О.Байгонысов, С.Тлеукенов.
О МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН ПРИ НАЛИЧИИ ПЕРЮДИЧЕСКОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ
I . Пусть в неограниченной неоднородной по координате н среде изменение упругих параметров Л(2), jU(z) и плотности j>(e) удовлетворяет условиям:
X( Z t < ) = \ ( Z ) , ^ ( 2 + £ ) = j H ( Z ) ,
J|(Z +
? ) = J> ( Z ) .(I)
Рассмотрим распространение плоских гармонических Р и SV волн в такой среде на основе матричной техники. Матричное уравнение, определяющее связь между потенциалами волновых полей на интер
вале периода, имеет вид [ I ] :
fy=M<^ • t W M j - . . (2)
Для определения закона дисперсии продольных и поперечных волн применяя теорему Флоке [2] :
получим:
( Й
гЕ е
Ы) Ф ; = 0, E - ( i " ) . ( 3 )
Аналогично, рассматривая волны, распространяющиеся в направле
нии отрицательной оси z , придем к уравнению:
( M " / - E e
k e) £ = 0 . 4 4 )
Равенство нулю определителей однородных уравнений ( 3 ) , ( 4 ) определяет один и тот же закон дисперсии, который можно з а п и сать в виде:
det(P-Ec04K^) = 0. ( 5 )
л
Матрица Р имеет вид:
Ц с й ^ м ' Д се)
Уравнение (5) является матричным аналогом дисперсионного с о о т - 30
ношения для SH волн в неограниченной периодически неоднород
ной с р е д е , полученным в работе [з] . Из ( 5 ) , раскрыв определи
тель, получим два уравнения:
м 1 Л + Ы & - № + Ч $ Л - 9 М ' ( 8)
определяющими соответственно дисперсию продольных и поперечных волн в произвольной периодически неоднородной неограниченной с р е д е . Матрица V имеет следующую структуру: = Ра г= ^ ;
Рг» = Ра, » R i= Р« = 'Рэч_= R<s ^ 0 ; Paj, = - . Р« =.- Р« ' Рц= j .Р« ' Р ^= _| Р«» P « = ^ l | » Pljft =~ i Pis •
Из уравнений (7) и ( 8 ) , в частности, непосредственно следуют усредненные характеристики периодически неоднородной среды,
эквивалентной трансверсально изотропной с р е д е . Для этого н е о б ходимо рассмотреть случай нормального падения ( Р1 4=0 ; Р^=0 ) и случай распространения волн вдоль периодической структуры и при этом необходимо положить К=0 в эе=0 . в обоих случаях уравнения (7) и ( 8 ) необходимо разложить по ч а с т о т е , сохраняя лишь квадратичные по частоте члены (длинноволновые приближения).
2 . Решение задач отражения и преломления периодически н е однородными слоями, а также исследование условий существования волн Релея и Стоунли при наличии периодической неоднородности сводится к решению матричного уравнения
< V e - M j ?
0о)
при соответствующих граничных условиях и условиях излучения.
Одной из основных трудностей является вычисление матрицы . Введенная ( 6 ) матрица К существенно упрощает е е определение.
Действительно, из определения Р следует рекуррентное CQOTHC—
л% л л
Mj, = &PMfc-E. do)
Последовательное применение (10) приводит к следующей формуле для
MJ :
М е = ^ А м
е- & - А ( I D
л
ПОЛИНОМЫ $И,(Р) ЯВЛЯЮТСЯ матричным аналогом полиномов Чебы- 31
шева, определяемых рекуррентным соотношением
^ ( Р ) = Я Р ^ ( Р ) - ^ .а( Р ) . (12) В низкочастотном приближении (при сохранении лишь квадратичных по частоте членов) из свойств полиномов Чебышова следует:
Л
ft
Л ЛМ( * frM
t-(*4)E. (i3)
В общем случае вычисление 1*1 ^ связано с определением К , где УУЬ изменяется от 4 до и, . Методом математической индук
ции можно показать, чао матрица Р ^ что и Р . т . е . :
имеет ту же структуру А
л | ,
(14)где
\-Р« -PW
(15)
4 - константа.
Равенство:
А А А \ / А ^
, 0 Л ( Р<Е й \(о»Е
4*
Q< (i6)
позволяет получить рекуррентную формулу:
связывающей коэффициенты , , определяющие Р с On , ctit Для Р . Из ( 1 7 ) следует:
и+1
U J - V
I
р * - & / V P J - ( 1 8 )К формуле ( 1 8 ) необходимо добавить еще выражение для Ч/»
Формулы ( 1 9 ) , ( 1 8 ) , ( 1 4 ) , ( 1 2 ) позволяют получить Mj, ( I I ) ( 1 9 )
32
Литература
1. Е р ж а н о в Ж.С. . Б а й г о н ы с о в 0. 0 матричном методе исследования сейсмических волн в слоисто-неоднородных средах. - В кн.: Тезисы докладов конференции по распростра
нению упругих и упругопластических волн. Фрунзе, часть П, 1984, с.105-106.
2. Б р и л л ю э н Л., П а р о д и М. Распространение волн в периодически неоднородных структурах. М., 1959.
3. Ж у б а е в И. Ж. . Т л е у к е н о в С. К. Периодическая неоднородность и особенности распространения волн. Прогноз землетрясения, Душанбе, 1982, № 2, с.57-64.
Baiganysov 0 . , Tleykenov S. On a method of solution of some elastic wave propagation problems in inhomogeneous periodio media.
Propagation of harmonic P and ST waves in periodic in homogeneous media is considered by means of matrix technique.
Buldyrev V.S., Lyalinov M.A. Uniform and local asymptotics of wave field in the diffraction problem of short waves on smooth convex contour in penumbra.
The problem of diffraction of short wave field on a smooth convex contour is considered. The uniform asymptotics of wave field in penumbra with respect to angle and distance is obtained by using of Green's formula.
3 Заказ 713 33
