«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
327
УДК 519.6
ИСКАКОВ К.Т., ОРАЛБЕКОВА Ж.О.
Евразийский национальный университет им.Гумилева, Астана КазНПУ им.Абая, Алматы, Казахстан
ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ СОПРЯЖЕНО-СОГЛАСОВАННЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИОННОГО МЕТОДА
В данной работе предложена методика построения сопряжено-согласованных разностных схем для оптимизационного метода. При численном решении обратных задач оптимизационным методом, в результате построения градиента функционала и сопряженной задачи, возникает необходимость аппроксимации полученных формул на дифференциальном уровне. При прямой аппроксимации сопряженной задачи, тем или иным разностным методом, нарушается свойство консервативности разностной задачи в целом. В данной работе впервые найдена технология построения сопряженной разностной схемы обладающей свойством консервативности.
В работе А.Л. Карчевского [1] приведены следующие схемы в способе выведения градиента функционала:
, 0
0 .
~ 0 0
.
0 ,
, 0 .
B p Ш J
A p J II
L u
A p J u
L I
h x
p
h p h h x
p
p p
x q
h h
Из этой схемы расчетов получения аппроксимации сопряженной задачи, т.е. нет гарантии, что ~
совпадает с , в случае их не совпадения как следствие изменится и дискретный аналог градиента, т.е. BAh.
В связи с этим в работе мы отдаем предпочтение второму способу. В работах [2,3] по этой технологии получены дискретные формулы для вычисления градмиента и соответствующей сопряженной задачи.
В настоящей работе мы попытаемся ответить на вопрос почему это происходит. Для этого мы получим градиент и соответствующей ей сопряженную задачу на дискретном уровне для ряда простейших задач и проведем соответствующий теоретический анализ.
Результаты численных расчетов будут освещены в последующих работах.
Постановка задачи на дифференциальном уровне
).
( ) 0 , (
, 0 ) , (
), ( ) , 0 (
, ) (
0 1
x u x u
t L u
t t
u
u x q u u
x xx t
. 0
, 0
, 0
, 0
, 0
L x
T t
T t
T t L x
(1)
Пусть относительно решение прямой задачи (1), известна дополнительная информация:
), ( )
; , 0
( t q f t
u 0t T
(2)
Обратная задача: По известной дополнительной информации (2), найти функции ),
(x
q u(x,t;q(x))из соотношений (1).
«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
328
Пусть p(x) - приближенное решение обратной задачи. Рассмотрим функционал:
T
dt t f p t u p J
0
) 2
( )
; , 0 ( )
(
(3) Пусть p(x)p(x),
u u(x,t;p
p)u(x,t;p)Приращение функционала имеет вид:
(0, ; ) ( ) 0(|| || ).
. ) , 0 ( 2 ) ( ) (
)
( 2
0
p dt
t f p t u t
u p
J p p J p J
T
Градиент функционала (3) имеет вид:
T
dt t x t x u x p J
0
) , ( ) , ( ) )(
(
Где (x,t) есть решение сопряженной задачи:
, ) ( )
; , 0 ( 2 ) , 0 (
, 0 ) , (
, 0 ) , (
, ) (
t f p t u t t L
T x
x p
x
xx t
. 0
, 0
, 0
, 0
, 0
T t
T t
L x
T t L x
Дискретный аналог оптимизационного метода
Пусть ph(xi)- приближенное решение обратной задачи. Аппроксимируем задачу (1) явной разностной схемой:
1,
1
xjx i j
t y p y
y (xi,tj)h, ),
1(
1 0
, j
j
x t
y 0 jM1,
10
j
yN , 0 jM1, ),
0(
0
i
i u x
y 0iN.
Где: h h ; h
xi ih, i0,N, hL N
,
tj j , j0,M, T/M
- сеточные области.Пусть известна дополнительная информация:
)
0 ( j
j f t
y , 1 jM.
Рассмотрим дискретный аналог функционала (3),
21
0
M
j
j h j h
h p y p f
J
(4) Зададим приращение h
i h
i p
p ,
ih j i h i h i j i ji y p p y p
y
.
Градиент функционала (4) имеет вид:
1
0 1 1
0
M
j
j i j i i
i h i
h p y y
J
(5) Где ij- есть решение сопряженной задачи:
«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
329
1 1
0 1 0 ,
1 1
1 1
2 , 0
, 0
,
j h i j j
x j N M i
j i j
x x t
f p y
p
1 , 1 1
, 0
1 ,..., 1
M j j
N i
M j
(6) Численное решение оптимизационной задачи формальной аппроксимацией Пусть g(xi)- приближенное решение обратной задачи (1).
Аппроксимируем задачу (1) разностной схемой.
1,
1
xjx i j
t g
(xi,tj)h, ),
1(
1 0
, t
j
x
0 jM1,
1 0
j
N , 0 jM1, )
0(
0
i
i u x
, 0 jN.
Пусть известна дополнительная информация )
0 ( j
j f t
, 1 jM. Рассмотрим функционал:
1
0
2 0
M
j
j i j i
h g g f
J .
Аппроксимация градиента функционала, примем в виде:
1
0 M
j j i j i i
h g
J .
(7) Где ij - есть решение сопряженной задачи:
. 2
, 0
, 0
,
1 1 0 1 0 ,
1
1 1
j j j
x j N M i
j i j
x t x
f g
. 1 ,...,
, 1 ,...,
, 0
, 1 ,..., 1 ,
M j
M j
N i
M M j
(8)
Теперь сравнивая дискретной аналог оптимизационного метода и формальной аппроксимации, мы видим различия как градиента (см. формулы (5) и (7), так и сопряженных задач (см.(6)-(8)). Почему так происходит, выясним в следующем разделе.
Сравнительный анализ двух подходов Рассмотрим сопряженную задачу (8):
1,
1
xjx i j
t g
jM,1 (9)
,
0
M
i
0 i N
(10),
10
j
N jM 1,1 (11)
0 1 1
1 0
,
2
j
jj
x
f
, jM,...,1 (12)Умножим (9) на ij и суммируем по j от 1 до M, по i от 1 до N1 рассмотрим скалярные произведения:
ij
j i j
x i x j
t i g
, , 1,
(13)
«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
330
где:
1
1 1
1
,
N
i M
j
j i j
iW
u h
W
u , обозначим через S1 t,ij
, S2 xx,ij
,
j i j
gi
S3 1, .
После ряда преобразований для S1, S2, S3, с использованием формул суммирования по частям, соотношение (13) окончательно примет вид:
1
1
1
0 1
1
1
0 1
1
1
1
1 1 0 0 1
1 0
1
1 2
M
j
M
j N
i
M
j N
i
M
j
j j j
i j i j
x x j i j
i t i
i M i
M g f
.
Для приращения i, имеем задачу:
. 0
, 0
, 0
, 1 , 0 , 1 , 1 ,
1 1 1 0 ,
1 1
1
i j N j x
j i j
i j
x
t x g g i N j M
Замечание. В полученной задаче исчезла вариация в (.)i, т.е. начальное условие.
Таким образом вспомогательная разностная задача (8) не сопряжена к исходной разностной задаче.
Вывод
1. Если использовать формальную аппроксимацию готовых формул, то необходимо пересчитать начальное условие заданное в (.) x0, в точке x1 (используя например разностную аппроксимацию в (.)x0 исходного уравнения). А также необходимо задать условие для соопряженной задачи в (.) tN1, т.е. N1. Так как попытка задать условие в (.)
tN- приводит к смешении начального условие исходной задачи на шаг.
2. Если использовать дискретную аппроксимацию, то в ней уже учтено, что для сопряженной задачи мы задаем условие в точке (.)tN1, и сдвига индекса для исходной задачи в начальном условии не происходит.
3. Если мы аппроксимируем исходную задачу неявной схемой, то происходит сдвиг индексов у градиента (либо у исходной или соопряженной), этом не влияет на конечный результат градиента (Было у многих мнение, что это главное, просто когда мы берем неявную схему происходит сдвиг индексов, а у явной схемы этого не происходит.) Вся проблема заключена в краевом условии, поэтому главное учесть правило описанное в пунктах 1, или 2.
Литература
1. А.Л.Карчевский. Схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом. // Сиб.электронные математические известия. – Т.5. – С.609-619.
2. К.Т.Искаков, Ж.О.Оралбекова. Дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для параболического уравнения. // Вестник КарГУ, серия математика, №2(58), 2010, С.56-59.
3. А.А.Ерденеева, Г.А.Тюлепбердинова. Дискретный аналог оптимизационного метода для обратной задачи электродинамики в квазистационарном приближении. // Вестник КарГУ, №2(58), 2010, С.25-29.
