ӘОЖ 330.075 DOI 10.52167/1609-1817-2023-124-1-207-212 Г.С. Шутеева1, Қ.М. Сансызбай2
1Astana IT университеті, Астана, Қазақстан
2Логистика және көлік академиясы, Алматы, Қазақстан E-mail: [email protected]
ЭКОНОМИКАЛЫҚ ЖҮЙЕНІҢ ДИНАМИКАЛЫҚ МОДЕЛІН ОҢТАЙЛАНДЫРУ Аңдатпа. Динамикалық бағдарламалау басқарылатын процестерді оңтайлы жоспарлауға мүмкіндік беретін математикалық аппарат болып табылады. Динамикалық модель күрделі экономикалық жүйенің, мысалы, кәсіпорынның белгілі бір жоспарлау кезеңінде ресурстық қамтамасыз етудің, яғни (шикізат, кадрлар, қаржы, технология) өзгеруі жағдайында дамуын зерттеуге және белгілі бір кезеңдегі кәсіпорынның дамуы тұрғысынан алынған нәтижелерді ұсынуға мүмкіндік береді. Өнеркәсіптік кәсіпорындарды макробағдарлы дамыту құралдары болады әзірлеуді динамикалық оңтайландыру үрдісін жүзеге асыру үшін жағдай әдістері және дамудың мақсатты параметрлерін оңтайландыру мақсатында жүзеге асырылып отыр. Төменде ұсынылған мақалада имитациялық үрдістің уақыт бойынша өзгеруін және уақыттың оңтайлылық критерийіне әсері ескеріле отырып, оның динамикалық жоспарлау әдісі (динамикалық бағдарламалау) қолданылды.
Түйінді сөздер. Динамика, модель, рекурсив, динамикалық бағдарламалау.
Кіріспе.
Статикалықтың уақытқа тәуелсіздік модельдерден айырмашылығы - ол динамикалық модельдер қозғалыстағы экономикалық немесе басқару үрдістерін және жүйелерін сипаттайды, яғни уақыт кезеңдеріне байланысты болып табылады.
Динамикалық бағдарламалау (ДБ) – тиімділік критерийі адаптивтік қасиетке ие (яғни процестің жалпы кірісі жеке кезеңдердегі жергілікті кірістердің сомасына тең) көп сатылы немесе көп сатылы үрдістерді оңтайландыру әдісі. Динамикалық бағдарламалау есептерінде тиімділік критерийі табыс деп аталады.
Динамикалық модельдеу – көп сатылы үрдіс, оның әрбір қадамы белгілі бір уақыт кезеңіндегі экономикалық жүйенің сипатына сәйкес келеді. Әрбір ағымдағы қадам алдыңғы қадамның нәтижелерін алады, ол белгілі бір ережелерге сәйкес ағымдағы нәтижені анықтайды және келесі қадам үшін мәліметтерді жасайды [1, 2].
Математикалық бағдарламалаудағы динамикалық есептерді шешу үшін
«Динамикалық бағдарламалау» деп аталатын модельдердің сәйкес класы құрылды, оның негізін салушы атақты американ математигі Р.Беллман болды. Ол «оңтайлылық қағидасына» негізделген осы класс есептерін шешудің арнайы әдісін ұсынды, оған сәйкес есептің оңтайлы шешімі оны n кезеңге бөлу арқылы табылады, олардың әрқайсысы бір айнымалыға қатысты қосалқы тапсырманы білдіреді. Есептеу бір ішкі есептің оңтайлы нәтижесі теңдеулер мен олардың арасындағы байланыстың шектеулерін ескере отырып, келесі ішкі мәселе үшін бастапқы болатындай етіп орындалады, ал олардың соңғысының нәтижесі бүкіл мәселе. Бұл әдіс мәнді түрде қайталанатын есептеу мәселелерін пайдалана отырып, оның ыдырауына мүмкіндік беретін есепті кезеңдік шешу тәртібін анықтайды (бұл мәселені тікелей шешуден гөрі қолайлы жол, бастапқы тұжырымда) [2].
Осы категорияның барлық модельдеріне ортақ, ағымдағы басқару шешімдері шешім қабылдау сәтіне тікелей қатысты кезеңде де, одан кейінгі кезеңдерде де «көрініс береді». Демек, ең маңызды экономикалық әсерлер бір кезең ішінде ғана емес, әр түрлі
кезеңдерде болады. Экономикалық әсердің бұл түрі, әдетте, келесі кезеңдерде табыстылықты арттыру немесе шығындарды азайту үшін алғышарттар жасау үшін жаңа инвестицияларды енгізу, өндірістік қуаттылықты арттыру немесе қызметкерлерді оқыту мүмкіндігімен байланысты басқару шешімдеріне қатысты маңызды болып табылады.
Беллманның оңтайлылық қағидасы. Динамикалық бағдарламалауда жүзеге асырылатын тәсілдің мәні бастапқы көпөлшемді есептің шешімін төменгі өлшемді есептердің тізбегімен ауыстыруда жатқанын тағы бір рет атап өтеміз.
Орындалуы осы тәсілді қолдануға мүмкіндік беретін тапсырмаларға қойылатын негізгі талаптарды келтірейік [2]:
- зерттеу нысаны берілген рұқсат етілген күйлері және рұқсат етілген бақылаулары бар басқарылатын жүйе (нысаны) болуы керек;
- мәселені әр қадамы жүйе күйінің өзгеруіне әкелетін рұқсат етілген басқару құралдарының бірін таңдау туралы шешім қабылдаудан тұратын көп сатылы үрдіс ретінде түсіндірілуі керек;
- тапсырма қадамдар санына тәуелді болмауы және олардың әрқайсысы бойынша айқындалуы тиіс;
- әрбір қадамдағы жүйенің күйі параметрлердің бірдей (құрамы бойынша) жиынтығымен сипатталуы керек;
- k-ші қадамдағы шешімді таңдағаннан кейін жүйенің өзіне тап болатын келесі күйі тек берілген шешімге және k-ші қадам басындағы бастапқы күйге байланысты болады;
бұл қасиет динамикалық бағдарламалау идеологиясы тұрғысынан іргелі болып табылады және кейінгі әсердің болмауы деп аталады.
Шешім қабылдауда динамикалық бағдарламалау модельдерінің типтік қолданбалары:
- қорларды толықтыру сәтін және толықтыру тәртібінің мөлшерін белгілейтін тауарлық-материалдық қорларды басқару ережелерін әзірлеу;
- өнімге деген құбылмалы сұраныс жағдайында өндірісті жоспарлау және жұмыспен қамтуды теңестіру қағидаларын әзірлеу;
- қымбат жабдықты тиімді пайдалануға кепілдік беретін қосалқы бөлшектердің қажетті көлемін анықтау;
- тапшы күрделі салымдарды пайдаланудың мүмкін болатын жаңа бағыттары арасында бөлу;
- сатып алушыны компанияның өнімімен таныстыратын жарнамалық компанияны жүргізу әдістерін таңдау [1].
Материалдар мен тәсілдер.
Динамикалық бағдарламалау арқылы шешілетін есептерде бүкіл үрдіс үшін мақсат функциясының мәні (оңтайландырылған критерий) жеке қадамдардағы бірдей критерийдің fi (x) нақты мәндерін жай ғана қосу арқылы алынады, яғни, динамикалық бағдарламалау әдісімен шешілетін есептерде бүкіл үрдіс үшін мақсат функциясының мәні (оңтайландырылған критерий) жеке қадамдардағы бірдей критерийдің fi (x) нақты мәндерін жай ғана қосу арқылы алынады:
(1) Көптеген тәжірибелік есептерде F(x) критерийі адаптивтік болып табылады. Егер есептің бастапқы тұжырымында критерий аддитивті болмаса, онда есептің тұжырымы адаптивтік болатындай етіп өзгертілуі керек. Мысалы, F(x) критерийі қарастырылса, F(x) = f1(x) f2(x) ,..., fm(x) жеке кезеңдерінде қол жеткізілген табыстардың туындысы ретінде ұсынылса (мұндай критерий мультиплекс деп аталады), онда F(x) өрнектің логарифмін алу арқылы оны жай ғана аддитивке түрлендіруге болады:
lgF(x) = (2)
V = lgF(x), Vj = lgfi(x) белгілеу арқылы жаңа критерийіді аламыз:
V (3) адаптивтік қасиеті бар және F(x) сияқты оптималды.
Адаптивтік критерийі бар есептерді шешудің жалпы сұлбасын қарастырыңыз.
Басқару үрдісі m қадамнан тұрады. Әрбір i-ші қадамда басқару xi жүйені (i-1)-ші қадам нәтижесінде қол жеткізілген Si-1 күйінен Si-1 күйіне тәуелді жаңа Si күйіне және таңдалған басқару элементі хi:
(4) Жаңа Si күйі тек Si-1 күйіне және басқару xi-ге тәуелді және жүйенің Si-1 күйіне қалай келгеніне байланысты емес екендігі маңызды. Төтенше жағдайда бұған жүйе күйлерінің санын көбейту арқылы қол жеткізіледі («жүйе күйі» түсінігі болашақ нәтиже тәуелді болатын параметрлерді қамтиды).
Нәтижелер мен талқылау.
Оптималдылық қағидасы. Оңтайлы стратегияның бастапқы күйі мен шешімі қандай болса да, кейінгі шешім алдыңғы шешімнің нәтижесінде пайда болған жағдайға қатысты оңтайлы стратегияны анықтауы тиіс қасиетіне ие [3].
m-қадамды үрдісте мақсат функциясын F(x) максимизациялау есебін қарастырайық. x1, x2,…, xm басқару элементтерінің әсерінен жүйе бастапқы S0 күйінен Scon
соңғы күйіне өтеді. m қадам үшін өтемді алыңыз (мақсат функциясының мәні):
), (5) мұндағы (Si-1, хi) - i-ші қадамда жеңіңіз.
Оңтайлылық қағидасы кез-келген бастапқы басқару хi үшін бізде қатынас бар деген қорытынды жасауға мүмкіндік береді:
(6) Бұл қатынас барлық бастапқы x1 шешімдері үшін жарамды болғандықтан, максималды өтемді табу үшін x1-ден F(x) максималды мәнін табу керек. Бұл негізгі функционалдық теңдеуге - реккурентті динамикалық бағдарламалау (РДБ) формуласына әкеледі:
. (7) Жоғарыдағы өрнек f0(S) біле отырып, f1(S) есептеуге, f1(S) білуге, f2(S) есептеуге және т.б. Мұндай есептеу қағидалары қайталанатын алгоритм деп, ал өрнек қайталанатын формула немесе рекурсивті қатынас деп аталады.
Осыған сәйкес шешімді алу алгоритмін өтемдік функциялар тізбегі ретінде немесе {xn (S0)} стратегиялар тізбегі ретінде анықтауға болады. Бұл тізбектер бірін-бірі анықтайды - бұл қайталану қатынастарының мәні. Сонымен қатар, мақсат функциясының оңтайлы мәндерінің бір ғана тізбегі бар, бірақ бірдей максималды пайдаға әкелетін әртүрлі стратегиялар болуы мүмкін.
Динамикалық бағдарламалауда көп сатылы операцияны жоспарлау кезінде әрбір қадамдағы басқару болашақты ескере отырып таңдалады, және тек бір қадамда - соңғы - мұндай қажеттілік жоқ. Бұл соңғы қадамды максималды пайда алу үшін жоспарлауға болады [4].
Соңғы қадамды оңтайлы түрде жоспарлау кезінде оған соңғыдан кейінгі қадам қосылады және негізгі рекурсивті формулаға сәйкес осы екі қадам бойынша ең үлкен пайда табылады және т.б. Сондықтан динамикалық бағдарламалауда үрдіс соңынан басына дейін дамиды.
Келесі белгілеулерді енгіземіз: N - жоспарлау кезеңін құрайтын күнтізбелік кезеңдердің саны; сонымен қатар әрбір n-ші кезең (n = 1, N) келесі параметрлермен сипатталады:
in-1 – (n-1)-ші кезең аяқталғаннан кейін қалған қор; хn – кәсіпорынның n-кезеңдегі өнім көлемі; dn – n-ші кезеңдегі кәсіпорын өніміне сұраныстың мәні; xmax – бір кезеңдегі ең жоғары өндіріс көлемі; imax – бір кезеңдегі қорлардың максималды мөлшері;
Сn (xn, in-1) - xn бөлшектерін шығарумен және in-1 бөлшектерінің қорын сақтаумен байланысты пайдаланудың n-ші кезеңіндегі шығындар.
Содан кейін оңтайландыру шартының пішіні болады;
(8) шектеулермен:
1) әр кезеңде сұранысты қанағаттандыруды шектеу:
dn in-1 + xn, n = 1, N. (9) 2) n-кезеңнің соңындағы қор көлемін белгілей отырып:
in = in-1 + xn – dn: n = 1, N; xn= 0, xmax; in= 0, imax . (10) Жоғарыда келтірілген есепте имитациялық үрдістің уақыт бойынша өзгеруін және уақыттың оңтайлылық критерийіне әсерін ескеру қажет. Мұндай есептерді шешу үшін динамикалық жоспарлау әдісі (динамикалық бағдарламалау) қолданылады.
Негізгі компоненттер мен ұғымдарды анықтайық:
1) кезең – кәсіпорынның күнтізбелік кезеңі, n=1,N;
2) күй – n кезең соңындағы қорлардың көлемі;
3) басқару – n-ші кезеңге жоспарланған өндіріс көлемі xn;
4) жергілікті кіріс – қорларды сақтауға және жаңа өнімді өндіруге байланысты n-ші кезеңдегі шығындар Сn(xn,in-1);
5) өтпелі оператор - n-1-ші және n-ші кезеңдердің соңындағы қорлар көлемі арасындағы байланысты орнатады: in = in-1 + xn – dn .
Функцияны енгізейік:
fn(in) = minƩCn(xn,in-1). (11) Мұндай есеп үшін Беллманның функционалдық теңдеуі [5]:
fn(in) = min(fn(in-1)+Cn(xn,in-1) (12) егер
Cn(xn,in-1) = cn(xn) + h*in-1, (13) мұндағы cn(xn) – xn көлемінде n-ші сатыдағы өндіріс шығындары;
h*in-1 – i0 көлемінде n-ші сатыдағы өнімді сақтау құны, c0(x0) белгілі болсын, яғни бастапқы қорды қалыптастыру құны.
Содан кейін шешім қабылдаудың бірінші қадамында Беллман теңдеуі (1.12) келесі пішінді алады:
f1(i1) = min(f1(i0) + C1(x1,i0)) = min(f1(i0) + c0(x0) + h*i0). (14) Теңдеудегі барлық айнымалылар белгілі, яғни оны шешуге болады. n-қадамда (12) теңдеу келесідей болады:
fn(in) = min(fn(in-1) + cn(x) + h*in-1) . (15) Есепті шешу алгоритмі. Оңтайлы шешімді алу үшін n ерікті шешім қадамында Беллман теңдеуін (4) шешу алгоритмін жасау қажет.
Алдымен бағандар – алдыңғы қадамдағы қор мөлшері, жолдар – ағымдағы кезеңдегі өнім көлемі. Бағандар саны imax, ал жолдар саны xmax арқылы шектелген.
Кестенің ұяшығы екі бөлікке бөлінген. Бір бөлік ағымдағы кезеңнің соңында күй мәндерін жазады (in = in-1 + xn - dn ). Егер < 0 болса, онда бұл жарамсыз күй, ұяшық қараудан жойылады. Функцияның мәні ұяшықтың екінші бөлігінде жазылады:
fn(in) = cn-1(xn-1) + cn(xn) + h*in-1). (16) Рұқсат етілген ұяшықтардың арасында күй мәндері бірдей ұяшықтар бар және fn(in) функциясы минималды болатын ұяшық таңдалады және ол үшін оңтайлы өндіріс көлемі бекітілген.
Бұл қадамдар N рет қайталанады [3].
Өндірістің оңтайлы көлемін xn және тауарлық-материалдық қорлардың оңтайлы деңгейлерін табу үшін мәселе кері ретпен шешіледі. Соңғы кезеңде (n = N), xn және in
оңтайлы (ең төменгі) fn(in) шығын функциясына сәйкес келетін, n < N кезеңдерінде жолдар таңдалады, олар үшін xn және in |dn – xn+1 | = ішінде. Есептің кері шешімі n = 1 сатысына дейін орындалады [6].
Қорытынды.
Экономикалық модельдеуде математикалық әдістерді қолдану компьютерлік технологияны қолданбау мүмкін емес. Атап айтқанда, бұл оңтайлы шешімдерді әзірлеу кезінде нақты жүйелерді модельдеуге қатысты. Мұның себебі, ең алдымен, модельдері ондаған, жүздеген және тіпті мыңдаған жеке сипаттамалармен жұмыс істеуі керек мұндай жүйелердің өте күрделілігінде жатыр.
ӘДЕБИЕТТЕР
[1] Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию: 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. Шк., 2001.
[2] Таха Х.А. Введение в исследование операций: 7-е изд.: Пер. с англ. - М., 2005.
[3] Сюбаева А.Ю. Механизм динамической оптимизации технологического развития промышленного предприятия. - Москва, 2018. –137 с.
[4] Чернышев Л.А. Экономико-математические методы и модели: учеб. Ч 49 пособие. – Екатеринбург, 2013. – 206 с.
[5] Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: УРСС, 2002. 360 с.
[6] Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование. - М.: РЭШ, 2001.
REFERENCES*
[1] Kuznecov A.V., Holod N.I., Kostevich L.S. Rukovodstvo k resheniju zadach po matematicheskomu programmirovaniju: 2-e izd., pererab. i dop. - Mn.: Vysh. Shk., 2001.
[2] Taha H.A. Vvedenie v issledovanie operacij: 7-e izd.: Per. s angl. - M., 2005.
[3] Sjubaeva A.Ju. Mehanizm dinamicheskoj optimizacii tehnologicheskogo razvitija promyshlennogo predprijatija. - Moskva, 2018. –137 s.
[4] Chernyshev L.A. Jekonomiko-matematicheskie metody i modeli: ucheb. Ch 49 posobie. – Ekaterinburg, 2013. – 206 s.
[5] Malineckij G. G., Potapov A. B. Sovremennye problemy nelinejnoj dinamiki. - M.:
URSS, 2002. 360 s.
[6] Belen'kij V.Z. Optimal'noe upravlenie: princip maksimuma i dinamicheskoe programmirovanie. - M.: RJeSh, 2001.
Гулнур Шутеева, PhD, cеньор-лектор, Astana IT университет, Астана, Казахстан, [email protected].
Қанибек Сансызбай, PhD, ассоциированный профессор, Академия логистики и транспорта, Алматы, Казахстан, [email protected]
ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В РАЗВИТИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Аннотация. Динамическое программирование - это математический аппарат, позволяющий оптимально планировать управляемые процессы.
Динамическая модель позволяет изучить развитие сложной экономической системы, например, в плановый период предприятия, в случае изменения ресурсной обеспеченности (сырья, кадров, финансов, технологии) и представить полученные результаты с точки зрения развития предприятия в определенный период.
Инструментами макроориентированного развития промышленных предприятий станут методы создания условий для реализации процесса динамической оптимизации развития и стимулирования целевых параметров развития.
Ключевые слова. Динамика, модель, рекурсивное, динамическое программирование.
Gulnur Shuteyeva, PhD, senior lecturer, IT Astana University, Astana, Kazakhstan, [email protected].
Kanibek Sansyzbay, PhD, associate professor, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
OPTIMIZATION OF THE DYNAMIC MODEL OF THE ECONOMIC SYSTEM
Abstract: Dynamic programming is a mathematical apparatus that allows optimal planning of controlled processes. The dynamic model makes it possible to study the development of a complex economic system, for example, in a certain planning period of an enterprise, in the case of changes in resource provision (raw materials, personnel, finance, technology) and to present the results obtained in terms of the development of the enterprise in a certain period. The tools for macro-oriented development of industrial enterprises will bemethods of creating conditions for the implementation of the process of dynamic optimization of development and stimulation of target parameters of development. In the report presented below, taking into account the change of the simulation process over time and the effect of time on the optimality criterion, its dynamic planning method (dynamic programming) was used.
Keywords. Dynamics, model, recursive, dynamic programming.