РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

1

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Б.О. Джолдошев

Институт автоматики и информационных технологий НАН КР, г. Бишкек

Пусть объект управления описывается линейным векторным уравнением в отклонениях

 

^t



^A



^x

 

^t

 

^u

 

^{t M}

 

^t

x  ^*  ^*   , (1)

где A

 

aij _nn, 

 

bi_{ nm}, M

 

m_{i nr} – постоянные вещественные матрицы,

n t

x( ) -мерный вектор состояния объекта; u(t) – m-мерный вектор управления; A, B – матрицы, характеризующие неопределенности в задании объекта управления. Пусть интервалы неопределенностей для матриц 

 

aij _nn, 

 

b_{i nm} известны:

 

^{t , 1,r,}

, b b

b b Δa ,

a

Δa_ij  a_ij ^*_ij  _ij^  _i  _i  ^*_i  _i^_ _ ^_  (2)





 

a_ij, b_i – положительные числа, определяющие границы изменения параметрических возмущений a_ij,b_i.

Степень достижения цели управления, т.е. качество управления будем оценивать переходными процессами по ошибке управления e(t) с помощью соотношений

 

t x

 

t

 

t , i 1,n

e_i  _i _i  . (3)

где _i(t) – положительные функции, которые задают максимально допустимые отклонения x_i(t) в переходном процессе. Следует отметить, что выбор _i(t) осуществляется по первичным (инженерным) требованиям к точности и быстродействию проектируемой системы.

Допустимая область X_i(t) для x_i(t) определяется выражением

. ] t , t [ t , n , 1 i )}, t б ( ) t ( x : R x { ) t (

X_i  _i  ¹ _i  _i   _{o k} (4) Тогда допустимое подмножество X(t) для вектора x(t) задается соотношением

. ] t , t [ t

}, n , 1 i ), t ( X x : R x { ) t ( X

k o

i i n











Пусть заданы ограничения на компоненты вектора управления:

], t , t [ t , m , 1 ), t ( u )

t (

u_  ^*_   _{o k} (5)

2

где u^*_(t) – положительные непрерывно дифференцируемые функции, определяющие максимально допустимые значения управляющих переменных u_(t).

Допустимое подмножество U(t) для вектора u(t) определяется соотношением

}, m 1, l ), t ( U ) t ( u : R u { ) t (

U   ^m _  _  (6)

где допустимые области



u R : u (t) u (t)



, 1,m. )

t (

U_  _ ¹ _  ^*_ 

 t u  t

u_l  _l^ , 1,m, tt_0,t_k , U

 

t₀ 0, (7) Вектор-параметр динамического регулятора p[p₁,p₂,...,p_] размерности



mmmn





 , составленный из столбцов матрицы [R, D]. На основе условий (3) и (5) определим следующие подмножества для вектор-параметра

p:

}.

U(t) u(t) : R p { P

}, X(t) ) x(t : R p { P

2 1

















Требования к системе управления будут удовлетворяться, если вектор- параметр р будет принадлежать пересечению подмножеств P₁ и P₂, т.е.

2

1 P

P

p  .

Решение задачи синтеза. Решение сформулированной задачи параметрического синтеза можно осуществить путем описания подмножеств

P1 и P₂. При этом для задания подмножества P₁, определяющего ограничения на управляемые процессы ^xi

 

^t , будем использовать принцип гарантируемой динамики. В частности, для этой цели можно применить полученные в [1] условия допустимого качества управления:

   

x d

 

t

x _i

t

t i i

0











 ^ , (8) где



 

^t 



^t

   

 ^d

t

i i i

0

 .

Считается, что объект (1) обладает свойством управляемости, а вектор состояния x(t) доступен для измерения.

Зададим структуру управляющего устройства векторным линейным уравнением вида

 

t K x

 

t

u   . (9)

3

Уравнение (1) с учетом (8) будет

 

^{t Px}

 

^{t P x}

 

^{t M}

 

^t

x      ,

где вещественные матрицы

, ,

P^*^* 

а их элементы

. n , 1 i , k b a

p , k b a p

m

1

j

* i

* ij ij m

1 j

* i

* ij

ij 



   



  



  



  

Уравнение (9) в координатной форме:







 













 ^r

1 j i n

1 j

j ij n

1 j

j ij

i p x p x m

x , (10) Тогда условия допустимого качества управления (8) с учѐтом (10) имеет вид:

         

~

 

t

d x m

d x x p

p _i

t

t

i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij

0 0

























  



^



 



, (11) где

 



 



 

 

 

  

    





   

  

 





 ^{t t p}



^{x d p}



^{x d}



^{p p d}

~ ^t

t

i ii ii i

i 2

i ii 2

i ii i

i

0

 .

Далее на основе соответствующих преобразований неравенств (11) аналогичных рассмотренным в [1], получаем следующие соотношения:



^{p p}

    

^{x d m}

   

^{d ~}i

 

^t

t

t

i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij

0 0





























  



^



 



. (12)

Полученные условия справедливы при

. n , 1 i , 0 ) t

~(

i  

 (13) Далее нетрудно показать, что



^{p p}

    

^{x d m}

   

^d



^{p p}

    d m t  d .

t i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij t

t

i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij

0 0

0 0

 

 

 



^



^{                 }



 







 



4

В результате, для достижения исходных условий допустимого качества управления достаточно выполнения неравенств



^{p p}

    d m  d t     p p    d ,i 1,n.

t

i ii i ii

i t

t i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij

0 0

0



 

 

     































   



^{ }



 



(14) Введем параметрические функции

 

^

     

^

   

^{  }



^



^

 

^{ }



 



t

t i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij 1

i

0 0

d m

d p

p t

, p

L ,

 

^p,t

    

^{p p}

  

^{d ,i 1,n.}

L

t

t

i ii i ii

i 2

i

0



 

 

     









^{ ,}

Тогда неравенство (14) можно еще записать как: ^Li

 

^p,t ^Li1

 

^p,t ^Li2

 

^p,t ^0,

Подмножество P₁ определяется неравенством:



^{p R :L}i

 

^{p,t 0, i 1,n}



m

1    



В результате справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть x_i(t₀)  _i(t₀), i 1,n. Для того, чтобы замкнутая система, описываемая уравнениями (10), обеспечивала выполнения целевых соотношений (8), достаточно удовлетворения следующих неравенств:



p p



   d m  d     p p   d , i 1,n.

t

t

i ii i ii

i t

t i r

1 i t

t

j i n

i j

1 j

ij ij

0 0

0



 

 

     































   



^{ }









(15)

Таким образом, вектор-параметр p, удовлетворяющий условиям (15), одновременно и является решением задачи синтеза регулятора робастной системы управления. В результате подмножество P₁ P определяется как:

}.

n , 1 i ), t Г ( ) ~ t , p ( L : R p {

P₁   ^r _i  _i  (16)

Таким образом, исходная задача синтеза сведена к определению произвольного элемента p подмножества P₁, т.е. pP₁. Для анализа подмножества P₁ и отыскания вектора-параметра p могут быть использованы специальные методы и известные алгоритмы принципа гарантируемой динамики [1].

Учет ограничений на управление. Предварительно уравнение регулятора (9) в координатной форме имеет вид:

5

 

^{t k x}

 

^{t ,}

u

m

1



  

 _

 (17)

где вещественная матрица ^K

 

^k m_n^, ^1,m. Воспользуемся следующим утверждением [1].

Утверждение 1. Пусть u(t₀)U(t₀).Тогда ограничения на управляющие воздействия (5) будут выполняться, если

   

u d 0, ,m, t



t ,t



.

u _{o k}

t

t

1

o















^  ^{  (18)}

Утверждение 2. Пусть u(t₀)U(t₀). Тогда неравенства (18) будут выполняться, если

 

k p x

 

d 0, 1,m. x

k

t

t

n

1 j

m

1

j j m

0 1





 



 



 



 





   



 _  _  (19)

Доказательство. Продифференцируем (17), получим

           

   



  



  

    ⁿ

1 j

m

1

j j m

1 n

1 j

i ij m

1

t x p k t

x p k t

x k t

u _  _{ } , (20)

Тогда условие (18) будет иметь вид:

   

 

^{ }



 



 



    t

t

n

1 j

m

1

j j

0

0 d x p k

u_{ } ,

или

 

p,t d 0, 1,m, V

t

t₀







^  ^

где

 

p,t k x

 

k p x

 

d 0, 1,m, V

t

t

n

1 j

m

1

j j m

0 1





 



 



 







  

   



 _  _ 



 

p,t k x

 

t k p x

 

x

     

t F p x t , 1,m

V ^T

m

1

n

1 j

m

1

j

j    



 



 



 



 _    _  _ 

 , (21)

где ^F_

 

^p –

 

^nxn -мерная вещественная матрица, зависящая от компонентов параметра p.

Нетрудно видеть, что выполнение неравенств

6 m , ,

0 ) t , p (

V_  1 (22) гарантирует соблюдение соотношений, что эквивалентно обеспечению

условий (19).

Обозначим через ^F_

 

^{p, 1,n} главные миноры матриц F_

 

p, 1,n

Тогда, согласно критерию Сильвестра [2, 4], для удовлетворения условий (18) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

m , 1 ,

m , ,

0 ) t , p (

V_  1  . (23)

Следовательно, соотношения (18) определяют подмножество

2 



^p^r:F_

 

^p ^0, ^1,m, ^1,n



. (24)

Литература

1. Оморов Т.Т. Принцип гарантируемой динамики в теории систем управления. Кн.1. Бишкек: Илим, 2001. – 150 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.

3. Черников С.Н. Линейные неравенства. – М.: Наука, 1968. – 488 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1977.

5. Поляк Б.Т., Назин С.А. Оценивание параметров в линейных многомерных системах с интервальной неопределѐнностью. // Проблемы управления и информатики. – №1-2, 2006.

6. Цыпкин Я.З. Синтез робастно оптимальных систем управления объектами в условиях ограниченной неопределенности. // А и Т. 1992. – №5.

– С. 92-99.

7. Dorato P. (Editor). Robust control. – NY.: IEEE Press, 1987.

8. Ortega R., Tang Yu. Robustness of adaptive controllers – a Survey. //

Automatica, 1989. – V. 25. – № 5. – P. 651-677.