Физ-мат 01 2017

(1)

ISSN 1991-346X (Print) ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ

ҰЛТТЫҚ ҒЫЛЫМ АКАДЕМИЯСЫНЫҢ

Х А Б А Р Л А Р Ы

ИЗВЕСТИЯ

НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

N E W S

OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА СЕРИЯСЫ

 СЕРИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ



PHYSICO-MATHEMATICAL SERIES

1 (311)

ҚАҢТАР – АҚПАН 2017 ж.

ЯНВАРЬ – ФЕВРАЛЬ 2017 г.

JANUARY – FEBRUARY 2017

1963 ЖЫЛДЫҢ ҚАҢТАР АЙЫНАН ШЫҒА БАСТАҒАН ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1963 ГОДА

PUBLISHED SINCE JANUARY 1963 ЖЫЛЫНА 6 РЕТ ШЫҒАДЫ

ВЫХОДИТ 6 РАЗ В ГОД PUBLISHED 6 TIMES A YEAR

АЛМАТЫ, ҚР ҰҒА

АЛМАТЫ, НАН РК

ALMATY, NAS RK

(2)

Б а с р е д а к т о р ы

ф.-м.ғ.д., проф., ҚР ҰҒА академигі Ғ.М. Мұтанов Р е д а к ц и я а л қ а с ы:

Жұмаділдаев А.С. проф., академик (Қазақстан) Кальменов Т.Ш. проф., академик (Қазақстан) Жантаев Ж.Ш. проф., корр.-мүшесі (Қазақстан) Өмірбаев У.У. проф. корр.-мүшесі (Қазақстан) Жүсіпов М.А. проф. (Қазақстан)

Жұмабаев Д.С. проф. (Қазақстан) Асанова А.Т. проф. (Қазақстан)

Бошкаев К.А. PhD докторы (Қазақстан) Сұраған Д. PhD докторы (Қазақстан) Quevedo Hernando проф. (Мексика), Джунушалиев В.Д. проф. (Қырғыстан) Вишневский И.Н. проф., академик (Украина) Ковалев А.М. проф., академик (Украина) Михалевич А.А. проф., академик (Белорус) Пашаев А. проф., академик (Əзірбайжан)

Такибаев Н.Ж. проф., академик (Қазақстан), бас ред. орынбасары Тигиняну И. проф., академик (Молдова)

«ҚР ҰҒА Хабарлары. Физика-математикалық сериясы».

ISSN 2518-1726 (Online), ISSN 1991-346X (Print)

Меншіктенуші: «Қазақстан Республикасының Ұлттық ғылым академиясы» РҚБ (Алматы қ.)

Қазақстан республикасының Мəдениет пен ақпарат министрлігінің Ақпарат жəне мұрағат комитетінде 01.06.2006 ж. берілген №5543-Ж мерзімдік басылым тіркеуіне қойылу туралы куəлік

Мерзімділігі: жылына 6 рет.

Тиражы: 300 дана.

Редакцияның мекенжайы: 050010, Алматы қ., Шевченко көш., 28, 219 бөл., 220, тел.: 272-13-19, 272-13-18, www:nauka-nanrk.kz / physics-mathematics.kz

Типографияның мекенжайы: «Аруна» ЖК, Алматы қ., Муратбаева көш., 75.

(3)

Г л а в н ы й р е д а к т о р

д.ф.-м.н., проф. академик НАН РК Г.М. Мутанов Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:

Джумадильдаев А.С. проф., академик (Казахстан) Кальменов Т.Ш. проф., академик (Казахстан) Жантаев Ж.Ш. проф., чл.-корр. (Казахстан) Умирбаев У.У. проф. чл.-корр. (Казахстан) Жусупов М.А. проф. (Казахстан)

Джумабаев Д.С. проф. (Казахстан) Асанова А.Т. проф. (Казахстан) Бошкаев К.А. доктор PhD (Казахстан) Сураган Д. доктор PhD (Казахстан) Quevedo Hernando проф. (Мексика), Джунушалиев В.Д. проф. (Кыргызстан) Вишневский И.Н. проф., академик (Украина) Ковалев А.М. проф., академик (Украина) Михалевич А.А. проф., академик (Беларусь) Пашаев А. проф., академик (Азербайджан)

Такибаев Н.Ж. проф., академик (Казахстан), зам. гл. ред.

Тигиняну И. проф., академик (Молдова)

«Известия НАН РК. Серия физико-математическая».

ISSN 2518-1726 (Online), ISSN 1991-346X (Print)

Собственник: РОО «Национальная академия наук Республики Казахстан» (г. Алматы)

Свидетельство о постановке на учет периодического печатного издания в Комитете информации и архивов Министерства культуры и информации Республики Казахстан №5543-Ж, выданное 01.06.2006 г.

Периодичность: 6 раз в год.

Тираж: 300 экземпляров.

Адрес редакции: 050010, г. Алматы, ул. Шевченко, 28, ком. 219, 220, тел.: 272-13-19, 272-13-18, www:nauka-nanrk.kz / physics-mathematics.kz

Адрес типографии: ИП «Аруна», г. Алматы, ул. Муратбаева, 75.

(4)

E d i t o r i n c h i e f

doctor of physics and mathematics, professor, academician of NAS RK G.М. Mutanov E d i t o r i a l b o a r d:

Dzhumadildayev А.S. prof., academician (Kazakhstan) Kalmenov Т.Sh. prof., academician (Kazakhstan) Zhantayev Zh.Sh. prof., corr. member. (Kazakhstan) Umirbayev U.U. prof. corr. member. (Kazakhstan) Zhusupov М.А. prof. (Kazakhstan)

Dzhumabayev D.S. prof. (Kazakhstan) Asanova А.Т. prof. (Kazakhstan) Boshkayev K.А. PhD (Kazakhstan) Suragan D. PhD (Kazakhstan) Quevedo Hernando prof. (Mexico), Dzhunushaliyev V.D. prof. (Kyrgyzstan) Vishnevskyi I.N. prof., academician (Ukraine) Kovalev А.М. prof., academician (Ukraine) Mikhalevich А.А. prof., academician (Belarus) Pashayev А. prof., academician (Azerbaijan)

Takibayev N.Zh. prof., academician (Kazakhstan), deputy editor in chief.

Tiginyanu I. prof., academician (Moldova)

News of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. Physical-mathematical series.

ISSN 2518-1726 (Online), ISSN 1991-346X (Print)

Owner: RPA "National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan" (Almaty)

The certificate of registration of a periodic printed publication in the Committee of information and archives of the Ministry of culture and information of the Republic of Kazakhstan N 5543-Ж, issued 01.06.2006

Periodicity: 6 times a year Circulation: 300 copies

Editorial address: 28, Shevchenko str., of. 219, 220, Almaty, 050010, tel. 272-13-19, 272-13-18, www:nauka-nanrk.kz / physics-mathematics.kz

Address of printing house: ST "Aruna", 75, Muratbayev str, Almaty

(5)

N E W S

OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN PHYSICO-MATHEMATICAL SERIES

ISSN 1991-346Х

Volume 1, Number 311 (2017), 113 – 119

D.S. Dzhumabaev

^1,2

, S.М. Temesheva

^1,3

1

Institute of mathematics and mathematical modeling MES RK, Almaty, Kazakhstan;

2

International information technology university, Almaty, Kazakhstan;

3

Al-Farabi Kazakh national university, Almaty, Kazakhstan [email protected], [email protected]

APPROXIMATION OF PROBLEM FOR FINDING THE BOUNDED SOLUTION TO SYSTEM OF NONLINEAR

LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract. On the whole axis the system of nonlinear loaded differential equations is considered. The questions

of existence and approximation bounded solution to the system are studied. The definition of «limit as t   » solution to the system of nonlinear loaded differential equations is introduced. Sufficient conditions for the existence of bounded solution to the system of nonlinear loaded differential equations and convergence of the function sequence composed by the bounded solutions to the linearized system of loaded differential equations are obtained.

Regular nonlinear two-point boundary value problem for the system of nonlinear loaded differential equations on the finite interval is constructed, which approximate the problem of finding bounded solutions to the original system of loaded differential equations. It is given an estimate of the difference between the solution to initial singular problem and the solution to the approximating regular two-point boundary value problem.

Key words: singular problem, nonlinear loaded differential equation, bounded solution, approximation.

УДК 517.956.223, 519.62

Д.С. Джумабаев

^1,2

, С.М. Темешева

^1,3

1

Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы, Казахстан;

2

Международный университет информационных технологий, Алматы, Казахстан;

3

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ

ОГРАНИЧЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работа выполнена в рамках проекта № 4057/ГФ4 по грантовому финансированию МОН РК на 2015- 2017 гг.

Аннотация.

На всей оси рассматривается система нелинейных нагруженных дифференциальных

уравнений. Исследуются вопросы существования и аппроксимации ограниченного решения рассматри-

ваемой системы уравнений. Вводится определение «предельного при t   » решения системы нелиней-

ных нагруженных дифференциальных уравнений. Получены достаточные условия существования ограни-

ченного решения системы нелинейных нагруженных дифференциальных уравнений и сходимости к нему

последовательности функций, составленной с помощью ограниченных решений линеаризованной системы

нагруженных дифференциальных уравнений. Построена регулярная нелинейная двухточечная краевая за-

дача для системы нелинейных нагруженных дифференциальных уравнений на конечном интервале, аппрок-

симирующая задачу нахождения ограниченного решения исходной системы нагруженных дифференци-

альных уравнений. Установлена оценка разности между решением исходной сингулярной задачи и реше-

нием аппроксимирующей регулярной двухточечной краевой задачей.

(6)

Ключевые слова: сингулярная задача, нелинейное нагруженное дифференциальное уравнение, ограни-

ченное решение, аппроксимация.

Вопросы существования и построения приближенных методов нахождения ограниченных на всей оси решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрены многими авторами [1-11]. Различные задачи для нагруженных диффеернциальных уравнений и методы для их решений исследованы в [12-17].

В настоящей статье на R  (  ,  ) рассматривается нелинейное нагруженное дифференциальное уравнение

= f ( t , x ) f

₀

( t , x (

_m

), x (

_m₁

), , x (

_m

)), x R

ⁿ

, || x ||= max | x

_i

|, dt

dx  

_



_ _

   (1)

где f : R

ⁿ^1

 R

ⁿ

, f

₀

: R

²ⁿ^2

 R

ⁿ

непрерывны, 

__m

< 

__m_₁

< ... < 

₀

= 0 < 

₁

< ... < 

_m

.

Целью работы является нахождение условий существования ограниченного на всей оси решения системы нелинейных нагруженных дифференциальных уравнений (1) и построение регулярных двухточечных краевых задач на конечном интервале, позволяющих с заданной точностью определить сужение этого решения на конечный интервал.

В работе [11] введено определение “предельного при t   ” решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения и доказано, что, если система линеаризованная вдоль такого решения является экспоненциально дихотомичной на полуоси, то “предельное при





t ” решение обладает притягивающим свойством. Этот результат позволил построить аппроксимирующие двухточечные краевые задачи на конечном интервале для сингулярных краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на всей оси. Методы и результаты [11] применяются для нахождения условий существования ограниченных на всей оси решений уравнения (1) и для построения аппроксимирующих регулярных краевых задач на конечном интервале.

Используются следующие обозначения:

) ,

~ (

_n

R J

C – пространство непрерывных и ограниченнных на J  R функций x : J  R

ⁿ

с нормой x

₁

sup x ( t )

tR

 ; C ( J , R

ⁿ

) – множество непрерывных на J функций;

} ),

,

~ ( )) ( ) ( ( : ) , ( ) ( { ) , ), (

( x

₀

t J r x t C J R x t x

₀

t C J R x x

₀ ₁

r

S  

ⁿ

 

ⁿ

  , где x

₀

( t )  C ( J , R

ⁿ

) ;

}

||

) (

||

, : ) , {(

) , ), (

( x

₀

t J r t x t J x x

₀

t r

G     ;

} , ,

||

) (

||

, : ) ,....

, {(

) , ), (

(

₀ ₀

0

x t J r t v v t J v x r k m m

G 

__m _m



_k

 

_k

   .

Возьмем непрерывно дифференцируемую на R функцию x

₀

( t ) так, что ) ,

~ ( )) ( , ), ( ), ( , ( ) ) ( , ( )

(

₀ ₀ ₀ ₀ ₁ ₀

0 n

m m

m

x x C R R

x t f t x t f t dt x

d  



 



   

_



_ _

  (2)

Ограниченное на R решение системы нагруженных дифференциальных уравнений (1) определяется как предел последовательности функций, составленной с помощью ограниченных на всей оси решений линеаризованных систем нагруженных дифференциальных уравнений. Поэтому рассмотрим линейное нагруженное обыкновенное дифференциальное уравнение

, ,

), ( ) ( ) ( )

(

=

R t R x t f x

t A x

t dt A

dx

_n

j j

m

m j





 



 (3)

где матрицы A   t , A

_j

  t ( j =  m , m ) и вектор-функция f (t ) непрерывны и ограничены на R . Ограниченное решение уравнения (3) называется решением задачи 1.

Определение 1. Задача 1 называется корректно разрешимой, если для любой непрерывной и

ограниченной на R функции f ( t )  C ( R , R

ⁿ

) уравнение (3) имеет единственное ограниченное на

R решение x

^*

( t ) и выполняется неравенство || x

^*

||

₁

  || f ||

₁

, где константа  не зависит от f (t ) .

(7)

Определение 2. Непрерывно дифференцируемая на R функция x

₀

( t ) называется предельным при t    решением уравнения (1), если

. 0

= )) ( , ), ( ), ( , ( )) ( , ( ) (

lim ||

0 0 0 0 _m 0 _m 1 0 _m

||

t

x  t f t x t f t x  x   x 

   





 

Пусть выполнены следующие условия:

(А). Функция f ( t , x ) непрерывна и имеет равномерно непрерывную производную f ( t , x )

 x



в G ( x

₀

( t ), R , r ) , где x

₀

( t ) – предельное при t    решение уравнения (1), и справедливы следующие предельные соотношения

  t x f   x f   t x f   x

f

t

t 



 





, = , lim , =

lim (4)

  = , lim   = ,

lim

0 0 



 





x t x x t x

t

(5)

где x

_

, x

_

являются решениями систем нелинейных уравнений f

_

  x = 0, f

_

  x = 0, соответственно.

(B). Функция f

₀

( t , v

__m

,.... v

_m

) непрерывна и имеет равномерно непрерывные производные )

,....

,

0

(

m m

k

v v t

v f

^



 ( k   m , m ) в G

₀

( x

₀

( t ), R , r ) и для всех  t , v

__m

,  , v

_m

  G

₀

 x

₀

  t , R , r 

имеют место соотношения



sup



 , , ,    , sup

₀

 , , , 

₀

  ,

) , 0 [

, 0

T v

v t f T

v v

t

f

_m _m

T m t



  



_



 









 

  = 0, lim  , , ,  = 0, = , .

lim

0

f

0

t v v k m m

T v

_m _m

t k

T





 













(С). Задача 1 для линеаризованного нагруженного дифференциального уравнения

 

 ,   , , ,  , ,

=

) (

= ) ( 0 =

= 0

0 0

n k

x v

x m v m k

m

m k

R y y J v

v t v f y

t x t x f dt dy

m m

m



 





 





 

 





 



 ^





 (6)

корректно разрешима, где J y     t y

_k

k m m

k

=  , =  ,



.

(В). Функции f

_

(x ) , f

_

( x ) в S ( x

_

, r ) , S ( x

_

, r ) соответственно имеют производные f

_

 (x ) , )

(x

f

_

 и равномерно относительно x справедливы предельные соотношения ,

) , ( ,

) (

= ) , (

lim f t x f x x S x r

x

t 

 





  , =   ,  ,  ,

lim f t x f x x S x r

x

t 

 





и f

_

 ( x

_

) = A

_{ }_

, Re 

^_j

 0 , где 

^_j

- собственные значения матриц A

_{ }_

, j = 1, n .

Теорема 1. Функции f ( t , x ) и f

₀

( t , v

__m

,.... v

_m

) непрерывны и имеют равномерно непрерывные производные f ( t , x )

 x

 и

₀

( ,

_m

,....

_m

)

k

v v t

v f

^



 соответственно в G ( x

₀

( t ), R , r ) и )

, ), ( (

₀

0

x t R r

G . При любом x ˆ ( t )  S ( x

₀

( t ), R , r ) задача 1 для линеаризованного нагруженного

дифференциального уравнения

(8)

=  , ˆ ( )   , , ,  ˆ ( ) , , ,

) ˆ(

= ) ˆ( 0 =

=

R t R y t f y J v

v t v f y

t x t x f dt

dy

_n

k x

v x m v m k

m

m k

m m

m

  

 





 





 

 





 



 ^





 (7)

корректно разрешима с константой  . Тогда при выполнении неравенства

r x

x x

t f t x t f t

x

₀

( )  ( ,

₀

( )) 

₀

( ,

₀

(

__m

),

₀

(

__m_₁

), ,

₀

(

_m

))

₁



||    ||

  

существует число   1 такое, что последовательность непрерывно дифференцируемых на R функций

,..., 1 , 0 ),

( )

1

(    



t x t x t n

x

_n _n _n

(8)

где  x

_n

(t ) – ограниченное на R решение линейного уравнения

    

 





 





 

 





 





v f t v v J y

y t x t x f dt dy

k x

v x m v m k

m

m k n

m n m

m n

m 



 ) (

= ) ( 0 =

=

, , , )

( ,

=



 , ( )   , ( ), , ( )  , , ,

) 1 (

0

t x x y R t R

f t x t f t dt x

d

_n

m n m

n n

n

  



 



  

 

_



  (9)

по норме ~ ( ,

n

) R R

C сходится к x

^*

( t ) решению уравнения (1) в S ( x

₀

( t ), R , r ) . Доказательство. В уравнении (1) сделаем замену u  x  x

₀

( t ) , получим

, ,

, ) ( )

) ( ) ( , , ) ( ) ( , ( ) ) ( ,

(

=

₀ ₀ ₀ ₀

x

₀

t u R t R

dt x d

u x

u t f t x u t dt f

du

_n

m m

m

    



 

_



_

   (10)

Задачу нахождения решения уравнения (10), принадлежащего шару ~ ( , ) )

,

(0, R r C R R

ⁿ

S 

запишем в виде операторного уравнения

, ) , , 0 ( 0,

= ) ( )

( u  Hu  F u u  S R r

A

где , ( ) ( , ( )

₀

( ) )

₀

( , ( )

₀

( ) , , ( )

₀

( ) ) x

₀

( t ) dt x d

u x

u t f t x t u t f u dt F

H  d     

__m

 

__m

 

_m

 

_m

 .

Учитывая, что корректная разрешимость с константой  задачи 1 для уравнения (7) обеспечивает оценку || ( H  F  ( u ) )

^¹

||

_L__Y_,_X_

  при всех u  S ( 0 , R , r ) , а соотношения (8), (9) эквивалентны итерационному процессу (1.18) [11, с. 18], на основе теоремы 5 [11, с. 18] получаем утверждение теоремы.

Далее исследуются вопросы аппроксимации ограниченных на всей оси решений нелинейного нагруженного уравнения (1) решениями регулярных краевых задач на конечном интервале. Для этой цели рассматривается нелинейная двухточечная краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения

, ],

, [ )), ( , ), ( ), ( , ( ) , (

= f t x f

₀

t x

_m

x

_m₁

x

_m

t T T x R

ⁿ

dt

dx  

_



_ _

     (11)

0.

= )) ( ( ))

(

₂

1

S f x T P S f x T

P

_ _

 

_ _

(12)

Здесь S

_

, S

_

– вещественные неособые ( n  n ) - матрицы, приводящие матрицы Якоби )

( '

_

x

_

f , f '

_

( x

_

) к обобщенно-жордановым формам

~ , 0

~ 0

= ) ( '

~ =

~ , 0

~ 0

= ) ( '

~ =

,22 ,11 1

22 , 11 ,

1

 





 





 





 













A

S A x f S A A

S A

x

f

S

A

(9)

где ~

_,₁₁

A



и ~

_,₂₂

A



состоят из обобщенно-жордановых клеток, соответствующих собственным значениям матриц f '

_

( x

_

) с отрицательными и положительными действительными частями, число которых обозначим n

₁^

и n

₂^

соответственно. Введем ( n  n ) -матрицы  

 







0 0

=

¹

0

1

I

n

P ,

 





 





2

0 0

= 0

2

I

n

P , где



n1

I ,



n2

I – единичные матрицы размерностей n

₁^

, n

₂^

соответственно.

Сужение ограниченного на R решения x

^*

( t ) уравнения (1) на интервал   T , T  обозначается через x

_T^*

( t ) и вводится функциональный шар

}

<

||

:||

) R ,]

, [ ( ) ( {

= ) ,]

, [ , ) (

( x

_T^*

t T T 

^*

x t C T T

ⁿ

x x

_T^* _0,_T



^*

S     .

Теорема 2. Пусть выполнены условия (A)-(D) и x

^*

( t )  S ( x

⁽⁰⁾

( t ), r ) – ограниченное на R решение нелинейного нагруженного дифференциального уравнения (1). Тогда существуют числа

0

>

T , 

^*

> 0 такие, что для всех T  T

₀

регулярная двухточечная краевая задача (11), (12) в )

], , [ ), (

( x

^*

t T T 

^*

S

_T

 имеет единственное решение x

_T

(t ) , и справедлива оценка

   

 ( )  S  ( ( ) ) ( )  }.

S {

2

^* ₀ ^* ₀

0,

*

f x T T f x T T

x

T



T

 

_



_

    

_



_

 

Доказательство. Нелинейную двухточечную краевую задачу (11), (12) запишем в виде операторного уравнения

  x = 0 F

Hx

Ax   , (13)

где

 

           

) . ) ( ( )

) ( (

, , , , ,

,

= , ) ( , 0

=

2 1

0 1

0

 

 









 





 













T x f S P T x f S P

x x

t f t x t x f

dt F d

H 

^m



^m

   

^m

Оператор A отображает банахово пространство X = C ( [  T , T ,] R

ⁿ

) с нормой

||

) ( max ||

=

||

|| x

0, [ , ]

x t

T T T t





в банахово пространство Y C ~ ([  T , T ], R

ⁿ

)   R

ⁿ

= с нормой

||}.

||

,

||

{||

max

=

||

|| y

_Y

f

_0,_T

d

Из условия теоремы следует существование 

₀

> 0 такого, что S ( x

^*

( t ) , 

₀

)  S ( x

₀

( t ) , r ) , а функции f ( t , x ) , f

₀

 t , v

_m

,  , v

_m

 , f

_

(x ) , f

_

(x ) имеют равномерно непрерывные производные:

) , ( ' t x

f

_x

, 

_m _m



k

v v

t

v f

₀

,



,  ,



 ( k =  m , m ), f '

_

( x ) , f '

_

( x ) в соответсвующих множествах.

Отсюда вытекают существование и равномерная непрерывность производной Фреше F ' ( x ) в )

,]

, [ , ) (

( x

^*

t T T 

^*

S

_T

 .

По условию (С) задача 1 для линеаризованного уравнения (7) корректно разрешима. Тогда из теоремы 1 следует существование T

₁

> 0 такого, что линейная регулярная двухточечная краевая задача

 ,     , , ,  ( ), [ , ,] R ,

=

) (

= ) (

= 0

=

*

* n

k x

v x v m m k

m

m k

z T T t t z J v

v t v f z

t x t x f dt dz

m m

m

   

 





 





 

 





 



 ^







,

~ R

~ ,

= ) ( ) ) ( ( ' )

( ) ) ( (

'

^* ₂ ^*

1

d

n

d T z T x f S P T z T x f S

P

_ _

   

_ _

 

(10)

для всех T > T

₁

корректно разрешима с независящей от T константой K

₁

. Это эквивалентно обратимости линейного оператора H  F ' ( x

_T^*

) : X  Y и выполнению неравенства

 

.

||

) ) ( (

|| H  F

^'

x

_T^* ^¹ _L_Y_,_X

 K

₁

В качестве x

₀

возьмем функцию x

_T^*

( t ) и к операторному уравнению (13) применим теорему 6 [11, c. 18].

Первое условие теоремы выполняется с 

₀

= K

₁

. Возьмем число

2

1

= 1

 K и, в силу равномерной непрерывности производной Фреше, выберем ]

0,

(

₀

*



  так, чтобы выполнялось неравенство

 

.

2

= 1

||

) ( ' ) ( '

||

1 ,

X

0

K

x F x

F 

_L _Y

 

Тогда < 1

2

= 1 2

= 1

₁

1

0

K

K 

 и так как

    ||

) ) ( (

||

=

||

) (

|| Hx

₀

 F x

₀ _Y

P

₁

S

_

f

_

x

^*

 T  P

₂

S

_

f

_

x

^*

T

(здесь учитывается, что функция x

^*

( t ) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) при всех t  R ),

_



x t x

t

= ˆ ) lim

^*

(





, f

_

( x ˆ

_

) = 0 , f

_

( x ˆ

_

) = 0 , то выберем T

₀

> T

₁

такое, что .

<

||

) (

||

2 K

₁

Hx

₀

 F x

₀ _Y



_*

Все условия теоремы 6 [11, c. 18] выполнены, откуда следует утверждение теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

М.: Наука, 1970.

[2] Конюхова Н.Б. К решению краевых задач на бесконечном интервале для некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1970. - Т. 10, № 5. - С.

1150-1163.

[3] Конюхова Н.Б. Об итеративном решении нелинейных краевых задач, выделяющих малые решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1974. - Т. 14,

№ 5. - С. 1221-1231.

[4] Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных урав- нений // Матем. заметки. - 1981. - Т. 30, Вып. 3. - С. 4 3 3 - 460.

[5] Абрамов А.А., Конюхова Н.Б., Балла К. Устойчивые начальные многообразия и сингулярные краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Comput. Math. Banach Center Publ. Warsaw: PWN Polish Scient. Publs. - 1984. -V. 13. - P. 319-351.

[6] Dzhumabaev D.S. Convergence of iterative methods for unbounded operator equations // Mathematical Notes. - 1987. - Vol. 41, No 5. - P.356-361.

[7] Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution and exponential dichotomy on the line // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1990. - Vol.30, No 6. - P. 32-43.

[8] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. Ч. II.

[9] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

[10] Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution of a linear ordinary differential equation by solutions of two- point boundary value problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1990. - Vol.30, No 2. - P. 34-45.

[11] Dzhumabaev D.S. Singular boundary value problems and their approximation for nonlinear ordinary differential equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1992. - Vol. 32, No 1. - P. 10-24.

[12] Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems // Rocky mountain journal of mathematics. – 1975. – Vol. 5, - P. 493-542.

[13] Nakhushev A.M. Boundary value problems for loaded integral-differential equations of hyperbolic type and their applications to the soil moisture forecast // Differencial'nye Uravneniya. – 1979. – Vol. 15, - P. 96-105.

[14] Nakhushev A.M. On an approximate method of solving boundary value problems for differential equations and its applications to the dynamics of soil moisture and groundwater // Differencial'nye Uravneniya. – 1982. – V. 18, - P.72-81.

[15] Alikhanov A.A., Berezkov A.M., Shkhanukhov-Lafishev M.Kh. Boundary value problems for certain classes of loaded differential equations and solving them by finite difference methods // Comput. Math. Math. Phys. – 2008. – Vol. 48, - P.

1581-1590.

(11)

[16] Abdullaev V. M., Aida-zade K.R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. - 2014. – Vol. 54, - P. 1096-1109.

[17] Aida-zade K.R., Abdullaev V.M. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations with nonseparated multipoint and integral conditions // Numer. Anal. Appl. – 2014. – Vol. 7, - P.1-14.

REFERENCES

[1] Daletskii Yu.A., Krein M.G. Ustoichivost’ reshenii differentsial’nyh uravnenii v banahovom prostranstve. M.: Nauka, 1970.

[2] Konyukhova N.B. K resheniyu kraevyh zadach na beskonechnom intervale dlia nekotoryh nelineinyh sistem obyknovennyh differentsial’nyh uravnenii s osobennoct’yu // Zh. vychisl. matem. i matem. fiz. 1970. T. 10, № 5. S. 1150-1163.

[3] Konyukhova N.B. Ob iterativnom reshenii nelineinyh kraevyh zadach, vydeliayushih malye reshenia nekotoryh sistem obyknovennyh differentsial’nyh uravnenii s osobennoct’yu // Zh. vychisl. matem. i matem. fiz. 1974. T. 14, № 5. S. 1221-1231.

[4] Muhamadiev E. Issledovania po teorii periodicheskih i ogranichennyh reshenii differentsial’nyh uravneniii // Matem.

zametki. 1981. T. 30, Vyp. 3. S.433- 460.

[5] Abramov A.A., Konyukhova N.B., Balla K. Ustoichivye nachal’nye mnogoobrazia i singuliarnye kraevye zadachi dlia sistem obyknovennyh differentsial’nyh uravnenii // Comput. Math. Banach Center Publ. Warsaw: PWN Polish Scient. Publs.

1984. V. 13. P. 319-351.

[6] Dzhumabaev D.S. Convergence of iterative methods for unbounded operator equations // Mathematical Notes. 1987.

Vol. 41, No 5. P.356-361.

[7] Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution and exponential dichotomy on the line // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. Vol.30, No 6. P. 32-43.

[8] Sansone Dzh. Ordinary differential equations. M.: Izd-vo inostr. lit. 1954. V. II.

[9] Hartman F. Ordinary differential equations. M.: Mir. 1970.

[10] Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution of a linear ordinary differential equation by solutions of two- point boundary value problems //Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. Vol.30, No 2. P. 34-45.

[11] Dzhumabaev D.S. Singular boundary value problems and their approximation for nonlinear ordinary differential equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1992. Vol. 32, No 1. P. 10-24.

[12] Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems // Rocky mountain journal of mathematics. 1975. Vol. 5, P. 493-542.

[13] Nakhushev A.M. Boundary value problems for loaded integral-differential equations of hyperbolic type and their applications to the soil moisture forecast // Differencial'nye Uravneniya. 1979. Vol. 15, P. 96-105.

[14] Nakhushev A.M. On an approximate method of solving boundary value problems for differential equations and its applications to the dynamics of soil moisture and groundwater // Differencial'nye Uravneniya. 1982. Vol. 18, P.72-81.

[15] Alikhanov A.A., Berezkov A.M., Shkhanukhov-Lafishev M.Kh. Boundary value problems for certain classes of loaded differential equations and solving them by finite difference methods // Comput. Math. Math. Phys. 2008. Vol. 48, P. 1581-1590.

[16] Abdullaev V. M., Aida-zade K.R. Numerical method of solution to loaded nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations // Comput. Math. Math. Phys. 2014. Vol. 54, P. 1096-1109.

[17] Aida-zade K.R., Abdullaev V.M. On the numerical solution of loaded systems of ordinary differential equations with nonseparated multipoint and integral conditions // Numer. Anal. Appl. 2014. Vol. 7, P.1-14.

ƏОЖ: 517.956.223, 519.62

Д.С. Жұмабаев^1,2, С.М. Темешева^1,3

1ҚР БҒМ Математика жəне математикалық моделдеу институты, Алматы қ., Қазақстан,

2Халықаралық ақпараттық технологиялар университеті, Алматы қ., Қазақстан,

3Əл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университеті, Алматы қ., Қазақстан

СЫЗЫҚСЫЗ ЖҮКТЕЛГЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІНІҢ БҮКІЛ ӨСТЕ ШЕКТЕЛГЕН ШЕШІМІН ТАБУ ЕСЕБІНІҢ АППРОКСИМАЦИЯСЫ

Аннотация. Сызықсыз жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесі бүкіл өсте қарастырылады. Қарастырылып отырған теңдеулер жүйесінің шектелген шешімінің бар болуы мен оны аппроксимациялау мəселелері зерттеледі. Сызық- сыз жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің «

t  

болғандағы шекті» шешімінің анықтамасы енгізіледі.

Сызықсыз жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шектелген шешімінің бар болуының жəне сызықтанды- рылған жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шектелген шешімдері көмегімен құрылған функциялар тізбе- гінің осы шешімге жинақтылығының жеткілікті шарттары алынған. Жүктелген дифференциалдық теңдеулердің бас- тапқы жүйесінің шектелген шешімін табу есебін аппроксимациялайтын ақырлы аралықтағы сызықсыз жүктелген диффе- ренциалдық теңдеулер жүйесі үшін регулярлы сызықсыз екінүктелі шеттік есеп тұрғызылған. Бастапқы сингулярлы есептің шешімі мен аппроксимациялаушы регулярлы екінүктелі шеттік есептің шешімінің арасындағы айырманың баға- лауы тағайындалған.

Түйін сөздер: сингулярлы есеп, сызықсыз жүктелген дифференциалдық теңдеу, шектелген шешім, аппроксима- циялау.

(12)

МАЗМҰНЫ

Буртебаев Н., Керимкулов Ж.К., Алимов Д.К., Отарбаева А.М.,Мухамеджанов Е.С., Джансейтов Д.М. 18 МэВ энергиялы дейтрондардың ⁶Li ядроларынан серпімді шашырауын зерттеу ... 5

Жұмабаев Д.С.,. Темешева С.М. Сызықсыз жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бүкіл өсте

шектелген шешімін табу есебінің аппроксимациясы... 13 Исахов А. А., Даржанова А. Б. Математикалық модельдеу əдiсi арқылы қоршаған ортаға жылу электр

станцияларының жұмысының əсерiн бағалау... 20 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Космологиялық мəселелерді шешудің жуықтау салдары.

(1-бөлім)... 27 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Космологиялық мəселелерді шешудің жуықтау салдары.

(2-бөлім) ... 36 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Космологиялық мəселелерді шешудің жуықтау салдары (1-бөлім) ... 46

Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Космологиялық мəселелерді шешудің жуықтау салдары.

(2-бөлім) ... 55 Байжанов С.С., Кулпешов Б.Ш. Əбден О-минималдық теориялардың модельдерін байытуда инварианттық

қасиеттері... 65 Дуйсенбай А.Д., Такибаев Н.Ж., Курмангалиева В.О. Исследование реакций взаимодействия изотопов Li и Be с нейтронами... 72

Қабылбеков К.А., Аширбаев Х.А., Абекова Ж.А., Омашова Г.Ш., Қыдырбекова Ж.Б., Джумагалиева А.И. Нақты газ изотермаларын зерттеуге арналған компьютерлік зертханалық жұмысты орындауды ұйымдастыру ... 77

Калмурзаев Б.С. ܮ଴௠ Жартыторының екі элементі ершов иерархиясының жиындар үйірінің Роджерс жартыторына енуінің бағалаулары жайлы... 83

Рябикин Ю.А., Ракыметов Б.А., Байтимбетова Б.А., Айтмукан Т., Клименов В.В., Муратов Д.А., Мереке А.У., Умирзаков А.У. Көміртекті қабықшаның парамагнитті қасиетін анықтау негізінде кеуікті никельді анодты зерттеу үшін ЭПР əдісінің мүмкіндігі... 91

Байтимбетова Б.А., Рябикин Ю.А., Рахметов Б.А. Графен құрылымдарын ультрадыбыс өрісінде графитті

ароматикалық көмірсутектер жүйесінде əсер етіп алу жəне оларды ЭПР əдісімен зерттеу... 99 Буртебаев Н., Керимкулов Ж.К., Алимов Д.К., Отарбаева А.М.,Мухамеджанов Е.С., Джансейтов Д.М. 18 МэВ энергиялы дейтрондардың ⁶Li ядроларынан серпімді шашырауын зерттеу... 104

Жұмабаев Д.С., Темешева С.М. Сызықсыз жүктелген дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бүкіл өсте

шектелген шешімін табу есебінің аппроксимациясы... 113 Жаврин Ю.И., Косов В.Н., Молдабекова М.С., Асембаева М.К., Федоренко О.В., Мукамеденкызы В. Ауамен

араласатын кейбір табиғи газ қоспасы компоненттері коэффициенттерінің табы... 120 Шыныбаев М.Д., Даирбеков С.С., Жолдасов С.А., Алиасқаров Д.Р., Мырзақасова Г.Е., Шекербекова С.А.,

Садыбек А.Ж.Екі жылжымайтын нүкте проблемасының жаңа нұсқасын үш дене есебінде қолдану... 127 Шалданбаев А.Ш., Акылбаев М.И., Сапрунова М.Б.Толқындардың үзік ішек бойымен таралуы туралы... 137 Жақып-тегі К. Б.

k  

_{, les,}рейнольдс жəне дəрежелі моделдер туралы... 144 Мазакова Б.М., Жақыпов А.Т., Абдикеримова Г.Б. Көзі ашық мəліметтердің негізінде ғарыш аппараттарының орбитасын салу... 159

Сапрунова М.Б., Ақылбаев М.И., Шалданбаев А.Ш.Желідегі ақпарларды қорғаудың бір тəсілі туралы... 164 Смагулова Л.А., Исаева Г.Б. Программалауды оқытуда қолданылатын оқыту технологияларының ерекшеліктері 173 Есқалиев М.Е. Жүктелген элемент əсерінен болатын есепті жуықтап шешу үшін шекаралық элементтер əдісі.... 180 Миндетбаева А.А., Мусаханова М.А. Информатика бойынша сыныптан тыс жұмыстарды жүргізуге арналған ақпараттық-бағдарламалық кешен құру... 187

(13)

СОДЕРЖАНИЕ

Буртебаев Н., Керимкулов Ж.К., Алимов Д.К., Отарбаева А.М.,Мухамеджанов Е.С., Джансейтов Д.М. Изучение упругого рассеяния дейтронов на ядрах ⁶Li при энергии 18 МэВ... 5

Джумабаев Д.С., Темешева С.М. Аппроксимация задачи нахождения ограниченного решения системы нелинейных нагруженных дифференциальных уравнений... 13 Исахов А. А., Даржанова А. Б. Оценка воздействия функционирования тепловой электростанции на окружающую среду методами математического моделирования... 20

Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Решение космологической проблемы в приближениях.

(Часть-1)... 27 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусов А.А. Решение космологической проблемы в приближениях.

(Часть-2) ... 36 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусова А.А. Решение космологической проблемы в приближениях

(Часть-1) ... 46 Дроздов А.М., Жохов А.Л., Юнусов А.А., Юнусов А.А. Решение космологической проблемы в приближениях

(Часть-2) ... 55 Байжанов С.С., Кулпешов Б.Ш. Инвариантные свойства при обогащениях моделей вполне О-минимальных

теорий... 65 Дүйсенбай А.Д., Такибаев Н.Ж., Құрманғалиева В.О. Li жəне Be изотоптарының нейтрондармен əрекеттесу

реакцияларынзерттеу... 72 Кабылбеков К.А., Аширбаев Х.А., Абекова Ж.А., Омашова Г.Ш., Кыдырбекова Ж.Б., Джумагалиева А.И.

Организация выполнения компьютерной лабораторной работы по исследованию изотерм реального газа ... 77 Калмурзаев Б.С. Об оценках вложимости ܮ଴௠ в полурешетку Роджерса двухэлементных семейств множеств иерархии Ершова……… 83

Рябикин Ю.А., Ракыметов Б.А., Байтимбетова Б. А., Айтмукан Т., Клименов В.В., Муратов Д.А., Мереке А.У., Умирзаков А.У. Выяснение возможности использования метода ЭПР для изучения пористого никелевого анода

на основе определения парамагнитных характеристик углеродных пленок……… 91 Байтимбетова Б.А., Рябикин Ю.А., Рахметов Б.А. Получение графеновых структур в системе графит

с ароматическими углеводородами при воздействии ультразвукового поля и изучение их методом ЭПР ………. 99 �