УДК 519.7:007.52; 519.2; 681.5
КОЛЕСНИКОВА С.И.
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, Томск, Россия
УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМ ОБЪЕКТОМ НА МНОГООБРАЗИИ
Управление сложными объектами (в условиях отсутствии адекватного математического описания) представляет непростую задачу для систем реального времени [1-5]. В научных трудах А.А. Колесникова [1] предложена новая синергетическая концепция в теории управления (СТУ), опирающаяся на фундаментальное свойство самоорганизации природных диссипативных систем.
Основные положения СТУ следующие:
- целью функционирования синтезируемых систем управления является достижение целевых аттракторов (притягивающих инвариантных многообразий) – асимптотических пределов в их пространстве состояний, отражающих желаемые технологические режимы многосвязных систем;
- базовыми понятиями СТУ являются «инварианты, самоорганизация, нелинейность, оптимизация и синтез»;
- синтез законов управления основан на физических особенностях объекта [2], на взаимодействиях между компонентами системы.
Постановка задачи. Объектом исследования синергетики являются процессы самоорганизации и организация управления сложными нелинейными динамическими объектами различной природы. Рассмотрим для наглядности систему второго порядка вида:
1 1
2 2
( ),
( ) ,
x = f
x = f u x
x
(1)где f1 - известная (нелинейная) функция, f2 – неизвестная нелинейная функция. Для объекта (1) ставится задача нахождения закона управления
u x
, обеспечивающего перевод объекта управления (1) из произвольного начального состояния x0 в некоторой области фазового пространства в заданное состояние и его стабилизацию в некоторой окрестности многообразия x 0
. Приведем три решения поставленной задачи на основе задания целевых многообразий (инвариантов) для демонстрации возможностей СТУ.1. Метод построения закона управления в скользящем режиме на многообразиях (УСМ). Предполагается справедливость условия:
2 1 1
( )
2( ) ( ),
с f x f x x x R
, (2) где ( ) x
- известная функция. Задается целевое многообразие:
1 1 2
1 1 2 0
w c x x w c f f u
. (3) Использование функции Ляпунова в видеV t ( ) 0.5
2 дает условие на закон управления:
1 1 2
1 1 2
( ) ( )
V t с x x с f f u x u
. Управляющее воздействие может выбрано в виде:0 0
( ) ( ) ( ( )), ( ) ( ) , 0
u x x sign x x x
. (4) Закон УСМ (4) удерживает траектории системы (1) на многообразии ( ) 0 x
, не зависит от функции f2 и является робастным по отношению к неопределенности f2, так как:
0
0( ) ( ) ( ) ( ( ))
V t x x sign x
. (5) Перечислим основные положения метода УСМ:1) требуется знание верхней границы (2) неопределенности f2;
2) управление (4) разрывное и приводит к явлению «неровного» сигнала в реальном применении УСМ (запаздывание переключающих устройств);
3) закон управления в скользящем режиме гарантирует достижение многообразия за конечное время и удерживание траекторий на нем независимо от значений неопределенности f2
согласно редуцированной системе
x = c f
2
1 1( ) x
на фазе «скольжения» или движения системы на многообразии ( ) 0 x
(это следует из (5)).2. Метод управления на многообразиях - аналитическое конструирование агрегированных регуляторов (АКАР). Согласно классическому АКАР [1] для «преодоления»
неопределенности f2 предлагается расширение фазового пространства введением дополнительной переменной
x = f
3 2( ) x
, при этом постулируется закон изменения неопределенности f2 (3
( )
x = g t
,g t ( )
- некоторая гладкая функция):1 1
2 3
3
( ), ( ) , ( ).
x = f
x = x u
x = g t
x
x
(6)Применение известной техники [1] с учетом целевого многообразия в виде (3) приводит к управлению:
1
1
( )
3)
u w
w cf x x
, (7) устойчиво выводящего объект (6) на многообразие (3) и доставляющее безусловный минимум сопровождающему оптимизирующему функционалу:
2 2 2
0
J
w t dt
.Из (7) следует необходимость знания правых частей объекта (6).
3. Метод управления на многообразиях – на основе совмещения УСМ, АКАР и распознавания образов. Отметим, что совмещение техники АКАР и функций Ляпунова было использовано также и при построении нечеткого регулятора (например, [6]). Здесь использование такого подхода стало возможным благодаря технике распознавания и оценивания состояний сложных динамических объектов в реальном времени и применении этого знания для управления [7, 8]. Перечислим этапы синтеза.
3.1. Синтез основной структуры системы управления согласно АКАР с учетом вида целевого многообразия (3), верхний индекс указывает на метод АКАР
u
lA:
1 2
1 ( ) ( )
u
Aw cf f
w
x x
.3.2. Второе уравнение в (2) представляется в виде:
x t
2( ) f
2 u
A u u
A
, авыражение невязки
u u
A
в виде:
1
ˆ , ˆ
I
i i i i i
i
u u v v
, где1 I
ˆ
i i i
v
- выражение, аппроксимирующееu
A по образам состояний сложного объекта, 1,
i
i I
, сопоставленным соответствующим областям фазового пространства, индикаторные функции
i 0
приx
i и подлежат определению в реальном времени. Описание объекта (2) с учетом изменения вида второго уравнения примет вид:1 1
1
2 1 1
1
( ) ,
( ) ,
I i i
x t f
x t
c f
(8)а производная функции
t
с учетом вида (8):1 1
1 1 2 1 1 1 1
1 1
I I
i i
i i
c x x c f c f
.3.3. Используется вторая теорема Ляпунова с целью достижения устойчивости и робастности синтезируемой системы управления:
22 1
1
( ) 0.5 ˆ , 0
I
i i
i
V t
v v
,с производной функции
V t ( )
в виде: 1 2
1
1
ˆ
( ) .
I
i i i i
i
V t w
v v
v
Условие
V 0
будет выполнено, если будет иметь место соотношение vi v ˆ
i vi
i , i 1, I
.
i, i 1, I
.3.4. На выбор параметров
w , ,
i накладываются дополнительные условия:1
2 1 1
1
( ) ,
I
tr i
i
x t
c f
где
x
2tr( ) t
- реконструированная траектория для координаты x2 (при условии ее наблюдения), удовлетворяющая целевому многообразию: x
tr t , 0
при t [8].Система управления будет иметь вид:
1 1
1
2 1 1
2 1
( ) ,
( ) ,
, 1, .
I i i
i i
x t f
x t c f
i I
(9)На рис. рассмотрен случай скачкообразного изменения параметра , интерпретируемого как изменение состояния объекта xn+1=xn(1–xn), n≥0, приводящего к нежелательным последствиям в условиях отсутствия перестройки в управлении.
а) x0=0.008; =x-0.01=0 б) x0=0.8; =x-0.5=0
Рисунок 1. Отсутствие перестройки управления при скачках параметра не выводит объект (модель Фейгенбаума) на заданный аттрактор: а) один скачок: 1(t)=2, t<9; 2(t)=0.5, t≥9; б) два
скачка: 1(t)=2, t<9; 2(t)=1, 9t<12; 3(t)=0.5, t≥12; =0.009
В докладе приводятся результаты численного моделирования синергетического управления сложными объектами на примере модели Фейгенбаума (см. рис.) и модели асинхронного двигателя, а также конструктивное обоснование необходимости введения новой дисциплины
«Синергетической теории управления» в высшем образовании.
Литература
1. Колесников А.А. и др. Синергетические методы управления сложными системами. –М.:
УРСС/КомКнига, 2006.
2. Красовский А.А. Проблемы физической теории управления //Автоматика и телемеханика.
1990. №11.
3. Narendra K. S., Balakrishnan J. Adaptive control using multiple models // IEEE Trans. on Automatic Control. – 1997. – V. 42. - №. 2. – P. 171–187.
4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. – СПб.: Наука, 2000. – 562 c.
5. Халил Х.К. Нелинейные системы: монография. - М.: Институт компьютерных исследований; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. - 812 с.
6. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Синтез оптимального нечеткого регулятора для нелинейной динамической системы // Радіоелектроніка. Інформатика. Управління. – 2001. – № 2. – С. 153–155.
7. Колесникова С.И. Использование апостериорной информации для управления плохо формализуемым динамическим объектом // Автометрия. – 2010. – Т.46. -№ 6. – С. 78-89.
8. Колесникова С.И. Метод распознавания и оценивания состояний слабоформализованного динамического объекта на основе разметки временного ряда // Известия РАН. Теория и системы управления. – 2011. – № 3. – С. 3-14.
