С.С. Cаутбеков Задачи Дирихле и Неймана на ленте

С.С. Cаутбеков

Задачи Дирихле и Неймана на ленте

(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г. Астана, Казахстан )

Рассматривается асимптотическа классической задачи о дифракции плоской волны на ленте методом Винера-Хопфа при произвольном направлении волнового вектора. Краевая задача разбивается на задачи Дирихле и Неймана. Каждая краевая задача постепенно сводится к системе сингулярных интегральных уравнений, далее к системе алгебраических уравнений и системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с помощью эталонного интеграла и метода перевала.

Введение

В работе [1] в замкнутом виде была рассмотрена классическая задача о дифракции плоской волны на ленте при падении на кромку ленты под прямым углом. В настоящей статье рассматривается общий случай задачи, когда плоская волна распространяется в произвольном направлении. Для удобства краевая задача разбивается на две независимые задачи, которые являются задачами Дирихле и Неймана, а затем решаются раздельно методом Винера- Хопфа [1]. Важно отметить, что полученное решение автоматически удовлетворяет внешнему условию на остром крае ленты (т.е. условию Мейкснера), которое, как известно, определяет единственность решения краевой задачи.

m =−1 2

Z

R³

(r−r⁰)×j(r⁰)d³r⁰ = 1

2j ∗ ×r, (1)

Постановка задачи

Пусть на идеально проводящую ленту |z| ≤ a, y = 0, −∞ < x < ∞ падает плоская электромагнитная волна (рис. 1) в произвольном направлении, заданным единичным вектором n

E⁰=eE⁰, E⁰ =Ae^kr, H⁰=n×e rε0ε

µ0µE⁰ (e⊥n), (2)

k=nk0, k0=ω√

ε0εµ0µ, nr=xcosβ+ysinβsinψ0+zsinβcosψ0,

где A – амплитуда электрического поля, β – угол между осью x и направлением распространения волны n, ψ₀ – угол между осью z и проекцией n на YOZ.

Лента

Направление электрического поля задается любым единичным вектором e, перпендикулярным к n. Гармонический множитель от времени exp(−iωt) далее всюду опускается.

Поскольку в выражении (2) падающая волна зависит от x по гармоническому закону как exp(ixk0cosβ), дифракционные поля должны иметь такую же зависимость по координате x. Следовательно, электромагнитное поле можно представить в виде

E(x, y, z) =E(y, z) exp(ixk₀cosβ), H(x, y, z) =H(y, z) exp(ixk₀cosβ). (3) E=E⁰+E¹, H=H⁰+H¹,

где E¹, H¹ – дифракционные поля. Далее в выражениях экспоненциальный множитель зависимости по x так же будут опускаться.

Используя вышеуказанную зависимость (3) в уравнениях Максвелла, компоненты электромагнитного поля выразим в виде [2]:

Ey = i k0sin²β

cosβ ∂

∂yEx+ rµ0µ

ε0ε

∂

∂zHx

, (4)

E_z= i k₀sin²β

cosβ ∂

∂zE_x− rµ₀µ

ε0ε

∂

∂yH_x

, (5)

H_y = i k₀sin²β

cosβ ∂

∂yH_x− rε₀ε

µ₀µ

∂

∂zE_x

, (6)

H_z = i k₀sin²β

cosβ ∂

∂zH_x+ rε₀ε

µ₀µ

∂

∂yE_x

(7) через компоненты Ex, Hx по оси x, направленной вдоль ленты. Причем эти базовые составляющие электромагнитного поля удовлетворяют двумерному уравнению Гельмгольца

∂²

∂y²Ex+ ∂²

∂z²Ex+k²₀sin²βEx = 0, (8)

∂²

∂y²H_x+ ∂²

∂z²H_x+k₀²sin²βH_x = 0, (9) которые следуют из уравнений

E_x= i ωε₀ε

∂H_z

∂y −∂H_y

∂z

, H_x =− i ωµ₀µ

∂E_z

∂y −∂E_y

∂z

и (4) – (7). Таким образом, краевую задачу свели к решению уравнений (8) и (9) относительно Ex, Hx с граничными условиями:

Ex=Ez = 0 при z6|a|, y= 0, (10) которые соответствуют отсутствию тангенциальной составляющей напряженности электрического поля на ленте. Поскольку E_x и H_x, как видно, являются независимыми, краевая задача разделяется на две краевые задачи:

1. Задача Дирихле.Уравнение (8) с граничным условием Ex= 0 при z6|a|, y= 0.

Далее ее назовем магнитной задачей.

2. Задача Неймана.Уравнение (9) с граничным условием

∂

∂yH_x= 0 при z6|a|, y= 0. (11)

Эту задачу назовем электрической задачей. Легко показать, что условие (11) следует из (5) и (10). Далее примем следующие обозначения

k≡k₀sinβ, h≡kcosψ₀. (12) Решение электрической задачи

Общее решение уравнения (9) представим в виде Hx(y, z) = signy

∞

Z

−∞

e^i(wz+v|y|)F(w)dw+H_x⁰(y, z), v=p

k²−w², (13)

где составляющее вдоль ленты магнитного поля падающей плоской волны (2) H_x⁰(y, z) =B0e^{i(yksinψ0+zh)}, B0 ≡A

rε0ε

µ₀µsinβ(ezsinψ0−eycosψ0).

Здесь e_y и e_z – проекции единичного вектора e на оси y и z. Из условия непрерывности магнитного поля (13) на продолжении ленты следует интегральное уравнение

∞

Z

−∞

e^iwzF(w)dw = 0 при |z|> a. (14) Согласно граничному условию (11) также получим следующее интегральное уравнение

∞

Z

−∞

e^iwzvF(w)dw+ksinψ₀B₀e^ihz= 0 при |z|6a. (15) Для определенности h фиксируем в нижней полуплоскости (НП) комплексной переменной w. Решение системы сингулярных уравнений (14) и (15) построим по методике [1] как аналитические источники, локализованные на кромках ленты:

F(w) =F₁+F₂, (16)

F₂(w) = 1

√k−w A₂(w) +B⁺(w)

e^iwa, F₁(w) = 1

√k+w A₁(w) +B⁻(w) e^−iwa.

Искомые функции A₂ и A₁ соответствуют амплитудам плоских волн, которые обеспечивают полное гашение поля падающей плоской волны на ленте. Поэтому они должны быть аналитическими функциями на комплексной плоскости за исключением простого полюса w=h в НП w.

Контуры интегрирования

Отметим, что функции B⁻, B⁺ соответствуют амплитудам волн, отраженных от кромок ленты, а особые точки в (16), находящиеся в ВП комплексной переменной w, соответствуют распространяющимся волнам слева направо. Поэтому функции B⁺ и B⁻ должны быть аналитическими в ВП и НП w, соответственно. Их удобно представить в виде контурных интегралов

B⁺(w) = 1 2πi

Z

C⁻

b1(u)

u−wdu, B⁻(w) =− 1 2πi

Z

C⁺

b2(u)

u−wdu, (17)

где b1, b2 некоторые аналитические функции на полосе |Imu| <Imk, C⁻ и C⁺ – контуры интегрирования, состоящие из прямой, перенесенной параллельно вещественной оси на малую

величину ∓δ (0< δ < Imk), и узкой петли, огибающей простой полюс w =±h бесконечно тонкой петлей снизу или сверху (см. рис. 2).

В интегральном уравнении (15), замкнув контур интегрирования в НП при z ≤ −a, согласно лемме Жордана, получим

A₁(w) = B0

√k+h

2πi

e^iha

w−h. (18)

Компенсируя этот простой полюс в НП w при z <−a, из (14) имеем A₂(w) =−B₀√

k−h 2πi

e^−iha

w−h. (19)

Следует отметить, что выражения (18) и (19) справедливы и при падении плоской волны слева. Также важно заметить, что функция F удовлетворяет интегральному уравнению (15) автоматически. Действительно, каждое слагаемое подынтегральной функции в (15) оказывается аналитической функцией в той полуплоскости, где производится замыкание контура интегрирования согласно лемме Жордана.

Представив функцию B⁺(w) в виде интеграла типа Коши (17), взяв вычет в точке w=u и компенсируя точку ветвления в НП [1], из (14) получим искомую функцию

B⁺(w) =− 1 2πi

Z

C⁻

e^−i2au u−w

rk−u

k+u A₁(u) +B⁻(u) du.

Поменяв знак переменной интегрирования, данное выражение удобно представить в виде B⁺(w) = 1

2πi Z

C⁺

e^i2au u+w

rk+u

k−u A₁(−u) +B⁻(−u)

du. (20)

Аналогично, компенсируя точку ветвления в ВП w, при z > a из (14) получим B⁻(w) = 1

2πi Z

C⁺

e^i2au u−w

rk+u

k−u A₂(u) +B⁺(u)

du. (21)

Таким образом, краевая задача для электрической задачи сведена к решению системы функциональных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (20) и (21).

Интегрирование системы (20) и (21) с высокой точностью может быть произведена методом перевала с использованием эталонного интеграла [1]

J(w, l) = 1 2πi

Z

C⁺

e^ilu u−w

rk+u

k−udu= 1

2iH⁽¹⁾₀ (kl)−

rk+w

k−we^ilwΥ(kl/2, w/k),

где

Υ(kl,cosβ) =−

√

k²−w² 2πi e^−i2lw

Z

C1

e^i2lu (u−w)√

k²−u²du= sinβ

kl

Z

∞

H⁽¹⁾₀ (2t)e^−2itcosβdt,

H⁽¹⁾₀ (x) – функция Ханкеля первого рода и нулевого порядка, C1 – контур интегрирования, проходящий вдоль берегов разреза функции v =√

k²−w², выбранного параллельно мнимой оси вверх от точки ветвления. Отметим, что

J(−k, l) = i

2H⁽¹⁾₀ (lk). (22)

Деформируя путь интегрирования в (20), (21) до контура C1, который является линией наибыстрейшего спуска, с помощью интегрирования методом перевала и эталонного интеграла систему интегральных уравнений (20), (21) в коротковолновом приближении можно представить как:

(B⁺(w)∼=A₁(w) (J(−w,2a)−J(−h,2a)) +B⁻(−k)J(−w,2a), B⁻(w)∼=A₂(w) (J(w,2a)−J(h,2a)) +B⁺(k)J(w,2a).

Решая систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(B⁺(k) =A₁(k) (J(−k,2a)−J(−h,2a)) +B⁻(−k)J(−k,2a), B⁻(−k) =A₂(−k) (J(−k,2a)−J(h,2a)) +B⁺(k)J(−k,2a),

получим значения функций в точках ветвления:

B⁺(k) = A₁(k) (J(−k,2a)−J(−h,2a)) +A₂(−k)J(−k,2a) (J(−k,2a)−J(h,2a))

1−J²(−k,2a) , (23)

B⁻(−k) = A₁(k)J(−k,2a) (J(−k,2a)−J(−h,2a)) +A₂(−k) (J(−k,2a)−J(h,2a))

1−J²(−k,2a) . (24)

Отметим, что выражение 1 − J²(−k,2a) в вышеприведенных выражениях является резонансным знаменателем.

Таким образом, все неизвестные функции системы интегральных уравнений определены.

Теперь вычислим поле.

Расчет магнитного поля

Подставив (16) в (13) вычислим составляющую магнитного поля конических волн H_x¹ =I₁+I₂,

в виде суммы интегралов

I₁ = signy

∞

Z

−∞

ei(w(z−a)+v|y|)A₁(w) +B⁻(w)

√k+w dw,

I₂= signy

∞

Z

−∞

ei(w(z+a)+v|y|)A₂(w) +B⁺(w)

√k−w dw.

В полярной системе координат

z=rcosθ, y =rsinθ; w=ksinα, v=kcosα (25) первый интеграл примет вид

I₁ = B₀ πi

Z

S

e^{ikr−sin(α+θ−)} sinα−cosψ0

|sinα−π/2

2 |{cosψ₀

2 e^ikacosψ0−sinψ₀

2 e^−ikacosψ0[J(ksinα,2a)−

−J(kcosψ₀,2a)]}dα+√ 2k

Z

S

e^{ikr−sin(α+θ−)}|sinα−π/2

2 |J(ksinα,2a)B⁺(k)dα,

где S – контур интегрирования на комплексной плоскости, следующий через начало координат сверху вниз по направлению вещественной оси. Здесь введены следующие обозначения:

r⁻ ≡p

r²−2arcosθ+a², θ⁻≡θ+ arctg

asinθ r−acosθ

, (26)

обусловленные переносом начала системы координат на край ленты с помощью преобразований полярных координат:

rcosθ−a=r⁻cosθ⁻, rsinθ=r⁻sinθ⁻. Полезны также их асимптотики

r⁻'r−acosθ, θ⁻'θ+a

rsinθ при ra.

Делая замену переменной интегрирования τ = α + ζ − π/2 и учитывая формулу представления функции Ханкеля

H⁽¹⁾₀ (kr⁻) = 1 π

Z

S

e^ir−kcosτdτ,

с помощью метода перевала получим I₁ =−iB₀H⁽¹⁾₀ (kr⁻) sin^θ₂⁻

cosθ⁻−cosψ0

{cosψ0

2 e^ikacosψ0−sinψ0

2 e^−ikacosψ0

J(kcosθ⁻,2a)−J(kcosψ₀,2a) }+√

2kπH⁽¹⁾₀ (kr⁻) sinθ⁻

2 J(kcosθ⁻,2a)B⁺(k). (27) Аналогично вычисляется второй интеграл

I₂ =iB₀H⁽¹⁾₀ (kr⁺) cos^θ₂⁺ cosθ⁺−cosψ0

{sinψ₀

2 e^−ikacosψ0 −cosψ₀

2 e^ikacosψ0

J(−kcosθ⁺,2a)−J(−kcosψ₀,2a) }+

√

2kπH⁽¹⁾₀ (kr⁺) cosθ⁺

2 J(−kcosθ⁺,2a)B⁻(−k). (28) Здесь введены следующие обозначения

r⁺≡p

r²+ 2racosθ+a², θ⁺≡θ−arctg

asinθ r+acosθ

(29) и их асимптотики

r⁺ 'r+acosθ, θ⁺'θ−a r sinθ.

Дифракционные поля волн в (27), (28) являются коническими. При β =π/2 они переходят в цилиндрические [1].

Решение магнитной задачи

Общее решение уравнения (8) представим в виде, также как и в (13):

Ex(y, z) =

∞

Z

−∞

e^i(wz+v|y|)F(w)

v dw+A0e^{i(hz+yksinψ0)}, (30) где A₀ =e_xA, e_x – проекция единичного вектора e на ось x. Тогда из (10) и (30), согласно граничному условию, получим следующее интегральное уравнение

∞

Z

−∞

e^iwzF(w)

v dw+A₀e^ihz= 0 при |z|6a. (31) Для определенности h фиксируем также в НП комплексной переменной w. Из-за непрерывности составляющей магнитного поля H_z на продолжении ленты необходимо выполнение следующего интегрального уравнения в силу (30) и (7)

∞

Z

−∞

e^iwzF(w)dw= 0 при |z|> a. (32)

Решение системы сингулярных интегральных уравнений (31) и (32) построим методом краевых источников [?]

F(w) =F₁+F₂, (33)

где

F₂(w) =√

k−w A₂(w) +B⁺(w)

e^iwa, F₁(w) =√

k+w A₁(w) +B⁻(w) e^−iwa.

Искомые функции A2 и A1 соответствуют амплитуде плоской волны и должны быть аналитическими во всей комплексной плоскости w за исключением простого полюса w= h. Функции B⁺ и B⁻ соответствуют амплитудам отраженных волн от кромок ленты, B⁻ должна быть аналитической в НП w, а B⁺ – в ВП. Поэтому искомые функции B⁻ и B⁺ представим также как и в (17).

Компенсируя простой полюс в точке w=h в НП w, из (31) определим A1(w) = A₀√

k−h 2πi

e^iha

w−h. (34)

Аналогично из (32) при z <−a получим

A₂(w) =−A₀√ k+h 2πi

e^−iha

w−h. (35)

Компенсируя точку ветвления подынтегральной функции в (32) в НП w при z < −a, аналогично (20) найдем B⁺(w):

B⁺(w) = 1 2πi

∞+iδ

Z

−∞+iδ

e^i2au u+w

rk−u

k+u A₁(−u) +B⁻(−u)

du. (36)

Компенсируя точку ветвления в ВП w при z > a из (32), аналогично получим B⁻(w) = 1

2πi

∞+iδ

Z

−∞+iδ

e^i2au u−w

rk−u

k+u A₂(u) +B⁺(u)

du. (37)

Таким образом, найдено решение системы уравнений (31) и (32), достоверность которого можно проверить непосредственно, подставив выражения (34) – (37) в систему и вычислив интегралы с помощью теории вычетов.

Таким образом, система сингулярных интегральных уравнений (31) и (32) сведена к системе функциональных уравнений (36) и (37), которые являются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. Далее систему будем решать интегрированием по методу перевала с использованием эталонного интеграла

I(w, l) = 1 2πi

Z

C⁺

e^ilu u−w

rk−u k+udu.

Его можно выразить через специальные функции Ханкеля H⁽¹⁾₀ и Υ [?]:

I(w, l) = 1

2iH⁽¹⁾₀ (kl)−

rk−w

k+we^ilwΥ(kl/2, w/k). (38) Деформируя путь интегрирования в (36), (37) до берегов разреза C1, который целесообразно провести от точки w₀ =k параллельно мнимой оси, что является линией спуска, и вычислив интеграл в коротковолновом приближении, систему (36), (37) приведем к СЛАУ

(B⁺(k) =A₁(k) (I(−k,2a)−I(−h,2a)) +B⁻(−k)I(−k,2a),

B⁻(−k) =A₂(−k) (I(−k,2a)−I(h,2a)) +B⁺(k)I(−k,2a). (39)

Решая СЛАУ, получим значения функций

B⁺(k) = A1(k) (I(−k,2a)−I(−h,2a)) +A2(−k)I(−k,2a) (I(−k,2a)−I(h,2a))

1−I²(−k,2a) , (40)

B⁻(−k) = A₁(k)I(−k,2a) (I(−k,2a)−I(−h,2a)) +A₂(−k) (I(−k,2a)−I(h,2a))

1−I²(−k,2a) , (41)

где искомые функции определяются через значения в перевальной точке следующим образом (B⁺(w)∼=A₁(w) (I(−w,2a)−I(−h,2a)) +B⁻(−k)I(−w,2a),

B⁻(w)∼=A₂(w) (I(w,2a)−I(h,2a)) +B⁺(k)I(w,2a). (42) Расчет электрического поля

Подставляя выражение (33) в (30), вычислим дифракционное поле

E_x¹ =I₃+I₄, (43)

в виде следующих интегралов I₃ =

∞

Z

−∞

ei(w(z−a)+v|y|)A₁(w) +B⁻(w)

√k−w dw, (44)

I₄ =

∞

Z

−∞

ei(w(z+a)+v|y|)A2(w) +B⁺(w)

√k+w dw. (45)

В полярной системе координат (25) интеграл (44) в обозначениях (26) примет вид I₃ = A0

πi Z

S

e^{ikr−sin(α+θ−)}

sinα−cosψ₀|cosα−π/2

2 |{sinψ0

2 e^ikacosψ0 −cosψ0

2 e^−ikacosψ0[I(kcosα,2a)−

−I(kcosψ0,2a)]}dα+

√ 2k

Z

S

e^{ikr−sin(α+θ−)}|cosα−π/2

2 |I(ksinα,2a)B⁺(k)dα.

Далее с помощью метода перевала получим асимптотическую формулу в коротковолновом приближении

I₃ =−iA₀H⁽¹⁾₀ (kr⁻) cos^θ₂⁻ cosθ⁻−cosψ0

{sinψ₀

2 e^ikacosψ0−cosψ₀

2 e^−ikacosψ0

I(kcosθ⁻,2a)−I(kcosψ₀,2a) }+

√

2kπH⁽¹⁾₀ (kr⁻) cosθ⁻

2 I(kcosθ⁻,2a)B⁺(k).

(46)

Аналогично вычисляется интеграл (45) I₄ =−iA₀H⁽¹⁾₀ (kr⁺) sin^θ₂⁺

cosθ⁺−cosψ₀{−cosψ0

2 e^−ikacosψ0+ sinψ0

2 e^ikacosψ0

I(−kcosθ⁺,2a)−I(−kcosψ₀,2a) }+√

2kπH⁽¹⁾₀ (kr⁺) sinθ⁺

2 I(−kcosθ⁺,2a)B⁻(−k).

(47)

Отметим, что полученные дифрагированные электромагнитные волны также являются коническими, при β=π/2 они переходят в цилиндрические, а их асимптотические выражения обеспечивают высокую точность [1].

Литература

1. S. S. Sautbekov, Factorization method for finite fine structures, Progress In Electromagnetics Research B, Vol. 25, 1-21 (2010).

2. L. A. Weinstein, The Theory of Diffraction and the Factorization Method, Golem Press, Boulder, Colorado, 1969.

Саутбеков С.С.

Таспадағы Дирихле және Нейман есептерi

Түйiндеме – Виннер-Хопф әдiсiмен кез келген бағыттағы толқын векторы бар жазық толқынның таспадағы дифракциясы туралы классикалық есеп асимптотикалық түрде қарастырылған. Шекаралық есеп жеке Дирихле және Нейман есептерiне бөлiнген. Әр шекаралық есеп бiртiндеп алдымен сингуляр интеграл теңдеулердiң жүйесiне, содан кейiн алгебралық теңдеулер жүйесiне тиiмдi келтiрiлетiн және асу нүктесi әдiсi мен эталон интеграл көмегi арқылы екiншi тектi Фредгольм интегралдық теңдеулер жүйесiне келтiрiлген.

Sautbekov S. S.

Dirichlet and Neumann Problems by a Strip

The summary – The classical problem for diffraction of plan wave with arbitrary oriented wave vector at a strip is considered asymptotically by Wiener-Hopf method. The boundary value problem has been broken down into distinct Dirichlet and Neumann problems. The each boundary value problem is consecutively solved by reduction to system of singular boundary integral equations, and then to a system of Fredholm integral equations of the second kind, which effectively is solved by reduction to a system of the linear algebraic equations with the help of the etalon integral and the saddle point method.

Поступила в редакцию 12.05.11 Рекомендована к печати 31.05.11