(Ъ) hi к)-

С.К.Тлеукенов О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОГО

СЛОЯ

В работе определено аналитическое представление характерис­

тической матрицы периодически неоднородного слоя через матрицу порождающего слоя; получена характеристическая матрица усредне­

ний средн; показано, что структура характеристической матрица трансверсально-изотропной неоднородной среды совпадает со струк­

турой характеристической матрица локально изотропной неоднород­

ной среда; приведено уравнение дисперсии волн Стоувли в периоди­

чески неоднородном сдое между однородными полупространствами.

I. Аналитическое представление М * . Пусть X(.%+h) ~ \(Ъ);

j>(*+ta = j>U); / t u + k ) = ju-a) , тогда для неоднородно­

го слоя толщины Н = nfo матрица М(Н)=ИИ', где М = hi к)- мат­

рица порождающего слоя толщины к .

Определение общей структуры пряной и обратной характеристи­

ческих матриц позволило в работе [i] , на основе введения матри­

цы Хр = П + И"1 получить для hn формулу:

А Л

Q,, и Q4 определены в [i] ; полиномы Р^л1$) определяются рекур­

рентной формулой Р№<р) = & р Х _ , ( р ) - Ри_аф ; Ро = о ; Р, = Е . В ы ­ числение сп, i/K , г„, было сведено к матричному уравнению вто­

рого порядка

/ _ „ \tt-i/ \ _ _

. с лл"РйРм = с»-4» ( 2 )

' ^ Ря-Р» * Р«"Рзз '

L

№*> - М /Р«

I « р

^и

-«/ 1Р>

Решение уравнения (2) рассмотрим для двух случаев.

а) Пусть Д*»ря|»м-;(рврв- ЄЄ) = 0 . Тогда из (2) сле-

, И - < , №-1

ci*= tp„-p33)re_>„; ^ - ( р ^ Р и Л ' р , , ; V < P « * P „ J * "f; ( 3 )

используя (3) в (I) получим

р^Л№=сриРз³) Р^л; ^Р« ' Р >⁼^^Р*⁽* * Р » > Р • (4) в) При д * 0 , уравнение (2) представимо в виде

Р«+€

±

A

±

Д Рзз-€

-iM

/p«

^,и-1'

Г»*'

^{t t - 1 = 1}

(5)

в и-ая стевень этой натрвцн ножет бнть овределена во формуле

и, ^ь р«*« J .

д Д 1 Рза~€

Д Д

кН?)

R. + A

А

ё

Д

д

p»-fc

д _

" М Яд Г • (6)

Определив на основе (6) о

п

, А

к

из ( 5 ) , а также учитывая, что

*>п К*

*\ Яд J

Р г

р

г

г

да % %=iDv ft»* V v - f o

^{) S}

- * д*' ] '

^ПОЛ

^У

^ЧИМ

3»<р;

^:

ад)=^-^й)[Р-йЕ]^рфГр^Е].

(7) Из (7) при д*-»-0 следует (4). Подстановка (7) в (I) определяет

искомое аналитическое представление матриц M *

Pi

V^

(

Pi

J

[p

A

-P*E]-yV

P

^

(

^ff"

P

'

E

^ ₍₈₎

Из (8), в частности, следует, что условие существования волн Стоунли в периодически неоднородном слое между полупространства­

ми может бнть записано в виде

cUt V

ж£Ч

-if

- <

^

.

-v

»*ц "тМ

-йч, *%

^iM-f

р Р« Т е

-)Р« Р«

=0;С9)

w f ' - элементы матрицы И . Аналогичное выражение имеют миноры

второго порядка, необходимые при анализе процессов отражения и преломления Р и SV волн.

2. Характеристическая матрица усредненной периодически не­

однородной среды. В монографии [3] (Гл.5) основной целью явля­

лось определение усредненных характеристик, поэтому в ней не рас­

сматривался вопрос о построении характеристической матрицы.

a. SH волн. Матричное уравнение и матрица 14 в этом слу­

чае имеют вид [2]

P

e

T

s

p N ; P f R r P

1

* ^

1

? i «letМ. = f .

(Ю)

При А » к из уравнения дисперсии J2] anкЬ = р следует, что

о о °

Поскольку общая толщина слоя H = n k , т о к к -

кН

Под-

TV

итавив эти соотношения в (10) и учитывая, что в рассматриваемом приближении Jj-hiicfJ/tt'J^expfiKH] f получим

\\ = Eco4i?Ht[f <В>]⁴*н!сН; <B>=£JB<k; ^ = ^{( 1 2 )}

О

б. Р и SY волны. Необходимые в этом случае ic и эе оп­

ределяются из разложения дисперсионных уравнений [i] ccrjicfi- = р, ; се* эе4 = рг . При X»U

а д е с ь Фл= к * [ - | а1 +сГи ,+ ^ я0]; A, = £Vc . ; F,= i c [ A , - * J

v f e ^ > ^ A j V VH-^V _{Vtyo -Ц/}

_1, ^{% 'o If '}

.b-.±[Wk.h; v-J-Uift-^; ^ ( f ^ ,

(I4)

как и в случае SH волн при h»h р*1; V {-?*'* — ; Р*~ 1

_{• . -v ц}

l1 м и я

^~K ~ ~^и~ " Иодетавив

^эти

соотношения в (8) получим

о

Элементы матрицы В

у

l

1bi

„-li[{- %± к

ог

АJ; *

| =

Л J f» = •

"•-v^- *- ^в 7" ^> *«-*.-^ *«-* *'; *=£ •

Элементы матрицы В : г

я

= г

ад

= -г

33

• = - г

44

= [ З ^ Д , - $ » А

Я

] / г

^1* = > = -%, = " «ГЧэ = -J-pJV* ; г = < «*- i?*j 1»* . Р « имеют вид:

Р

«'= M i ^ F , - $ « А . ] ;

Р

£ = Mfc'folT, -

-

ф

ЛЬ Р *

^И

- # : * , Г . - * . №

Ч г

[ р

А

- P^tf

(I8)

Матрица ["Ц является характеристичесвой матрицей трансверсально

изотропного однородного слоя толщины Н и описывается, как это видно из (16) и (14), четырьмя параметрами: <b

ti

a,

if

'b

%

, Ь

с

и плотностью j> .

3. Структура характеристической матрицы трансверсально-изот- ропной неоднородной среды. Для системы однородных трансверсально изотропных слоев характеристическая матрица определяется произ­

ведением матриц типа (15), имеющие для каждого слоя свои значе­

ния параметров о*, л, , л

л

, 6

⁰

и плотности. При Н-^0 из (15) оле-

дует, что Мф = E + Bt д г . Переходя к пределу ^ а х д г ^ О ^ - ^ ш в © - лучин:

, I ' « * •

Fi = < м и П (Е + Б . дг) = Е + fЪ, Аг + f fБ.<«B.<v«hi%f... . <^I9>

Аналогичный вид имеет М . Структура матриц М я (1 опреде­

ляется структурой матрицы Bt , но структура матрицы 2Ц совпа­

дает, как это видно из (16) и (14), со структурой матрицы В , которая интегральным рядом аналогичным (19) определяет характе­

ристическую матрицу изотропного неоднородного слоя. Следователь­

но структура характеристической матрицы трансверсально изотропно­

го неоднородного слоя совпадает со структурой характеристической матрицы локально изотропного неоднородного по глубине слоя, т.е.

11=

и*,.

т, w т..

» « ^т<г ^т1ч ти -тщ -щъ

Щ% Щг Mw - й % , •»*»* Щз

; М =

й« " " Ч j-wjf J»4z -Щг "Ь -j-»S»-fwrt

*^ЙЧ» К » »»й - и »^и {_-М« -)w»-w^M и*^эз _

(20)

4. Трансверсально изотропные периодически неоднородные струк­

туры. Из совпадения общей структуры характеристических матриц изотропных и трансверсально изотропных неоднородных сред следу­

ет, что результаты работы [i] и настоящей статьи п.1 и п.2 спра­

ведливы и для трансверсально изотропных сред. Отличие лишь в том, что, если матрица Б определяется параметрами Au),/aU) и j>(%)^} . то В.). определяется параметрами %(%), a^V, a^U), &0{%) и

f(%) . Усреднение трансверсально-изотропной периодически неод­

нородной среды вновь приводит к трансверсально изотропной-среде поскольку сохраняется плоскость изотропии.

Литература

1. Б а й т о н ы е о в . 0., Т л е у к - в н о в С.К. О методе реше­

ния некоторых задач распространения упругих волн при наличии периодической неоднородности. - В кн.: Математические вопросы теории распространения волн.15. Зап.научн.сеи.ЛОШ, 1985, т.148, с.30-33.

2. Е р ж а н о в Ж.С., Ж у б а е в Н.Ж., Т л е у к е н о в С.К.

Сейсмические волны в неоднородной среде. - Алма-Ата, 1985.

3. М о л о т к о в Л.А. Матричный метод в теории распростране­

ния волн в слоистых упругих и жидких средах. Л., 1984.