Температурное поле в толстых материалах с переменными коэффициентами теплопроводности

УДК 536.2

Температурное поле в толстых материалах с переменными коэффициентами теплопроводности

Карыбаева Г.А. – кандидат физико-математических наук, и.о.доцента, Култасов А.А. – кандидат физико-математических наук, и.о.доцента Алматинский технологический университет, г. Алматы, Казахстан

gulnaska83@mail.ru

Рассматривается задача о температурном поле в толстых материалах с переменным коэффициентом теплопроводности. Применяя метод подобия уравнение теплопроводности приводится к уравнению с одной переменной.

Методом частичной дискретизации нелинейных дифференциальных уравнений получено решение для некоторого закона изменения коэффициента теплопроводности.

Уравнение теплопроводности имеет вид

  









 





x x u x k t с u

 , (1) где ^ – плотность материала, c – удельная теплоемкость, ^k – коэффициент теплопроводности, u – температура, t – время.

Применяем метод подобия

 



 









 

 





4 . 1 2 , 2

1 . ,

2

t t x x

a t tat axx

(2)

  u  z

t u x

t u x t x

u ₀ ₀

4 2 ,1

, 2 



 



 



 



 



 , (3)

где u0 – некоторая постоянная величина.

Пользуясь новой переменной ^{z } ₂^x_t , (^{z zx,t}), мы переходим из уравнения с двумя переменными (1) x _и t к уравнению с одной переменной

z

:

     

dz z zdu dz c

z z du dz k

d 2





, (6)

Учитывая (3) и принимая k

 

z a₀



1

 

z



, (7) где a0 – постоянная величина.

 

         

dz z u zd dz c

z u z d dz a

d ₀ 1  ⁰ 2 ⁰



  .

 

     

dz z zd a

c dz

z z d dz

d    

0

1 2



  . (8) Введем обозначение

a0

b_ c

. (9) Тогда уравнение приводится к этому виду

 

     

dz z zd dz b

z z d dz

d 1   2 



  . (10) Дискретизируем правую часть этого уравнения получим общее решение

          



     





  ^{zk zk zkd} _dz^{zk z zk H z zk}

z  

 1 2 ₁

   1  1 1 2 ¹²

1

1 2 



 



 



 _ ^ z z _ H z z _ С z C

dz z

z d k k

k k

 , (11)

где   – дельта функция Дирака.

  ^          



 



   









^{zk zk1 zk d} _dz^{zk H z zk zk1d} _dz^{zk1 H z zk1}

dz z

d   





           



       

^{C1 2}



^{zk zk1 zk d}_dz^{zk z zk H z zk zk1d}_dz^{zk1 z zk1}

 ^{z z}

₁

  ^{2 C}

₁

^{z C}

₂



¹²

H 

_k

 



_ , (12) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим

 

^

           



       



 



^d_dz^{z 2 2}



^{zk zk1 zk d}_dz^{zk z zk H z zk zk1d}_dz^{zk1 z zk1}

   

_

       



     









^{H z zk1 2C1z C2 2}



^{zk zk1 zk d}_dz^{zk H z zk zk1d}_dz^zk1

           

   







^{H z zk}_^{1 2 2C1}



^{zk zk}_^{1 zk d}_dz^{zk H z zk zk}_^1d_dz^zk1



 ₁



 ₁² 0

H z z_k C . (13) Примем следующие граничные условия

   ^.

,

, 0 , 0

2 1

D h h z

D z











 (14)

Пользуясь граничными условиями (14) из выражения (13) получим аналитическое решение в виде:

 



 

_^

     

  

  









 

 ^ _ ^ _

 



^{1 1 1 1}

1 1

2 ^k _i ⁱ _{k i k i i} ⁱ _{k i}

i i i

k z z

dz z z d

z z H z dz z

z z d z z

z  





  

_

         



        









^

 



2

1 1

2 1 2

1 1 1 2 ^k

i i

i i i i k

i

k h z

dz z z d z z D

h D z z

z

H 



         ¹ ^{2 1}

1 2 1 1

1 1

1  

 







 







 _ ^ h z_ H h z_ D

dz z z d

z h

H _{i i}  ⁱ _{i i} , ^_^{k 1____,n}_^

При расчетных данных ^{100кг м , h 1м, D}1 ^{24C, D}2 ^60C

3   



 строим график

изменения температуры  z .

Список литератур

1. Тюреходжаев А.Н., Карибаева Г.А. Плоские тепловые волны в полупространстве, слое, стержне// Тезисы VII Международной конференции

«Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте», 23-24 апреля 2008 г., Санкт-Петербург. С.171-173.

2. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М., «Наука», 1971, 287с.