УДК 004.925.83
ФРАКТАЛЬНАЯ ГРАФИКА И ЕЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Жумаш Э.К.
Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби, Алматы Научный руководитель – д.ф.-м.н., проф. Хаджиева Л. А.
Целью данной работы является изучение математических основ фракталов и их практическое применение в компьютерной графике в среде графического редактора OpenGl. Рассмотрены алгебраические фракталы, в частности фрактал Мандельброта, а также геометрические фракталы, такие как Кривая Коха, трехмерная губка Менгера.
Результатом работы является построения выбранных фракталов в редакторе OpenGL с использованием рекурсивных функций, который значительно расширяют возможности формирования красивых и сложных изображений. Использование фрактальных изображений значительно облегчает работу по созданию сложных объектов в компьютерной графике.
В современном мультимедийном мире, где развитие технологии идет ускоренными темпами огромное значение имеет компьютерная графика, с помощью инструментов который человек имеет огромные возможности для построения ранее казавшихся невозможными получить изображения. Фрактальную природу имеют большое количество объектов окружающего мира. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.
Использование данного свойства фрактала является наиболее востребованным в компьютерной графике, что дает возможность получать невероятно красивые изображения путем повторения одного и того же узора.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Фракталом называют функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом и обладающее тремя следующими свойствами: дробной размерностью, самоподобием и недифференцируемостью.
В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
• Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.
Классификация фракталов по построению
По способу построения фракталы делят на линейные и нелинейные.
• Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями.
В них самоподобие присутствует в самом простом варианте: любая часть повторяет целое.
• Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет выглядеть более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого.
Классификация фракталов:
Алгебраические
Геометрические
Стохастические
В работе изложены математические основы фрактальных изображений. Рассмотрены рекурсивные методы построения фракталов. В качестве примеров взяты салфетка Серпинского, Кривая Коха, фрактал Мандельброта, дерево Пифагора. Исследовано влияние стохастичности на рекурсивное изображение. С помощью функций случайного выбора rand() построены различные виды древовидных изображений. Представлены алгоритмы и программные коды их формирования.
Другим большим разделом фрактального приложения в компьютерной графике являются динамические фракталы, которые также представляют практический интерес. В работе рассмотрены двух- и трехмерные аттракторы Лоренца, Питера де Йонга, генератор ван дер Поля (VDP), осциллятор Дуффинга (OSD), система Чуа (CHUA), аттракторы Плыкина, Смейла - Вильямса и др. Построены их фазовые портреты и исследовано влияние физических параметров рассматриваемых механических и физических систем на получаемые изображения.
Результаты проведенных исследований представлены многочисленными рисунками, которые ввиду ограниченности объема публикаций здесь не приведены.
В данной работе для разработки программ по выполнению построения фракталов были рассмотрены:
• Графические средства операционной системы Windows.
• Графика на языке С++ и в рамках растрового редактора OpenGL.
Использование математических основ и свойств фракталов в компьютерной графике, а также алгоритмов их рекурсивного построения дают расширенные возможности для построения сложных изображении при небольших объемах вычислений и временных затрат. Введение фактора случайности в фрактальную графику приводит к большому разнообразию качественных и красивых изображений, которые находят широкое применение в КГ.
Литература
1. Френсис Хилл. OpenGL.Программирование компьютерной графики.Для профессионалов.- Питер,2002.-1088 с.
2. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с.
3. Божко А., Жук Д.М., Маничев В.Б. Компьютерная графика. Гриф УМО ВУЗов России. – М.: Издательство «МГТУ им. Баумана», 2007. – 392 с.
4. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с.
5. Mandelbrot B.B. Les Objects fractals. Paris: Flammarion, 1975.
6. Б.Мандельброт Фракталы, случай и финансы. Москва-Ижевск: R and C Dynamics, 2004.
7. Р.М. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. Москва: Постмаркет, 2000.
8. А.Н.Ширяев Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели.
Москва: Фазис, 1998.
9. Х.-О. Пайтген, Н.Х.Рихтер Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Москва: Мир, 1993.
10. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundation and Applications. John Willey and Sons, New York, 1990.
11. Strichartz R.S. Analysis on Fractals Notices of AMS, Nov.1999, 1199-1208.