УДК 510(076.8)
Решение краевой задачи методом прогонки
Камбарова Айдана ,Картаева Айдана студ. АТУ. Рук. Токбергенов Д.Б.
Алматинский технологический университет,г.Алматы,Республика Казахстан
Требуется найти решение обыкновенного дифференциального уровнение второго порядка
(1) удовлетворяющее условиям :
(2)
функции M, L, f непрерывны на и
Разобьем отрезок на N равных частей точками
Обозначим , соотвественно через
.
После таких замен (1) и (2) имеют вид:
, i=1,2, (3) (4) (5)
где
.
Таким образом, решение дифференциального уровнения (1) с условиями (2) приблеженным методом(3)-(4) сводится к решению системы N+1 линейных алгебраических уравнений. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных , , является трехдиагональной .У этой матрицы от нуля отличны только коэффициенты на 3-х диагоналях – главной и двух соседних.
Система линейных уравнений с матрицами такого типа решается методом прогонки. Решение системы (3) – (5) будем искать в виде
( i=0,1,2,…,N-1), (6)
где - неопределенные коэффициенты. Из (6) получим . Эту формулу подставляем в (3) , тогда
( или = . (7)
Сравнивая (6) и (7) , получим для определения неизвестных коэффициентов и рекуррентные формулы:
= (i=1,2,…,N-1) ; (8) = (i=1,2,…,N-1). (9) Если известны значения из формул (8) и (9) можно определить все и . Чтобы найти используем граничное условие (4) . При i = 0 формула (6) имеет вид = + ; c другой стороны, имеем граничное условие =
. Отсюда получаем , = .
Зная все значения коэффициентов , и , по формуле (6) определим последовательно все . определяется из решения системы уравнений
= + , = + ,
первое из этих уравнений – краевое, условие (5) ; второе – получается из (6) при i=N-1. Если 1- ≠0, то из системы определим = . (10)
Изложенный метод называется методом прогонки ( правой прогонкой ) . Достаточные условия , при которых ≠0, 1- ≠0 являются
≥ + , i=1,2,…,N-1; ≤ 1, <2 . (11) При этих условиях для всех i ( i = 1,2,…,N ) ≤ 1.
Если ≤ 1, то погрешности вычисления не возрастают, т.е. метод прогонки в этом случае устойчив.
Таким образом, формулы прогонки имеет вид:
= , = ; = , = ; i=1, 2, …, N – 1 ;
= , = , i=N-1, N-2, … , 1, 0.
Сначала мы найдем все значения и , после этого определим последовательно , , …, .
Погрещность метода состоит из суммы погрешности апроксимации краевых условий. Она равна O(h).
Приближенная оценка погрешности расчета производится по формуле
где погрешность расчета: - значение приближенных решений в одной и той же точке с шагами 2h cоотвественно.
Пример: Решить дифференциальное уравнение
удовлетворющего граничным условиям:
с шагом интергрирования h=0,1.
Заменим дифференциальное уравнение и граничные условия их
разностными аналогиями, получим систему (N+1) алгебраических уравнений:
(i=1,2,…,N-1) (12) где = 1- ; = 1+ ; = 2+ ;
= - (1+ ) ; = , = ; = - ; µ2= ; e1=0,1;
e2=-0,1 ; e3=1,1 ; d1=1,1; d2=0,1; d3=0,9; a=0,1; b=1,1.
Систему (12) решаем методом прогонки . В нашем примере ci˃Ai+Bi для всех xi действительно 2+h2exi˃2; тогда все ׀di1> ׀ Отсюда следует устойчивость
метода прогонки.Результаты вычисления приведены в таблице
x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1
y 4,06 3,36 2,78 2,30 1,90 1,58 1,33 1,13 0,99 0,90 0,86
ЛИТЕРАТУРА
