1 4 2 2 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 3 2 4 4 1 4 2 1 2 2 3 1 4 1 6 2 6 4 1 6

 

 





 

 

 

 



 





z K Ф z K

x K Ф K x K

K Ф z K

x K Ф x

Ф

 

7

Граничные условия будут:

,

2 0

1 2 2 2 4 1

2 



 





z K Ф x

Ф ₂ 0,

1 2 1 4 2 4 4 1

4 





 





z x K Ф x

Ф

 

⁸

0

1 2 1 3

 



 z x

Ф при x₁ 0, ₁ , h x a

,

2 0

1 2 2 2 4 1

2 



 





z K Ф x

Ф ₃ 0

1

3 



 x

Ф при z₁ 0,

 

9

,

3 0

1 3 2 4 1 2 1 3

 

 







z K Ф z x

Ф ₃ 0

1 3

 

 x

Ф при ₁ r. h z  H 

Граничные условия

 

8 будут удовлетворены и переменные разделяются, если решение уравнения

 

7 будем искать в виде:



x1^,z1

  

z1 ^sinmx1^,

Ф 

 

¹⁰

где a

m_nh

– безразмерное волновое число.

Подставляя

 

10 в уравнение

 

7 , получим:

 

''

 

₂



² ₁² ₃²

  

₁ 0.

4 2 2 4 1

2 2 3 4 2 2 2 2 2 2

1      

 



  



 m K K z

K K z m K K

m K K z m

IV

 

11

Граничные условия

 

9 имеют вид:

 

0 ₄² ''

 

0 0,

2   

m K 

 

0 0,

 

''

 

0,

' ₄²

2   

m r K r 

 

r 0.

 

12 Решение уравнения

 

11 ищем в виде:

 

z₁ Cexp

 

z₁.



 

13

Подставляя

 

¹³ в уравнение

 

¹¹ , получим характерическое уравнение вида:



3²



^0.

2 1 2 2 4 2 2 4 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2

4     

 



  

 m K K

K K K m

K m K K

m 



 

14

Уравнение

 

14 имеет четыре корня:

. , _{3,4 2}

1 2 ,

1   

   где

4 .

2 4²

2 2 2 1 2 2 2 2 3 4 2 2 2

2 3 4 2 2 2 2 2

,

1 K

K m K

K K K K

K m K K

m  

 



  





 



  

 

Общее решение уравнения

 

11 имеет вид:

63

 

z₁ C₁ch₁z₁C₂sh₁z₁C₃ch₂z₁C₄sh₂z₁,



 

15

где C₁,C₂,C₃,C₄ – произвольные постоянные.

Подставляя общее решение

 

¹⁵ в граничные условия

 

¹² , получим C₁C₃0, а относительно C₂,C₄ имеем систему уравнений:

  

2



2 ^0,

2 4 2 2 4 1 2 1 2 4 2 1

2 m K ch rC m K ch r

C     

.

2 0

4 1

2sh rC sh r 

C  

 

¹⁶

Из условия существования ненулевого решения системы

 

16 получим уравнение:

   

2 1 ⁰

2 4 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 2

2 m  K sh rch r m  K sh rchr 

 или

  

4²



^0.

2 2 2 2

2 2

4 2 1 2 1

1 

 

 m K

r th K

m r th













 

17 Функция перемещений Ф



x₁^,z₁



определенная с точностью до одного произвольного параметра  имеет вид:



^,

  

^{sin .}

Ф x₁ z₁  sh₁rsh₂z₁sh₂rsh₁z₁ mx₁

 

18 Подставляя

 

18 в

 

6 определим выражения для перемещений



x₁,z₁



mK₄²



₁sh ₂rch ₁z_{1 2}sh ₁rch ₂z₁



cosmx₁,

u       



^,

     

1 2 1



^sin 1^.

2 4 2 2 2 1 1 2 2 4 2 1 2 1

1 z m K sh rsh z m K sh rsh z mx

x

u        

 

19

Таким образом, изучена задача об устойчивости деформирования слоистой пластины при двустороннем боковом сжатии в условиях плоской деформации на основе вариационного принципа теории упругой устойчивости.

ВЫВОДЫ

Выведены уравнения устойчивости и граничные условия при помощи вариационного принципа теории упругости.

Исследовано уравнение шестого порядка в частных производных относительно функции перемещений.

Найдено решение уравнения устойчивости пластины.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ / REFERENCES

1. Bolotin V.V. Variational principles of the theory of elastic stability, Problems of Deformed Solid Mechan- ics. Leningrad: Sudostroenie, 1970. (in Russian) [Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости / В сб.: Проблемы механики твердого деформированного тела. – Л.: Судо- строение, 1970.]

2. Koksalov K.K. Stability of an Ellipsoidal Lithospheric Cover. Almaty: RIO VAK RK, 1999. (in Russian) [Коксалов К.К. Устойчивость эллипсоидальной литосферной оболочки. – Алматы.: РИО ВАК РК, 1999.]