Б. Рысбайулы, А.Т. Байманкулов
Ограниченность приближенного значения коэффициента влагопроводности почвы в процессе перенос тепла и влаги
( Казахстанско-Британский технический университет, г. Алматы) (Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова, г. Костанай)
Изучается движение влаги температуры в ненасыщенном грунте. Задается влага и температура на поверхности земли. Для того чтобы определить коэффициент диффузии почвенной воды составляются прямая и сопряженная задачи.
Доказывается ограниченность коэффициента влагопроводности почвы.
1 Постановка задачи.
Движение воды в капиллярно-пористых средах, к каковым относятся почвы, может про- исходить под воздействием самых разнообразных движущих сил, представляющих градиент давления, потенциала гравитационного поля, потенциала электрического поля, температуры, концентрации растворенных веществ [1-4]. Нерпин С.В. [5], проведя классификацию механиз- мов движения воды в дисперсных средах, предполагает, помимо движущихся сил, различать силы по месту их действия в потоке, когда они распределены внутри объема потока, или вызва- ны поверхностными силами на границе "жидкость-воздух", или обусловлены силами, возника- ющими вблизи границы жидкости с твердой стенкой. Поэтому, принимая это обстоятельство во внимание и решая относительно простую задачу, предполагающую: отсутствие электрического поля и постоянство концентрации рассмотренных веществ, движение влаги и температуры в области Q= (0, H)×(0, T) можно уравнением [6]
γ0 = ∂θ
∂t = ∂
∂z
λ∂θ
∂z
, (1)
∂θ
∂z
z=H +α(θ−Tb(t))
z=H = 0, θ
z=0 =T1, θ
t=0 =θ0(z), (2) гдеα=α+α0Dn(H).
∂W
∂t = ∂
∂z
K(z) +D∂W
∂z +Dµ∂θ
∂z
, (3)
σ
z=H =A(t), σ
z=H = 0, W
t=0 =W0(z), (4)
здесьσ(z, t) =K(z) +D(z)∂W∂z +D(z)µ∂θ∂z.
Используя изменение температуры грунта и влаги на поверхности земли Tg(t), Wg(t), тре- буется определить коэффициент диффузии D(z). Методы решения обратных задач изучены в работах /6-9/, а в работах [10-14] изучены различные обратные задачи переноса тепла и влаги.
В работе [15] нами получены задачи
∂u
∂t + ∂
∂z
Dn(z)∂u
∂z
= 0 (5)
Dn(z)∂u
∂z
z=H = 2A0(W(H, t)−Wg(t)),∂u
∂z
z=0 = 0, u(z, T) = 0, (6) γ0C∂ψ
∂t + ∂
∂z
λ∂ψ
∂z
+ ∂
∂z
µDn(z)∂u
∂z
= 0, (7)
αψ+λ∂ψ
∂z +µDn(z)∂u
∂z
z=H = 2(θ(H, t)−Tg(t)), ψ(0, t) = 0, ψ(z, T) = 0 (8)
δD=βn(z) Z T
0
∂u
∂z ∂W
∂z +µ∂θ
∂z
dt+βn(z)α0
Z T
0
(θ−TB)ψ
z=Hdτ, (9) Здесь δD = Dn+1(z)−Dn(z). В настоящей работе доказывается ограниченность прибли- женного значения коэффициента влагопроводностиDn+1(z), n−0,1, ....
2 Априорные оценки прямой задачи
1) Умножим (1) наθ(z, t) и интегрируем по области Qt= (0, H)×(0, t):
RH 0
Rt
0γ0c∂τ∂θθdτ dz=Rt 0dτRH
0
∂
∂z λ∂θ∂z θdz.
Интегрируя по частям и учитывая начально-граничные условия (2) выводится равенство
1 2
RH
0 γ0cθ2dz+Rt 0dτRH
0 λ ∂τ∂θ
dz+αRt
0θ2(H, τ)dτ = 12RH
0 γ0cθ02(z)dz+αRt
0Tb(τ)θ(H, τ)dτ.
Применяя неравенство Коши, получим
Лемму 1. Если θ0(z) ∈ L2(0, H), Tb(t) ∈ L2(0, T), и γ0, с- ограниченные положительные величины, то для решения задачи (1)-(2) имеет место оценка
1 2
RH
0 γ0cθ2dz+Rt 0dτRH
0 λ ∂τ∂θ2
dz+ α2 Rt
0θ2(H, t)dτ ≤C1(1 +Dn(H)).
Лемму 2. Если θ0(z) ∈ W22(0, H), Tb(t) ∈ W21(0, T), то для решения задачи (1)-(2) имеет место оценка:
maxt
Z H
0
γ0c ∂θ
∂τ 2
dz+ Z t
0
dτ Z H
0
λ ∂t2θ
∂z∂t
2
dz+α 2
Z t
0
∂θ
∂z 2
z=H
dτ ≤C2(1 +Dn(k)) .
Доказательство. Дифференцируем (1) по t, γ0c∂∂t22θ = ∂z∂ λ∂z∂t∂2θ
. Умножим последнее равенство на θ0t и интегрируем по области Q= (0, H)×(0, t). Интегрируем по частям по пре- ременнойz и учитывая граничное условие (2), выводим:
1 2
RH 0 γ0cRt
0
∂θ
∂z
2
dz+Rt 0 dτR
λ ∂2θ
∂z∂t
2
dz=−αRt 0
∂θ
∂τ −Tb0 ∂θ
∂τdτ+12RH
0 γ0c ∂θ∂t2 t=0dz.
Отсюда следует утверждение леммы 2. 2) Умножим (3) наW(z, t)и интегрируем по области Q= (0, H)×(0, t). Применяем формулу интегрирования по частям по переменнойz. Применяя неравенство Коши при = 12 имеем:
1 2
Z H
0
W2(z, t)dz+ 1 2
Z t
0
Z H
0
Dn(z) ∂W
∂z 2
dzdτ≤ Z t
0
A(τ)W(H, τ) dτ+
+ Z t
0
Z H
0
K2(z)
Dn(z)dzdτ+ Z t
0
Z H
0
Dn(z)µ2 ∂θ
∂z 2
dzdτ. (10)
3) Умножим (1) на θ2k−1 и интегрируем по области θt = (0, H) ×(0, t). Правую часть знака равенство интегрируется по частям и учитывая начально-граничные условия (2) имеем равенство
1 2k
RH
b γ0cθ2kdz+ (2p−1)Rt 0 dτRH
b λθ2k−1 ∂θ∂z2
dz+αRt
b θ2k(H, τ)dτ = αRt
b(Tb(τ))θ2k−1(H, τ)dτ+2k1 RH
0 γ0cθ2k0 dz.
Первый интеграл в правой части знака равенства оценивается неравенствам Гельдера и Юнга. Тогда получается неравенства
maxt,z
θ(z, t)
≤max
t
θ0(z)
+ max
t
(Tb(t))
,max
t
θ(H, t)
≤max
z
θ0(z)
+ max
t
(Tb(t))
.
Предполагая, чтоk(z)∈C(0, H) и применяя неравенство Коши выводится неравенство Rt
0
A(τ)W(H, τ)
dτ ≤Rt 0
A2(τ)
√Dmindτ+14√ Dmin
Rt
0W2(H, τ)dτ/
Из тожества
W2(, t) = 2RH
0 W(z, t)∂W∂z dz
следует равенство
W2(H, t)≤ √ 1
Dmin
RH
0 W2(z, t)dz+√D1
min
RH
0 Dn(z) ∂w∂z2
dz.
Поэтому Rt
0
A(τ)W(H, t)
dτ ≤ √ 1
Dmin
Rt
0A2(τ)dτ+ 14RH 0
Rt
0W2(z, τ)dzdτ+14Rt 0
RH
0 Dn(z) ∂W∂z 2
dzdτ. Усиливая (10), имеем неравенство:
1 2
RH
0 W2(z, t)dz+14Rt 0
RH
0 Dn(z) ∂W∂z 2
dzdτ ≤
1 4
RH 0
Rt
0W2(zτ)dzdτ+√D1
min
Rt
0A2(τ)dτ+C5
RH 0
D0(z) + D1
n(z)
dz.
Применяя лемму Гронуолла, имеем
Лемму 3. Если K(z) ∈ C(0, H), Tb(t) ∈ C(0, T), A(t) ∈ L2(0, T), W0(z) ∈ L2(0, H), то для решения задачи (3)-(4),имеют место оценки:
RH
0 W2(z, t)dz+Rt 0
RH
0 Dn(z) ∂W∂z 2
dzdτ≤C3f(Dn(z))
Rt
0 W2(H, τ)dτ ≤C4√ 1
Dminf(Dn(z)).
Аналогично доказываются утверждения:
Лемма 4. Если W0(z), θ0(z) ∈ W22(0, H), Tt(t) ∈ W21(0, T),то для решения задачи (3)-(4) имеют место оценка:
maxt
Z H
0
∂W
∂t 2
dz+ Z t
0
Z H
0
Dn(z) ∂2W
∂z∂t 2
dzdt≤C5
1 +Dmax+ 1
√Dmin
, Rt
0
∂W(H,τ)
∂t
dτ ≤C6
1 +Dmax+√D1
min
√ 1 Dmin.
Лемма 5. Если W0(z), θ0(z) ∈ W22(0, H), Tb(t), Wg(t) ∈ W21(0, T),то для решения задачи (5)-(6) имеют место оценка:
maxt
Z H
0
∂u
∂t 2
dz+ Z H
0
u2dz
! +
Z T
0
Z H
0
Dn(z) ∂u
∂z 2
dzdτ+
+ Z T
0
Z H
0
Dn(z) ∂2u
∂z∂t 2
dzdτ ≤C7
1 +Dmax+ 1 Dmin
1 Dmin
. (11)
Лемма 6.Если W0(z), θ0(z)∈L2(0, H), Tb(t), Wg(t), Tg(t)∈L2(0, T),то для решения задачи (7)-(8) имеют место оценка:
maxtRH
0 ψ2dz+RH t
RH 0 λ
∂ψ
∂z
2
dz+RT
t αψ2(H, τ)dτ ≤C8f(Dn(z)).
3 Ограниченность коэффициента влагопроводности.
Обращаемся к формуле (9):
Dn+1(z)−D0(z) =X
n
βn(z) Z T
0
∂u
∂z
∂W
∂z +µ∂θ
∂zdτ+X
n
βn(z)α0 Z T
0
θ(H, τ)−Tg(τ)ψ(H, τ)dτ
!
Оцениваем эту величину сверху используя неравенство Коши. Тогда
Dn+1(z)−D0(z) ≤X
n
βn(z) Z T
0
∂u
∂z
∂W
∂z +µ
∂θ
∂z
dτ+
+X
n
βn(z)α0 Z T
0
(θ2(H, τ)−Tg(τ))2dτ
1/2Z T
0
ψ2(H, τ)dτ 1/2
. (12)
Интегрируем (5) по z от 0 до произвольного z. Тогда.
Rz 0
∂u
∂tdz+Dn(z)∂u∂z −Dn(0)∂u∂z
z=H = 0
Учитывая граничные условия приz= 0 и используя лемму 5 получаем оценку:
maxt
∂u
∂z ≤C9
r
1 +Dmax+ 1
Dmin · 1
D3min (13)
Теперь, интегрируем (3) поz от 0 до z. Тогда
D∂W∂z +Dµ∂θ∂z +K(z) =Rz 0
∂W
∂t dz
Отсюда используя лемму 4, имеем неравенство:
maxt
∂u
∂z ≤C10
r
1 +Dmax+ 1
Dmin · 1
Dmin. (14)
На основе (11), (12) и леммы 6 из (13) выводится соотношение:
Dn+1(z)−D0(z) ≤P
nβn(z)
1 +Dmax+ D1
min
1
Dmin3i ·C11. Если βn(z)
1 +Dmax+D1
min
1
D3imin = β
nk0, k0>1, то получится неравенство:
D0(z)−C12β≤Dn+1(z)≤D0(z) +C12β.
Из этого соотношения следует.
Теорема 1. Если θ0(z), W0(z) ∈ W22(0, H), K(z) ∈ C(0, H), Wg(t) ∈ W21(0, T), Tg(t) ∈ L2(0, T), то подбирая достаточно малую функцию βn(z) из равенство (9) всегда можно по- лучить ограниченность коэффициента влагопроводности, т.е.
0< C13≤Dn+1(z)≤C14<∞, n= 1,2, ...
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Buckingham E. Studies on movement of soil moisture. U. S. Dep. Agric. Bur. of Soils.
(Washington), 1907, Bull. 38.
2. Richards L.A. Capillary conduction of liguids through medians. - Physics, 1931, vol, 1, p.318-333.
3.Childs E.D. The transport of water through heavy clay soils. I, III. - j.Ag. Sci., 1936, vol. 26.
4. Полубаринова-Кочина П.Я Теория движения грунтовых вод Москва:Наука, - 1977.- 664 с.
5. Неприн С.В. Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве// Докл.
ВАСХНИЛ, №6, 1966.
6. Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геокрилогиии (мерзлотоведения). - М.: 1959, под. ред. Н.А. Цытович. гл. VI C. 153-192
7. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена-Москва:Машиностроение, 1988.- 280 с.
8. Кабанихин С.И., Бектемисов М.А., Нурсейтова А.Т. Итерационные методы решения обрат- ные и некорректные задач с данными на части гарницы - Алматы-Новосибирск, 2006, 426 с.
9. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи.- Новосибирск:Новосибирск, 2009.- 457 с.
10. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Обратные и некорректные задачи для гиперболических уравнений-Алматы:Даур,2007.- 331 с.
11. Рысбайулы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распространения тепла в неоднородной среде//Вестник КБТУ, 2008, №1, C.62-65
12. Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Махамбетова Г.И. Обратная задача кондуктивного рас- пространения тепла в неоднородной среде//Вестник НАН РК,2008, №1, C. 11-13
13. Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Исмаилов А.О. Разностный метод определение коэффи- циента теплопроводности грунта в процессе промерзаний//Вестник НАН РК. 2008.-№2.-С. 7-9.
14. Байманкулов А.Т. Определение коэффициента дифузи почвенной воды в однородной сре- де//Вестник НАН РК.2008.-№2.-С.7-9.
15. Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т. Определение коэффициента влагопроводности почвы с учетом изменения температуры // Вестник КБТУ, 2010 (в печати).
Рысбаұлы Б., Байманкулов А.Т.
Жылу мен ылғалды көшiру үрдiсiндегi топырақтың ылғалөткiзгiштiк коэффициентiн жуықтап есеп- теудiң шектеулiгi
Қанықпаған топырақтағы ылғал мен температура қозғалысы қарастырылады. Жер бетiндегi ылғал мен температура берiледi. Топырақ суының ылғалдылық коэффициентiн анықтауда тура және түйiндес есептер алынады. Топырақтың ылғал өткiзгiштiк коэффициентiнiң шектеулi әрi оң болатыны дәлелденедi.
Rysbaiuly B., Baimankulov A.T.
Boundedness of the approximate value of the coefficient of moisture conductivity of the soil in the process of heat and moisture transfer.
Moisture and temperature movement in a no saturated ground was stud. The moisture and temperature on an earth surface is set. To define factor of diffusion of soil water are made direct and interfaced problems. Proved the limited diffusion factor of soil water.
Поступила в редакцию 22.04.10 Рекомендована к печати 25.05.10
