NE W S
OF THENATIONAL ACADEM Y OF SCIENCES OF THE REPUBLIC OF K AZAKHSTAN P H Y SIC O -M A T H E M A T IC A L SER IES
ISSN 1991-346Х h ttp s://doi.org/10.32014/2020.2518-1726.11
Volume 2, Number 330 (2020), 23 - 30
UDK 521.1 MRNTI 41.03.02
M . Z h. M inglibayev, A .K . K ushekbay Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan.
E-mail: minglibayev@gmail.com, kkabylay@gmail.com
ON THE DYNAMICS
OF THREE AXISYMMETRIC BODIES
Abstract. It explores the translational and rotational movement of the three free non-stationary axisymmetric celestial bodies with variable mass, size and variable compression interacting according to Newton's law. Newtonian force interaction is characterized by an approximate expression of the force function, which takes into account the second harmonic. Differential equations of translational-rotational motion of three non-stationary axisymmetric bodies with variable mass and size in the relative coordinate system, with the beginning in the center of a more massive body, are given. The axes of inertia of own coordinate system of non-stationary axisymmetric three bodies coincide with the main axes of inertia of the bodies, and it is assumed that their relative orientation remains unchanged during evolution. The mass of bodies are varied isotropically in the different rates. Canonical equations of translational-rotational motion of three non-stationary axisymmetric bodies with variable masses and sizes are obtained in the osculating analogues of the elements of Delaunay-Andoyer. Canonical equations of unperturbed motion and their integrals are given.
Keywords: Translational-rotational movement, Variable mass, Three-body problem, Axisymmetric celestial body, Osculating elements, Delaunay-Andoyer elements.
1. Introduction
In classical celestial mechanics, real celestial bodies are modeled by a material point (a spherically symmetric body). In cases when such a description o f physical phenomena inadequately reflects the essence o f a real celestial-mechanical problem, celestial bodies are modeled by a solid body o f constant size, mass and unchanged structure [1, 2]. Observational astronomy shows that real celestial bodies are non-point and unsteady. Celestial bodies are non-stationary, in the process o f evolution their m asses, sizes, shapes and structures w ill change [1, 3]. In this connection, the creation o f mathematical models o f the motion o f celestial bodies with variable masses, sizes, and shapes becom es relevant.
The purpose o f this work is to obtain differential equations o f translational-rotational motion o f non- stationary three axisymmetric bodies with variable masses, sizes and variable compression in osculating elements based on the equations o f motion obtained in our previous work [3]
2. E quations of m otion in a relative coordinate
Under certain assumptions for the physical problem, the equations o f translational-rotational motion o f three axisymmetric bodies in the relative coordinate system were obtained in our work [3]. The beginning o f the relative coordinate system g 0xyz coincides with the barycenter o f the body
Ti
, and the coordinate axes are parallel to the respective axes o f coordinate o f the absolute coordinate system (see figure 1).23
- own coordinate systems 2.1. R otational m otion
Differential equations o f the rotational motion o f bodies around their own center o f mass in the relative coordinate system are written as follow s
d ( Api) - ( A - C , ) q,r, = d_
d t ( М г ) - ( C , - A , ) p , r, =
d U „ d U
■ - c o s 9 , --- д щ д U д /
д U
д / д Щ
si n% д U
---- + cos&: --- . s i n6 i d 9 t c o s ^ i . д U
smq>i
s a (2 .1)
d , ч d U
— ( C r ) = = 0.
d r д щ i = 0 , 1,2
where p i = / i si n 0i sin cpi + 9i c o s (pi , q = / sin 0i c o s щ, - 9 si n щ, , r = / c o s 9i + щ, . (2 .2) p i, q i’ri - the projections o f the angular velocity o f the rotational motion o f the bodies T , on the axes o f its own coordinate system G i£itfiCi , Щ , / i, 9, - Euler angles.
In General, the Newtonian force function o f the problem o f three non-stationary bodies has the form [1-3].
where
U U 01
+
U 12+
U 02r C r d m n d m r f f dm,dm9 . г г dm0dm2
U 01 = f J J - ; r ^ ■ U '2 = f J • U » = f J i — R t ^
(To ) ( T ) ^01 (Tl ) ( T2 ) Л12 (T0 )(T2) ^O2
R j = R i = i, j = 0 , 1, 2 , i Ф j
(2.3)
(2.4)
(2.5) there is a mutual distance between the centers o f inertia G i and G j o f the bodies T i and T j , and f is the gravitational constant.
U ij - the force function o f the mutual attraction o f two bodies T i and T j is defined as follows.
Here
U = U 0 )+U 2)
(0) m m (2) A . + B + C - 3 / (i■7) Utf ) = U ) = . M ” --- ^ 7 1 ---3— + 3
R..
/ (i-j) = 4 ^ 2 +c y
2 2 ,.
A + B + с - 3 / г 2 2 2
(i, j )
/ f j) = + В в + С Г2
(2 .6)
(2.7)
(2 .8) / ^ ,j)and / {j ’j)- moments o f inertia o f bodies T and Tj relatively straightR - connecting the centers o f mass o f two bodies G iG j , respectively. i , j = 0 , 1, 2 , i ^ j .
2.2. Translational motion
We w ill not consider the equations o f translational motion o f body T0 , since the beginning o f the relative coordinate system coincides with the barycenter o f body T0 , so we w ill only consider its rotational motion.
The equations o f translational motion o f the body T in the field o f gravity o f the "Central" body T0 in the presence o f disturbances from the body T2 , in the relative coordinate system is written as follow s [1-3]
1 U dVx
X = --- -- + — ^ У1 = 10 + — - z, =■ 10 + . 1 1 v x( t ) dxx dxx 1 ^ ( t ) d y d y 1 ^ ( t ) ^ ^ where
m 0m 1
fdl ( t ) = --- reduced mass,
V = — Uм ^12
m, mn
m 0 + mj
1
- perturbance from body T2
(2.9)
(2 . 10)
(2 . 11)
d y 2 1 8z2
The equations o f translational motion o f the body T2 in the field o f gravity o f the "Central" body T0 in the presence o f disturbances from the body T1 , in the relative coordinate system is written as follow s [1-3]
where
1 d U d V 1 d U d V
" _ 1 ^ ^ 20 , 2 Г, _ 20 1 2
Л-, , /2
^ 2( t ) dx2 d x 2 ju2(t ) a y 2 s y 2 , z 2 =
1 d U 20 + 5 Vl
^ 2( t ) d z2 d z 2
m0m2
Ц2 ( t ) = --- reduced mass,
m0 mn
m0 + m 2
d U w , 5 t f ,0 + 5 U w -y 2 —--- h z ^
dy 1 &
- perturbance from body T1
(2 . 12)
(2.13)
(2.14)
For our purposes, it is preferable to use canonical equations o f perturbed motion in the osculating analogues o f the elements o f Delaunay-Andoyer [ 1].
ж
25
3. E quations of m otion in the osculating elem ents d elaunay-andoyer
The translational motion o f the center o f mass o f axisymmetric bodies T1 and T2 is further described in the osculating elements. Rewrite the equations o f translational motion o f the body T\ (2.9) as
.. m0 +
m1
dV,X + f —0— X
- b x= ■
R3 ,'v1 П'Ч
dx
.. m0 +
m1
dVУ
+ f ^У1 - b1 У1 = ^ T ,
R10 ^1
.. m0 +
m1
dV1
z, + f —
1
JR,„ --- 1 z n
31
- b z11 = — 1.
dz^
1 1
where V = V ; + — U ^ - - ' - n2
M 2
1 - r j , w 10 b1R10 - force function o f the perturbing force (3.2)
b1 = b1 ( t ) = = ( m0 + m1) d t 2"
v m0 + m1 у
m0( t 0) + mA ) m0( t ) + mi( t ) W e w ill write the equations o f translational motion o f the body T in the following form
m + m dV
X2 + f -
,m„ + m 2 d V2
*2 ' J - ^ T " X - b2 X2 = ~ d x ’
m0 + m2 dV2
У + f - ^ T - У - b 2У2 = T " L
R20 ^ 2
.. m0 + m2 d V
z 2 + f — — :— z - b z =
R 3 2 2 2 dz0
Where V2 = V2 +---U ^ --- b2 R220 - force function o f the perturbing force (3.5)1
M2
b2 = b2 ( t ) = ~ = ( m0 + m2 ) ~7T
dt v m 0 + m 2 у , ^2 =
m0( t 0 ) + m2( t 0 ) m0( t ) + m 2( t ) And the equation o f rotational motion remains unchanged
d t d
r = j j
d U „ d U - c o s ,,.
^ ( j ) - ( C , - A, ) p
d ( j ) = - d U = 0 , d Л ' d p .
j jr =
7 d q ,
d U „ d U
■- c o s , ,
s i n q j s i n ,
■ + c o s p ,
д ¥ , d p ,
c o s p . s i n ,
s i n p , d U д в , d U д в j = 0 , 1,2
(3.1)
(3.3)
(3.4)
(3.6)
(3.7)
3.1 E quations of translation al-rotation al m otion in osculating analogues of the D elaunay- A ndoyer elem ents.
Consider the analogues o f the Delaunay-Andoyer elements
L i , G i , H i , li , g i , h i - Delaunay elements (3.8)
2
L i , G ' , H i , li , g i , h '. - Andoyer elements The equations o f motion in the osculating elements (3.8), (3.9) have the form
f _ d F , r - d F > и - d F i i - d F i ■ - d F
1 d l. ’ 1 d g t ’ 1 d h t ’ 1 d L ’ g d G i
h = -
L A . г " i 2 L
F = - Н Г (3.11) H
1
ns = - { m°+
miU (2)- - btR0
| , i =1 2
(3.12)v m0mi
.
dF'
Lj = — , 1 dl
'
dF' G ' = — ,
1 dg'
dF' dF'
H = ^ r
, I = - - —,
g:=■
J dF:
F : = 1 ( G - L ' 2) — + j = - G + - 1 2 1 1 ' A, 2 C 2 A,. 2
' J d h '/ 1 -: 2 Jj
— - , h'. =
---
dF,—dG: 1 д н :
с , A, v j j J
j
t r2 T j r o t
Li - H 1j
T j r o t
H 1 = -
1
(3.9)
(3.10)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Note that the perturbing functions (3.12), (3.15) must be expressed in terms o f the osculating elements (3.8), (3.9). These procedures are time-consuming and cumbersome analytical calculations. To do this, we use the system o f sym bolic calculations MATHEMATICA [10].
3.2 E quations o f unperturbed translational-rotational m otion in osculating analogues o f the D elau n ay-A n doyer elem ents.
3.2.1 U nperturbed translation al motion.
If H T ” = 0, in the Hamiltonian (4.5) then
__ 7 7 u n p e r t __
F = F
1 м 2
(3.16)V ( t )
2 L
Equations o f unperturbed translational motion o f the center o f inertia o f bodies T1 and T2 in analogues o f Delaunay elements (3.8) have the form
d F unpert
i, = — , g = 0, h = 0, L t = 0, G = 0, H = 0, i = 1 , 2 d L t
Integrals o f the system (3.17) can be written as follow s
L = L =const
г 0 , ’G = Gn = const,
г 0 ’H = H = const
г 0 ,’, л 2 Г d t , , , ,
I. = —- —:— + ln, ln = const, g . = g 0 = const, г L 3 J V (t) 05 0 ? с>г 00 ’ h = h = const,г 0 ?
(3.17)
(3.18)
(3.19)
3.2.2 U nperturbed rotational m otion.
I f H — = 0 in the Hamiltonian (3.15), then
1 1
. C , A, v 1 1 J
L 2 (3.20)
27
Equation o f unperturbed rotational motion in the analogues o f Andoyer variables (3.9) has the form
dF' dF'
L ' = 0, G ' = 0, H ' = 0, l ' = --- J- , g ' = --- J- , h ' = 0, (3.21)
J J J J SLj SGJ
From equation (3.9) it follow s
LJ = L'0= c o n s t , GJ = G'0= c o n s t , H J = H'0= c o n s t , (3 .22)
4
(
t) - C
( t dt0 dt +10 , l0 =cons1, gJ=G0\ A ( j j +go, g0=const, hJ=h0=cons1,
(3 .23)l ’ =K'
t0
The geometric meaning o f the analogues o f Andoyer variables is given in [1, 4].
4. C onclusion
The article deals with the translational-rotational motion o f non-stationary bodies that are interacting according to Newton's law. Based on the equation in the relative coordinate system with the beginning at the center o f inertia o f the most massive body, the equations o f translational-rotational motion o f three non-stationary axisymmetric bodies in the osculating analogues o f the Delaunay-Andoyer elements are obtained. In the future, it is planned to Express the perturbing function through the osculating Delaunay- Andoyer variables and numerical analysis o f the obtained equations.
М.Дж. Минглибаев, А Д . Кушекбай эл-Фараби атындагы Каз¥У, Алматы, Казакстан
0СТ1К СИММЕТРИЯЛЫ YШ ДЕНЕНЩ ДИНАМИКАСЫНА
Аннотация. Классикалык аспан механикасында табиги аспан дeнeлepi нYктe peтiндe карастырылады (сфералык симметриялы дене). Егер м^ндай модель физикалык к¥былыстын каcиeтгepiн накты сипаттап бере алмаган жагдайда табиги аспан денелерш eлшeмдepi мен массалары теракты жэне к¥рылымы eзгepмeйтiн катты дене репнде модeльдeйдi. Аспан дeнeлepiнiн щкте (шар) де емес, катты дене де емес екенше бYгiндe бакылаушы астрономия кyэлiк eтeдi. Табиги аспан дeнeлepi нeгiзiнeн бейстационар. Уакыт eтe олардын массалары, eлшeмдepi жэне массанын таралу к¥рылымдары eзгepeдi. Сэйкeciншe, олардын гравитациялык тартылыс кYшi жэне eзаpа Ньютондык эсерлесу кYшi уакытка тэyeлдi болады. Б^л факторлар дeнeнiн динамикалык эволюциясына айтарлыктай эсер eтeдi. Ен кeп тараган бейстационарлык- гравитациялык денелер массаларынын жэне eлшeмдepiнiн eзгepмeлiлiгi. Жогарыда сипатталган физикалык жYЙeлepдiн iлгepiлeмeлi-айналмалы козгалысын зерттеу казipгi замангы теориялык жэне аспан механикасынын манызды eceбi болып табылады. Мысалга, айнымалы ж^лдыздардын радиусынын периодты eзгepyi осыган дэлел. Эр тYpлi ж^лдыздардын ecy этапында олардын кысылуы мен кeнeюi ж^лдыздын imri эволюция теориясынан шыгады. Мысалы, ж^лдыздын eлшeмi кызыл гигант стадиясына eткeн кезде, массасына тэyeлдi 10-нан 100-ге дeйiн eзгepeдi. Эcipece диссипация процессшщ интeнcивi жэне массанын ауысуы тыгыз ек1 жYЙeдe болады. Ж^лдыздардын шогырлануы, газдык фондагы эволюциялануы пульсация жагдайында болады. Соган катысты олардын тартылыс байланыстары айнымалы болады, Ньютондык eзаpа потенциалды байланысы тiкeлeй уакыттан тэyeлдi болады. Осы факторлар олардын динамикалык эволюциясына эсер етедг Ж^лдыздардын эволюциясын сипаттау Yшiн массанын жэне радиусынын eзгepyiнe ж^лдыздын реакциясын бepeтiн, сипаттама функциясы eнгiзiлeдi. Ж^лдыздын массасы eзгepгeн кeздeгi, онын eлшeмiнiн eзгepyi зерттеледг Масса, eлшeм жэне пiшiннiн eзгepyi физикалык айнымалы ж^лдыздар - пульсацияланатын ж^лдыздарда айкын кepiнeдi.
Классикалык Yш дене мэceлeci - аспан механикасынын eтe кызыкты, кYpдeлi жэне eзeктi мэceлeci, галымдар б^л мэceлeнiн жалпы шeшiмiн элi кYнгe дeйiн таба алмай кeлeдi. Егер осы мэселеде бiз дeнeлepдiн массалары айнымалы екенш ecкepeтiн болсак, б^л eceптi киындатады. Осыган байланысты айнымалы массалы Yш дене мэceлeciнiн жалпы жэне дербес бipдe-бip накты шeшiмi жок.
Г равитациялаушы дeнeнiн массасы мен eлшeмiнiн eзгepy салдары бейстационар накты гарыштык жYЙe динамикалык эволюциясынын нeгiзгi факторларынын бipi болып табылады. Осы ж^мыста массасы, eлшeмi жэне пiшiнi айнымалы Yш дене мэceлeciнiн айнымалы-iлгepлeмeлi козгалысы карастырылган. Б^л ж^мыстын
непзп максаты бiздiн алдыщы жумысымызда алган козгалыс тендеулерiнiн негiзiнде Yш eстiк симметриялы, массалары мен eлшемедерi айнымалы, айнымалы сыгылатын денелердiн iлгерiлемелi-айналмалы козгалысынын дифференциалдык тендеулерiн оскуляциялаушы элементтерде алу.
Макалада eзара гравитацияланушы бейстационар Yш дене карастырылады: бiрiншi дене - «центрлш», ягни баска екi денеге караганда Yлкенiрек. Yш дененiн де динамикалык курылымы жэне пiшiнi eстiк симметриялы. Ньютоннын eзара эсерлесу кYшi екiншi гармониканы ескергендегi кYштiк функциянын жуык eрнегiмен сипатталган. Массасы жэне eлшемi айнымалы eстiк симметриялы денелердiн iлгерiлемелi- айналмалы козгалысынын дифференциалдык тендеулерi салыстырмалы координаталар жYЙесiнде eткен жумысымызда корытылып шыгарылган болатын. Бейстационар Yш дене Yшiн меншiктi координаталар жYЙесiнiн eстерi дененiн бас инерция eстерiмен сэйкес келедi жэне бул кYЙ эволюция барысында eзгерiссiз калады. Денелердiн массалары эртYрлi каркында изотропты eзгередi. Есепте уйытку теориясынын тэсiлдерi пайдаланылган. Оскуляциялаушы Делоне-Андуайе элементгерiнiн аналогтарында серiктiн шгершемель айналмалы козгалысынын тендеулерi алынды. ¥йыткымаган козгалыстын конондык тендеулерiнiн интегралдары келпрглда.
ТYЙiн сездер: eстiк симметриялы дене, шгершемельайналмалы козгалыс, айнымалы масса, Yш дене есебi, оскуляциялаушы элементтер.
М.Дж. Минглибаев, А Д . Кушекбай КазНУ им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан К ДИНАМИКЕ ТРЕХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ
Аннотация. В классической небесной механике реальные небесные тела моделируются материальной точкой (сферически симметричного тела). В случаях, когда такое описание физических явлений неадекватно отражает суть реальной небесно-механической проблемы, небесные тела моделируются твердым телом постоянного размера, массы и неизменной структурой. Наблюдательная астрономия свидетельствует, что реальные небесные тела неточечные и нетвердые. Реальные космические тела по существу нестационарные.
Со временем меняются их массы, размеры, формы и структура распределения массы внутри тел.
Соответственно, становится переменной их гравитирующая связь и ньютоновский потенциал взаимодействия оказывается явно зависящим от времени. Эти факторы существенно влияют на динамическую эволюцию тел. На некоторых этапах эволюции гравитирующих систем эффекты нестационарности тел, входящих в систему в конце этого этапа. Наиболее часто распространенная нестационарность - переменность масс гравитирующих тел. Исследование поступательно-вращательного движения выше описанных физических систем является актуальной задачей современной теоретической и небесной механики. В связи с этим становится актуальным создание математических моделей движения небесных тел с переменными массами, размерами, и формами. Целью настоящей работы является на основе уравнения движения, полученные в предыдущей нашей работе вывести дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения нестационарных трех осесимметричных тел с переменными массами, размерами и переменного сжатия в оскулирующих элементах.
Исследуется поступательно-вращательное движение трех свободных нестационарных осесимметричных небесных тел с переменными массами, размерами и переменного сжатия взаимодействующих по закону Ньютона, из которых никакие два не имеют общие части. Ньютоновская сила взаимодействия характеризуется приближенным выражением силовой функции, учитывающая вторую гармонику. Пусть эллипсоид инерции тел T , T , T различные, осесимметричные и имеют собственную экваториальную плоскость симметрии и в ходе эволюции эти свойства сохраняются. Так же допустим, что сжатия тел относительно экваториальной плоскости переменные. Исходные расположения главных осей инерции и центр инерции в теле осесимметричных тел в ходе эволюции остаются неизменными и направлены вдоль линии пересечения трех взаимоперпендикулярных плоскостей.
Приведены дифференциальные уравнения поступательно-вращательного движения трех нестационарных осесимметричных тел с переменными массами и размерами в относительной системе координат, с началом в центре более массивного тела. Оси инерции собственной системы координат нестационарных осесимметричных трех тел совпадают с главными осями инерции тел и предполагается, что в ходе эволюции их относительная ориентация остаются неизменными. Массы тел изменяются изотропно в различных темпах. Получены канонические уравнения поступательно-вращательного движения трех
--- 29 ---
нестационарных осесимметричных тел с переменными массами и размерами в аналогах оскулирующих элементов Делоне-Андуайе. Приведены канонические уравнения невозмущенного движения, и их интегралы.
Ключевые слова: поступательно-вращательное движение, переменная масса, задача трех тел, осесимметричные небесные тела, оскулирующие элементы.
Information about authors
Minglibayev Mukhtar Zhumabekovich - al-Farabi Kazakh National University, Fesenkov Astrophysical Institute, Chief Researcher, e-mail: minglibayev@gmail.com, https://orcid.org/0000-0002-8724-2648;
Kushekbay Abylay Kabidullauly - PhD student, al-Farabi Kazakh National University, e-mail: kkabylay@gmail.com, https://orcid.org/0000-0002-1674-3648
REFERENCES
[1] Minglibayev M.Zh. (2012) Dinamika gravitiruyushchikh tel s peremennymi massami i razmerami. LAP LAMBERT Academic Publishing. 224p. ISBN: 978-3-659-29945-2
[2] Duboshin G.N. (1975) Nebesnaia mekhanika. Osnovnye zadachi i metody. Moskva: Nauka, 799 p.
[3] Minglibanev M.Zh., Kushekbay A.K. (2019) Uravneniia postupatel'no-vrashchatel'nogo dvizheniia zadachi trekh [4] osesimmetrichnykh tel s peremennymi massami, razmerami i formami. BULLETIN o f L.N. Gumilyov Eurasian National University, MATHEMATICS. COMPUTER SCIENCE. MECHANICS Series, Vol.2 (127), P. 58-65.
https://doi.org/10.32523/2616-7182/2019-127-58-65
[5] Borisov A.V., Mamaev I.S. (2005) Dinamika tverdogo tela. Gamil'tonovy metody, integriruemost', khaos. Moskva- Izhevsk,
[6] Institut komp'iuternykh issledovanii, 576 p.
[7] Martynova A.I., Orlov V.V., Rubinov A.V., Sokolov L.L., Nikifirov I.I. (2010) Dinamika troinykh sistem. izd. S.
[8] Peterburgskogo universiteta, 214p.
[9] Omarov T.B. (2002) (Editor) Non-Stationary Dynamical Problems in Astronomy. New-York: Nova Science Publ.Inc.
260p.
[10] Bekov A.A., Omarov T.B. (2003) The theory of orbits in non-stationary stellar systems, Astron. Astrophys. Trans.
Vol. 22(2). P.145-153.
[11] Luk'janov L.G. (1983) Ob uravnenijah dvizhenija zadachi mnogih tel s peremennymi massami. Astron. zhurn. - Vol.60(1). P. 181-184.
[12] Prokopenya A.N. (2005) Reshenie fizicheskih zadach c ispolzovaniem sistemy Mathematica, BSTU Publishing, Brest, 260 p.
[13] S.B. Bizhanova, A.N. Prokopenia, M.Zh. Minglibayev. (2020) Issledovanie vekovykh vozmushchenii postupatel'no [14] vrashchatel'nogo dvizheniia v nestatsionarnoi zadache dvukh tel s primeneniem komp'iuternoi algebry. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, Vol 60(1), P. 27-36. https://doi.org/10.1134/S0044466920010068
[15] M.Zh. Minglibayev, A.T. Ibraimova (2019) Equations of motion of the restricted three-body problem with
[16] non-isotropically variable masses with reactive forces. Izvestiia natsional'noi akademii nauk Respubliki Kazakhstan.
Seriiafiziko-matematicheskaia. Vol.325(3). P.5-12. https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.18
