(1)-ші теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуін i-ге кӛбейтіп, бірінші теңдеуге қосқанда W   b ( t ) W  0 (2) теңдеуін аламыз. Мұнда t f t ig t b   , W(t)u(t)iv(t), dt W dW , i   1

31

ТҤНҒАТАРОВ Ә.Б., КУСПЕКОВА М.К.

БІРІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҤЙЕСІНІҢ БІР КЛАСЫНЫҢ КВАДРАТУРАЛЫҚ ШЕШІМІ

(Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университеті, Астана)

Мақалада неміс математигі Э.Камкенің белгілі кітәбында жоқ бір бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдері айқын алынған.

Неміс математигі Э.Камкенің белгілі кітәбында [1,534]





















v t f u t g v

v t g u t f u

) ( )

(

) ( )

( , (1)

теңдеулер жүйесінің айқын шешімі берілген. Мұнда

dt v dv dt

u du,  . Осы шешімнің алу жолын кӛрсетейік. (1)-ші теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуін i-ге кӛбейтіп, бірінші теңдеуге қосқанда

W   b ( t ) W  0

(2) теңдеуін аламыз. Мұнда

) ( ) ( )

( t f t ig t

b  

, W(t)u(t)iv(t),

dt

W dW ,

i   1

. (2)-ші теңдеудің шешімі оңай алынады:

 cos ( ) sin ( )  exp ( ) )

( t с G t i G t F t

W    

Мұнда ^G(t)



^{g(t)dt, F(t)}



^f(t)dt, с- кез келген комплекс сан.

Осы теңдіктің нақты бӛліктері мен жорамал бӛліктерін ажыратсақ u мен v белгісіздерінің мәндері шығады:

) ( exp )) ( cos )

( sin (

) ( exp )) ( sin )

( cos (

2 1

2 1

t F t

с G t с G

v

t F t

с G t с G

u



















 ,

Мұнда с1 мен с2 кез келген нақты сандар.

Осындай жолмен























v t f u t g v

v t g u t f u

) ( )

(

) ( )

( ,

теңдеулер жүйесінің шешімін алуға болады:

) ( exp )) ( cos )

( sin (

) ( exp )) ( sin )

( cos (

2 1

2 1

t F t

с G t с G

v

t F t

с G t с G

u





















 ,

Енді келесі теңдеулер жүйесін қарастырайық:

 









 







 

v t f u t g v

v t g u t f u

) ( )

(

) ( )

(

, (3)

Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі

  ^{1 }

і кітапта жоқ. Ӛйткені, оның шешімі осы кітәпта кӛрсетілген әдіспен шықпайды. Біз осы жұмыста (3)-і жүйенің шешімін айқын құрамыз және оны қалай құру жолын кӛрсетеміз. Жүйенің коэффициенттері

f (t )

мен

g (t )

белгілі аралықта интегралданатын функциялар болсын делік.

(3)-ші теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуін i-ге кӛбейтіп, бірінші теңдеуге қосқанда

W   b ( t ) W  0

(4) теңдеуі шығады.

Мұнда b(t) f(t)ig(t), W(t)u(t)iv(t), W(t)u(t)iv(t).

(4)-ші теңдеуді Камкенің кітәбындағы қарастырған әдіспен шығара алмаймыз. Сондықтан біз осы теңдеуді шығаратын жаңа жол қолданамыз. Енді осы жолды келтірейік.

(4)-ші теңдеуді интегралдаймыз

32

W ( t )  ( BW )( t )  c

(5) Мұнда

^{BW t } 

^t

^{b  W d}

0

) ( ) ( ) )(

(   

, с-кез келген комплекс сан.

(5)-ші теңдеудің екі жағына (BW)(t) түрлендіруін жасайық:

) ( )

)(

( ) )(

( BW t  B

²

W t  c  I

₁

t

(6) Мұнда c таңбасы

c

санының түйіндесін білдіреді,



^{( )( )}



^{( )}

) )(

(B²W t  B BW t t ,

^{I t } 

^t

^{b d}

0

1

( ) (  ) 

. (5) пен (6)-шы теңдеулерден

c t I c t W B t

W( )( ² )( )  ₁( ) (7) теңдеуі шығады.

Енді тағы да (7)-ші теңдеудің екі жағына (BW)(t) түрлендіруін жасайық:

) ( )

( )

)(

( ) )(

(BW t  B³W t cI₂ t cI₁ t (8) Мұнда (B³W)(t)(B(B²W)(t))(t),

^{I t } 

^t

^{b  I d}

0

0

1

( ) (  ) (  ) 

. (8) бен (5)-ші теңдеулерден

)) ( 1 ( ) ( )

)(

( )

(t B³W t c I₁ t c I₂ t

W      

теңдеуі шығады.

Мұнда

^{I t } 

^t

^{b  I d}

0

1 2

( ) (  ) (  ) 

. Осы процесті n рет қайталасақ

 

 

  









ⁿ

k

n

k k k

n

W t c I t c I t

B t W

1 1

2 1

2

( ) ( 1 ( ) )

) )(

( )

(

(9)

теңдігін аламыз.

Мұнда

^I

^k

^{t } 

^t

^{b  I}

^k

^d

0

1

( ) )

( )

(   

, (B^кW)(t)(B(B^к1W)(t))(t), (к2,), )

)(

( ) )(

(B¹W t  BW t .

Осы теңдікте

n  

болғанда шекке кӛшіру үшін келесідей бағалауларды қолданамыз:

0 0

! ) ) (

)(

( W

n t t b

W B

n

n

 



,

! ) ) (

(

⁰

k t t b

I

k k

 

, (к2,) (10)

Мұнда

max ( )

0

f t

f

t



.

Енді (9) теңдікте

n  

болғанда шекке кӛшсек, онда (10)-ы бағалардың кӛмегімен

) ( )

( )

( t c P

₁

t c P

₂

t

W    

(11) теңдігін аламыз.

Мұнда



^

 



1 1 2

1

( ) ( )

k

k

t

I t

P

,



^







1 2

2

( ) 1 ( )

k к

t I t

P

.

)

1

( t

P

және

P

₂

( t )

функциялары үшін

) ( )

(

0

1

t sh b t

P  

,

( ) ( )

2

t ch b

0

t

P  

теңсіздіктері орындалады. Сондықтан

P

₁

( t )

және

P

₂

( t )

дағы қатарлар жинақты.

Сол сияқты

) ( ) ( )

(

₂

1

t b t P t

P   

, P₂(t)b(t)P₁(t)

(12)

33

 ^



t

d P b t P

0

2

1

( ) (  ) (  ) 

,

( ) ( ) ( ) 1

0

1

2

^t  

^t

^b  ^{P d} 

P   

теңдіктері оңай орындалады.

Осы теңдіктерден

1 ) ( )

(

² ₁ ²

2

t  P t 

P

(13) ӛте пайдалы теңдігін алуға болады.

Сонымен (4)-ші теңдеудің шешімі (11) формуламен беріледі. Осы формуланың нақты бӛліктері мен жорамал бӛліктерін ажырату арқылы (3)-ші теңдеулер жүйесінің шешімін аламыз:

)) ( Re ) ( (Re ))

( Im ) ( (Im

)) ( Im ) ( (Im ))

( Re ) ( (Re

2 1

2 2

1 1

2 1

2 2

1 1

t P t

P c

t P t

P c

v

t P t

P c

t P t

P c

u

























,

Мұнда с1 мен с2 кез келген нақты сандар.

Ескерту:

P

₁

( t )

және

P

₂

( t )

функциялары

 0 , 2  

аралығында үзіліссіз.

P

₁

( 0 )  P

₁

( 2  )

және

)

2 ( ) 0

(

₂

2

P 

P 

теңдіктері әрқашанда орындалмайтындықтан (11) мен берілген W(t) функциясы



2

- периодты функция бола алмайды. Оның

2 

- периодты функция болу үшін бос

с

санын таңдап алу керек. Сондай жағдайда (13)-шы теңдікті пайдалануға болады.

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука, 1966.-534 с.