А 39
Л Е Н И Н Г Р А Д С К И Й О Р Д Е Н А Л Е Н И Н А И О Р Д Е Н А Т Р У Д О В О Г О К Р А С Н О Г О З Н А М Е Н И Г О С У Д А Р С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т име ни А. А. Ж Д А Н О В А
Г. П. АКИЛОВ, Б. М. МАКАРОВ, В. П. ХАВИН
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНТЕГРАЛА
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия для студентов
государственных университетов _ SjO A О
ж . т е к с е р і л д і
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О
Л Е Н И Н Г Р А Д С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета -7
В книге излагается материал, обычно изучаемый на I и II курсах физико-математических факультетов университетов (интегральное исчисление, в частности кратные и несобственные интегралы). Изложение ос
новано на современной теории меры, которой посвя
щена глава I. Необходимые для понимания книги сведения из смежных разделов анализа (элементы теории множеств, суммируемые числовые семейства, дифференцируемые отображения евклидовых прост
ранств) составляют содержание трех добавлений.
Книга предназначена для студентов младших кур
сов и для лиц, занимающихся самообразованием.
Отв. редактор С. А. Виноградов
П Р Е Д И С Л О В И Е
Современная теория меры и интеграла очень полно и всесто
ронне освещена в многочисленных и прекрасных руководствах.
Однако, насколько нам известно, среди этих руководств нет т а кого, которое было бы предназначено специально для студентов младших курсов. Между тем теория интеграла достигла такой з а конченности, ясности и простоты, что ею вполне может овладеть студент-второкурсник. В то ж е время принятый в университет
ских учебниках анализа способ изложения разделов, посвящен
ных интегралу, устарел и не соответствует представлениям, проч
но вошедшим в математику. Ведь не случайно преподаватели нескольких университетов (Московского, Ленинградского, Ново
сибирского), не сговариваясь между собой, приступили к основа
тельной перестройке курса анализа, начав эту перестройку с теории интеграла.
Согласно давно установившейся традиции, в университетских курсах анализа до недавнего времени учащихся впервые знако
мили с интегралом как с интегралом Римана по промежутку числовой прямой. На этой основе учащиеся изучали приемы вы
числения интеграла и его приложения. Затем излагалась (обыч
но гораздо менее отчетливо и аккуратно) теория кратных инте
гралов, причем двойные интегралы вводились отдельно от трой
ных, а тройные — отдельно от «многократных». Изучались еще так называемые несобственные интегралы, причем «несобствен
ным» считался, например, интеграл по бесконечному промежут
ку, независимо от того, суммируема на этом промежутке подын
3
тегральная функция или нет. Кроме того, сообщались еще неко
торые сведения об интегралах Стилтьеса и об интегралах по поверхностям и кривым. Все это происходило на первых двух кур
сах. Таким образом, к концу второго года обучения теория инте
грала представала перед учащимися как нечто чрезвычайно пест
рое (ведь он изучил по крайней мере десять разновидностей ин
теграла) .
Затем, обычно на III курсе, студент знакомился с современ
ными концепциями интеграла (иногда, правда, только с интегра
лом по мере Лебега) в курсе теории функций вещественной пере
менной, которая обычно не сопровождалась упражнениями и не связывалась со сведениями, полученными на первых двух курсах.
Все это способствовало тому, что теория интеграла, несмотря на се ясность и простоту, воспринималась учащимися как предмет какой-то особо высокой, абстрактной науки, не имеющей ничего общего с теми задачами, которые решались ими на младших курсах.
Такой способ изложения теории интеграла связан с непроиз
водительными затратами времени, не отражает реального состоя
ния науки, а главное, он чересчур сложен и труден. Нет сомнения в том, что теория кратных интегралов становится проще и понят
нее, если вместо меры Жордана, которая по существу и применя
ется в распространенных руководствах, положить в ее основу ме
ру Лебега.
Настоящая книга отражает опыт преподавания теории инте
грала на II курсе математико-механического факультета Ленин
градского университета, накопленный за несколько послед
них лет.
Н а I курсе студенты знакомятся с интегралом от непрерывной функции по промежутку вещественной прямой.
Основная цель изучения интеграла на I курсе — удовлетво
рить настоятельные потребности смежных дисциплин (курс диф ференциальных уравнений, курс механики и т. д.) и научить сту
дента решать простейшие задачи, требующие приложения интегрального исчисления (для непрерывных функций одной пе
ременной). При этом основное внимание уделяется алгорифмиче- ской стороне дела, а всякого рода вопросы существования оста
ются пока без ответа. (Это не значит, конечно, что от студентов скрывают постановку этих вопросов.)
Мыслимы различные способы введения интеграла на I курсе.
4
Можно определить интеграл от непрерывной функции по проме
жутку как приращение первообразной на этом промежутке, по
стулировав существование этой первообразной. Можно опреде
лить интеграл как функционал, заданный на некотором множе
стве функций и обладающий несколькими простыми свойствами, допускающими наглядное истолкование. При этом, разумеется, возникает вопрос о существовании и единственности такого функ
ционала; этот вопрос такж е остается пока без ответа. При обоих способах введения интеграла основные его свойства, в том числе и тот факт, что интеграл от непрерывной функции есть предел римановых сумм, совершенно элементарно и наглядно выводятся в течение одной-двух лекций, после чего основное внимание уде
ляется приложениям.
Эта книга написана для студентов II курса, уже знакомых с интегралом от непрерывной функции по промежутку вещест
венной прямой (быть может, без достаточного обоснования ф ак
тов, связанных с проблемами существования).
Глава I книги посвящена теории меры. Здесь излагаются све
дения о системах множеств (полукольца, кольца, алгебры), изу
чаются аддитивные и счетно-аддитивные функции множеств (главным образом, неотрицательные). Основная трудность в пер
вой главе связана с построением меры Лебега в евклидовом про
странстве. Опыт показывает, что студенты хорошо справляются с этой трудностью. Впрочем, возможен и такой вариант изложе
ния, при котором свойства меры Лебега, определяющие ее, лишь перечисляются, а вопрос о ее существовании решается на более поздних этапах обучения — или в специальном курсе теории ме
ры, или в курсе функционального анализа. Некоторые места в первой главе, без которых можно обойтись в дальнейшем изло
жении, набраны петитом.
В конце первой главы доказывается инвариантность меры Л е бега относительно движений.
В гл. II (и основной) дается определение интеграла от функ
ции, заданной на множестве Е, принадлежащем произвольному о-кольцу, на котором задана счетно-аддитивная мера. Ни конеч
ность меры множества Е, ни ограниченность функции при этом не предполагаются. Таким образом, студенту сообщается одно един
ственное определение интеграла и суммируемой функции. Здесь подробно изучаются и свойства интеграла. Попутно дается обо
снование теории интеграла, изложенной на первом курсе. Кроме
того, во второй главе излагается теория измеримых функций, до
казываются теоремы о предельном переходе под знаком интегра
ла, теорема Фубини и теорема о замене переменной в кратных интегралах. Большое внимание уделяется приемам вычисления интегралов от конкретных функций.
В последней гл. III излагается теория несобственных инте
гралов (точнее, теория интегралов от несуммируемых функций) и интегралов, зависящих от параметра.
Изложение во всех трех главах книги тесно связано с други
ми разделами курса анализа. Чтобы облегчить читателю изуче
ние книги, мы снабдили ее тремя добавлениями. Цель первого д о б а в л е н и я — уточнить терминологию и обозначения, связанные с простейшими теоретико-множественными понятиями. Во вто
р о м — излагается теория суммируемых семейств вещественных чисел. Эта теория (в которой речь идет по существу об интегра
ле по дискретной мере) постоянно используется в первых двух главах. Знакомство с суммируемыми числовыми семействами может быть полезным и при изучении других разделов курса анализа.
В третьем добавлении сообщаются необходимые для понима
ния книги сведения о евклидовых пространствах и о дифферен
цируемых отображениях этих пространств. Формулируемые здесь теоремы, как правило, не доказываются. Исключение сделано лишь для теорем о дифференцируемых отображениях. Третье добавление заканчивается теоремой о локальной обратимости гладкого отображения с ненулевым якобианом. Идея д оказатель
ства этой теоремы заимствована нами из книги У. Рудина «Осно
вы математического анализа».
И збранная нами манера изложения определяется тем, что кни
га предназначена для начинающих, для вчерашних первокурсни
ков. Именно поэтому мы старались, чтобы весь основной текст (т. е. формулировки и доказательства теорем) был написан на одном и том же уровне строгости, по возможности близком к принятому в современной математике. Среди преподающих мате
матику распространена точка зрения, согласно которой студенту нужно продемонстрировать аккуратные и точные рассуждения лишь на отдельных примерах (как правило, сравнительно не
сложных, например на теореме Коши об обращении непрерыв
ной функции в нуль), тогда как во многих случаях (особенно свя
занных с реальными трудностями) ссылка на интуицию, на
наглядные представления, апелляция к образному мышлению мо
гут заменить формальные определения и рассуждения. Мы не стоим на такой точке зрения. Мы считаем, что переход от одного уровня строгости к другому, т. е. от одного уровня понимания слова «доказано» к другому, — это самое трудное для начинаю
щего изучение математики. Поэтому наличие разных уровней строгости в одном учебнике способно сбить с толку и дезориенти
ровать учащегося; ему трудно понять, почему в одном месте не
что «очевидное» (скажем, та ж е теорема Коши) тщательно до
казывается, а в другом месте отнюдь не более очевидное утвер
ждение (скажем, об аддитивности площади прямоугольника в R n) принимается на веру.
Значение математики в наше время определяется не только многочисленными добытыми ею конкретными фактами, не толь
ко вычислительными (в широком смысле этого слова) приемами, в ней разработанными. Все большую роль в приложениях начи
нает играть я з ы к , на котором учит разговаривать математика, та недвусмысленность, с которой выражают свои мысли матема
тики. Этому языку, наряду с конкретными математическими ф ак
тами, призвана, на наш взгляд, учить ка ж д а я математическая дисциплина, в особенности каж д ая дисциплина, излагаемая сту- дентам-младшекурсникам.
Все сказанное по поводу строгости изложения относится лишь к основному тексту, т. е., как уже было разъяснено выше, к фор
мулировкам определений и теорем и к доказательствам теорем.
Разумеется, создание у учащихся правильных образных и н а глядных представлений в связи с излагаемыми фактами — чрез
вычайно важ ная задача. Было бы наивным и вредным делом пытаться вообще «изгнать интуицию». Напротив, мы старались
п о в о з м о ж н о с т и о п и р а т ь с я н а н е е и п о м о ч ь ч и т а т е л ю н а г л я д н о ,
чувственно воспринимать содержание теорем, сопровождая их пояснениями, в которых в грубой, упрощенной форме излагается идея доказательства, говорится о значении того или иного факта.
В такого рода пояснениях мы не стесняемся в выражениях, не ограничиваем себя узкими терминологическими рамками и ис
пользуем все средства (в первую очередь чертежи) для того, чтобы пробудить в читателе ощущение естественности излагаемых результатов. Но важно, чтобы всякие терминологические вольно
сти, всякие ссылки на интуицию были бы четко отделены от основ
ного текста, изгнаны из ответственных формулировок и из д ока
7
зательств теорем. Наконец, отметим, что воспитанию правиль
ной интуиции не в последнюю очередь служат и все д о к а з а т е л ь с т в а теорем.
Несколько слов о системе ссылок, принятых в книге. К аж д ая глава подразделяется на параграфы, а параграфы — на пункты.
Пункты нумеруются упорядоченными парами арабских цифр;
первая цифра пары — номер параграфа, содержащего данный пункт, вторая — номер пункта. Главы нумеруются римскими циф
рами. При ссылках внутри параграф а номера главы и параграф а опускаются. Д л я теорем принята сквозная нумерация внутри каждого параграф а (или добавления). Чтобы облегчить разы ска
ние нужной теоремы, рядом с номером теоремы в скобках иногда указываются номера параграфа и главы (или добавления). Н а пример, теорема 2(5.11) — это вторая теорема пятого параграф а главы II; теорема 2 из д. 3 — это вторая теорема третьего д обав
ления. Теоремами мы называем лишь особо важные утвержде
ния. Вспомогательные утверждения мы называем предложения
ми или леммами. Нумерация предложений — сквозная в преде
лах каждого пункта.
Глава I (за исключением § 4, написанного В. П. Хавиным) написана Г. П. .Акиловым, глава II (кроме § 4—5, написанных Г. П. Акиловым) и добавления — В. П. Хавиным, гл. III — Б. М. Макаровым.
Ответственный редактор книги С. А. Виноградов устранил многочисленные недочеты и внес ряд принятых нами предлож е
ний, способствовавших сокращению и улучшению книги. Б. 3. Ву- лих и Г. И. Натансон внимательно прочитали всю книгу в руко
писи и сделали много очень ценных замечаний, учтенных при окончательном редактировании книги. При написании § 6 гл а вы II мы пользовались советами М. Ф. Широхова и Д. А. В л а димирова.
В оформлении рукописи большое участие принимала
Н . А . А к и л о в а .
Всем названным лицам мы приносим глубокую благодар
ность.
Глава I ТЕОРИЯ МЕРЫ
Понятие, обозначаемое термином «мера», является, по-види
мому, одним из наиболее распространенных не только в мате
матике, но, смело можно сказать, и во всей человеческой практи
ке. Действительно, каждый человек сталкивается с измерением длин и площадей, с нахождением объемов, со взвешиванием, т. е.
имеет дело с определением тех или иных числовых характеристик материальных объектов. Общей чертой всех перечисленных ха
рактеристик является их а д д и т и в н о с т ь : значение характери
стики объекта, состоящего из двух или более частей, совпадает с суммой значений, отвечающих этим частям.
Под мерой в математике как раз и понимают числовую функ
цию, обладающую свойством аддитивности (и, возможно, еще некоторыми другими свойствами, играющими, впрочем, уже не столь существенную роль).
Чтобы можно было говорить об аддитивности некоторой функ
ции, надо, чтобы область ее определения 91 состояла из таких объектов, которые в том или ином смысле допускают «разбие
ния» на части, такж е входящие в состав 9?, как, например, будет, когда 9? — система подмножеств некоторого данного множества.
Следует, впрочем, иметь в виду, что нередко рассматриваются и такие аддитивные функции, область определения которых не со
стоит явным образом из множеств. Такого рода функцией будет, скажем, вероятность — она определена на множестве событий.
Мы, однако, будем иметь дело исключительно с аддитивными функциями, заданными на той или иной системе подмножеств множества R v * т. е., как говорят, с аддитивными ф у н к ц и я м и м н о ж е с т в а .
Настоящая глава не преследует самостоятельных целей, по
этому мы ограничимся в ней только теми сведениями из теории меры, на которые опираются построения следующих, основных, глав.
* По поводу определения множества R v см. д. 1, п. 5. В большинстве слу
чаев /?v можно было бы заменить произвольным множеством.
9
§ 1. Системы множеств
Областью определения функции множества может быть, ко
нечно, любая система множеств. Тем не менее, как и в случае обычных, заданных на числовой оси, функций, наличие у области задания функции тех или иных свойств позволяет получить бо
лее глубокие результаты. Это обстоятельство и заставляет преж
де, чем изучать сами функции, заняться рассмотрением систем множеств, выделив из них те, свойства которых хорошо приспо
соблены к свойствам аддитивных функций.
1.1. Простейшей с точки зрения вычисления площади ф и гурой на плоскости является прямоугольник. Прямоугольники, или, если говорить о подмножествах множества R v ( v = 3 , 4 , . . . ) , прямоугольные параллелепипеды, и по многим др угим причи
нам представляют интерес в теории меры. Поэтому изучение систем множеств мы начнем именно с систем прямоугольников.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть даны 2v (v = 1, 2, . . . ) конечных вещественных чисел аъ Ьи а2, Ь2, . . . , a v, причем
а 2^ Ь 2, . . . , Множество Р (см. д. 1, п. 5)
Р = [ а ъ b x) х [ а г , Ь.2) X . . . X [ a , , f t , ) (1)
мы будем называть прям оугольником (полуоткрытым) р а з мерност и V. Если V — 1, то прямоугольник называют обычно
промеж утком. * Таким образом, прямоугольник Р представ
л я е т собой множество всех точек (л^, х 2, . . . , x \ £ R \ таких, что а /г ^ х /г < Ь/г (6 = 1, 2 , . . . , v). Понятно, что если а^ — Ь^
хотя бы при одном k ( k — \, 2, . . . , v), то Я = Л * * . Справедливо, разумеется, и обратное утверждение.
Множество всех полуоткрытых прямоугольников размер
ности v мы будем обозначать
Рассмотрим два прямоугольника
Р г= [«}'>, б'г>) X [4 °. 4 ° ) X . . . X [а'1'’, 6<г)) (г = 1, 2). (2)
Тогда
Л ={[«[»>, 6р )} х (К » , 411) - [42). <42))| X х.. . х ( к і> , ^2))}.
Но пересечение двух полуоткрытых промежутков, очевидно, снова представ
ляет собой такой же промежуток (возможно, пустой). Следовательно, спра
ведливо следующее предложение.
* При v=^2 термин „прямоугольник" также выглядит несколько необычно.
Слово „параллелепипед" обладает, однако, тем же недостатком при ч = 1, 2 и, кроме того, трудно произносимо.
** Символом Л обозначается пустое множество (см. д. 1, п. 1).
П р е д л о ж е н и е 1. Пересечение Я, гл Я2 прямоугольников Р ь Я2 р аз
мерности v (v = 1, 2, . . . ) является прямоугольником размерности ч.
Предположим, что один из прямоугольников (2) содержится в другом, например Я, с Яг- В этом предположении установим следующий факт (рис. 1).' и- П р е д л о ж е н и е 2. Существует конечное семейство Q0, Qx...Qm прямоугольников размерности v, такое, что
P i — Q o C Q i C . . . С Qm = (3)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим, что в случае Р\ = А утверждение оче
видно (т = 1, Qo = P i, Q\ = Pi)- В общем случае включение Р г с : Р 2 позво ляет заключить (д. 1, п. 5), что
[4» , 4 ‘>) с [ 4 2>, ьр ) ( * = 1 , 2 ...V). (4)
Доказательство проведем методом индукции по v. Если v = 1, то, как легко проверить, можно принять т = 2, Q0 = Я 1, Qi = [«j, б{), (?г = Я2.
Пусть и — натуральное число. Предположим, что предложение верно, если размерность ч = п, и докажем его справедливость для случая v = n + 1.
Обозначим
Я3 = [ а < 1) Ь [ ^ ) х [ 4 1\ ^ Х - Х К 1» б '1’):
Pi = [а[2\ 6[2)) X Н 2>, 4 2)) X . ■. X К 21. *{?>)
(т. е. Я1==Я3 Х [ 4 ') , . 4 4 , ) , Р-2 = Р* X [ 4 2|i . 4 2li ) ) .
Вследствие (4) Я3 С Я4, стало быть, по индуктивному предположению найдутся прямоугольники Q0, Q ,, . . . , Qh ^ cp n, такие, что
P 3 = Q'o C Q i С .. . С Qk = Я 4; Qt: \ 6Ч>" (/ = 1, 2, , £).
Примем /я = & + 2 и
Qo = Qo X [ 4 |§ . 4 n i) = - o; X K l l . • ■ •
•••■ Qk = Q'k x K - l i. * $ i ) ,
Q*+1 = q; x [4+1- ь{Л i). <?ft+2=Qft x [ « « „ 42ii) = Pi
ll
При этом
Q i\ Q i - , = (<?; \ <?І-і) X [«£!>,, b [ % ) e ^ n+l 0 = 1 ,2 ... ft), 0 f t +1\ Q ft = Qh x [ 4 2i i . « # і ) € ‘Р " + \
Qh + 2 \ Q * + 1 = Q k X [ * < ■ > , , 6<2| 0 e r + 1 .
Хотя разность двух прямоугольников уже не является, вообще говоря, прямоугольником, но ее можно представить в виде объединения конечного семейства прямоугольников.
П р е д л о ж е н и е 3. Пусть P v Р 26 Ф ’ (v = 1 > 2. ■ ■ • )• Существует ко' нечное семейство Р \ F 2, . . . , Р п попарно не пересекающихся прямоуголь
ников размерности v, такое, что
P 2 \ P i = U P * . (5)
k=\
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку Р 2 \ Р Х = Р 2 \ (Р2 Л Р])> а пересече
ние Р 2 п Р \ в силу предложения 1 также является прямоугольником, то можно считать, что Р х С,Р2. В соответствии с предложением 2 найдем прямо
угольники Qo, Qj, . . . , Qm, удовлетворяющие условиям (3). Чтобы доказать наше предложение, достаточно принять
P k = Q k \ Q k - i ( А = 1 , 2 ... ж).
З а м е ч а н и е 1. Пусть Дь Дг, . . . , Д, — непустые промежутки числовой прямой R. Символом D обозначим произведение Дг X Да X . . . ХА„ , а сим
волом 'р д — множество всех полуоткрытых прямоугольников
Р = [e„ bj) X [а2, ьг) X . . . X [a,, &v) (a* < bk \ ak, bk £ Д*; ft = 1, 2, . . . , v).
Л егко понять, что система ‘р д обладает теми же свойствами, что и система
<p v. Для нее верны предложения 1, 2 и 3. Отметим еще, что если Д1 = Д„==
= . . . Д„ = ( — оо , + о о ) , т. е. если D — /? \ то 'Р д = <р ' 1.
1.2. Если вместо системы lp>v рассмотреть множество всех з а м к н у т ы х (или о т к р ы т ы х ) прямоугольников, т. е. произведений v замкнутых (соответственно открытых) промежутков, то предложения 2 и 3 из п. 1.1 будут неверны. Между тем, как будет видно из дальнейшего изложения, си
стема <p v всех полуоткрытых прямоугольников важна не сама по себе, а лишь в силу того, что для нее справедливы предложения 1, 2 и 3 преды
дущего пункта.
Это обстоятельство делает целесообразным рассмотрение систем любых множеств, лишь бы они удовлетворяли условиям, заключенным в предложе
ниях 1, 2 и 3 из п. 1.1, и мы приходим к следующему определению.
О п р е д е л е н и е 1. Система ‘р подмножеств множества A?v (v = 1, 2, ...}
называется полукольцом при выполнении следующих условии:
1) л е ^ > ;
2) если Р ъ Р г б 'р , то Я і ^ А С Р ;
3) если P lr PzQVf) и Ру С Р 2, то существует конечное семейство Qo, Q i, • ■ • , Qm множеств, обладающее свойствами
P ^ Q o C Q j C . . . C Q m = P 2; Q i C ^ ; Q f t \ Q * _ , € <P ( i = О, 1...m - ft =
= 1,2...m). (6)
Ясно, что для полукольца 'р имеет место факт, аналогичный предложе
нию 3 из п. 1.1:
П р е д л о ж е н и е 1. Если Р 1г Р 2С 'Р , то существует конечное семейство Р 1, Р2, . . . , Р п попарно не пересекающихся множеств из ‘р , для которого
Р і \ Р і = и Р*.
ft=l
Примером (и прообразом самого понятия) полукольца служит система ф " всех полуоткрытых прямоугольников размерности v(v = 1, 2, .. . ).
Укажем еще на один пример полукольца, полезный в приложениях.
Пусть Д — какой-либо промежуток числовой прямой. Этот промежуток мо
жет быть конечным или бесконечным, замкнутым, открытым или полуоткры
тым. Обозначим через 'р систему всех промежутков (всех возможных ви
дов), содержащихся в Д. Нетрудно убедиться, что ‘р — полукольцо. Не ос
танавливаясь совершенно на проверке условий 1) и 2), разберем лишь один из мыслимых случаев в связи с условием 3). Пусть, например, Р г = (а1( pL), Я 2 = [ а 2, [У и oj < ai < Pi < Ра- Очевидно, можно принять Q0 = P h Q1 =
= [«2. Pi), Q i= P'2- Тогда Q x \ Q o = [ a a, n j , Q a \ Q i = [ P i , W- Этот пример может быть обобщен и на многомерный случай. Соответствующие форму
лировки и рассуждения мы предоставляем читателю.
Можно было бы не связывать определение полукольца с множеством Р'1 (ч — 1, 2, . . . ), заменив его множеством произвольной природы, т. е.
можно было бы понимать под полукольцом систему подмножеств данного множества X , обладающую теми же свойствами 1)—3). Все сказанное здесь и ниже о полукольцах справедливо вместе с доказательствами и для этого общего случая.
1.3. Полуоткрытые прямоугольники, несмотря на свою про
стоту, а скорее именно ввиду простоты, обладают одним с у щественным недостатком — их слишком мало. Уже в элемен
тарной геометрии возникает задача измерения фигур, которые не являются прямоугольниками. Это вынуждает рассматривать системы множеств, более богатые, чем система ‘ЗУ. При этом оказывается полезным следующее абстрактное понятие.
О п р е д е л е н и е 1. Система 9^ подмножеств множества R’ называется кольцом при выполнении следующих условий:
1) Л £ 9 ? ;
2) если А, В £ 9 1 , то A u f i f 91 и А \ В (*91.
Как мы покажем ниже, кольцом является система всех полуоткрытых прямоугольников и их конечных объединений.
Хотя эта система довольно бедна, ее элементами можно в н е
котором смысле приближать разнообразные множества (см. ни
ж е лемму в п. 1.5).
Укажем еще некоторые (значительно менее интересные) примеры колец. Кольцом будет система, состоящая из един
ственного пустого множества. Система, состоящая из всех под
множеств множества /?v(v — 1, 2, . . . ), такж е, конечно, п р ед ставляет собой кольцо. Наконец, кольцом является система всех конечных (или не более чем счетных) подмножеств мно
жества R \
Отметим некоторые простейшие свойства колец.
Пусть 9? — кольцо. Рассмотрим множества А , В £ 9\. О ч е видно, А г л В = А \ ( А \ В ) . Но А \ В £ 9 1 в силу условия 2);
в силу того ж е условия А \ ( А \ В )(*91. Таким образом, п е р е сечение двух множеств, входящ их в кольцо 9?, такж е с о д е р жится в 9?. Ясно, что объединение и пересечение конечного семейства множеств из кольца 9^ входит в кольцо 91.
13
Итак, простейшие теоретико-множественные операции не выводят за рамки кольца. Как говорят в подобных случаях, кольцо замкнуто относительно указанных операций.
Как и в случае полукольца (п. 1.2), определение кольца можно высказать в более общей форме, понимая под кольцом систему подмножеств произвольного множества, обладающую свойствами 1) и 2).
Отметим, что всякое кольцо является, конечно, и п ол уко л ь
цом (но не наоборот, как видно на примере полукольца cp v).
Система (v = 1, 2, . .. ) всех полуоткрытых прямоугольников (п. 1.1) не является, очевидно, кольцом. Однако имеется к о л ь
цо с довольно простой структурой, охватывающее систему Пусть Я 15 Р 2, . . . , Р п — конечное семейство попарно не пересекаю щ ихся (полуоткрытых) прямоугольников размерно
сти V. Пусть
л = U Р к (Р һ' г л Р к, = А при к ' ф к " ). (7) ft=l
Обозначим через ‘іЯ” систему всех множеств, представимых в виде (7). Справедливо следую щ ее утверждение.
Т е о р е м а 1 (1.1). Система 9V являет ся кольцом , содержащим сист ем у cp v. Е сли 91 — произвольное кольцо подмножеств множества R w, содер
жащее систему cp v, то 91Э 9V .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждый прямоугольник P g 'p ' 1, очевидно, допу
скает представление в форме (7) (п — 1 ,Р 1 = Р), поэтому Р (- 9Г, т. е. cp v С 9?v.
Условимся называть представление множества т 4 £ 9 Г в форме (7), т. е.
в форме объединения конечного семейства попарно не пересекающихся прямоугольников, регулярным представлением. *
Убедимся сначала, что если A, B £ 9 t" , то и / l r ^ £ ^ 9 ? v.
Пусть (7) — регулярное представление множества А, а
т
В = U Q) (8)
/=1
— регулярное представление множества В. Так как (см. д. 1, п. 6, предл. 1)
п т
А гл В = U U (Pk гл QA,
ft=i /= 1
и в силу предложения 1 из п. 1.1 пересечения P k r ^ Q j ( к — \, 2, . . . , п\
У — 1, 2, . . . , т) представляют собой прямоугольники, очевидно, не имеющие друг с другом общих элементов, то по самому определению системы 9?v оказывается y l r > 2 J f 9 ? v. Очевидно, пересечение любого конечного семейства множеств из 9?v входит в эту систему.
Отметим еще такой очевидный факт: если множества Лх, А%, .. . , А п (^ 9?';
п
попарно не пересекаются, то (J / 4 ; £ 9 ? \
/=1
* Регулярное представление данного множества, разумеется, не единст
венно.
14
Пользуясь доказанным, проверим, что разность А \ В множеств А, f i £ 9 \ v принадлежит системе 9?v.
Пусть опять (7) и (8) — регулярные представления множеств А и В соответственно. Предположим сначала, что в этих представлениях п = 1 , т — 1, т. е. что сами А \\ В являются прямоугольниками. В этом случае доказываемое утверждение немедленно вытекает из предложения 3 (п. 1.1).
Пусть по-прежнему п — 1, но т — произвольное натуральное число. Так как (см. д. 1, п. 6, предл. 2)
т т
Л \ В = Л \ и Q) = П ( A \ Q j )
j= 1 j=i
и, как уже установлено, А \ Qj £ 9 Г (случай я = /я = 1) при любом j =
т
= 1, 2... т , то и пересечение П (Л \ Q ,), т. е. разность Л \ £ , входит
}= 1
в систему 9V .
Рассмотрим, наконец, общий случай, когда натуральные числа п и т е оба произвольны. Имеем
Л \ Д = ( й я Д \ В = й (P k \ B ).
\h = l ) ft=l
Заметив, что, во-первых, множества P k \ B (ft = 1, 2, . . . , п) так же, как и множества P k, попарно не пересекаются, а во-вторых, что Р ь \ В (ft == 1, 2, . . . , п), заключаем на основании сделанного ранее замечания, что и в этом случае
Теперь легко проверить, что объединение A w f i множеств А, В £ 9 ? ' вхо
дит в 9 t v. Действительно, как установлено, В \ ( Л г л .В ) £ 9 Г , но объедине
ние очевидно не пересекающихся множеств А и В \ {А гл В) из 9V явля
ется элементом этой системы. Остается написать равенство Л «о В =
= i u [ В \ ( Л ^ В ) ] .
Таким образом доказано, что система 9 Г — кольцо.
Убедиться в справедливости второй части теоремы совсем просто. В са
мом деле, возьмем какое-нибудь множество и рассмотрим его р е
гулярное представление (71. Система 9? содержит все прямоугольники.
В частности, (£ = 1. 2...п). Но 9 ? — кольцо, следовательно,
п
U Рһ — А ^ 9?. Итак, С 9 ? , что и требовалось доказать.
Кольцо 9 tv называют обычно кольцом , порож денным системой <p v.
З а м е ч а н и е 1. Пусть {Pk}k=\, G CP V (* = 1. 2, . . . , п) — произ
вольное конечное семейство прямоугольников (быть может, и пересекаю
щихся). Поскольку 9?v — кольцо и (ft = l, 2, . . . , п), то и объеди-
п п т
ство попарно не пересекающихся прямоугольников из системы cp v.
З а м е ч а н и е 2. Результат и доказательство теоремы остаются вер
ными, если заменить систему cp v произвольным полукольцом ‘р (см. 1.2) и под прямоугольниками подразумевать множества из системы ф . О полу
чившемся в этом случае кольце говорят, что оно порождено п о л у кольцом
1.4. Хотя запас множеств, входящих в кольцо 9?v (v =
= 1, 2, . . . ) , еще весьма беден, ими можно приблизить у ж е
достаточно много множеств, в частности, любое открытое множество (теорема 2 (1.1)).
Дадим сначала общее определение.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть имеется кольцо 9? подмножеств множества R \ Множество S, содержащееся в R \ называется a-множ еством (относительно кольца 91), если существует такое с ч е т н о е семейство ( Л £) ( £ 6 3 ) множеств из кольца 9?, что 5 = U
е ев
Систему S всех a-множеств будем называть а-системой, порож денной кольцом 9?.
З а м е ч а н и е . В определении а-множества под счетным семейством {ЛЕ} (££Е ) всегда можно подразумевать последовательность, т. е. можно считать, если это необходимо, что 3 представляет собой множество N всех натуральных чисел. Действительно, поскольку множество индексов 3 счетно, существует взаимно однозначное отображение <р множества N на мно
жество Е. В силу коммутативности операции объединения (д. 1) можем на
писать
U = U (л)-
Е 6 а п 6 N
Пусть 5 — некоторое a-множество (относительно данного кольца 9J).
Как только что было указано, существует последовательность множеств
(V/ ^
М я} “_1, объединение которой совпадает с S. Обозначим А т — U А п (т =
Л = 1
= 1, 2, . .. ) . Множества А т (т = 1, 2, . . . ) так же, как и А„, принадлежат кольцу 9? и, кроме того, образуют возрастающую последовательность.
оо ^ оо
Вместе с тем U А т — U Лп = S. Таким образом, всякое о-множество до-
т= 1 л = 1
пускает представление в виде объединения возрастающей последователь
ности множеств из данного кольца 9?.
Сказанное приводит нас к следующему определению. ' .
О п р е д е л е н и е 2. Последовательность {Ля }”=1 множеств, принад
лежащих кольцу 9?, образует монот онное представление a-множества S,
оо
если она возрастает (т. е. А п С Л л+1 при всех п (/i£ N )) и ( J A n = S.
Л = 1
Как мы только что видели, всякое a-множество допускает монотонное представление.
оо
Пусть 5 = U А п — монотонное представление данного о-множества S.
п = 1
Введем множества
В , = А ь B k = А Л\ А ^ (ft = 2, 3, . . . ) . (9) Понятно, что все эти множества входят в кольцо 91 и что 5 = U В
Һ=і
В отличие от множеств А п (и = 1, 2, . . . ) множества Вь (ft = l, 2, . . . ) не имеют друг с другом общих элементов.
О п р е д е л е н и е 3. Последовательность {Bk}^=i множеств, принад
лежащих кольцу 9?, образует дизъюнктное представление а-множества если B k , г л В ^ = Л при всех ft', ft' (ft', f t " 6N, ft' ф ft") и ( J Bk — S.
Из сказанного перед этим определением следует, что каждое о-мно- ft=i
жество допускает дизъюнктное представление.
Укажем некоторые свойства a-множеств. В формулировках следующих далее предложений предполагается, что речь идет о о-системе G, порожден
ной данным кольцом 9v.
Прежде всего отметим включение Ө р 9?, которое вытекает из того, что, взяв А п = А ( п — 1, 2, . . . ) , где А — произвольное множество кольца 9?, мы получим А = ( J А п, следовательно, А(?<3.
П= 1
П р е д л о ж е н и е 1. Пусть {5^] (£ (;3 ) — не более чем счетное се
мейство a-множеств. Объединение 5 = U 5^ принадлежит Ө.
5 в з
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для каждого £ £ 3 имеется п о с л е д о в а т е л ь- н о с т ь {4 }я= 1 множеств из кольца 9?, объединение которой есть 5 ^ : ^ =
оо
= U Обозначив через N множество всех натуральных чисел, рассмотрим
П— 1
семейство {
4
} № я ) 6 3 X N). Произведение E x N — счетное множество (д. 1, п. 7), поэтому введенное семейство — счетно. Далее, согласно сказанному в д. 1, п. 6 (свойство 6):
5 = и 5 е = и U 4 = и А }.
E e E n e f j (Е, л) е Е х N
Таким образом, 5 удовлетворяет требованиям определения и является, следовательно, а-множеством.
Для пересечения а-множеств справедлив лишь более слабый результат.
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть S j и — a-множества; рассмотрим какие- нибудь монотонные представления этих множеств:
00
5 ; = и Л‘„ 0 = 1,2). (10) /2 = 1
Пересечение S 1 r \ S2 представляет собой a-множество, для которого после
довательность образует монотонное представление.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как пересечение двух множеств из кольца принадлежит этому кольцу, то Л), £ 9? ( п = \ , 2, ...) . Поэтому для проверки справедливости утверждения достаточно установить равенство
5 l ^ s 2= иЛ = 1 ( П )
Очевидно соотношение S l r\S < i'^ U ( A \ r \ A j l ). Докажем обратное вклю- п— 1
чение. Пусть л г £ 5 1 гл52- Элемент х входит как в множество S x, так и в множество S 2, следовательно, ввиду (10) можно указать такие номера k и т, что х £ А \ , хб 4 г. Обозначим через / наибольшее из чисел ft и т . Так как представления (10) монотонные и ft, т < /, то А \ С Л ,1, Л2т С а\ . Сле-
казательство предложения.
2 ЗаіііШшогра&ский пецинстату»
имени С. Сейфу длинагдлина
з Ш
