nblib.library.kz - /elib/library.kz/jurnal/Физ-мат_03_2016/

N E W S

OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN PHYSICO-MATHEMATICAL SERIES

ISSN 1991-346Х

Volume 3, Number 307 (2016), 185 - 194 UDC 517.956

ABOUT VOLTAIRE NOT LOCAL TASKS WITH SHIFT FOR THE WAVE EQUATION

Orazov I.O., A. A. Kopzhasarova, A.Sh.Shaldanbayev

M.Auezov South Kazakhstan state University, Shymkent, The Republic of Kazakhstan asyl_k@mail.ru

Keywords: the wave equation, a task with shift, volterrovy operators, operators of similarity, Rellikh's theorem.

Abstract. The elementary regional task with shift and with non-uniform conditions for the wave equation [1]

has been investigated by A. M. Nakhushev. Nakhushev L.M. researches. was are continued by a number of authors of [2]-[4] and have been established that among these tasks there can be both the volterrovy and full tasks possessing full system of own functions. The carried-out analysis, the content of these works has shown that spectral properties of these regional tasks depend on area geometry, in particular, from group the movement of area. Not equilateral the triangle doesn't possess group of simmetriya therefore we have refused a characteristic triangle and began to consider regional tasks in a characteristic quadrangle. At the same time the equations with deviating by arguments which deserve separate research naturally appear.

In the real work the volterrovost of a number of regional tasks for the wave equation considered in a characteristic quadrangle is established.

УДК 517.956

ТОЛЦЫН ТЕНДЕУ1Н1Н СЫРГАЦТЫ ШАРТАРАПТЫ ВОЛТЕРЛ1 ЕСЕПТЕР1 Оразов И.О., Кепжасарова А.Э., Шалданбаев Э.Ш.

М.Эуезов атындагы Ощуспк Казакстан мемлекетпк университет^ Шымкент к., Казакстан Республикасы

Сырлы сездер: Толкын тендеу^ сыргакты, шартарапты, волтерл^уксас операторлар,Реллихтыц теоремасы.

Аннотация. Бул ецбекте толкын тендеуше арналган бiрнеше шекаралык есептердщ вольтерлiгi керсеплген,олар бурыннан белгiлi Гурсаныц, Дарбудыц, Кошидш есептерiнен езгеше.

1.К1ркпе.

Шекаралык шарты босмYшелi,сырFакты есептщ ец карапайым Yлгiлерiн,толкындык тецдеу Yшiн алFаш рет А.М.Нахушев [1] зерттеген.Бул зерттеулер,кейiнiрек,бiркатар авторлардыц [2]-[4]

ецбектерiне аркау болды,олар мундай есептердщ шшде вeлерлi есептермен катар,толык есептердщ-де болатынын кeрсеттi,яFни,меншiктi функциялары

L-

(Q ) кещстшнде толык система болатын есептер-де бар екен.Осы ецбектердi саралау барысында,бул есептердiц спектрэлдiк касиеттерi оныц аймаFыныц геометриясына тэуелдi екенi байкалды,дэлiрек айтсак,аймактыц KOЗFалу тобына.Тец бYЙiрлi Yшбурыштыц симметрия тобы жок,сондыктан бiз есептi тштертбурыш iшiнде карастырFанды жен кeрдiк.Бул сэтте аргументi ауыткыFан тецдеулер eз-eзiнен пайда болады,олар эрине,арнайы зерттеулердi керек етедi,бiз OFан онша терец Yцiлмеймiз

185

Q -дегенiмiз R2 жазыктыгында жаткан квадрат болсын, онын кабыргалары

AB

:

у

= 0 ,0 < x < 1;

BC

: x = 1,0 <

у

< 1;

CD

:

у

= 1,0 < x < 1;

DA

: x = 0 ,0 <

у

< 1 (1- суретке кара).

1-сурет.

Осы Q -квадратында толкын тендеуiнiн, мынадай,

Lu

=

Uxy

=

f

( x , у ) , ( x , у ) e Q (1)

au(

⁰

, у)

+ ftu(1,1 - у ) = 0 (2)

au(

x ,0 ) + ftu(1 - x,1) = 0 (3)

шартарапты сыргакты шекаралык есебiн карастырайык, мундагы a , f t -ерiктi туракты комплекс шамалар.

Егер f t = 0 , a Ф 0 болса, онда (1) -(2 ) есептен Гурсанын, мына,

Lqu

=

uxy

( X, у ) =

f

( x , у ) , ( x , у ) e Q (4) u(x,y)=0,

u(x,0)=0 (5)

есебi шыгады.

А н ы ^ т а м а 1. Жогарыдагы, (1) тендеу мен (2) -(3 ) шекаралык шарттарды тепе-тендiкке

^ __

айналдыратын

C

( Q ) П

C

( Q ) класынын u(x,y) функциясын (1) -(3 ) есептщ турлаулы шешiмi деймiз.

А н ь щ та м а 2. Егер, жогарыдагы (2) -(3 ) шекаралык шарттарын канагаттандырат { u n } ,

n

= 1 , 2 , .. . функциялар тiзбегi табылып,

n

сэтiнде, мынадай,

un

—>^>,

Lun

—>

f

болса, онда u(x, у ) е Z2(Q ) функциясын (1) -(3 ) есебшщ элдi шешiмi деймiз.

^ __

А н ь щ та м а 3. Мына,

C

( Q ) П C ( Q ) кластын функцияларынан куралган сызыктык кепсалада (2) -(3 ) шекаралык шарттар мен (1) ернек аркылы аныкталган оператордын кабындысын элдi оператор деймiз.

Осы аныктамалар бойынша, элдi оператор Yзiксiз кайтымды болган сэтте гана есебiмiз кез 2

келген

f

( X, у ) Е

L

( Q ) Yшiн элдi шешiледi. Сондай-ак, u(x,y) функциясы элдi оператордын аныкталу аймагында жатканда гана, элдi шешiм болады. 0 р i карай, оператор туралы айтканда ,бiз элдi операторды ойга аламыз.

186 ^

2.Зерттеу эдктерь

Операторлардыц эшре Yзiксiз екенiн керсету Yшiн Реллихтыц теоремасы ,немесе Соболевтщ леммасы колданылды,ал велтеpлiктi Нерсесянныц теоремасы аркылы дэлелдедш.Операторлардыц уксастыгы орынды пайдаланылды,ал уксастык операторлары,элп,айтылган топтыц элементтеpi аркылы тургызылды.Шекаралык есептерге операторлык тургыдан карауды бiз [6-12] ецбектерден Yйpендiк. Бiз есептi тштертбурыш iшiнде карастырганды жен кеpдiк.Бул сэтте аpгументi ауыткыган тецдеулер ез-езiнен пайда болады,олар эрнне,арнайы зеpттеулеpдi керек етедi,бiз оган онша терец Yцiлмеймiз [13-20].

З.Зерттеу нэтиежелерь

2 2

Теорема 1. Егер

О

— Р Ф болса, онда толкын тецдеуiнiц, мына,

Lu

=

u-y

( X, у ) =

f

( х ,

у

) , ( х ,

у

) е Q ,

f

( х ,

у

) е

L

2 ( Q ) (1)

о • u(0, у ) + Р • м (1,1 — у ) = 0 (2)

о •

u

( х ,0 ) +

Р

• u(1 — х,1) = 0 (3)

сыргакты шартарапты есебi элдi шешшед^ жэне элдi операторга кеpi

L

1 операторы эсipе Yзiксiз волтерль

Дэлелг Жогарыда, бiз, мынадай,

L

=

T ~XLg T

формула алганбыз. Мунан, L 1 =

T

1

L

q

T ,T

мен

T

1 операторлары шектеулi, ал

L(j

операторы эаре Yздiксiз, сондыктан

L

1 операторы да эаре Yзiксiз. ¥ксас операторлардыц спектpлеpi бipдей сондыктан

L

1 операторыныц да нелден езгеше меншшт мэндеpi жок. Теорема дэлелдендь

Осы (1) теоремага байланысты, мынадай, сурак туындайды. Алынган теорема барлык волтеpлi операторларды сыйпаттай-ма? -жок элде баска да волтеpлi оператор бар ма?

Теорема 2. Толкын тендеушщ, мына

Lv

= Уху ( х , у ) =

f

( х , у ) , ( х , у ) е Q (6)

У

1у=0 п = 0, ’ 1х=1

У

i = 0 (7)v 7

шекаралык есебi L2 ( Q ) кецiстiгiнде элдi шешiледi жэне осы есептiц элдi операторына кеpi

7 1 . . .

L

операторы эаре Y3iксiз жэне волтерль

Дэлель S-операторы, былай, v ( х , у ) =

Su(х, у )

=

u

(1 — х , у ) аныкталсын делiк, онда

S

2 =

I

жэне

V у =0 = u (1 —х ,0 ) = 0,

У

^{х = 1} = u (0 , у ) = 0

мундагы u ( х , у ) е

D (Lq

) , демек, егер ^ х , у ) е

D (L q

) болса, онда v ( х , у ) е

D(L)

. 0 p i карай,

LGV

= l g

S

u —

Уху

=

—uxy

( —х , у ) = —S L u ,

=

S

—1

Lg S

= —L ,

S

—1 ( —

L

g ) S = L , ^

= L—1 =

S

—1(~L G 1) S

187

L(G

операторыныц волтерлiгi E мен компэктшгшен -

L(G

операторыныц компэктiлiгi мен волтерлт шыFады. Олай болса

L 1

операторы да эаре Yзiксiз жэне волтерлi.

Теорема 3. Толкын теццеушщ, мына,

Lv = Vxy

( x , y ) =

f

( x , y ) , ( x , y ) E Q (8)

v ly=1 = 0 v lx=0 = 0 (9)

шекаралык есеб

1

элдi шешiледi жэне осы есептщ элд

1

операторына кер

1

L- операторы эире Yзiксiз жэне волтерлi.

I-Дэлел1. Бул (8) -(9) есепке сэйкес оператор жоFарыдаFы (6) -(7) есептщ сыцары, сондыктан бул теорема алды^ы теоремадан шыFады.

II-Дэлел1. ТаFы да 2 теореманыц эдiсiн колданамыз. Егер v ( x , y ) =

Su(x, y)

=

U

( x,1 - y ) болса, онда егер u ( x , y ) E

D(L

g ) болса, онда

v y=1

= u ( x ,0 ) =

0

, v x = 0 = u (

0,1

- y ) =

0

сондыктан, v ( x , y ) E D ( L ) . 0рi карай

Lv = L Su (x, y ) = —— a 2 u (x,1 - y ) = - u xy (x,1 - y ) = -S L G

^.

oxoy

Демек,

LS = - S L g ,L = S

^{( -}

L g )S

^\

L

^{1 =}

S ( - L q ) S

\ ЯFHИ

L

1 операторы мен -

L(G

операторы уксас,

L(G

-операторыныц компэктiлiгi мен волтерлтнен -

L

g операторыныц волтерлiгi мен компэктшп шыFады. Мунан,

L-

сператорыныц эсiре Yзiксiз жэне волтерлi екенш кeремiз.

Ендi, А операторы, мына

Au = uxy = f

lx y ( x , y ) (10)

u\ n =

o, u . = 0 lx=0 ’ ly=1

шекаралык есепке, ал

A*

операторы, мына,

(11)

A v = v x y = g( ^ y )

v n = o, v i = o

_{ly = 0 ’ lx=1}

шекаралык есепке сэйкес келсiн делiк.

Бул сэтте, шамасы, бул операторлар езара уксас болса керек? Шынында да, егер v ( x , y ) =

Su( x, y) = u

( y , x ) болсын деп жорысак, онда

v( ^ y )\y=0 u (0, x) = ^ v( x, y )\x=1 = u (y,1) = 0

болады. Демек, егер u ( x , y ) E D ( A ) болса, онда v ( x , y ) E D

(A

) Эрi карай,

* * a^2

A v

=

A Su(x,

y ) = ---

u

( y , x ) =

Suxy

( x , y ) =

SAu

( x , y ) ,

dxdy

x

---188---

* * 1 * 1 1 1 демек, A S = S A , ^ A = S A S , ^ ( A ) -1 = S A S _ 1 .

Бул тендiктен (10) -(1 1) есепке уксас волтерлi есептердщ екiншi класы бар екенiн байкаймыз.

¥ксасты к операторын, былай

T

=

a I

+

ftS

iздейiк, мундагы

Su(X, у)

=

u

( у , x ), 1 ^ р л ш оператор. Ендi былай v ( X, у ) =

Tu

=

au

( X, у ) +

ftu( у,

x ) болсын деп жорысак онда, мынадай,

v ( x , у ) x= 0 = a u ( 0 , у ) + ftu ( у , 0 ) = 0; v ( x , у ) у=1 =

au(

x ,1 ) + ft(1 , x ) = 0 болады.

Эрi карай,

д 2 д 2

Av

( X у ) = -r- т -

Tu

( X у ) = т - т т [ a u ( x , у ) +

ftu( У,

x ) ] =

dxdy dxdy

д2

= a u xy (X y ) + u(x, У) = a u xy (X, У) + ftSuxy =

=

(a l

+

ftS )uXy

( x , y ) =

(a l

+

ftS

)

Lu

A T u = TLu ^ T ~XA T = L, ^ L~l = TA~XT

2 2

Демек, a - f t Ф 0 с э т в д е A жэне L операторлары уксас. Осыдан тeртiншi теореманы аламыз.

2 2

Т еорем а 4. Егер

a

-

f t

Ф 0 болса, онда толкын тендеуiнiн, мына 2

L u = u x y ( x , У) = f ( x , У) , ( x , У) е L ( Q )

a

^{• u (0 ,}

у

^{) +}

ft

• u ( y ,0 ) = 0 , a • u (x ,1 ) +

ft

• u(1, x ) = 0

шартарапты есебi элдi шешiледi, жэне осы есептщ элда операторына к е ^

L-1

операторы эсiре Yзiксiз жэне волтерль

4 .Т ал к ы сы .

Жогарыдагы, (4) -(5 ) Гурсанын есебiн шешу Yшiн, (4) тендеудщ он жагын ANPK тертбурышы бойымен интегралдаймыз, жэне осы сэтте Гриннщ, мына,

JJ f (x, y)dxdy = 1 [ J - uXdx + uydy]

Q 2 _dQ

формуласына арка сYЙеймiз.

^ N P K A

J

f (£,^)d£, d

t = — [ - J

u^d%

+ J

u^d^

- J

u^d%

+ J

u^d^]

=

ANPK 2 A N P K

= 1 [u (A ) - u (N) + u (P ) - u (N) - u (K ) + u (P ) + u (A ) + u ( K)] =

=

u

^{( A ) -}

u

⁽

N

^{) +}

u

( P ) -

u

⁽

K

) = u ( x , x ) - u ( x ,0 ) + u ( x , y ) - u (0 , y ). Демек, Гурсаныц (4) -(5 ) есебш щ шешiмi, мынадай,

x y x y

u(x, у ) = u (0, у ) + u (x ,0 ) - u (x , x ) +

J J

f (% ,v)d% dv

=J J

f (% ,v)d% dv =

00 00

11

= J J 6 ( x - £ ) 6 ( y - T ) f (12)

00

--- 189---

мундагы 6 ( х ) -Хевисайдтыц функциясы Г1,

егерx

> 0,

^ ( х ) 4 1 _{[0 ,}

егерx

< 0

,

— 2

C ( Q ) -сызыктык кепсаласы

L

( Q ) кецiстiгiнде тыгыз орналаскан, сондыктан (12) 2

формула бYткiл

L

( Q ) кецiстiгiне жаратылады. Бул (12) формула аркылы волтеpлi оператор аныкталганын кеpсетейiк, бул Yшiн А.Б.Нерсесянныц [5] теоремасын колданайык.

2

Аныктама 4. Мына,

S

С Q x Q катыстык орындалсын дейiк. Егер

K

( P q ,

Р\)

е L ( Q , Q ) жэне K (P q , р [ ) = 0 , (P q ,P \) £ S сэтвде болса, онда K (P q ,P1) -функциясын S-ядро деймiз.

Аныктама 5. Егер кез келген S -ядросыныц меншiктi мэндеpi жок болса, онда ашык

S

С Q x Q жыйыны V тYpiндегi жыйын деп аталады.

Мынадай,

S

P

¹ ^ Р

2

е г е р ( P

1

^P

2

^{) е}

Sболса;

S

P

¹ — Р 2 е г е р ( P

1

^P

2

^{) £}

Sболса

белгшеулер енгiзейiк.

Лемма 1 [5]. Мына, S жыйыны V тYpлi жыйын болуы Yшiн к > 1 сэтiнде, мына,

S S S S

P1 ^ P2 ^ Р3 ^ .... ^ Рк

шарттан, келесi, Рк —— р шарттыц туындауы кажетп эpi жеткiлiктi.

Жогарыдагы (12) интегралдык оператордыц ядросы, мынадай, K ( 4 ,

7

,4 1 ,7 1 ) = 6 ( 4 — 4 D '6(71 — щ ) ,(4,7) е Q ,4ъ щ е Q Бул ядро S ядро, мундагы S дегенiмiз, темендеп

S = { ( P o , Р

1

) е Q x Q , 4 > 4 1, 7 > 7 1}

жыйын.

Ендi, мына,

S S

Р1 ^ Р 2

^ . . . . ^ рп

шарт орындалсын дейк, онда 41 > 4 2 > ... > 4п ,7 1 > 7 2 > ... > 7п демек 41 > 4к жэне 71

> 7 к

.

Егер (Р к , р _) е

S

болса, онда 4 к > 4 1 ,7к > 7 1 болар ед^ ал булар бiздiц S

тецсiздiктеpiмiзге кайшы, олай болса, (Р к, Р

1

^{) £} S, ^ Рк — р 1 .

Мше, осылай S жыйыны V тYpлi жыйын екен, ягни (12) интегралдык операторыныц меншшт мэндеpi жок. Бiз, келесi, лемманы дэлелдедiк.

Лемма 2. Мына,

11

u ( x , у ) = L C f ( x , у ) = j j 6 ( х — 4 ) 6 (у — 7 ) f( 4 ,7 ) d 4 d 7 0 0

190

интегралдык оператор L2 ( Q ) -кещ сттнде волтерл^ яFни ол эсiре Yзiксiз жэне оныц нелден езгеше меншшт мэндерi жок.

ЖоFарыдаFы (1) -(3) тецдiктерден

a

= 0 ,

/

* 0 сэтвде Гурсаныц баска, мынадай L°c u = иy (х, y ) = f (х, y ), (х, y ) E Q

u (1,1 - y ) = 0 u

(1 - x,1 ) = 0

* _1

есебш аламыз. Бул есеп алды^ы (4) -(5) есеттц сыцарласы, сондыктан (L ) операторы да волтерль

*

Осы,

L

c мен

L

c операторлары езара уксас емес пе деген сурак тындайды, ондай операторлардыц спектрлерi бiрдей болатыны белгiлi.

Былай,

v(x,y)

=

Su(x,y)

=

u(1-x, 1-y)

болсын деп жорысак, мынадай

v(x,y _{\x=1 =} u( _{0,1 -} y _{) = 0}

v(x,y)\y =i

=

u

^{( 1} - x , 0

)

= 0

*

тендiктердi аламыз. Демек, егер u ( x , y ) E

D(L

g ) болса, онда v ( x , y ) E

D(L*

g ) болады екен. Сонымен бiрге,

* a 2 a 2

L G v ( x , y

) = axay

v u

(x y ) = W axay

u

(1 - x,1 - y ) =

S u x, y

^ (x y ) =

S L G u,

*_______________________________ _1 *

^

L

g

S

u

(x, y)

=

SL

gu

(x,

y ) , ^

S L

g

S

=

L

g

Бiз ойлаFандай екен, мына,

L

g

S

=

SL

g тендiк орынды болып шыкты. Бiз, келесi лемманы дэлелдедiк.

Лемма 3. Егер

L

g - дегенiмiз (1) -(3) шарттары аркылы аныкталFан Гурсаныц операторы

*

болса, ал

L

g оныц сыцарласы болса, онда

L

g

S

=

SL

g , м у ц ^ ы Su(x,y)=u(1-x,1-y).

—1 *

ЖоFарыдаFы

L

g =

S L

g

S

тендiкке байланысты, мынадай сурак туындайды.

L

g -

*

операторына уксас

L*G

-дан баска да операторлар бар ма? -деген.

I мен S операторлары ею эл ем ен т топ курайтынын, ал олардыц сызыктык комбинациялары:

XI

+

/ S , X , / = const

алгебра курайтынын ескерсек, онда уксастык операторын солардыц арасынан iдеу тYсiнiк болса керек. Сонымен уксастык операторы

T

= X +

/ S

, X ,

/ = const

болсын делш, онда T-1 -керi операторы бар болар едь Керi T-1 операторын турFызайык. Мына, v ( x , y ) =

Tu

( x , y ) =

au

( x , y ) + / u ( 1 - x,1 - y )

тендiк орындалсын делш. Осы жерде, мынадай

x

^ 1 - x ,

y

= 1 -

y

алмастыру жасасак, екiншi

v(1 - x,1 - y ) = a u (1 - x,1 - y ) +

/ u ( x, y)

тецщк аламыз. Ендi, мына,

191

\au(

x , у ) + ftu(1 - x,1 - у ) = v ( x , у )

ftu( x, у)

+ a u (1 - x,1 - y ) = v(1 - x,1 - y ) тендеулер системасын Крамердщ эдiсiмен шешейiк.

V

Л1 = Л = = a 2 - f t 2 ,

—о =

a f t f t a

a v ( x , у )

ft

v(1 - x,1 - y )

P

v(1 - x,1 - у ) X

= a v (1 - x,1 - y ) - f t v ( x , y )

= a v ( x , y ) - f t v ( 1 - x,1 - y )

u

(x, y ) = - i =—

a

- a 2

- f t

¹

u(1 - x,1 - y ) = —2 =

v( x, y ) -

ft

a 2

- f t

²

v(1 - x,1 - y ) =

a ft a

— a 2 - f t 2

v(1 - x,1 - y ) _---

ft

a 2 - f t 2

a 2

- f t

¹ a 2

- f t

¹

v( X У)

S

_{v( x y )}

2 2 2 2

Демек, T-1 операторы

a

-

ft

Ф 0 сэтш бар болады екен. Дэл осы

a

-

ft

Ф 0 сэтп

T

=

a l

+

ftS

операторлары топ курайтынына назар аударайык. Шынында да, егер

T

( a , f t ) =

a l

+

ftS

,

T

( a , f t ) =

yI + SS

болса, онда

T (a, ft)

•

T (y ,S )

=

(a l + ftS)

•

(yI + SS) = a /I + aSS + ftyS + ftSS

2 =

=|

S

2 =

T

|= ( a y + f t S ) I + ( a S +

fty)S

=

T (a y

+

ftS, a S

+ f t y ) , ( a y + f t S ) 2 + ( a S +

fty

^{) 2} = ( a 2 - f t 2 ) ( y 2 - S 2 ) ф 0

Ендi

u

( x , y ) e D ( L ) жэне v(x,y)=Tu(x,y) болсын дешк, мундагы L -дегенiмiз (1) -(3) есептщ операторы. Онда

v ( x , у ) = a u ( x , у ) + ftu(1 - x,1 - у ) , v ( X, у ) x = 0 = a u ( 0 , у ) + ftu(1,1 - у ) = 0 v ( x , У^У=0

au(

x ,0 ) + ftu(1 - x,1) = 0

Демек, егер

u

( X, у ) Е D ( L ) болса, онда v ( X, у ) Е

D (L c

) . Эр! карай,

Lg v(x, у ) = Lg Tu (x, у) = — — [au(x, у) + ftu(1 - x,1 - у)] = д2 dxdy

= a -

=

T дxdy

д 2 + f t

д

u

(1 — x,1 —

у

)

дxdy

⁼

(aI + ftS )—— u

( x , y ) = д x д y

д x д y

u ( x , y ) =

TLu

( x , y )

Демек,

T L g T

1 =

L

кYткенiмiз де осы едь

Назарла. Егер

a

= 0 ,

ft

Ф 0 болса, онда жогарыдагы, (11) шекаралык шарттардан, мынадай

Ln

=

uxy

=

f

( x , у ) , ( x , у ) е Q

192 :

u

( y , 0 ) = 0,

u

(1, x ) = 0

нэрсе аламыз. Бул Гурсаныц есеб^ ал X * 0 , / = 0 болFан сэтте Гурсаныц есебшщ сыцарласын аламыз.

5.Ц о р ы ты н ды . Толкын теццеущ шекаралык есептерiн оныц характеристикалык тертбурышы iшiнде карастырFан жен,бул сэттiе оныц симметрия тобын уксастык операторларын курастыруFа жол ашылады.

ЭДЕБИЕТ

[1] Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа //Дифференциальные уравнения, 1969, т. 5, №1. -с. 62-69.

[2]. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещениями // Дифференциальные уравнения, 1976, т. 12, №1. -с.

40-44.

[3] Бияров Б.Н., Кальменов Т.Ш. О нелокальной вольтерровой задаче для гиперболического уравнения // Известия АН КазССР, сер. физ.-мат., 1988, №5. -с.13-16.

[4] Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. - Шымкент.: Гылым, 1993.- с.327.Толкын

[5] Нерсесян А.Б. К теории интегральных уравнений типа вольтерра // ДАН СССР, 1964, т.155, №5. - с. 1006-1009.

[6] Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. - М. Мир, 1982.

[7] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966. - 544с.

[8] Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, спектральная теория. - М.: Мир, 1974.

[9] Friedrichs K.O.,On the perturbation of continuous spectra,Comm.Pure Appl.Math.,vol.III,Amer.Math.Soc.,Providence,R.I.,1965.

[10 Lax P.D.,Pillips R.S.,Scattering theory,Academic Press,New York,1967.

[11] Kato T.Perturbation theory for linear operators,Springer, New York,1966.

[12] Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. - М.: Мир, 1977.

[13] Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т. О полноте собственных векторов задачи Коши. - Республиканский научный журнал «Наука и образования ЮК» № 27, 2002. с. 58-62.

[14] Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш., Ахметова С.Т. К спектральной теории уравнения с отклоняющимися аргументами. - Институт математики МО и Н РК «Математический журнал».- Алматы 2004, т. 4, №3 (13) с. 41-48.

[15]Шалданбаев А.Ш., Рустемова К. О периодической задаче для уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом. - Научный журнал Мин Образ/я и Науки «Поиск», № 4/2009, г. Алматы, с. 204-209.

[16] Шалданбаев А.Ш. Критерии вольтерровости дифференциального оператора первого порядка с отклоняющимся аргументом. - Вестник Карагандинского Университета, серия «Математика», № 3(47)/2007, с.39-43.

[17] Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977. - 332с.

[18]Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш. О структуре спектра краевой задачи Штурма - Лиувилля на конечном отрезке времени.// Известия НАН РК, серия физ. - мат.- Алматы, 2000. - с.29-34.

[19] Шалданбаев А.Ш. Формулы следов для периодической и антипериодической задач Штурма-Лиувилля //

Вестник МГУ. Серия 1. Математика-механика. 1982. - №3. - с. 6-11.

[20]Спектральные разложения корректных-некорректных начально краевых задач для некоторых классов дифференциальных уравнений.- ^^Монография. LAP LAMBEPT Academic Pyblishing. http ://dnb .d-nb.de.

Email:info@lap-publishing.com,Saarbrucken 2011,Germanu.

REFERENCES

[1] Nakhushev A.M. About some regional tasks for the hyperbolic equations and the equations of the mixed type//the Differential equations, 1969, t. 5, No. 1. - page 62-69.

[2] Kumykova S. K. About one regional task with shifts//the Differential equations, 1976, t. 12, No. 1. - page 40-44.

[3] Biyarov B. N., Kalmenov T.Sh. About not local Voltaire task for the hyperbolic equation//News of AN KAZSSR, is gray. physical. - a mat., 1988, No. 5. - page 13-16.

[4] Kalmenov T.Sh. Regional tasks for the linear equations in private derivatives of hyperbolic type. - Shymkent.: Gylym, 1993. - page 327. Tol yn

[5] Nersesyan A.B. To the theory of the integrated equations like volterr//the USSR, 1964, t.155 is GIVEN, to No. 5. - page 1006-1009.

[6] R. Rikhtmayer. Principles of modern mathematical physics. - M. Mir, 1982.

[7] Akhiyezer N. I., Glazman I.M. The theory of linear operators in Hilbert space. - M.: Science, 1966. - 544 pages.

[8] Danford N., Schwartz Dzh. T. Linear operators, spectral theory. - M.: World, 1974.

[9] Friedrichs K.O., On the perturbation of continuous spectra, Comm.Pure Appl.Math., vol.III, Amer.Math.Soc., Providence, R.I., 1965.

[10 Lax P.D., Pillips R.S., Scattering theory, Academic Press, New York, 1967.

[11] Kato T.Perturbation theory for linear operators, Springer, New York, 1966.

[12] Mizokhata S. The theory of the equations with private derivatives. - M.: World, 1977.

193

[13] Shaldanbayev A.Sh., Akhmetova S. T. About completeness of own vectors of a task of Cauchy. - Republican scientific magazine "Science and Formations of YuK" No. 27, 2002. page 58-62.

[14] Kalmenov T.Sh., Shaldanbayev A.Sh., Akhmetova S. T. To the spectral theory of the equation with the deviating arguments. - Institute of mathematics of MO and N of RK "Mathematical Magazine".-Almaty 2004, t. 4, No. 3 (13) of page 41­

48.

[15] Shaldanbayev A.Sh., Rustemova K. About a periodic task for the equation of the first order with the deviating argument. - Image Min scientific magazine / I and Sciences "Search", No. 4/2009, Almaty, page 204-209.

[16] Shaldanbayev A.Sh. Criteria of a volterrovost of the differential operator of the first order with the deviating argument.

- Bulletin of the Karaganda University, Mathematics series, No. 3(47)/2007, page 39-43.

[17] Marchenko V.A. Operators of Storm - Liouville and their appendix. - Kiev: Naukova thought, 1977. - 332 pages.

[18] Kalmenov T.Sh., Shaldanbayev A.Sh. About structure of a range of a regional problem of Storm - Liouville on a final piece времениУ/NAN RK'S News, a series physical. - mat. - Almaty, 2000. - page 29-34.

[19] Shaldanbayev A.Sh. Formulas of traces for periodic and anti-periodic problems of Storm Liouville//the Bulletin of MSU. Series 1. Mathematician-mechanic. 1982. - No. 3. - page 6-11.

[20] Spectral decomposition of regional tasks correct-incorrect nachalno for some classes of the differential equations. - 193c, Monograph. LAP LAMBEPT Academic Pyblishing. http://dnb.d-nb.de. Email:info@lap-publishing.com,Saarbrucken 2011, Germanu.

УДК 517.956

О ВОЛЬТЕРОВЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Оразов И.О., А.А.Копжасарова, А.Ш.Шалданбаев

Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова, Шымкент, РК

Ключевые слова: волновое уравнение,задача со смещением,вольтерровые операторы,операторы подобия,теорема Реллиха.

Аннотация.Простейшая краевая задача со смещением и с неоднородными условиями для волнового уравнения было исследовано А.М.Нахушевым [1]. Исследования Нахушева Л.М. было продолжены рядом авторов [2]-[4] и были установлены, что среди этих задач могут быть как вольтерровые так и полные задачи, обладающие полной системой собственных функций. Проведенный анализ, содержании этих работ показал, что спектральный свойства этих краевых задач зависят от геометрии области, в частности, от группы движении области. Не равносторонней треугольник не обладает группой симметрий, поэтому мы отказались от характеристического треугольника и стали рассматривать краевых задач внутри характеристического четырехугольника. При этом естественным образом появляются уравнения с отклоняющимся аргументами, которые заслуживают отдельного исследования.

В настоящей работе установлена вольтерровость ряда краевых задач для волнового уравнения, рассматриваемого внутри характеристического четырехугольника.

Поступила 15.04.2016 г.

194