УДК 517.95
Условия существования сильного решения в целом одного класса нелинейных эволюционных уравнений
в гильбертовом пространстве
c 2008 г. М. Отелбаев
1, А. А. Дурмагамбетов
1, Е. Н. Сейткулов
1Поступило в сентябре 2007 г.
Изучается нелинейное операторно-дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве, которое является абстрактной моделью для системы уравнений Навье–Стокса. Основной резуль- тат состоит в доказательстве теоремы существования сильного решения этого уравнения при условии, что некоторая другая система уравнений (связанная с исходным уравнением) имеет только нулевое решение.
1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть p∈(1,∞),θ ∈(−∞,+∞),a∈(0,∞). Далее пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Норму в H будем обозначать через |·|, а скалярное произведение через ·,·. Пусть C∞(H; 0, a) — множество бесконечно гладких на [0, a], a > 0, функций со значениями в H. Пусть A — самосопряженный неотрицательный оператор с вполне непрерывным обрат- ным. ЧерезHp,θ[0, a]обозначим пространство, полученное пополнением множестваC∞(H; 0, a) по норме
|f|Hp,θ[0,a]=
⎛
⎝ a 0
Aθf(η)p
Hdη
⎞
⎠
1/p
.
Рассмотрим задачу Коши
ut+Au+B(u, u) =f(t), u(0) = 0, 0< t < a, (1) гдеB(u, g)— билинейный оператор, а f ∈Hp,θ[0, a]. Обозначим черезD(A) область определе- ния оператора A.
Определение 1. Будем говорить, что задача (1) вHp,θ[0, a]сильно разрешима(в целом), если при любом a >0из условия f ∈Hp,θ[0, a]вытекает u+Au∈Hp,θ[0, a], где u — решение задачи (1).
В работе [1] мы рассматривали вопросы сильной разрешимости задачи (1) в случаеp= 2и θ= 0:H2[0, a]≡H2,0[0, a]. В указанной работе [1] предполагалось, чтоAиB(·,·)связаны неко- торыми условиями подчиненности преобразования B(·,·) оператору A, а именно требовалось выполнение следующего условия:
|(A+E)−γB(u, g)| ≤c
|(A+E)γ0u| ·(A+E)γ0+1/2g+|(A+E)γ0g| ·(A+E)γ0+1/2u (2)
для всех γ иγ0, удовлетворяющих соотношениям γ0 =δ0−γ
2, −∞< γ≤ 3
4, 0< δ0 < 1
2, (2)
1Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан.
где δ0 — постоянное число, а константа c зависит только от γ. В этой работе мы, помимо условий (2), (2), предполагаем, что имеет место равенство
B(u, g), g = 0, (3)
которое выполняется при любых u, g∈D(A).
В [1] доказана
Теорема A. Пусть A ≥E и выполнены условия (2), (2). Тогда задача (1) сильно раз- решима в целом тогда и только тогда, когда единственным решением (w(t), s(t)) системы уравнений
−s(t) +As(t) +Bw∗s(t) = 0, s(a) = 0, 0< t < a,
w+Aw(t) +B(w, w) =s(t), w(0) = 0, 0< t < a, (4) является нуль-решение, т.е. s(t)≡0 и w(t)≡0.
Здесь B∗w — оператор, сопряженный к Bw, а линейный оператор Bw определяется фор- мулой Bwg = B(w, g) +B(g, w), где w фиксировано. Ниже поясним смысл слова “решение”, употребляемого в этой теореме.
Определение 2. Множество всех пар {w1, w2} бесконечно гладких вектор-функций со значениями в D(A)⊆H, которые удовлетворяют следующим условиям:
а) w1= 0 в окрестности t= 0, а w2= 0 в окрестности t=a;
б) Awj ∈H2[0, a], j= 1,2,
назовемпробными функциями и обозначим через Da.
В [1] решение задачи (4) дается в соответствии со следующим определением.
Определение 3. Пару вектор-функций (w(t), s(t)) называем решением задачи (4), если выполнены следующие условия:
в) при любомδ ∈(0, a) имеют место соотношения
s(t)∈H2[0, a], w+Aw∈H2[0, a−δ];
г) если (w1, w2)∈Da и Bww1∈H2[0, a], то справедливы равенства s, w1 +Aw1+Bww1H2[0,a]= 0,
−w2+Aw2+1
2Bw∗w2, w
H2[0,a]
− w2, sH2[0,a]= 0.
В данной работе мы пользуемся определением решения, аналогичным этому, в котором от- сутствует требованиеBww1 ∈H2[0, a]. Дело в том, что из условия (3) автоматически вытекает Bww1 ∈H2[0, a]. Действительно, из условия (3) легко следует, что решение w задачи (1) удо- влетворяет энергетической оценке, из которой вытекает A1/2w∈H2[0, a]. Поэтому, пользуясь условиями (2), (2) и (w1, w2) ∈ Da, получаем Bww1 ∈ H2[0, a]. В работе [1], где p = 2, мы обошлись без условия типа (3). В настоящей работе в связи с теоремами 4 и 5 нам не удалось обойтись без условия (3).
Уравнение дляs(t)в системе (4) обратно параболическое, и условие Коши задано на правом конце. Более того, оно есть линейное однородное уравнение. Поэтому если w(t) в окрестности точки t = a такова, что выражение Bw∗s(t) “подчинено” выражению −s(t) +As(t), то такая задача имеет только нуль-решение. Но так как в точкеt=aвектор-функцияw(t)может иметь
особенности, то возможно ненулевое решение задачи для s(t). Поэтому теорема A не решает проблему существования сильного решения в целом, а сводит ее к другой проблеме.
Из системы (4) можно исключить функциюs(t). Тогда из (4) дляw(t)получим двухточеч- ную задачу (в которой под решением понимается обобщенное решение)
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
−d2 dt2 +A2
w+
−d dt +A
B(w, w) +Bw∗ d
dtw+Aw+B(w, w)
= 0, w+Aw(t) +B(w, w)
t=a= 0, w(0) = 0.
Линейная часть в основном уравнении является эллиптическим оператором. Тем не менее нам не удалось доказать, что решением этой задачи является только нуль-решение.
В разд. 2 даются обобщения теоремы A и других результатов работы [1] на более общие случаи, а также указывается возможность обобщения в случае, когда нелинейный оператор B(·) имеет более общий вид (см. замечание 3 из разд. 2). Основные результаты разд. 2 содер- жатся в теоремах 7 и 8 (теорема 5 является частным случаем теоремы 7). Теорема 7 проблему сильной разрешимости в целом сводит к проблеме единственности решения одной системы ин- тегральных уравнений, которая по крайней мере формально относится к классу вольтерровых уравнений, имеющих единственные классические решения.
2. УСЛОВИЯ СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Hp,θ[0, a]
В этом разделе сначала кратко изложим основные результаты из работы [1]. Положим
T(λ)g= t
0
e−(A+λE)(t−ξ)g(ξ)dξ,
где E — единичный оператор, а exp{(−A−λE)(t−ξ)} понимается в смысле спектрального разложения.
Помимо T(λ), введем операторT(λ, α), действующий по формуле
T(λ, α)v= 1 Γ(α)
t 0
e−(A+λ)(t−ξ)(t−ξ)α−1v(ξ)dξ,
гдеΓ(α) — гамма-функция, α >0.
Следующие леммы 1–3, а также теоремы 1–3 доказаны в [1].
Лемма 1. Если α, β >0,то T(λ, α)T(λ, β) =T(λ, α+β), T(λ,1) =T(λ).
Отметим, что в силу леммы 1 вместоT(λ, α) можно писать
T(λ, α) =Tα(λ) (5)
и понимать T(λ, α) как дробные степени оператора T(λ). Приα= 0 за Tα(λ) можно принять E, так как при α→0 сильным пределом семействаTα(λ) будет именно E.
Из леммы 1 получаем равенство (0≤α≤1)
T(λ) = (A+λE)bTα(λ)(A+λE)−bT1−α(λ).
Введем норму| · |γ,λ:
|v|2γ,λ= sup
0<t<a|(A+λ)γv(t)|2+ a 0
(A+λ)γ+1/2v(t)2dt.
Лемма 2. Пусть f(t) ∈ H2[0, a] и решение u(t) задачи (1) удовлетворяет условию
|u|2γ,1 =C <∞ при некотором γ > 14. Тогда u+Au∈H2[0, a].
Определение 4. Функция f(t) ∈H2[0, a], |f|H2 = 0, называется разделяющей функцией задачи (1), если выполнены следующие условия:
а) решениеu(t)задачи (1) в(0, a) существует иu+Au∈H2[0, a−ε]при любом ε∈(0, a), но u+Au /∈H2[0, a];
б) если g(t) ∈H2[0, a]и |g|H2 <|f|H2, то решение задачи
v(t) +Av+B(v, v) =g(t), v(0) = 0, 0< t < a, существует иv(t) +Av ∈H2[0, a].
Теорема 1. Если существует f(·)∈H2[0, a]такая, что задача (1) не имеет решения, удовлетворяющего условию u+Au ∈ H2[0, a], то для задачи (1) существует разделяющая функция.
Лемма 3. Существует число ε >0 такое, что если |f|2H2[0,a]≤ε, то задача (1) имеет решение u(t), для которого u+Au∈H2[0, a].
Теорема 2. Пусть s(t) — разделяющая функция, |s|H2[0,a] > 0, а w(t) — решение за- дачи (1) при f = s(t). Тогда пара (w(t), s(t)) удовлетворяет системе уравнений (4) (см.
введение).
Теорема 3. Пусть f(t) — разделяющая функция задачи (1)и u(t) — решение задачи (1) в (0, a). Тогда
|ut|2− |Au+B(u, u)|2
t= 0 при 0< t < a.
Приведем некоторые обобщения основных результатов.
Пусть p ∈(1,∞), θ ∈(−∞,+∞) и a∈(0,∞). Рассмотрим задачу (1) при f ∈ Hp,θ[0, a]≡
≡Hp,θ. Понятие разделяющей функции вводится, как и в случаеp= 2 иθ= 0.
Имеет место следующий результат.
Теорема 4. Пусть выполнено условие (2) для всех γ и γ0,удовлетворяющих условиям γ0 =δ0−γ
2, −∞< γ ≤ 3
4, δ0 >0, (6)
где δ0 > 0 — постоянное число, а число c в условии (2) зависит от γ. Предположим, что выполнены неравенства
0≤δ0−θ 2 < 1
2,
δ0−θ 2
p <1, 1 p + 1
p = 1. (7)
Тогда для того, чтобы задача (1) не была сильно разрешимой в Hp,θ, необходимо и доста- точно, чтобы при некотором a >0 существовала в Hp,θ разделяющая функция задачи (1).
Содержание этой теоремы совпадает с содержанием теоремы 1 (с заменой H2[0, a] на Hp,θ[0, a]), и ее доказательство по существу совпадает с доказательством теоремы 1, если не считать существенными обычные приемы использования неравенств Коши.
Из теоремы 4, так же как выводилась теорема A из теоремы 1 (см. [1]), получаем следующий результат.
Теорема 5. Пусть выполнены условия (2)и (6). Предположим, что числа 1< p <∞и θ∈ (−∞,∞) удовлетворяют условию (7). Тогда задача (1) сильно разрешима в Hp,θ,если и только если при любом a >0 решение (обобщенное) системы уравнений
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
ut+Au+B(u, u) =f(t), u(0) = 0, f(·)∈Hp,θ,
−g+Ag+B∗ug= 0, g(a) = 0, g(t) =|Aθf|pH−2·A2θf, 0< t < a, является только нуль-решением.
Задачу (1) можно переписать в “ограниченной записи”.
Пусть0≤α≤1,θ∈(−∞,∞). В уравнении (1) положимu=TαA−θwи подействуем на (1) операторомT1−αAθ. Тогда получим
w+AθT1−αB
TαA−θw, TαA−θw
=g. (8)
Здесь g=T1−αAθf, а Tα — оператор, определенный по формуле (5) при λ= 0.
Уравнение (8) рассмотрим в пространстве Hp[0, a]≡Hp с нормой
|u|Hp[0,a]=
⎛
⎝ a 0
|u(η)|pHdη
⎞
⎠
1/p
.
Определим понятия сильной разрешимости и разделяющей функции для уравнения (8).
Определение 5. Будем говорить, что уравнение (8)сильно разрешимо, если при любом a > 0 из g(·) ∈ Hp вытекают существование и единственность решения w уравнения (8), которое таково, чтоw(·)∈Hp.
Определение 6. Вектор-функциюg∗∈Hpбудем называтьразделяющей функцией урав- нения (8), если выполнены следующие условия:
а) при любомε >0уравнение (8), в которомg=g∗(x), имеет единственное решение w∗(t) из класса Hp[0, a−ε]иw∗(·)∈/ Hp[0, a];
б) еслиg∈Hpи|g|Hp <|g∗|Hp, то решениеwуравнения (8), в которомg=g, принадлежит классу Hp.
Имеет место
Теорема 6. Пусть выполнено условие (2) для всех γ и γ0, удовлетворяющих услови- ям (6)из теоремы 4. Предположим, что 0≤α≤1, 1< p <∞, p−1+p−1 = 1 и
0≤
δ0+ 1−α−θ 2
p <1, δ0−α+θ
2 <0, θ+α≥ 1
4, 2δ0+α≥1 +θ. (9) Тогда для того, чтобы уравнение (8)не было сильно разрешимым в Hp,необходимо и доста- точно, чтобы при некотором a >0существовала в Hp разделяющая функция уравнения (8).
Доказательство. Содержательная часть доказательства этой теоремы в существенном совпадает с доказательством теоремы 1 из [1]. Отличающиеся выкладки опираются на следу- ющее равенство:
(T f)(t) =eλt[T(λ)g](t), g(t) =e−λtf(t),
и неравенства, краткий вывод которых приводим ниже:
S≡ a
0
AθT1−αB(w, g)(t)pdt= a
0
t 0
Aθe−A(t−ξ)
(t−ξ)α B(w, g)(ξ)dξ
p
dt≤
≤ a
0
t 0
Aθ(t−ξ)1−α−εe−A(t−ξ)
(t−ξ)1−ε B(w, g)(ξ)dξ
p
dt≤
≤Cε a
0
⎛
⎝ t 0
1
(t−ξ)1−εAθAα+ε−1B(w, g)(ξ)dξ
⎞
⎠
p
dt≤Cε,1 a 0
Aθ+α−1+εB(w, g)(t)pdt, гдеε >0— малое число,0≤α <1−ε. Приw=g=A−θTαuиспользованы оценки операторов, инвариантных относительно сдвига, из [2]. Отсюда, используя условия теоремы, имеем
S ≤Cε,2 a 0
Aδ0+θ+α−21+εwpAδ0+θ+α−21+ε+12gp+Aδ0+θ+α−21+ε+12wpAδ0+θ+α−21+ε+12gp dt=
=Cε,3
a 0
⎧⎨
⎩ t 0
Aδ0+θ+α−21+εA−θe−A(t−ξ) u(ξ)
|t−ξ|1−αdξ
p
×
× t 0
Aδ0+θ+α−1+ε2 A−θ+12e−A(t−ξ) u(ξ)
|t−ξ|1−α dξ
p⎫
⎬
⎭dt≤
≤Cε,4
a 0
⎧⎨
⎩ t 0
|u(ξ)|dξ
|t−ξ|1−α+δ0+−θ+α2−1+ε
p t
0
|u(ξ)|dξ
|t−ξ|1−α+δ0+−θ+α2−1+ε+12
p⎫
⎬
⎭dt=
=Cε,4 a 0
⎛
⎝ t 0
|u(ξ)|dξ
|t−ξ|1−α−θ2 +δ0 ·
t 0
|u(ξ)|dξ
|t−ξ|2−α−θ2 +δ0
⎞
⎠
p
du≤Cε,5
⎛
⎝ a
0
|u(ξ)|pdξ
⎞
⎠
2
.
Это неравенство имеет место, если выполнены условия (9). Из этой оценки, так же как и в [1], получается утверждение теоремы.
Из теоремы 6, так же как теорема A выводилась из теоремы 1 работы [1], выводится следующий результат.
Теорема 7. Пусть выполнено условие (2) для всех γ и γ0, удовлетворяющих услови- ям (6)из теоремы 4. Предположим, что выполнены условия (9)из теоремы 6. Тогда уравне- ние (8)сильно разрешимо, если и только если при любомa >0обобщенное решение системы
w(t) +AθT1−αB
TαA−θw, TαA−θw
=f(t), g(t) +S∗g(t) = 0, g=|f|pH−2f, 0< t≤a,
(10) гдеS∗ — оператор, зависящий отwи сопряженный к S(w)в смыслеHp,аS(w)определяется равенством
Su≡S(w)u =AθT1−αB
TαA−θw, TαA−θu
+AθT1−αB
TαA−θu, TαA−θw , является только нуль-решением.
Приведем определение обобщенного решения (10).
Определение 7. Пара вектор-функций (w, g), определенных в [0, a), называется обоб- щенным решением (10), если
а) f(·)∈Hp[0, a],g=|f|pH−2f, а w∈Hp[0, a−ε]при любомε >0;
б) если ε ∈ (0, a), то на (0, a −ε] первое уравнение выполняется в обычном смысле в Hp[0, a−ε];
в) если ε∈(0, a) иm(t) — вектор-функция из C∞(H; 0, a), равная нулю на [a−ε, a], то
a−ε
0
g(t), m(t) +Sm(t)
Hdt= 0.
При выполнении условий теорем 6 и 7 в классахHp[0, a]для уравнения (8) можно исполь- зовать теорию возмущений. Именно верно следующее
Утверждение 1. Пусть выполнены условия теоремы7. Тогда если для данногоg(t)∈Hp
уравнение (8) имеет решение u(t) ∈ Hp и если |g(·)−g(·)|Hp ≤ ε, где ε — малое число, то уравнение (8) с правой частью g(t) имеет в Hp решение u(t) такое, что
|u(·)−u(·)|Hp ≤δ(ε), δ(ε) →0 при ε→0.
Это утверждение доказывается с помощью простых оценок, которые мы использовали в [1]
неоднократно. Аналогичное утверждение можно доказать для решения задачи (1) при выпол- нении условий теоремы 5. Имеет место
Лемма 4. Пусть выполнено условие (2)для всех γ и γ0,удовлетворяющих условиям (6) теоремы 4. Предположим, что при некоторых θ0 и p0, удовлетворяющих (7), задача (1) сильно разрешима в Hp0,θ0. Тогда задача (1) сильно разрешима в Hp0,θ при любом θ≥θ0.
Доказательство. Пусть задача (1) сильно разрешима в классе Hp0,θ0, где p0, θ0 удо- влетворяют (7). Предположим, что f0(·) ∈ Hp0,θ. Тогда f0(·) ∈ Hp0,θ0, так как имеет место вложение
Hp0,θ[0, a]→Hp0,θ0[0, a].
Поэтому решение u0(t) задачи (1) с f(·), равной f0(·), принадлежит классу Hp0,θ0, так как по предположению в Hp0,θ0 задача (1) сильно разрешима. Теперь задачу (1) запишем в виде
u+Au+B(u0, u) =f0(t),
u|t=0 = 0. (11)
Далее, пользуясь приемом, использованным в [1] при доказательстве леммы 2, получаем, что решениеu(t) задачи (11) принадлежит классуHp0,θ. Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть выполнено условие (2)для всех γ и γ0,удовлетворяющих условиям (6) теоремы 4. Предположим, что при некоторых θ0 и p0, удовлетворяющих (7), задача (1) сильно разрешима в Hp0,θ0. Тогда задача (1) сильно разрешима в Hp,θ0 при любом p≥p0.
Эта лемма доказывается так же, как лемма 4.
Применяя эти две леммы, получаем следующий результат.
Теорема 8. Пусть выполнено условие (2) для всех γ и γ0, удовлетворяющих услови- ям (6) теоремы 4. Предположим, что при некоторых θ0 и p0, удовлетворяющих (7), зада- ча (1) сильно разрешима в Hp0,θ0. Тогда если p, θ удовлетворяют условиям θ ≥ θ0, p ≥ p0, то задача (1)сильно разрешима в Hp,θ.
Отметим, что для трехмерного уравнения Навье–Стокса числоδ0 равно 38, а для двумер- ного 14. Вообще говоря, дляn-мерного уравнения Навье–Стокса числоδ0 равно n8.
Замечание 1. Всюду мы предполагали, что резольвента оператора A компактна.
Это условие для нас было существенным при доказательстве существования разделяющей функции.
Замечание 2. Для решения уравнения Навье–Стокса известна энергетическая априор- ная оценка. Мы такой оценкой не пользовались. Если воспользоваться энергетической оценкой, то с помощью теоремы 7 нетрудно получить результат О.А. Ладыженской о сильной разре- шимости уравнения Навье–Стокса в двумерном случае. Но можно показать, что уравнение Навье–Стокса (n= 2), записанное в форме (8), сильно разрешимо вHp, если 1< p <∞ и
1
4+1−α−θ 2
p <1, 1
4 −α+θ
2 <0, 1 p +1
p = 1, α−θ≥ 1
2, 0≤α≤1.
При n≥3 наши результаты не решают проблему, но сводят ее к другой эквивалентной про- блеме (см. теорему 7).
Замечание 3. Вообще говоря, в наших теоремах границы изменения параметров можно расширить. Более того, в задаче (1) вместо билинейного оператораB(u, u)можно рассмотреть общий нелинейный оператор вида [B(u)](t) =B(u(t), t), подчиненный условию
|B(u1, t)−B(u2, t)|H2 ≤F
|Aθu1|H,|Aθu2|H
|Aγ(u1−u2)|H,
где 0 ≤ γ < 1, 0 ≤ θ < 1, а функция двух переменных F(x, y) непрерывна и удовлетворяет оценке
|F(x, y)| ≤Cp
x2p+y2p
, 0≤p <∞,
в которой числоCpзависит отp, но не зависит отxиy. Конечно, пространства, в которых для рассматриваемой задачи можно использовать теорию возмущений, будут зависеть от чисел p, θи γ.
3. О СИСТЕМЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ–СТОКСА Рассмотрим систему уравнений
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
∂
∂tuj−∆uj+ ∂
∂xluluj + ∂
∂xjP =fj, j= 1,2,3, divu= ∂
∂xkuk= 0
(12)
в области Q×[0, a], где a > 0, Q = {x: −π < xj < π, j = 1,2,3}. К системе (12) добавим начальные и граничные условия:
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
uj(t, x)
t=0= 0, uj(t, x)
xk=−π =uj(t, x)
xk=π,
∂
∂xkuj(t, x)
xk=−π = ∂
∂xkuj(t, x)
xk=π, P(t, x)
xk=−π =P(t, x)
xk=π, k, j = 1,2,3.
(13)
ДавлениеP из (12) и (13) может быть определено только с точностью до функции, зависящей от времени. Поэтому, чтобы функция P определялась однозначно, добавим условие
Q
P(t, x)dx= 0, t∈[0, a]. (14)
Пусть v=
kvk(t)eik,x. Введем оператор (−∆) −1, действующий по формуле (−∆) −1v(t, x) =
|k|2=0
vk(t)eik,x
|k|2 , k= (k1, k2, k3), |k|2 =k21+k22+k32.
Легко подсчитать, что равенство div
grad(−∆) −1divu
=−divu
имеет место для любой дважды гладкой периодической (с периодом 2π) по всем простран- ственным переменным вектор-функции u= (u1, u2, u3).
Подействуем на первые три уравнения системы (12) операцией E+ grad(−∆) −1div,
гдеE — единичный оператор. Тогда, учитывая, что divu= 0, получаем
⎧⎨
⎩
∂
∂tu−∆u+ (∇, u)u+ grad(−∆) −1div(∇, u)u=f+ grad(−∆) −1divf, u
t=0= 0.
(15)
Из (12) мы исключили давление P. Рассматривая (15) в классе периодических по простран- ственным переменным функций, для которыхdivu= 0, мы получаем запись системы уравне- ний Навье–Стокса в абстрактной форме (1).
Применив результаты разд. 2 к задаче (12)–(14), получаем следующую теорему.
Теорема 9. Для того чтобы задача (12)–(14) при любом f = (f1, f2, f3),удовлетворяю- щем условию
a 0
|f(t,·)|2L2(Q)dt <∞,
имела решение (u, P) = (u1, u2, u3;P), удовлетворяющее условию a
0
|ut−∆u|2L2(Q)+|gradP|2L2(Q)
dt <∞,
необходимо и достаточно, чтобы решение системы уравнений
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
∂
∂tuj−∆uj+ ∂
∂xluluj+ ∂
∂xjP =fj,
∂
∂xkuk≡divu= 0,
−∂
∂tfj−∆fj−flxjul−fjxlul+ ∂
∂xjr = 0,
∂
∂xkfk≡divf = 0, j= 1,2,3,
Q
P dx=
Q
r dx= 0,
(16)
с условиями Коши
uj
t=0 = 0, fj
t=a= 0
и с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным для u= (u1, u2, u3), f = (f1, f2, f3), P, r, ∂
∂xku, ∂
∂xkf, k= 1,2,3, было только нуль-решением (см. определение 3).
Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы A.
Отметим, что из (16) можно исключитьP иr. Для этого достаточно к первому и третьему равенствам применить оператор E+ grad(−∆) −1div, и тогда (16) перепишется в виде
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
∂
∂tuj−∆uj+
E+ grad(−∆) −1 ∂
∂xluluj =fj,
∂
∂xkuk= 0,
−fjt−∆fj−
E+ grad div(−∆) −1
(flxjul+fjxlul) = 0,
∂
∂xkfk= 0, j= 1,2,3.
Если краевые условия не периодические, а, скажем, требуется выполнение условий “прили- пания”, то переход к абстрактной записи затруднен. Трудности связаны с тем, что резольвента оператора Лапласа и операции дифференцирования не коммутируют. Тем не менее такой пе- реход возможен, если воспользоваться результатами работ В.А. Солонникова [3, 4].
Нетрудно показать, что классическое, или сильное, решение задачи (16) будет только нуль- решением. Но в теореме 9 речь идет об обобщенном решении в смысле определения 3. Поэтому теорема 9 не решает известную проблему существования сильного решения в целом для си- стемы уравнений Навье–Стокса, а дает ее эквивалентную переформулировку.
Замечание 4. Для системы уравнений Навье–Стокса при t = 0 можно задавать нену- левые начальные условия Коши. Тогда проблема сильной разрешимости в целом становится более общей, чем рассмотренная нами. Благодаря теореме существования в малом такой слу- чай легко сводится к случаю, когда начальные условия Коши равны нулю. Покажем это для абстрактной задачи (1). Пусть ϕ(t) — бесконечно гладкая функция такая, что ϕ(t) = 0 при 0≤t < ε иϕ(t) = 1при t≥2ε, гдеε— малое число. Допустим, что задача (1) имеет решение u(t)на (0,4ε) такое, что
|B(u, u)|,|u+Au|H ∈L2(0,4ε).
Положимv=ϕ(t)u(t). Дляv(t)получим v(0) = 0 и
v+Av+B(v, v) = (ϕu)+Aϕu+ϕ2B(u, u) при 0< t≤2ε,
f(t) при t >2ε.
Пусть a > 0, v(t) существует на (0, a) и |v +Av|H ∈ L2(0, a). Тогда |u +Au|H ∈ L2(0, a).
Поэтому общий случай сведен к частному.
В работе [5] изложено краткое содержание результатов этой работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Отелбаев М., Дурмагамбетов А.А., Сейткулов Е.Н. Условия существования сильного решения в целом одного класса нелинейных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве // Сиб. мат. журн. 2008 (в печати).
2. Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
3. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье–Стокса //
Тр. МИАН. 1964. Т. 70. С. 213–317.
4. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье–Стокса // Тр. МИАН. 1964. Т. 73. С. 221–291.
5. Отелбаев М., Дурмагамбетов А.А., Сейткулов Е.Н. Условия существования сильного решения в целом одного класса нелинейных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве // ДАН. 2006. Т. 408,
№ 4. С. 446–449.
