Сходимость приближенного метода обобщенной задачи Стефана.
Адамов А.А.
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева)
Постановка. Формирование термического режима мерзлых пород сопровождается двумя типами процессов. К первому типу относятся процессы непосредственно энерго и влагообмена между грунтом и внешней средой (атмосферой, космическим пространством и т.д.). Здесь мы рассмотрим процессы второго типа, заключающиеся в переносе тепла, поступившего в данный объем породы через контактный слой или из смежных объемов грунта.
Процесс теплопередачи в грунтах осуществляется главным образом с помощью /1/ конвективного механизма, при котором перенос тепла обусловлен движением воды и воздуха в порах грунта. Каждый из этих механизмов отличается своими специфическими особенностями, что заставляет рассматривать их отдельно один от другого.
Кроме того, промерзающие и протаивающие грунты по своей структуре всегда неоднородны. Действительно, даже в тех случаях, когда их литологический состав, влажность, плотность и т.д. совершенно одинаковы по объему, они не могут рассматриваться как однородные, поскольку в одних частях грунта вода уже замерзла, а в других - еще нет. В зависимости от фазового состава воды, в промерзающих и протаивающих грунтах можно выделить три зоны – талого грунта, фазовых переходов и мерзлого грунта. В талой зоне грунта термоактивная влага находится только в жидкой форме, в зоне фазовых переходов вода и лед могут находится в термодинамическом равновесии друг с другом и, наконец, в зоне мерзлого грунта практически вся термоактивная влага находится в фазе льда. В зависимости от того, в какой зоне протекает процесс переноса, механизм его существенно меняется, что заставляет рассматривать каждую зону отдельно.
Система уравнений обобщенной задачи Стефана.
В основу деления промерзающих грунтов на зоны был положен температурный признак. Это нашло свое отражение, в том, что границами зон является изотермы и1. Теплообмен между зонами происходит только на их границах, а внутри зон механизм распространения тепла остается таким же, как при отсутствии других зон. Поэтому можно сразу же написать систему уравнений теплопроводности:
; TТ Т
С T div T
t
; 1 Tф ф
С T div T
t
(1)
; T 1м м
С T div T
t
Здесь индекс «т» показывает, что данная величина относится к талой зоне,
«ф» - к зоне фазовых переходов, «м» - к зоне мерзлого грунта.
Положение изотерм и 1 в пространстве не остается постоянным, так как температурное поле грунта меняется. Поэтому если обозначить через h координату z изотермы , а через h1 — изотермы 1 то, вообще говоря h, и
h1 будут функциями времени t . С учетом этого замечания систему (1) можно переписать в виде (в одномерном случае):
t h z z
T z
t
СT T T
; 0
0
0 ф T ф T ; ( ) 1( ),
с h t z h t
t z z
(2)
0 м T м T ; 1( ) ,
c h t z
t z z
Взаимное тепловое влияние зон друг на друга заключается в том, что на подвижных границах h(t) и h1(t) обязательно должны выполняться условия непрерывности поля температуры:
1 1 1 1 1
( ), ( , ) , ( , )
( ), ( , ) , ( , )
T Ф
Ф м
z h t Т h t Т h t z h t Т h t Т h t
(3)
и условия сохранения энергии:
( ); Ф Т T Т dh,
z h t p
z z dt
где
p q
0
н. (4)1
( );
мТ
ФТ 0,
z h t
z z
Уравнения (2; 3; 4) образуют полную систему уравнений так называемой обобщенной задачи Стефана, с помощью которой описывается процесс распространения тепла в промерзающих и протаивающих тонкодис- персных грунтах.
Условия однозначности. Система уравнений (2)-(4) представляет собой математическую схему кондуктивного механизма распространения тепла в промерзающих и протаивающих грунтах. Поэтому она является чрезвычайно общей, что находит свое отражение в том, что она имеет бесконечное количество решений. Для того чтобы выбрать из них те, которые описывают процесс распространения тепла именно в данном случае, необходимо ввести так называемые условия однозначности (Гухман, 1934).
Таких условий четыре.
Во-первых, всякое тело характеризуется размерами и формой. Чтобы выделить данное тело из всех остальных, необходимо определить его геометрические параметры.
Во-вторых, всякая материальная система обладает определенными физическими свойствами. Чтобы выделить данное тело из всех остальных, необходимо определить его характеристики, а именно ,c,0,H H(t) и т.
д. Все эти величины входят непосредственно в дифференциальные уравнения.
В-третьих, процесс распространения тепла протекает во времени.
Чтобы определить состояние тела в некоторый момент времени, необходимо знать распределение температуры во всем его объеме в какой-нибудь предшествующий момент, принимаемый за начальный (t=0). Другими словами, необходимо знать начальные условия задачи, т. е.
*
0 1 0 0
0
*
0 0
* 0
0, (0) 0, (0)
( , 0) ( ), 0 ( , 0) ( ), ( , 0) ( ),
T T
Ф Ф
м м
t h h h h h
Т z f z z h
Т z f z h z h
Т z f z h z
(5)
В-четвертых, любое тело всегда взаимодействует с окружающей средой. Очень часто это взаимодействие и является причиной возникновения исследуемого процесса. Чтобы рассчитать, как и в каком направлении развивается интересующий нас процесс внутри тела, необходимо знать, как протекает процесс его взаимодействия с окружающей средой, т. е. ставят граничные условия задачи.
В нашем случае считается, что на поверхности земли происходит обмен температуры с окружающей средой. Математический это условие записывается
0
,
0
T Q t
z
z T в в (6)
где в и Qв соответственно коэффициент теплоотдачи в окружающую среду и температура окружающей среды. В данном случае в качестве окружающей среды взято воздух. Экспериментально установлено, что на некоторой глубине (от поверхности земли) температура земли постоянная величина.
Учитывая это на глубине Н температура считается постоянной т.е.
const T
T zH 1 (7) В итоге у нас получено задача (2) - (7). Данная задача решается в неоднородной среде. Поэтому при решении задачи (2) - (7) кроме условие (4) на изотермах ставится внутренние краевые условия на границах перехода от одной среды на другую, т.е.
0,
0
i i
z z z
z
n T
T (8)
; ,..., 2 ,
1 k
i
где k количество слоев неоднородного грунта,
f fzi 0 f zi 0 скачок функций в точках z zi. Следует отметить, что пространственное положениевнутренних граничных условий (4) меняется в зависимости от времени, а пространственные положение условий (8) остается постоянной.
В итоге у нас получается задача (2) – (8) которую мы называем обобщенной задачей Стефана.
Приближенный метод решения задачи (2) – (8).
Отрезок (0, Н) разбиваем на N равных частей с шагом
N
h H , а отрезок
0,tmax на М равных частей с шагом
M t tmax
, где tmax - время продолжительности вычислительного эксперимента. Значение функций
x t
T , в узлах
xi,tj
обозначен через Tij т.е.
xi,tj
Tij, T
xi,tj1
Tij1 TВ силу нелинейности системы уравнений (2)–(8) невозможно выписать ее точное решение. Поэтому задача (2)–(8) решается приближенно.
Приближенные решения задачи (2)–(8) обозначим через Uij, где Uij - сеточная функция. Функция Uij определяется из решения системы.
x j t
Ui1 , ijUixj1, i1,2,...,N1; (9)
0 1 1
01 0
0jUjx вUj Tвj
, (10)
const T
UNj1 1 (11)
i
i f z
U0 i0,1,...,N; (12) Внутренные граничные условия (4) и (8) учитывается автоматический, это обстоятельство рассмотрено в работах /2-3/.
Теорема 3. Пусть вектор T x,t является решением задачи (2)-(8) в области (0, max), ( i, i1)
i z z
U t
Q и в точках z zi имеют место условия согласования (8) и в изотермах и 1 имеет место условий (4). Тогда, если
0, ; ( )
, (x,T) ( ), ( , ), ( )) ,
(x t W22 tmax W22 W21 Q c x T x
T слабо меняющиеся
функций от T и xб то решение приближенной задачи (9)-(12) сходится к решению (2)-(8) со скоростью 0( h ) и справедлива оценка
( )
.) , ( )
, (
maxT x t u T x t u t c 2 h2
t
x j i j i x j
i j
t i
Актуальность. Умение своевременно решать поставленной задачи позволяет прогнозировать влияние погодных условий и сезона года на различные производственные сооружения.
Эксперимент. Сходимость разностной схемы системы (1) для многослойной области без учета изотерм с соответствующими граничными, контактными и начальными условиями доказана в работе /4/. В настоящей работе приводится некоторые результаты численных экспериментов динамики изотермы и 1 в зависимости от температуры внешней среды (воздуха). В качестве экспериментальной зоны взяты трехслойный грунт:
верхний слой земля толщиной 1м с влажностью 28 %, второй слой песок толщиной 0.5 м с влажностью 20 %, а третий слой глина с влажностью 28 % толщина которого вирируется в процессе эксперимента. Отметим, что все параметры входящие в систему (1) зависят от температуры и меняются от слоя к слою скачкообразно.
Температура воздуха -30 градус, тольщина третьего слоя 32
-0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Вре мя с инте рва лом 1 ча с.
Глубина в м
Ряд1 Ряд2
Рис-1
Температура воздуха -40 градус, тольщина третьего слоя 16 м.
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0
1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100
Вре мя с инте рва лом 1 ча с.
Глубина в м.
Ряд1 Ряд2
Рис-2
В рисунках 1 и 2 показана динамика изменения изотермы и 1 в зависимости от времени. Верхний слой показывает динамику мерзлого слоя, а нижний слой характеризует изменения изотермы талого слоя и соответственно между ними определяется динамика фазового слоя.
1. Бэр Я., Заславский Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтраций воды. М.: Мир, 1971, 451 стр.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983, 616 стр.
3. Рысбайулы Б. Метод конечных разностей для одномерного теплопроводного вязкого сжимаемого газа с контактным разрывом//
Сибирский журнал вычислительной математики СО РАН, 2001, №3, том 4, с.295-303.
4. Рысбайулы Б., Адамов А.А. Устойчивость и сходимость приближенной задачи одномерного уравнения возникновения пучин на железнодорожном пути. Алматы: ДАН НАН РК, 2004, №4, с.5-8.
5. Рысбайулы Б., Адамов А.А. Сходимость приближенного метода расчета промерзания грунтов земельного полотна. Вестник НАН РК 2005, №4, с.54-57.
6. Рысбайулы Б., Адамов А.А. Сходимость и устойчивость приближенного метода решения задачи определения глубины промерзания земельного полотна. ДАН РК, 2005, №2, ст. 65-68.
