nblib.library.kz - /elib/library.kz/jurnal/2020/physical and mathematical_02-2020/

N E W S

OF TH EN A T IO N A L A C A D E M Y OF SCIEN C ES OF TH E R EPU B LIC OF K A ZA K H STA N P H Y S IC O -M A T H E M A T IC A L S E R IE S

ISSN 1991-346Х h ttp s://do i.o rg /1 0.3 201 4/20 20 .25 18 -17 26 .22

V olum e 2, N um ber 330 (2020), 112 - 119

UDC 517.951, 517.957, 530.145, 539.12

S.R . M y rz a k u l, Z h . R . M y rz a k u lo v a

1L.N. Gumilyov Eurasian National University, Nur-Sultan, Kazakhstan.

E-mail: srmyrzakul@gmail.com, zhrmyrzakulova@gmail.com

GAUGE EQUIVALENCE BETWEEN THE Г-SPIN SYSTEM AND (2+1)-DIMENSIONAL TWO-COMPONENT

NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION

A bstract. At present, the question of studying multidimensional nonlinear evolution equations in the framework of the theory of solitons is very relevant. Their usefulness is confirmed by numerous scientific publications, articles and many international conferences. One of the results of these works is the conclusion that, each (1+1)-dimensional soliton equation corresponds to several (2+1)-dimensional integrable and nonintegrable extensions. This led to the intensive development of an important subclass of nonlinear evolution equations of the theory of integrable spin systems. The simplest example of an integrable spin system is the equation Myrzakulov-I (M-I). The M-I equation is a (2+1)-dimensional integrable generalization of the well-known Landau-Lifshitz equation and for y = x it is reduced to it. In this paper, we consider the Г-spin system. This spin system corresponds to the 2-layer M-I equation.

A matrix Lax representation for the aforementioned spin system in symmetric space is proposed. The main result of this work is the establishment of gauge equivalence between the Г-spin system and the (2+1)-dimensional two- component non-linear Schrodinger equation.

Key words. Г-spin system, 2-layer M-I equation, (2+1)-dimensional two-component nonlinear Schrodinger equation, gauge equivalence.

In tro d u c tio n

M odern m athem atics and physics are fluttering intensively. D om estic fundam ental science is n o t lag behind. W e can distinguish such directions as differential equations of various orders (see, fo r exam ple, [11), com putational m ethods and R iem annian m etrics [31. N o less interesting top ic is m athem atical m odeling o f problem s [41. In particular, one can note such w orks as [41 w here the (2 + 1) -dim ensional integrable Fokas-Lenels equation w as considered. A lso in [51 the w ork o f A .A. Z hadyranova investigated the solutions o f the W itten-D ijkgraf-E . V erlinda-G . W erlinde equations (W DVV).

The basis of research in the field of m athem atical and theoretical physics is the know ledge of integrable nonlinear evolution equations (NEE). The solitons th eory o f integrable N E E o f (1+1)- dim ension is w ell developed. This is evidenced by the large num b er of w orks devoted to this field by w ell- know n m odern m athem aticians and physicists, such as A blovets M ., Z akharov V .E., Laks P.D., Lipovsky V .D ., M anakov S.V., Ishim ori U., Sigur H ., Shabbat A.B. and others (for exam ple Refs.[6,71). In recent decades, m ultidim ensional, in particular (2+1) and (3+1)-dim ensional N E E have been intensively studied.

The interest in them is justified by the fact th at w ith th eir help m any physical processes are described in optics, radiophysics, in the dynam ics o f continuous m edia, particle physics and other fields. The m ore fam ous am ong (2+1)-dim ensional integrable equations are the n onlinear Schrodinger equation (NLSE), the Ishim ori equation, the sine-G orden equation, the K adom tsev-Petviashvili equation, the Zakharov- M anakov equation, the D avy-Stew artson equation, M -I etc [8-131. Theories o f solving problem s for tw o ­ dim ensional integrable equations are m ore com plicated, since (2+1)-dim ensional connected w ith system s o f linear partial differential equations w ith variable coefficients. Spin system s are a significant section o f the NEE.

(2+1)-dim ensional tw o-com ponent n onlinear Schrodinger equation has form s + 4lyx — v\4\ — = 0 ,

^ t + Ъ yx — V2 Ъ — ®2 q = 0 , К — r1yx + V1r1 + ®2 r2 = 0 ,

ir2t — r2 yx + V2 r2 +®1r1 = 0 , V1x — 0 ^ 1 + Ъ2) y = 0 , V2 x — (Ш + 2 r2 Ъ2) y = 0 ,

®1x —(ЯlrX ) y = 0 , x — (гЪ ) y = 0 ,

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) w here q i = q,- (x, y, t) , ri = r (x, y , t) are the com plex functions and v i = v i (x, y , t) , w i = w i (x, y , t) ,

(i = 1,2) are the real functions. It is integrated by the m ethod o f the inverse scattering m ethod, thus, for its there is a L ax representation. Its L ax representation is given in the form

Ф ( = 2АФy + У ф ,

(9) (10) A -spectral param eter and Ф = (ф ,

the form s

) . H ere the m atrix operators U1 and V1 , accordingly, have

U = —iAE + Q, (11)

and

V1= i

' 0 _{qi q 2 ^} Г 1 0 0N Q = r1 0 0 , E = 0 — 1 0

v r2 0 0 У v 0 0 — 1

d —1 (riqi + r2q2), q1y q 2

— r1y

— r2y

d —1 (г1Ъ1 ) y d —1 (гЪ ) y d —1 (q1r2 ) y d —1 q r2)y У

L ax re p re s e n ta tio n fo r th e Г -sp in system c o rre s p o n d in g to th e tw o -la y e r M -I e q u a tio n Г -spin system w hich accord to the tw o-layer M -I equation is given by

iT, + 2 [^г, Г , ]x + 2 i ( z r )x = 0 ,

- h t r (r [ r x, Г, ] 12

here [ r x, Гу ]= r x Гу — Гу r x and called com m utator. W e introduce the follow ing notation fo r Г

and

(12) (13)

Г = g—1E g , Г 2 = I (14)

Г г111 Г12 Г ^1 13

Г = Г21 Г22 Г1 23 е su (3).

1 Г31 Г32 Г1 33 у Zx -

113

E lem ents o f the Г m atrix respond som e restrictions

Г33 = -(1 + Г „ + Г 22), Г* = Г Д j = 1,2,3)

T h e o re m 1 The L ax representation fo r the Г -spin system (12)-(13) is given in the form

^ x = U 2 ¥ , (15)

^ = 2 X y + V2, (16)

where

U2 = - —Г , V2 = 2 2 z Г + — [ г ,ГУ ]. (17) P r o o f 1. From the com patibility condition the system (15) and (16), the m atrices U2(x ,y , t , X ) and V2 (x, y, t, 2 ) satisfy the condition o f zero curvature

u 2t - v 2x + [U2,V2] -2 X U2y = 0 . (18) T hen substituting expressions (15), (16) and (17) in the condition o f zero curvature (18) obtain

- —Г - 2 И ^ Г ) Х - — [Г, Гу ] - —[Г, V2 ] + 2iX2Гу = 0 , [ Г , ^ ] =

2

Г,27'—Г +—[Г, Гу ] = - [Г, [Г, Гу ] = 2ХГу —

' г + 2 [Г, Гу ]x + 2i(zГ)x = 0 . Finally, we derive

'Г, + 2 [г , , Гу ] + 2 [г, Г,у ]+ 2izx Г +l i z ^ = 0

1 (г [ г , . Гу М Г, . Гу W + 4 М = 0 z , = £ tr (г [ г , , Гу ])

So w e have obtained sought-for Г -spin system corresponding to the tw o-layer M -I equation

‘Г + 2 [Г, Гу ], + Тл(2Г)х = 0 , (19)

z , = 1 2 tr (г [ г , , Гу ]). (20)

T hus we proved theorem 1.

G a u g e eq u iv ale n ce b etw e en th e Г -sp in system a n d (2 + 1 )-d im en sio n al tw o -c o m p o n e n t N L S E In this section, w ill estabilish the gauge equivalence betw een the (2+1)-dim ensional tw o com ponent N L S E (1)-(8) and the Г -spin system (12)-(13).

T h e o re m 2. The (2+1)-dim ensional tw o com ponent N L S E (1)-(8) and the Г -spin system (12)-(13) are gauge equivalent to each other.

To prove this theorem , w e introduce som e concepts from the classical theory o f gauge equivalence.

D efin itio n 1. E quations adm itting the L ax representation

^ x = U j V , ^ = V j ^ , j = 1,2 or satisfying the condition of zero curvature

U , - Vjx + [U j V j J = 0 , j = 1.2 are called integrable equations.

D e fin itio n 2. Integrable equations are called gauge equivalents i f th ey are related by a transform ation Ф 1 = g_1Ф 2, U 1 = g U2g-1 + g xg- , V1 = gV2g + g tg- w ith the m atrix function g no t conditional on pseudo-differential sym bols by other independent variables o f operators included in U and V.

P r o o f 2. L et pass to the im m ediate p ro o f o f the theorem . First, consider the follow ing gauge transform ation

¥ = g ~1 ф , g = Ф Л=0,

w here Ф is the solution to the system o f the corresponding N L S E (1)-(8), and ¥ is the solution to the system corresponding to the Г -spin system (14)-(15), and also g(x, y , t) is an arbitrary 3 x 3 m atrix function th at is a solution to system (9)-(10) at A = 0 . The derivative o f the function ¥ w ith respect to x is

¥ x = (g Ч ф)х = g ^ x - g ^ g x g ^ (21) th en using then substituting the expressions (9), (10) and (11) in (20) w e get

¥ x = g - ( - /АЕФ + Q & ) - g ~lQgg _1Ф = -iA g ~'ЕФ = - i A g _1E g ¥ = - i A F ¥ = U 2 ¥ N ext w e take the derivative o f ¥ by t

¥ = - g “V g g - 1Ф + g - 1 (2АФ y + Vlф) = 2Ag- 1Ф y = 2Ag- (g ¥ )y = 2 2 g - gy ¥ + 2 A ¥ y . in total

¥ x = U2 ¥ , ¥ t = 2 A ¥ y + 2 A - gy ¥ .

The last form ula depends on ¥ , we need to express ¥ in term s o f Г . From the expression (14) follow s

on the other hand

y \g N ex t w e introduce notational convention

Гу = (g ~'Sg )y = [ r g - g y ] r y = (g ~ '2 g )y = g f c g y g

g y g = i

( Сп C12 C13 ^

VС31 С32 C33 у

(22)

then from the equation (22) follow s

( 0 Г = 2ig -

Сл^ Сл - С21 0 0 g V- С31 0 0 у

(23)

W e also have that

( 0 С12 С13 ^ ( 0 С12 С13

ГГу = 2 i g -

7gg - С21 0 0 g = 2ig 4 С21 0 0 g (24)

V- С31 0 0 у V С31 0 0 у

( 0 С12 С13 ^ ( 0 С12 С13

Гу Г = 2 ig -1 - С21 0 0 gg-1S g = --2ig -1 С21 0 0 g . (25)

V- С31 0 0 у V С31 0 0 у

C onsidering (24) and (25) we get

( 0 С12 С13

g 1

С21 0 0

V С31 0 0

g . С21 С22 С23

115

N ow w e need to express g 1 g y in term s o f the m atrix Г . F o r this, w e represent the m atrix g in the follow ing form

(b11 b12 b13 N gy = 1b21 b22 b23

COо

b32 b33 у g = Wg

and b11 = z , b22 = b33 = - z . H ere z = z ( x , y , t) is unknow n function. C onsequently g 1 g y = g lWg .

Гу = [г, g -1 gy ] = [g - 'E g , g - 1Wg ] = g - 1 [E,W ]g = 2 g

( 0 b12 b13 \ - b21 0 0 V- b 31 0 0

g ,

( 0 b12 [Г, r y ] = 4ig -1 b21 0

v b31 0 2b10 b13 ^ g - b 21 0 0 g =

V b31 0 0 у

g ,

1 [Г ГУ ].

g 1 gy = ig 1Wg = izg 1E + ig 1

4i

( 0 b12 b13 \ b21 0 0 Vb31 0 0

g = izr + 4 [ r , r y ] .

Substituting the resulting expression in (14) w e obtain

Ф t = 2 —T + 2 —g - g y T = 2 —T + 2Л( i z r + 4 [г, ry ]\ = 2 —T + ^ T . Finally, the L ax representation for the Г -spin system has the form

^ x = U 2 T ,

where

U 2 = - —Г . V2 = 2i—zГ + — [r, r y ].

(26) (27)

(28) (29) So, w e derived the L ax representation for the spin system (14) - (15). The system com patibility condition (26) - (29) ( T xt = T tx) gives

U 2t - V2 x + [U 2,V2 ] - 2—U2 y = 0

i r t + 2 [r, ry ]x + 2 i(zr)x = 0 , ' ( r [ r x, r y ] . or

12 T heorem 2 is proved.

C o n clu sio n s

In this paper, w e considered the Г -spin system corresponding to the 2-layer equation M yrzakulov-I.

Farther а m atrix form o f the L ax representation w as proposed for the equation u n d er consideration in the sym m etric space s u (n + 1 ) /s ( u(1) © u( n ) ) for the case n = 3 . This kind o f L ax representation expands the possibilities o f studying the Г -spin system . In particular, using the m atrix form o f the Lax representation for the Г -spin system , we established the gauge equivalence o f this equation to a (2+1)- dim ensional tw o-com ponent N LSE. The obtained result is used for further research of spin system s w hen finding different soliton solutions.

Acknowledgements

This work was supported by the Ministry of Education and Science of Kazakhstan under the grant (Agreement

№132 of 03/12/18).

Ш .Р. М ы рзакул, Ж. Р. М ы рзакулова

Л.Н. Гумилев атындагы Еуразия улттык университет^ Нур-Султан, Казакстан Г-С П И Н ЖУЙЕС1 М ЕН (2+1)-0ЛШ ЕМ Д1 ЕК1 КОМ ПОНЕНТТ1 С Ы ЗЫ К Т Ы ЕМ ЕС

Ш РЕДИНГЕР ТЕНДЕУ1НЩ АРАСЫ НДАГЫ КАЛИБРОВТ1 ЭКВИВАЛЕНТТШ 1К

Аннотация. Казiргi уакытта кeпeлшемдi емес сызыкты эволюция тендеулерш солитондар теориясы шенберiндегi зерттеу eте eзектi болып табылады. Олардын пайдалылыгы кeптеген гылыми жарияланым- дармен, макалалармен жэне кeптеген халыкаралык конференциялармен расталады. Осы жумыстардын нэтижелершщ бiрi-эрбiр (1+1)-мeлшемдi солитондык тендеу бiрнеше (2+1)-мeлшемдi интегралданатын жэне интегралданбайтын кенейпмдерге сэйкес келедi. Бул сызыктык емес эволюциялык тендеулер теориясынын манызды тобын интегралданатын спиндiк жYЙелер теориясынын каркынды дамуына экелдi. Спиндiк жYЙелер немесе Ландау-Лифшиц тендеуiлерi математика мен физикадагы манызды угымдардын бiрi.

Мысалы, геометрияда олар ортогональ тYрiнде Г аусс-Вайнардин тендеуiмен аныкталады. Физикада спиндiк жYЙелер магнитиктердегi сызыктык емес процестердi зерттеуде кенiнен колданылады. Интегралданатын жэне интегралданбайтын спиндш жYЙелердiн жана класстарынын курылулары мен зертгеулерi (эсiресе кeп eлшемдiлiк жагдайында) жаратылыстану гылымдарынын кажетгiлiгi мэселесшщ eзектiлiгiнен туындады.

Интегралды спиндiк жYЙелер теориясын дамытуда манызды рeлдi М.Лакшмананнын, В.Е. Захарова, Р.Мырзакулов, Л. А. Тахтаджян жэне баскалары аткарды. Интегралданатын спин жYЙесiнiн карапайым мысалы - Мырзакулов-I (M-I) тендеуi. М -I тендеуi - бул танымал Ландау-Лифшиц тендеушщ (2+1)-мeлшемдi интегралданатын жалпылауы, ал y = x Yшiн eзi шыгады. Бул тендеудiн интегралдылыгы керi шашырау есебi эдiсiне дэлелденедi. Керi шашырау есебi эдiсiн эдетте сызыктык есептердi шешу Yшiн колданылатын Фурье тYрлендiру эдiсiн жалпылау деп карастыруга болады. Бул макалада Г-спиндж жYЙенi карастырамыз. Бул спин жYЙесi екi кабатты М -I тендеуiне сэйкес келедi. Жогарыда аталган спиндiк жYЙеге симметриялы кевдспктеп Лакс усынысынын (Л ¥) матрицалык тYрi алынды. Бул жумыстын негiзгi нэтиж ес - Г-спиндiк жYЙе мен (2+1) -eлшемдi екi компоненттi сызыкты емес Шредингер тендеуi (СЕШТ) арасындагы калибровтык эквивалентiлiктi куру. Солитондар теориясында калибровтык эквивалентгiлiк манызды рeл аткарады. Интегралданатын (1+1) -eлшемдi сызыктык емес тендеулер Yrnrn калибровтык эквивалентгiлiк угымын Захаров В.Е., Михайлов А.В., Тахтаджаана Л.А. енпзда. Калибровтык эквивалентгiлiк угымы сызыктык емес эволюциянын тендеулердiн (СЕЭТ) Л¥-нъщ бар болуымен тыгыз байланысты. Л ¥ болуы СЕЭТ-дiн интегралдануы Yшiн кажетп шарт екенi белгiлi. Демек, калибровтык эквиваленттшк интегралданбайтын, бiрак Л ¥ бар СЕЭТ арасында орын алады. Захаров В.Е., Тахтаджяна Л.А. жумысында.

Ландау-Лифшиц тендеуi мен СЕШТ (1+1)-eлшемдi тартымдылыгы бар жагдай Yшiн калибровтык эквиваленттшк аныкталды. Липовский В.Д., Широкова А.В., Михалева В.Г. енбектершде. (2+1)-eлшемдi солитондык тендеулердщ белгiлi eкiлдерi - Ишимори тендеуi жэне Дэви-Стюартсон тендеуi арасында дэлелдендг Сондай-ак, Р.Мырзакулов пен онын тобынын жумыстарында кейбiр спин жYЙелерi мен СЕШТ арасында эквивалентгiк орнатылганын атап eтемiз. Мысалы, СЕШТ изотроптык тендеуге М -III, Захаров тендеуi M-IX, еш компонентгi Камас-Холм тендеуi Гейзенберг ферромагнитпк тендеуiне эквивалент екендiгiн адрсеткен. Осы жумыс жогарыда аталган жумыстарга уксас орындалган.

ТYЙiн сездер. Спин жYЙесi, M-I 2-кабатгы M-I тендеу, (2+1)-eлшемдi екi компонентгi сызыкты емес Шредингер тендеу^ калибровтi эквивалентгiлiк.

---117---

Ш .Р. М ы рзакул, Ж.Р. М ы рзакулова

Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева, Нур-Султан, Казахстан К А ЛИБРОВОЧН АЯ ЭКВИВАЛЕНТНО СТЬ М ЕЖ ДУ Г-СП И Н СИСТЕМ ОЙ

И (2 + 1)-М ЕРНЫ М ДВУХКОМ ПОН ЕНТНЫ М НЕЛ И Н ЕЙ Н Ы М У РАВНЕНИЕМ Ш РЕДИ Н ГЕРА А ннотация. В настоящее время вопрос изучения многомерных нелинейных эволюционных уравнений в рамках теории солитонов является весьма актуальным. Их полезность подтверждается многочисленными научными публикациями, статьями и многими международными конференциями. Одним из результатов этих работ является вывод о том, что каждое (1+1)-мерное солитонное уравнение соответствует нескольким (2+1)- мерным интегрируемым и неинтегрируемым расширениям. Это привело к интенсивному развитию важного подкласса нелинейных эволюционных уравнений теории интегрируемых спиновых систем. Важные значения в математике и физике имеют спиновые системы. К примеру, в геометрии они отожествляются с уравнением Гаусса - Вейнгардена в его ортогональной форме. В физике спиновые системы успешно применяются в изучении нелинейных процессов в магнетиках. Построения и исследования новых классов интегрируемых и неинтегрируемых спиновых систем (особенно в многомерии) были вызваны актуальностью проблемы потребности естественных наук. Важную роль в становлении теории интегрируемых спиновых систем сыграли работы М. Лакшманана, В.Е. Захарова, Р. Мырзакулова, Л. А. Тахтаджяна и др. Простейшим примером интегрируемой спиновой системы является уравнение Мырзакулов-I (M-I). Уравнение M-I представляет собой (2+1) -мерное интегрируемое обобщение известного уравнения Ландау-Лифшица, и для y = x оно сводится к нему. Интегрируемость этого уравнение сводится к методу обратной задачи рассеяния.

Метод обратной задачи рассеяния можно рассматривать как обобщение метода преобразования Фурье, который обычно применяется для решения линейных задач. В этой статье мы рассмотрим Г-спин систему.

Эта спиновая система соответствует двухслойному уравнению M-I. Предложено матричное представление Лакса (ПЛ) Фx = U(x,у , ^ А ) Ф , Фt = V(x,у,^Л.)Ф для вышеупомянутой спиновой системы в симметричном пространстве. Основным результатом этой работы является установление калибровочной эквивалентности между Г-спиновой системой и (2+1)-мерным двухкомпонентным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Калибровочная эквивалентность играет важную роль в теории солитонов. Захаровым В.Е., Михайловым А. В., Тахтаджяна Л.А. было введено понятие калибровочной эквивалентности для вполне интегрируемых (1+1)-мерных нелинейных уравнений. Понимание калибровочной эквивалентности тесно сязана со существованием ПЛ для нелинейных эволюционных уравнении (НЭУ). Хорошо известно, что существование представления Лакса является необходимым условием интегрируемости НЭУ.

Следовательно, калибровочная эквивалентность также существует между неинтегрируемыми, но обладающими ПЛ НЭУ. В работе Захарова В.Е., Тахтаджяна Л.А. было установлена калибровочная эквивалентность уравнения Ландау-Лифщица и НУШ с притяжением для (1+1)-мерного случая. В работах Липовского В.Д., Широкова А.В., Михалева В.Г. были доказаны эквивалентность между наиболее известными представителями (2+1)-мерных солитонных уравнения - уравнение Ишимори и уравнение Дэви- Стьюартсона. Отметим также, что в работах Мырзакулова Р. и его группы были установлены эквивалентности между некоторыми спиновыми системами и НУШ. К примеру, НУШ калибровочно эквивалентное к изотропному уравнению М -III, уравнение Захарова к М -IX, двухкомпонентное уравнения Камассы-Холма к обобщенному уравнению ферромагнетика Гейзенберга, и так далее. Данная работа выполнена аналогично вышеупомянутым работам.

К лю чевы е слова: Спин система, 2-слойное уравнение М -I, (2+1)-мерное двухкомпонентное нелинейное уравнение Шредингера, калибровочная эквивалентность.

Information about authors:

Myrzakul Shynaray Ratbaykizi, associate professor of the department "General and theoretical physics" Eurasian National University named after LN. Gumilyov, PhD, candidate of phys.-math. science of the Republic of Kazakhstan; srmyrzakul@gmail.com; https://orcid.org/0000-0003-0044-7323;

Myrzakulova Zhaidary Ratbaykizi, PhD student of the Department of “Fundamental mathematics” Eurasian National University named after L.N. Gumilyov; zhrmyrzakulova@gmail.com; https://orcid.org/0000-0002-4047-4484

REFERENCES

[1] Bekbolat B., Kanguzhin B., Tokmagambetov N. To the question of a multipoint mixed boundary value problem for a wave equation / / Bulletin of national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Vol. 4, 2019. P. 76-82. (In Eng) https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.46

[2] Assanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M. Numerical implementation of solving a boundary value problem for a system of loaded differential equations with parameter/ / Bulletin of national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Vol. 3, -2019. P. 77-84. (In Eng) https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.27

[3] Kalimoldayev М.№, Abdildayeva А.А., Akhmetzhanov M.A., Galiyeva F.M. Mathematical modeling of the problem of optimal control of electric power systems/ / Bulletin of national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Vol. 5, 2018.

P. 62-67. (In Eng) https://doi.org/10.32014/2018.2518-1726.8

[4] Zhassybayeva МЛ., Yesmakhanova KR. Soliton Solutions for the (2+1)-dimensional Integrable Fokos-Lennells Equation Bulletin of national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Vol.4, №326. 2019. P. 14-21. ISSN 1991-346Х (in Eng.) https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.80

[5] Zhadyranova A.A. Hierarcy of WDVV associativity equations for n = 3 and N = 2 case when V0 = 0 with new system at , bt , С( // Bulletin of national academy of sciences of the Republic of Kazakhstan. Vol. 5, №327. 2019. P. 70-77. ISSN 1991­

346Х (in Eng.) https://doi.org/:10.32014/2019.2518-1726.60

[6] Zaharov V.E., Tahtadzhyan L.A. Ekvivalentnost' nelinejnogo uravneniya SHredingera i uravneniya ferromagnetika Gejzenberga / /Teor.Mat.Fiz. Vol. 38, 1979. P. 26-34. (In Russ).

[7] Zaharov V.E., Manakov S.V. Mnogomernye nelinejnye integriruemye sistemy i metody ih reshenij// Zap. nauch. sem.

LOMI. Vol.133. 1984. P. 77-91. (In Russ).

[8] Myrzakulov R., Lakshmanan M., Vijayalakshmi S., Danlybaeva A. Motion of curves and surface and nonlinear evolution in (2+1)-dimensions //Journal of Mathematical Physics. Vol. 39. 1998. P. 3765-3771. (in Eng.) https://doi.org/10.1063/1.532466

[9] Myrzakulov R., Nugmanova G.N.(2013) Integriruemye obobshcheniya uravneniya Landau-Lifshica // Master PO, Kazahstan. ISBN 978-601-301-063-2 (In Russian).

[10] Myrzakul A., Myrzakulov R. Integrable motion of two interacting curves, spin systems and the Manakov system//

International Journal of Geometric Methods in Modern Physics C. Vol.14, 2017. P. 1750115. https://doi.org/

10.1142/S0219887817501158 (in Eng.).

[11] Nugmanova G., Myrzakul A. (2019) Integrability of the Two-layer Spin System // Geom., Integr. and Quant. Proc. Of XXth Int. Conf., Sofia. P.208-214 (in Eng.).

[12] Myrzakulov R., Nugmanova G., Syzdykova R. Gauge equivalence Between (2+1)-Dimensional Continuous Heisenberg Ferromagnetic Models and Nonlinear Schrodinger-Type Equations // J. Phys.A: Math and Gen. Vol.31, 1998. P. 9535-9545 https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/31/47/013 (in Eng.).

[13] Myrzakulov R., Vijayalakshmi S., Nugmanova G., Lakshmanan M. A (2+1)-Dimensional Integrable Spin Model:

Geometrical and Gauge Equivalent Counterpart, Soliton and Localized Coherent Structures // Phys.Lett. A. Vol.233, №22. 1997 P. 391-396. (in Eng.) https://doi.org/10.1016/S0375-9601(97)00457-X

119