PDF ХАБАРШЫ

(1)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ

УНИВЕРСИТЕТI

ЕВРАЗИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л.Н. ГУМИЛЕВА L.N. GUMILYOV EURASIAN

NATIONAL UNIVERSITY

ХАБАРШЫ

1995 жылдың қантарынан жылына 6 рет шығады

I бөлiм

№ 6 (97) · 2013

ВЕСТНИК

выходит 6 раз в год с января 1995г.

I часть

HERALD

Since 1995

I part

Астана

(2)

О.В. Разина, А.М. Азимханова

УДК 524.83

Космологическая эволюция скалярно-фермионных моделей

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан )

В данной статье исследована модель g-эссенции. В частности найден масштабный фактор, и изучено поведение масштабного фактора относительно времени. Были найдены уравнение параметра состояния и соответствующие потенциалы для скалярного и фермионного полей.

Ключевые слова:g-эссенция, масштабный фактор, ускоренное расширение Вселенной.

Гипотеза о расширяющейся Вселенной теоретически обоснована Александром Фридманом в начале ХХ века, а выполненные в конце двадцатых годов наблюдения Эдвина Хаббла, стали ее экспериментальным подтверждением[1]. Открытие ускоренного расширения Вселенной вошло в число важнейших фактов космологии, на которых строятся все космологические теории, однако физическое происхождение космологического ускорения пока остается величайшей загадкой[2]. Исследования привели к предположению о существовании ранее неизвестной энергии с отрицательным давлением - темной энергии, практически равномерно распределенной по Вселенной. Существует два варианта объяснения сущности темной энергии:

1)темная энергия как космологическая константа - неизменная энергетическая плотность, равномерно заполняющая пространство Вселенной;

2)темная энергия как некая квинтэссенция - динамическое поле, энергетическая плотность которого может меняться в пространстве и времени.

Введение космологической константы в стандартную космологическую модель, основанную на метрике Фридмана - Лемэтра - Робертсона - Уокера, привело к появлению современной модели космологии, известной как ΛCDM модель[3]. Космологический принцип позволяет построить метрику Вселенной и сделать первые шаги в интерпретации космологических наблюдений[4]. Однако имеются наблюдательные факты, находящиеся в видимом противоречии с теорией, которая вытекает из космологического принципа.

Альтернативный подход для объяснения сущности темной энергии предлагается в виде:

квинтэссенции, фантома, k-эссенции, тахиона, f-эссенции, газа Чаплыгина и его обобщении и т.д..

Уравнения Эйнштейна G_µν = 8ΠGT_µν определяют динамику Вселенной. Изменяя левую сторону уравнения Эйнштейна, мы получаем модифицированную модель гравитации. Изменяя правую сторону получаем модифицированную модель материи. Идея модифицированной модели материи, в которой тензор энергии-импульса содержит экзотическую материю, обеспечивает отрицательное давление.

Первым предположением для решения проблемы космологической константы является квинтэссенция.Основная идея квинтэссенции состоит в том, что темная энергия находится в виде изменяющегося во времени скалярного поля, которое медленно катится к своему минимуму потенциала.

В последние годы в теории описываются модели k-эссенции, с неканоническими кинетическими членами. Изменение канонической кинетической энергии, на неканоническую (нелинейную) кинетическую энергию скалярного поля может привести к отрицательному давлению без потенциала. Нелинейные кинетические члены энергии считаются малыми и обычно игнорируются, поскольку расширение Хаббла подавляет плотность кинетической энергии с течением времени.

Совсем недавно была предложена еще более общая модель темной энергии, так называемая g-эссенция, вводимая в [5], которая включает в себя, как функцию скалярного поля, так и функцию фермионного поля. В данной статье приводится космологическое решение модели g- эссенции для лагранжиана вида: L=R+ 2K(X, Y, φ, ψ, ψ). Также представлены, полученные в ходе решения, параметр уравнения состояния ω, параметр замедления q, параметр рывка j.

(3)

Действие для g-эссенции имеет вид S=

Z d⁴x√

−g (R+ 2K(X, Y, φ, ψ, ψ), (1)

где R - скалярная кривизна пространства, К - лагранжиан g-эссенции и некоторая функция своих аргументов, φ - функция скалярного поля, ψ - функция фермионного поля, ψ^T = (ψ0, ψ1, ψ2, ψ3), и ψ=γ⁰ψ^T.

Метрика Фридмана - Робертсона - Уокера

ds² =dt²−a²(dx²+dy²+dz²), (2) тогда √

−g=a³, R= 6(^a_a^¨ +^a_a^˙²2).

В случае метрики ФРУ (2) неканонические кинетические члены скалярного и фермионного полей имеют вид

X = 0.5 ˙φ², Y = 0.5i(ψγ⁰ψ˙−ψγ˙ ⁰ψ),

γ⁰ =

I 0 0 −I

.

В этом случае, уравнения движения, соответствующие действию (1) примут вид

3H²−ρ= 0, (3)

2 ˙H+ 3H²+p= 0, (4)

K_Xφ¨+ ( ˙K_X + 3HK_X) ˙φ−K_φ= 0, (5) KYψ˙+ 0,5(3HKY + ˙KY)ψ−iγ⁰K_ψ = 0, (6) K_Yψ˙ + 0,5(3HK_Y + ˙K_Y)ψ+iK_ψγ⁰ = 0, (7)

˙

ρ+ 3H(ρ+p) = 0, (8)

где K_X =∂K/∂X, K_Y =∂K/∂Y, K_φ=∂K/∂φ, K_ψ =∂K/∂ψ, K_ψ =∂K/∂ψ

Давление и плотность всех компонентов, представленных во Вселенной в рассматриваемый момент времени, соответственно равны p=K, ρ= 2K_XX+K_YY −K.

Зададим лагранжиан g-эссенции в виде

K =X+Y −V₁(φ)−V₂(u), (9) где V₁(φ) - потенциал скалярного поля,V₂(u) - потенциал фермионного поля и u=ψψ. Тогда система уравнений (3) - (8) перепишется

3H²−ρ= 0, (10)

2 ˙H+ 3H²+p= 0, (11)

φ¨+ 3Hφ˙+V_1φ= 0, (12)

ψ˙+3

2Hψ+iγ⁰V2uψ= 0, (13)

ψ˙ +3

2Hψ−iV_2uψγ⁰ = 0, (14)

˙

ρ+ 3H(ρ+p) = 0. (15)

(4)

Для давления и плотности получаем следующие выражения

ρ= 0,5 ˙φ²+V₁(φ) +V₂(u), (16) p= 0,5 ˙φ²−V₁(φ)−V₂(u) +V_2uu. (17) Одно из точных аналитических решений системы (10)- (15) имеет вид

a=a^αt₀ , (18)

φ=φ^βt₀ , (19)

где a₀, φ₀, α, β - являются некоторыми константами. Подставляя в систему уравнений полученные a и φ, найдем неизвестные ρ, p, ψ, V₁(φ), V₂(u).

Из (10),(11) сумма давления и плотности равна ρ+p=−2 ˙H = 0.

Также из (16) и (17) получим сумму

ρ+p= ˙φ²+V_2uu= 0.

Отсюда потенциал V2(u) равен V2(u) = 3

2αβφ02βτ lna0lnφ0+V20, (20) где τ = ^ln

c u

lna^3α₀ и V₂₀ - константа интегрирования.

Из (12) находим потенциал V₁(φ):

V1(φ) =−β²φ^2βt₀ ln²φ0

2 −3

2αβφ^2βt₀ lnφ0lna0+V10, (21) где V10 - константа интегрирования.

Найдем плотность ρ с учетом (10) и (16)

ρ=V₁₀+V₂₀, (22)

ρ= 3α²ln²a0. (23)

Теперь получим давление p из (11) и (17)

p=−V₁₀−V₂₀, (24)

p=−3α²ln²a0. (25)

(5)

Из (23) и (25) получаем ρ=−p, т.е. ω=−1.

Найдем функцию фермионного поля ψ. Решение для ψ будем искать в виде ψ_j =A_je^−iB^j





 ψ˙₀ ψ˙₁ ψ˙2

ψ˙₃





 +3

2H





 ψ₀ ψ₁ ψ2

ψ₃





 +iV2u





 ψ₀ ψ₁

−ψ₂

−ψ₃







= 0. (26)

По первой компоненте:

ψ₀=A₀e^−iB⁰, тогда A₀ = ^c⁰

a

3 2αt 0

и B₀ =−^β(a⁰_2c^φ⁰_lna⁾^2βt^lnφ⁰

0 +B₀₀ при 3α= 2β,

где B00 - константа интегрирования. Подставляя полученные A0 и B0 в формулу для ψ0, получаем

ψ0 = c0

a0

3

2αte^iB⁰. (27)

Аналогично для остальных трех компонент находим A_j и B_j, причем оказывается, что ψ₁ = c₁

a₀³²^αte^iB¹, (28)

ψ2 = c2

a₀³²^αte^−iB², (29)

ψ₃ = c₃ a0

3

2αte^−iB³. (30)

Найдем постоянную c, используя следующее равенство u= c

a^3αt₀ =ψψ=ψ0∗ψ0+ψ1∗ψ1−ψ2∗ψ2−ψ3∗ψ3. (31) Подставив сюда полученные значения ψ и приравнивая к u, получаем искомую c:

c=|c₀|²+|c₁|²− |c₂|²− |c₃|². (32)

Рисунок 1.-Зависисмость масштабного фактора a от времени t.

(6)

Параметр уравнения состояния для данного случая ω=−1, параметр замедления q=−1, и параметр рывка j= 1. На рисунке 1 построен график зависимости масшатбного фактора a от времени t.

В данной статье мы рассмотрели обобщенную модель темной энергии, g-эссенцию, включающую в себя скалярную и фермионную части, с лагранжианом вида L = R + 2K(X, Y, φ, ψ, ψ). Получили уравнения движения, вычислили уравнение состояния и параметры замедления для представленного решения. Полученные результаты показывают, что модель может описывать ускоренные фазы расширения Вселенной.

ЛИТЕРАТУРA

1 http://compulenta.computerra.ru/archive/physics/638185/.

2 http://www.vokrugsveta.ru/nauka/article/151875/.

3 Чернин А. Д.Темная энергия вблизи нас// Астронет: ГАИШ МГУ – 2005.

4 Болотин Ю. Л., Ерохин Д. А., Лемец О. А. Расширяющаяся Вселенная: замедление или ускорение? // Успехи физических наук. – 2012. – Том 182,N9. – с. 942.

5 Myrzakulov R. Fermionic K-essence //[arXiv:1011.4337v5].

REFERENCE

1 http://compulenta.computerra.ru/archive/physics/638185/.

2 http://www.vokrugsveta.ru/nauka/article/151875/.

3 Chernin A.D.Temnaja jenergija vblizi nas// Astronet: GAISh MGU – 2005.

4 Bolotin Ju. L., Erohin D. A., Lemec O. A. Rasshirjajushhajasja Vselennaja: zamedlenie ili uskorenie? // Uspehi fizicheskih nauk. – 2012. – Tom 182,№9. – s. 942.

5 Myrzakulov R. Fermionic K-essence //arXiv.org/abs/1011.4337v5.

Разина О.В., Азимханова А. М.

Скаляр-фермионды моделдердiң космологиялық эволюциасы

Бұл жұмыста g-эссенцияның моделi зерттелiндi. Масштабтық фактор табылып,осы фактордың уақытқа байланысты әрекетi зерттелдi. Скаляр және фермионды өрiстер үшiн күй параметрiнiң теңдеуi және сәйкес келетiн потенциалдары табылды.

Түйiн сөздер:g-эссенция, масштабтық фактор, Ғаламның үдемелi кеңеюi Razina O.V., Azimkhanova A.M.

Cosmological evolution of skalar-fermionic models

Razina O.V., Azimkhanova A.M. Cosmological evolution of skalar-fermionic models

In this paper we consider so-called g-essence a generalized model of dark energy. We found the scale factor and obtain evolution of scale factor in dependence of time. We present as a results the equations of state and corresponding potentials of the scalar and fermionic fields.

Keywords:g-essence, scale factor, accelerated expansion of the Universe

Поступила в редакцию 15.10.13 Рекомендована к печати 30.10.13

Об авторах:

Разина О.В. - и.о. доцента, PhD кафедры Общая и теоретическая физика, физико-технического факультета Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Азимханова А. М.- магистрант 2 курса специальность Физика, кафедры Общая и теоретическая физика физико- технического факультета Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева