ГЛА ВН О Е У П Р А В Л Е Н И Е ВЫ СШ И Х И С РЕД Н И Х П ЕД А ГО ГИ ЧЕС КИ Х У Ч Е Б Н Ы Х З А В Е Д Е Н И Й М И Н И С ТЕ РС ТВ А П РО С В Е Щ Е Н И Я РС Ф СР
М осковски.!
государственный заочный педагогический институт
Пособие д л я студентов- заочников физико-мате
матических факультетов педагогических
институтов
Б . И. АРГУНОВ, Л . Н. ЕРОШ КИНА
ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ
И МЕТОДИКА
ЕГО ПРЕПОДАВАНИЯ
ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ
И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Под редакцией проф.
Н? Я. Виленкина
erf*
Р е 1 1 0
1 9
Москва „Просвещение" 1972
О Т АВТО РО В
Н астоящ ее пособие предназначено для студентов ф изико-мате
матических ф акультетов, в первую очередь — дл я студентов заочно
го отделения. Его цель — облегчить студенту выбор курсовой темы, помочь ему в подборе литературы и в- составлении плана работы.
В пособии даю тся некоторые советы студентам, раскры вается при
мерное содерж ание каж д о й темы и прилагаю тся рекомендательны е списки литературы .
Сборник состоит из двух частей. П ервая часть объединяет темы по математике, а вто р ая — по методике преподавания математики.
П редполагается, что студенты четвертого курса заочного отделения будут писать работы на темы по математике, а студенты пятого кур
са — по методике преподавания математики.
При составлении настоящ его сборника мы исходили из следую щих соображений относительно характера, объем а и содерж ания курсовых работ.
В качестве тематической основы сборника принята новая про
грам м а школьного курса математики в широком ее понимании, т. е.
вместе с ф акультативными темами и примыкающими к ним во
просами.
Выполнение курсовой работы долж но потребовать от студента систематических зан яти й примерно в течение двух-трех месяцев.
К а ж д а я курсовая р абота по м атематике д олж на д а в а ть студенту возмож ность проявить свою самостоятельность в получении нового теоретического результата, в решении зад ач нестандартного х ар ак тера. Темы по методике преподавания математики требую т постанов
ки эксперимента, описания опыта практической работы в школе.
Курсовые работы долж ны быть такими, чтобы учитель мог ис
пользовать их в практике своей работы в классе, в ходе внеклассных занятий или для пропаганды научных знаний.
Мы стремились удовлетворить разнородные интересы студентов.
С этой целью в сборник включены работы как реферативного, та к и исследовательского характера; некоторые темы предусматриваю т про
ведение экспериментальной работы, связаны с проектированием и изготовлением наглядны х пособий.
П одбор библиографии определялся следующими соображ ениями.
Р еком ендуем ая литература долж на быть достаточно распространен
ной, доступной дл я студента, а сами рекомендательные списки лите
р а т у р ы — избыточными, чтобы студент имел возм ож ность выбора.
П редисловие и первая часть сборника написаны Б. И. Аргуновым, вторая часть — Л . Н. Ерошкииой. В разработке некоторых тем при
нимали участие преподаватели кафедры алгебры и геометрии Смо
ленского педагогического института Н. Н. Сурина, М. 3. М аллер, Б. Е. М аргулис, Н. П. Л ещ ева и преподаватель М Г ЗП И Ф. Л . Вар- паховский.
Авторы вы раж аю т искреннюю благодарность профессору М Г ЗП И Н. Я. Виленкину; п реподавателям Ярославского пединсти
тута В. А. Ж ар о ву и П. С. М арголите за ряд ценных указаний и ре
комендаций.
П реподавателей и студентов, которые будут пользоваться этим сборником,, авторы просят присылать свои замечания и предлож ения на каф едру алгебры и геометрии Смоленского педагогического ин
ститута.
ПРЕДИСЛОВИЕ
(Некоторые разъяснения и советы студентам)
Курсовая работа есть особая форма самостоятельной работы, имеющая целью помочь студенту определить его научные интересы, углубить знания, укрепить навыки работы с научной литературой, подготовить его к самостоятельны м научным или методическим иссле
дованиям.
В процессе работы над курсовой темой студент мобилизует при
обретенные им знания на решение некоторого круга конкретных во
просов и учится письменному изложению собранных и самостоятельно найденных ф актов и идей. Г лавн ая зад ача, которая стоит перед сту
дентом, — внести что-то свое в разработку избранного вопроса. Н е каж дом у студенту удается в итоге работы над курсовым сочинением получить какой-либо новый математический результат, но каж ды й мо
ж ет проявить себя в разработке отдельных деталей изучаемой темы, может привести интересные примеры, иллю стрировать те или иные теоретические понятия самостоятельно придуманным чертеж ом, т а б лицей, моделью.
Д а ж е при написании работы обзорного типа необходимо, чтобы студент не ограничивался переписыванием текста из рекомендуемых источников, а стремился бы проявить свою самостоятельность в оцен
ках, выводах, обобщениях и сопоставлениях.
Конечно, выполнение курсовой работы преследует так ж е и кон
трольные цели: и преподаватели, и сам студент по итогам курсового сочинения могут судить о том, насколько глубоки теоретические знания студента, умеет ли он пользоваться научной и методической литературой, научился ли он связно и отчетливо излагать свои мысли в письменной форме, приобрел ли навыки в подборе и оформлении иллю стративного м атериала и т. п.
Серьезно выполненная курсовая работа м ож ет д ать хороший м а
териал для выступления на заседании студенческого научного круж ка или научной студенческой конференции, послуж ить основой дл я опу
бликования научной или методической статьи, быть представленной в качестве реф ерата при поступлении в аспирантуру.
П редлож енны е в настоящ ем сборнике темы, планы работ и реко
мендательные списки литературы являю тся лишь примерными. С ту
5
дент мож ет, с разреш ения руководителя, несколько видоизменить (сразу или в процессе работы) избранную тему; может, по разреш е
нию кафедры , писать работу на самостоятельно предложенную тему, если у него сложились для этого необходимые идеи или подобрался соответствующ ий материал. Рекомендуемое примерное содерж ание темы в' процессе работы может претерпеть те или иные изменения как в сторону дополнения новыми вопросами, так и, напротив, в сторону и зъ яти я некоторых из намеченных пунктов и соответственно более у г
лубленного рассмотрения других вопросов.
Выбор темы может определяться различными причинами. Естест
венно, если студент остановит свой выбор на некоторой теме потому, что он располагает соответствующим материалом и опытом работы и у него у ж е развился интерес к этому вопросу. Н о нет ничего пло
хого и в том, что студент изберет ту или иную тему именно с целью изучения малознакомого или вообще нового для него разд ела м ате
матики.
Выбор темы — момент ответственный, и каж дом у студенту сле
дует принимать соответствующ ее решение только тогда, когда он мо
ж ет представить себе в главных чертах характер работы. Д л я этого ему надо внимательно ознакомиться с примерным планом работы ,
«заглянуть» в рекомендованную литературу, посоветоваться с препо
давателям и.
В процессе работы над методической темой необходимо изучить литературу по избранному вопросу, хорошо разобраться в его теоре
тических основах, в той или иной форме практически познакомиться с постановкой данного вопроса в школе и дать сравнительную кри
тическую оценку тем рекомендациям, которые содерж атся в лите
ратуре.
Все темы распределены по четырем разделам: 1) Общие вопросы математики; 2) Арифметика, алгебра, элементарные функции; 3) Гео
метрия; 4) М атематический анализ, теория вероятностей и другие вопросы. К аж ды й студент останавливает свое внимание на том или ином разд еле в зависимости от своих личных склонностей. В каж д ом разд еле есть темы, предусматривающ ие различные ф орм ы работы.
Ц елью некоторых тем, которые мож но назвать «обзорными», является излож ение какого-либо теоретического раздела или освещение какого- либо основного понятия математики. Таковы, например, темы: « Р а з
личные способы построения теории логарифмов», «Развитие понятия
«пространство» и др. Студент, избравший такую тему, долж ен прочи
тать значительное количество литературы , а затем последовательно изложить накопленные сведения, сопроводив изложение своими при
мерами и комментариями. Р аб о та н ад такими темами расш иряет кругозор студента, обогащ ает его эрудицию. Д ругие темы, «темы-ис
6
следования», напротив, не рассчитаны на изучение многих источников, а предусматриваю т преж де всего решение некоторых конкретных во
просов математики. Они предназначены д л я лиц, лю бящ их разм ы ш лять, стремящ ихся испробовать свои сильГ в области доступных им по трудности исследований. В качестве примеров работ этого рода можно н азвать такие темы, как «Параболический поворот», «Геомет
рические построения с квадратной пластинкой» и др. Эти темы в меньшей степени позволяю т надеяться на готовы е источники и в большей на собственные знания и способности. И звестное число работ рассчитано на решение избранных зад ач по тому или иному разделу.
Характер и цель таких работ не требует пояснений, польза их не
сомненна. Есть, наконец, работы, предусматриваю щ ие проектирование и изготовление тех или иных наглядны х пособий;, эти работы рассчи
таны на лиц, владею щ их навы ками ручного труда.
П осле выбора темы студенту необходимо изучить рекомендован
ную литературу. При этом надо уметь целесообразно выбрать тот м а
териал, который связан с избранной темой. Н адо стремиться сначала усвоить главные линии развити я темы, основные понятия и факты, отклады вая более детальный разбор на дальнейший этап работы, что
бы впоследствии использовать его по мере надобности. К каж дом у тексту надо подходить критически, оценивая точку зрения автора по тем или иным спорным вопросам в свете собственных представлений и опыта. Если этого требует тема, необходимо одновременно с изу
чением литературы отбирать экспериментальный и иллюстративный материал: беседовать с учителями или научными работниками, при
менять на практике научную и методическую теории, готовить чер
тежи, таблицы и модели.
Ознакомивш ись с литературой и представив себе объем и х ар ак тер экспериментального и иллюстративного м атериала, студенту надо вместе с руководителем уточнить и конкретизировать план работы, наметить и сф ормулировать основные разделы сочинения, составить перечень вопросов, которые будут рассмотрены в к аж д о м разделе.
Д а ж е при очень тщ ательной подготовке нельзя рассчиты вать на то, что работа ср азу будет написана настолько удачно, что отпадет необходимость в более или менее существенных ее исправлениях. При самом благоприятном течении работы обычно приходится оформлять текст по крайней мере дв а р аза. С начала студент пишет работу в черновике. П еречитав и исправив черновик, студент переписывает его и передает руководителю . Обычно работа требует еще одного «и зда
ния» с учетом советов и указаний руководителя, после чего она пред
ставляется к защ ите.
Объем курсовой работы м ож ет быть различным, в зависимости от х арактера темы. К ак правило, наименьший объем имеют м атем а
7
V
тические работы исследовательского характера, а наибольший — рабо
ты на методические темы.
С туденту не следует стремиться к достижению большого объема работы за счет многословия. И злож ение долж но быть отчетливым и последовательным, но сж атым. Н е надо повторять общ еизвестные ве
щи, следует чащ е пользоваться ссылками. Н адо стремиться к тому, чтобы работа содерж ала собственные мысли автора, найденные им примеры и иллюстрации, обобщения и выводы, описания проведен
ных экспериментов.
Больш ое значение имеет хорош ее оформление работы: красиво н а писанный заголовок, наличие подзаголовков и оглавления, грамотные и аккуратно выполненные чертежи, наличие полей и т. п. К работе необходимо прилож ить список использованной литературы.
Р аб о та над курсовой темой является трудоемкой. П оэтому ее необходимо начинать своевременно. Крайне нежелательны длительны е перерывы в этой работе, так как после такого перерыва приходится многое вспоминать, обдумы вать и выполнять повторно.
Получив положительный отзыв руководителя, студенты защ и щ а
ют написанные ими работы на заседании кафедры или выделенной ею комиссии. Защ и та курсовой работы м ож ет проходить так ж е в форме д о к л ад а на занятии научного круж ка или спецсеминара в присутст
вии руководителя работы и преподавателя, уполномоченного н^ это кафедрой. По разрешению кафедры защ ита работы методического характера м ож ет быть заменена выступлением на районном или кус
товом методическом объединении, на педагогических чтениях или на учительской конференции. Защ иты работ происходят обычно следую щим образом. Студенту предоставляется 10—20 минут для сообщ е
ния о существе проделанной работы и о полученных результатах.
З ащ и та заверш ается выступлением заведую щ его кафедрой или упол
номоченного на это преподавателя, который устанавливает оконча
тельную оценку работы.
8
Ч а с т ь I. ТЕМЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
Раздел 1. Общие вопросы м атем атики
Т ем а 1. Математика и философский материализм
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Количественные отно
шения и пространственные формы действительного мира как объективная основа математики. Развитие матема
тики как переход «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике»1.
Борьба материализма и идеализма в процессе разви
тия математики. Высказывания основоположников ди а
лектического материализма о природе математического знания. Критика идеалистических толкований матема
тики.
Литература В. И. Л е н и н . М атериализм и эмпириокритицизм.
ГІолн. собр. соч., т. 18.
Ф. Э н г е л ь с . Анти-Дюринг. К. Маркс, Ф. Энгельс.
Соч., т. 20.
БСЭ, изд. 2 (статьи «Математика» и «М атериализм»), A. Д . А л е к с а н д р о в . Математика и диалектика.
«Математика в школе», 1972, № 1, 2.
Б. В. Г н е д е н к о . В. И. Ленин и методологические проблемы математики. М., «Знание», 1970.
Б. В. Г н е д е н к о . В. И. Ленин и развитие математи
ки в Советском Союзе. «Математика в школе», 1970, № 1.
Б. В. Г н е д е н к о . Фридрих Энгельс о философских проблемах математики. «Математика в школе», 1971,
№ 1.
B. Г. Б о л т я н с к и й . Ленинская теория познания и математические абстракции. «Математика в школе»,
1970, № 2.
В. Г. Б о л т я н с к и й , Н. X. Р о з о в . Ленинская тео
рия познания и математические понятия. «Квант», 1970, № 7.
1 В. И. Л е н и н . Поли. собр. соч., т. 29, стр. 152.
9
К- Е. М о р о з о в . Математическое моделирование в научном познании. М., «Мысль», 1969.
В. Н. М о л о д ш и й . Очерки по философским вопро
сам математики. М., «Просвещение», 1969.
Г. И. Р у з а в и н . «Математические рукописи»
К- М аркса и некоторые проблемы методологии матема
тики. «Вопросы философии», 1968, № 12.
Г. И. Р у з а в и н . О природе математического знания.
Очерки по методологии математики. М., «Мысль», 1968.
Н. А. К и с е л е в а . Математика и действительность.
И зд-во МГУ, 1967.
Г. В. Д о р о ф е е в , Н. X. Р о з о в. О философском освещении некоторых вопросов математики. «Вопросы философии», 1968, № 9.
К- Е. М о р о з о в . Философские вопросы математики.
М., «Знание», 1963.
Т е м а 2. Математика и материалистическая диалектика П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Ленинская характе
ристика диалектического пути познания истины: «От ж и вого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике» 1. История развития математики в свете этого ленинского положения.
Основные законы марксистского диалектического ме
тода: всеобщ ая связь явлений, борьба противоречий как фактор развития, переход количественных изменений в качественные отличия. Конкретные проявления этих з а конов в математической науке.
Литература В. И. Л е н и н. Философские тетради. Поли. собр. соч., т. 29.
Ф. Э н г е л ь с . Анти-Дюринг. К. Маркс, Ф. Энгельс.
Соч., т. 20.
БСЭ, изд. 2 (статьи «Математика» и «Диалектика»), В. Н. М о л о д ш и й . Очерки по философским вопро
сам математики. М., «Просвещение», 1969.
Б. В. Г и е д е н к о . В. И. Ленин и методологические проблемы математики. М., «Знание», 1970.
1 В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 152.
10
Б. В. Г н е д е н к о . В. И. Ленин и развитие математи
ки в Советском Союзе. «Математика в школе», 1970, № 1.
К- Е. М о р о з о в . Философские вопросы математики.
М., «Знание», 1963.
Б. В. Г н е д е н к о . Фридрих Энгельс о философских проблемах математики. «Математика в школе», 1971,
№ К
A. Д . А л е к с а н д р о в . М атематика и диалектика.
«Математика в школе», 1972, № 1, 2.
B. Г. Б о л т я н с к и й , Н. X. Р о з о в . Ленинская тео- . рия познания и математические понятия. «Квант», 1970,
№ 7.
Г. И. Р у з а в и н. О природе математического знания.
Очерки по методологии математики. М., «Мысль», 1968.
Н. А. К и с е л е в а . Математика и действительность.
И зд-во МГУ, 1967.
Тема 3. Математика и современная наука
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . В озрастание роли ма
тематики в развитии современной науки. Математика и будущ ее науки.
Литература БСЭ, изд. 2 (статья «М атематика»).
А, Д . А л е к с а н д р о в . Общий взгляд на математи
ку. В кн.: «Математика, ее содерж ание, методы и значе
ние», т. 1. М., И зд-во АН СССР, 1956.
Б. В. Г н е д е н к о . Языком математики. М., «Зн а
ние», 1962.
И. М. У в а р е н к о в. Новые пути и области примене
ния математики. Смоленск, «Московский рабочий», 1965.
Ф. Д ж . Д а й с о н . Математика в физических науках.
В кн.: «Математика в современном мире», пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
М. С т о у н . Математика и будущ ее науки. «М атема
тическое просвещение», вып. 4, 1959.
Э. А. М а р и н и ч е в . Математика — язык науки. Л ., 1969 (О-во «Знание» Р С Ф С Р).
Р. К у р а н т . М атематика в современном мире. В кн.:
«Математика в современном мире», пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
Я. И. Х у р г и н . Н у и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами. О мате-
11
матике и ее связях с другими науками) . М., «Молодая гвардия», 1967.
К- Е. М о р о з о в . Математическое моделирование в научном познании. М., «Мысль», 1969.
Т е м а 4. Математика и биологические науки
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Применение матем а
тических методов в биологических исследованиях. Роль математики в развитии медицинской теории и прак
тики.
Литература БСЭ, изд. 2 (статья «Математика»),
А. Д . А л е к с а н д р о в . Общий взгляд на математи
ку. В кн.: «Математика, ее содержание, методы и значе
ние». М., И зд-во АН СССР, 1956.
Б. В. Г н е д е н к о . Языком математики. М., «З н а
ние», 1962.
JI. Б. Б а ж е н о в . Роль математики в развитии ес
тественных наук. В кн.: «Философия естествознания», М., 1966.
И. М. У в а р е н к о в . Новые пути и области приме
нения математики. Смоленск. «Московский рабочий», 1965.
Э. А. М а р и н и ч е в . Математика — язык науки. Л ., 1969 (О-во «Знание» Р С Ф С Р).
Б. М. К е д р о в . Предмет и взаимосвязь естественных наук, изд. 2. М., «Наука», 1967.
Л. Г. К о р е н е в а . Генетика и математика. В кн.:
«М атематика и естествознание». М., «Просвещение», 1970.
Р. К у р а н т . Математика в современном мире. В кн.:
«Математика в современном мире», пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
С. В. Ф о м и н . Математика в биологии. М., «Зн а
ние», 1969.
Ю. И. Г и л ь д е р м а н . Математизация биологии. М.,
«Знание», 1969.
«Математические проблемы в биологии». Сборник ста
тей, пер. с англ. М., «Мир», 1966.
12
Э. Ф. М у р . Математика в биологических исследова
ниях. В кн.: «Математика в современном мире», пер. с англ. М. «Мир», 1967.
Т е м а 5. Математика и гуманитарные науки.
Математика и искусство
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . М атематика и лин
гвистика. М атематика и поэзия. М атематика и музыка.
Применение математических методов в педагогике и дру
гих общественных науках.
Литература Б. В. Г н е д е н к о. Языком математики. М., «Знание», 1962.
И. М. У в а р е н к о в. Новые пути и области примене
ния математики. Смоленск, «Московский рабочий», 1965.
Э. А. М а р и н и ч е в . Математика — язык науки. Л., 1969 (О-во «Знание» Р С Ф С Р ).
Р. К у р а н т . Математика в современном мире. В кн.:
«Математика в современном мире», пер. с англ. М.,
«Мир», 1967.
Р. Л. Д о б р у ши н . Математические методы в линг
вистике. «М атематическое просвещение», вып. 6, 1961.
Р. - С т о у н . М атематика в общественных науках.
В кн.: «Математика в современном мире», пер. с англ.
М., «Мир», 1967.
А. М. К о н д р а т о в . Математика и поэзия. М., «Зн а
ние», 1962.
А. М. К о н д р а т о в . Звуки и знаки. М., «Знание», 1964.
А. М. К о н д р а т о в . Машинный перевод (электрон
ные вычислительные машины и дешифровка древних письмен). М., «Знание», 1967.
А . М. Я г л о м , И. М. Я г'л о м. Вероятность и ин
формация. М., Физматгиз, 1960.
Г. Е. Ш и л о в . П ростая гамма. Устройство музыкаль
ной шкалы. М., Физматгиз, 1963. (Популярные лекции по математике, вып. 37.)
«О некоторых вопросах современной математики и кибернетики». Сборник статей. М., «Просвещение», 1965.
13
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Применение матема
тических методов в кибернетике.
Литература БСЭ, изд. 2 (статья «М атематика»).
A. Д . А л е к с а н д р о в . Общий взгляд на математи
ку. В кн.: «Математика, ее содержание, методы и значе
ние». М., Изд-во АН СССР, 1956.
Б. В. Г н е д е н к о . Языком математики. М., «Зн а
ние», 1962.
И. М. У в а р е н к о в. Новые пути и области примене
ния математики. Смоленск. «Московский рабочий», 1965.
Э. А. М а р и н и ч е в . Математика — язык науки. Л ., 1969 (О-во «Знание» Р С Ф С Р ).
B. Г. Б о л т я н с к и й . Математические методы опти
мального управления, изд. 2, переработ. М., «Н аука», 1969.
Г. Ф. Б о н е н б л у с т . Теория игр. «М атематическое просвещение», вып. 4, 1959.
Ю. М. Б е з б о р о д о в , В. Б. О р л о в . Машина иг
рает в шахматы. «Математическое просвещение», вып. 6, 1961.
JI. Л . Т е р е х о в . Экономико-математические методы.
М., «Статистика», 1968.
Е. С. В е н т ц е л ь . Элементы теории игр, изд. 2, сте
реотип. М., Физматгиз, 1961.
Г. Л . С м о л я н . Исследование операций — инстру
мент эффективного управления. М., «Знание», 1967.
А. И. Б е р г . Кибернетика и надежность. М., «З н а ние», 1964.
Н. В и н е р . Кибернетика или управление и связь в животном и машине, пер. с англ., изд. 2. М., «Советское радио», 1968.
И. А. З а й д е н м а н , А. Я. М а р г у л и с . Математика в сетевом планировании. М., «Знание», 1967.
А. К о ф м а н . Методы и модели исследования опера
ций, пер. с франц. М., «Мир», 1966.
Тема 7. Математика и современное производство
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Научная основа про
изводства как характерная черта передового социального Тема 6. М а т е м а т и к а и у п р а в л е н и е
14
строя. Возрастание роли математики в условиях совре
менного производства. Роль математики в развитии со
временной техники. Применение математических методов в экономических исследованиях, планировании и органи
зации производства.
Л и т е р а т у р а
«Математика в современном мире». Сборник статей, пер. с англ. М., «Мир», 1967.
«Применение математики в экономических исследо
ваниях». Сборник статей, т. 1—3. М., Соцэкгиз, 1959, 1961, 1965.
Ст. Б и р . Кибернетика и управление производством, пер. с англ., изд. 2, доп. М., «Наука», 1965.
X. М. Ф а т а л и е в. Естественные науки и материаль
но-производственная база общ ества: М., Соцэкгиз, 1960.
«Применение математических методов в размещении производства». Сборник статей. М., «Н аука», 1968.
М. Р. Б е н ь я м и н о в. Математика и сельское хозяй
ство. П особие для учителя. М., «Просвещение», 1968.
Н. Я - В и л е н к и н . Функции в природе и технике.
В кн.: Детская энциклопедия, т. 2, изд. 2. М., 1964.
А. М. К о н д р а т о в . Числа вместо интуиции. М.,
«Знание», 1963.
Т е ш 8.
Системы счисления
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . П роисхож дение сис
тем счисления. П ереход от одной системы к другой. О со
бенности, достоинства и недостатки используемых в прак
тике систем счисления. Выполнение арифметических дей ствий в различных системах счисления. Технические принципы ввода системы счисления в вычислительную машину.
Л и т е р а т у р а И. Г . Б а ш м а к о в а, А. П. Ю ш к е в и ч . П роисхож дение систем счисления. В кн.: «Энциклопедия элем ентар
ной математики», кн. 1. М., ГИТТЛ, 1951.
С. В. Ф о м и н . Системы счисления, изд. 2, доп. М.,
«Наука», 1968.
15
Р. С. Г у т е р и др. Программирование и вычислитель, ная математика. Учебное пособие для школ программис- тов-вычислителей. М., «Наука», 1965.
Р. С. Г у т е р . Системы счисления и арифметические основы работы электронных вычислительных машин.
В кн.: «Дополнительные главы по курсу математики 7— 8 классов для факультативных занятий». П особие для учи
телей. М., «Просвещение», 1969.
А. М. Я г л о м , И. М. Я г л о м . Неэлементарные з а дачи в элементарном изложении. Задачи по комбинато
рике и теории вероятностей. Задачи из разных областей математики. М., Гостехиздат, 1954.
Д ж . Т. К а л б е р т с о н . Математика и логика цифро
вых устройств, пер. с англ. М., «Просвещение», 1965.
Т е м а 9. Арифметические принципы действия автоматических цифровых машин
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Обзор принципов уст
ройства современных универсальных счетных машин.
Описание некоторых типов машин. Основные идеи про
граммирования. Составление примерной программы.
Литература Г. О. Е ф р е м о в . Язык математических машин. Сис
темы счисления. М., «Знание», 1967..
Н. А. А р х а н г е л ь с к и й, Б. И. З а й ц е в . Автома
тические цифровые машины. М., Физматгиз, 1958. (П опу
лярные лекции по математике, вып. 28.)
М. С. Т у к а ч и н с к и й . Как считают машины. М., ГИТТЛ, 1952.
Б. В. Г н е д е н к о и др. Элементы программирования.
Учебное пособие для вузов, изд. 2, стереотип. М., Ф измат
гиз, 1963.
A. Е. К о б р и н с к и й . Числа управляют станками, изд. 2, доп. М., Изд-во АН СССР, 1967.
Д ж . Т. К а л б е р т с о н. Математика и логика цифро
вых устройств, пер. с англ. М., «Просвещение», 1965.
B. М. М о н а х о в . Системы счисления и арифметиче
ские устройства электронных вычислительных машин.
«Математика в школе», 1967, № 3, 4.
16
Н. П. Б у с л е н к о. О моделировании сложных систем на цифровых вычислительных машинах. «Математика в школе», 1964, № 5.
Т ем а 10. Теоретико-множественные понятия в элементарной математике
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Алгебраические опе
рации и функции на множествах. Отношения и их графи
ки. Функция как отношение на множестве. Теоретико-мно
жественный подход к основным геометрическим поня
тиям.
Н. Я- В и л е н к и н. Элементы теории множеств. В кн.:
«Дополнительные главы по курсу математики 7— 8 клас
сов для факультативных занятий». П особие для учителей.
М., «Просвещение», 1969.
Р. Р. С т о л л . М ножества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ. М., «Просвещение», 1968.
Р. Ф о р и др. Современная математика, пер. с франц.
М., «Мир», 1969.
Н. Я- В и л е н к и н. Рассказы о множествах, изд. 2, испр. и доп. М., «Наука», 1969
В. С е р п и н с к и й . О теории множеств, пер. с польск.
М., «Просвещение», 1966.
В. А. В ы ш е н с к и й , Л. А. К а л у ж н и н . О месте теории множеств и математической логики в преподава
нии математики в средней школе. «Математика в шко
ле», 1970, № 1.
Т ем а 11. Аксиоматический метод математики
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Опыт и логика, индук
ция и дедукция в истории развития математики. С одер
жательная, полуформальная и формальная аксиоматиза
ция математической теории. Роль аксиоматического ме
тода в пазвитйи "СО’ГО'ГОенной математики. Отношение
матема' іту.
Литература
2 З а к а з 17
Литература БСЭ, изд. 2 (статья «А ксиом а»).
В. Н. М о л о д ш и й . Очерки по философским вопро
сам математики. М., «Просвещение», 1969.
Р. Р. С т о л л . Множества. Логика. Аксиоматические теории, пер. с англ. М., «Просвещение», 1968.
П. К- Р а ш е в с к и й . Геометрия и ее аксиоматика.
«М атематическое просвещение», вып. 5, 1960.
Г. Ш т е й н г а у з . О математической строгости. «М а
тематика в школе», 1960, № 1.
Г. И. Р у з а в и н. О природе математического знания.
{Очерки по методологии математики).М ., «Мысль», 1968.
Н. А. К и с е л е в а . Математика и действительность.
И зд-во МГУ, 1967.
Н. Б у р б а к и . Архитектура математики. «М атемати
ческое просвещение», вып. 5, 1960; М., «Знание», 1972.
A. А. Л я п у н о в. О фундаменте и стиле современной математики. (П о поводу статьи Н. Бурбаки.) «М атемати
ческое просвещение», вып. 5, 1960.
B. С е р в е . Аксиоматика и элементарная геометрия.
«Математика в школе», 1967, № 6.
Т ем а 12. Методы математических рассуждений и доказательств
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Проблема истины и ее критерий в математике. Что такое доказательство.
Анализ и синтез как методы исследования. Аналогия и индукция как вспомогательные методы математики. П ол
ная индукция. Математическая индукция. Д оказательст
во от противного. Математическая логика как средство решения задач и проведения доказательств.
Литература Д . П о й а. Математика и правдоподобные р ассуж де
ния, т. I— II. М., Изд-во иностр. лит., 1957.
И. Л а к а т о с . Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы, пер. с англ. М., «Наука», 1967.
У. У. С о й е р . Прелюдия к математике, пер. с англ.
М., «Просвещение», 1965.
И. С. С о м и н с к и й и др. О математической индук
ции. М., «Наука», 1967.
І 8
Д . П о й а. Математические открытия, пер. с англ. М.,
«Наука», 1970.
А. И. Ф е т и с о в . О доказательстве в геометрии. М., Гостехиздаг, 1954. (Популярные лекции по математике, вып. 14).
Я. С. Д у б н о в . Ошибки в геометрических док аза
тельствах, изд. 4. М., «Наука», 1969. (Популярные лекции по математике, вып. 11).
П. М. Э р д н и е в. Сравнение и обобщ ение при обуче
нии математике. П особие для учителей. М., Учпедгиз, 1960.
A. А. С т о л я р . Применение современного математи
ческого языка в школьном курсе математики. В кн.: «Ли
нейная алгебра и геометрия». М., «Просвещение», 1967.
B. М. Б р а д и с и др. Ошибки в математических рас
суждениях. П особие для учителей, изд. 3. М., «П росвещ е
ние», 1967.
Л. А. К а л у ж н и н. Что такое математическая логи
ка. М., «Наука», 1964.
В. Л и т ц м а н . Где ошибка? пер. с нем. М., Ф измат
гиз, 1962.
Тема 13. М етод математической индукции
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Сущность и различ
ные формы метода индукции в математике. Аксиома ин
дукции в теории натурального числа. Обоснование мето
да математической индукции. Использование математи
ческой индукции в элементарной алгебре и элементарной геометрии.
Литература Д . П о й а. Математика и правдоподобные р ассуж де
ния, т. I— II. М., И зд-во иностр. лит., 1957.
И. С. С о м и н с к и й и др. О математической индук
ции. М., «Н аука», 1967.
Л. Г е н к и н. О математической индукции, пер. с англ.
М., Физматгиз, 1962.
Я. И. Д е п м а н . М етод математической индукции.
П особие для учителей. М., Учпедгиз, 1957.
Н. Я. В и л е н к и н и др. М етод математической ин
дукции. «Математика в школе», 1967, № 3.
Л. И. Г о л о в и и а , И. М. Я г л о м . Индукция в гео-
2 *
метрии, изд. 2, исир. М., Ф изматгиз, 1961. (П оп ул ярн ы е л екц и и по м атематике, вып. 21).
С. И. Г е л ь ф а н д и др. З а д а ч и по элем ен тарн ой м а тем ати к е. Последовательности. К ом бинаторика. П ределы .
( Д л я 9— 10 кл ас сов ). М., «Н аука», 1965.
Т ем а 14. Решение избранных задач методом индукции П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Теоретические основы м етода математической индукции. Реш ение 20—25 з а д а ч н а индукцию из ниж еуказан ной литературы (по с о г л ас о ван ию с научным руководителем раб оты ).
Литература П. С. М о д е н о в . С борник з ад ач по специальному курсу элементарной м атематики, изд. 2, доп. и испр. М.,
« В ы с ш ая школа», 1960.
И. С. С о м и н с к и й . О математической индукцИи. М.,
« Н а у к а» , 1967.
И. С. С о м и н с к и й . М етод математической и н д у к
ции, изд. 7. М., «Н аука», 1965.
Л . Г е н к и н. О математической индукции, пер. с англ.
М., Ф и зм атгиз, 1962.
Я. И. Д е п м а н . М етод математической индукции.
П особие д л я учителей. М., Учпедгиз, 1957.
Н. Я- В и л е н к и н и др. М етод математической ин
дукции. «М атем ати ка в школе», 1967, № 3.
С. И. Г е л ь ф а н д и др. З а д а ч и по элем ентарной м а тем ати ке. Последовательности. Комбинаторика. П ределы .
( Д л я 9— 10 кл ассов). «Н аука», 1965.
Т ем а 15. Теорема дедукции в исчислении высказываний П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Д о к аза тел ь с тв о тео
рем ы дедукции. Р еш ение нескольких задач, связанны х с теоремой дедукции (по согласованию с научным руково
ди те л ем р аб оты ).
Литература П. С. Н о в и к о в . Элементы математической логики.
М., Ф изматгиз, 1959.
20
С. К. К л и н и. Введение в м атем атику, пер. с англ.
М., И зд -в о иностр. лит., 1957.
Т ем а 16. Полнота исчисления высказываний
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Описание исчисления высказываний. Основные определения и лемм ы , необхо
дим ые д л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы о полноте. Д о к а з а тельство теоремы о полноте. (О бъем работы опред ел яет
ся научным руководителем.)
Литература П. С. Н о в и к о в . Элементы математической логики.
М., Ф изматгиз, 1959.
С. К. К л и н и. В ведение в математику, пер. с англ.
М., Изд-во иностр. лит., 1957.
Тем а 17. Алгоритмы и машина Тьюринга
П р и м е р н о е с о д е р ж а н и е . Описание понятия а л горитма. Примеры . Определение и пример машины Тью ринга.
Составление п рограм м ы некоторой конкретной м а ш и ны Тьюринга или построение ал гори тм а д л я реш ения кон
кретной алгоритмической зад ач и (по согласованию с н а учным руководителем р аб оты ).
Литература Б. А. Т р а х т е и б р о т. Алгоритмы и маш инное р еш е
ние задач, изд. 2. М., Ф изматгиз, 1960. (П оп ул ярн ы е л е к ции по матем атике, вып. 26).
В. А. У с п е н с к и й . Л ек ци и о вычислимых функциях.
М., Физматгиз, 1960.
А. Т ь ю р и н г . М о ж е т ли м аш и на мыслить? О б щ а я и логич еская теори я автоматов, пер. с англ. М., Ф и з м а т гиз, 1960.
Ф. Л . В а р п а х о в с к и й. Элементы теории ал гори т
мов. М., «Просвещение», 1970.
Р. П е т е р . И г р а с бесконечностью. М а т е м а т и к а д л я нем атем атиков, пер. с венг. М., «Просвещение», 1968.
М. А. А й з е р м а н и др. Л о ги к а. Автоматы. А л г о р и т
мы. М., Ф и зматгиз, 1963.
21
