PDF dspace.enu.kz

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ

ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

И ОТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ

c 2009 г. М. Отелбаев, Л. К. Жапсарбаева

Посвящается 70-летию академика Виктора Антоновича Садовничего

Приведены классы уравнений, для которых верны слабые априорные оценки, и установле- на глобальная сильная разрешимость одной системы уравнений.

Введение. Пусть H – сепарабельное действительное гильбертово пространство, а A – самосопряженный оператор в H такой, что A ≥ E. Будем считать, что H – простран- ство функций, определенных на некотором локально-компактном множестве и оператор A переводит действительные элементы в действительные. Через C_A^∞[0, a] (a > 0) обозначим множество функций со значениями в H, которые вместе со всеми своими производными при- надлежат D(Aⁿ) при любом n= 1,2, . . . (D(·) здесь и всюду в дальнейшем означает область определения).

Пополнение C_A^∞[0, a] по норме uHβ[0,a]=

^a

0

|A^βu(t)|²dt 1/2

(β ∈(−∞,∞)) (B.1)

обозначим через H_β[0, a]. Скалярные произведения в H и H_β[0, a] обозначим соответственно через ·,· и ·,·β,a. Иногда, если это не вызовет путаницы, указание на a в скалярном произведении ·,·β,a будем опускать. Норму и модуль обозначим через | · |, а иногда во избежание путаницы норму обозначим через · .

В настоящей работе мы будем изучать задачу Коши

u_t+Au+θ(t)B(λ, u) =f(λ, t), u(0) = 0, 0≤t≤a. (B.2) В дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать a = 1. Здесь θ(t) – непрерывная на [0, a] функция, а B(λ,·) – нелинейный оператор, аналитически зависящий от параметра λ ∈ G = {λ : |λ| < 1}. Отметим, что вместо θ(t)B(λ, u) в задаче (В.2) можно рассмот- реть общий случай, когда нелинейный член имеет вид B(t, λ, u). Можно также рассмотреть случай, когда A – оператор, порождающий сильно непрерывную аналитическую полугруппу, при этом дробные степени A понимаются согласно [1, с. 337]. Для простоты изложения мы рассматриваем случай, когда B(t, λ, u) имеет вид θ(t)B(λ, u), а A=A^∗, A≥E.

Определение. Пусть β – действительное число и f(·) ∈ H_β[0,1]. Решение u(·) задачи (В.2) назовем β-сильным, если u+Au∈Hβ[0,1]. Если для любого f(·)∈Hβ[0,1] решение задачи (В.2) β-сильное, то задачу (В.2) будем называть β-сильно разрешимой в целом.

Будем интересоваться вопросами сильной разрешимости задачи (В.2), поскольку наличие сильной разрешимости, как правило, позволяет доказать теорему единственности решения и открывает возможность применения теории возмущений, что весьма важна в приложениях.

Нас также будут интересовать вопросы, когда наличие слабой априорной оценки позволя- ет получить сильнуюразрешимость, ибо часто встречаются уравнения, для решения которых

818

несложно получить слабуюаприорнуюоценку. Примерами уравнений, для которых легко по- лучить слабые оценки, могут быть система уравнений Навье–Стокса, а также некоторые урав- нения магнитной газовой- и гидродинамики.

В пп. 4 и 5 приведены классы уравнений, для которых верны слабые априорные оценки, и установлена глобальная сильная разрешимость одной системы уравнений.

Будем использовать следующее ограничение на B(λ, u), выражающее “подчиненность”

B(λ,·) оператору A, а также означающее непрерывную зависимость от λ и u, когда u принадлежит D(A).

Предположение B.1. Пусть существуют постоянные β ∈ (−∞,∞), γ ∈ (1/2,1) и δ ∈(0,1] такие, что выполнены следующие условия:

а) если λ, µ∈G¯ ={λ: |λ| ≤1} и u, w ∈D(A^β+γ), то

A^β(B(λ, u)−B(µ, u))H ≤ |λ−µ|A^β+γuHϕ1(A^β+γ−1/2uH), где ϕ1(·) – непрерывная на [0,+∞) неубывающая функция;

б) если λ∈G¯ и u, w∈D(A^β+γ), то

B(λ, u+w)−B(λ, u) =B0(λ, u)w+B1(λ, u, w),

где оператор B0(λ, u)w действует при каждом u как линейный оператор на w, а B1(λ, u, w) – нелинейный оператор, для этих преобразований выполнены условия

A^βB₀(λ, u)wH ≤[A^β+γwH+A^β+γ−1/2wHA^β+γuH]ϕ₂(A^β+γ−1/2uH), A^βB1(λ, u, w)H ≤

≤[A^β+γwH +A^β+γ−1/2wHA^β+γuH]A^β+γ−1/2w^δHϕ₃(A^β+γ−1/2uH,A^β+γ−1/2wH), где ϕ2(·) – непрерывная на [0,+∞) не убывающая, а ϕ3(·,·) непрерывная на [0,+∞)×[0,+∞) не убывающая по каждой переменной функции, не зависящие от λ, µ∈G;¯

в) B(λ,0) = 0;

г) функция f(λ, t) аналитична по λ ∈ G и ₁

0 |A^β(f(λ, t)−f(µ, t))|²dt ≤ T|λ−µ|², где T – постоянное число.

Отметим, что условие в) предположения B.1 не является ограничением, но тем не менее мы его записали для удобства.

Из условий б) и в) предположения B.1 легко вытекает, что если w∈D(A^β+γ), то A^βB(λ, w)H ≤ϕ₂(0)A^β+γwH +A^β+γ−1/2w^δ_HA^β+γwHϕ₃(0,A^β+γ−1/2wH)≡

≡ A^β+γwHϕ4(A^β+γ−1/2wH), (B.3) где β, γ, δ, ϕ₂(·) и ϕ₃(·,·) из условий предположения B.1.

Теорема B.1.Пусть выполнены условия предположения B.1, кроме того, f(t)∈Hβ[0,1]

и при некотором λ = λ0 ∈ G¯ = {λ: |λ| ≤ 1} задача Коши (В.2) имеет решение u(t), для которого

1

0

|A^β+γ−1/2(u+Au)|²dt≡ u+Au²_Hβ+γ−1/2 ≤C <∞. (B.4)

Предположим, что для µ∈G¯ справедлива оценка ¹

0

|A^βf˜|²dt+ (T + 1)|λ₀−µ|²

≤ ε²₀

2, (B.5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 45 № 6 2009

где ε²₀ ≡16⁻¹ε²₁ϕ⁻₁²(C+ 1)⁻¹, а ε1 удовлетворяет неравенству

0≤ε1 ≤[40(C+ 1)(1 +C1+C2)C3e^ξϕ3(2C+ 2,1)]^−1/δ. Здесь

ξ ≥[40(1 +C₁+C₂)C₃ϕ₂(2C+ 2)]^2/(1−γ),

C – число из (В.4), ϕ₁(·), ϕ₂(·), ϕ₃(·,·), δ, T – функции и числа из предположения B.1, а C3 ≡ sup

0≤t≤1|θ(t)|, C1 и C2 зависят только от γ и не равны +∞ при γ ∈ (1/2,1) (C1 и C2 – числа из леммы 2.2 при θ=γ).

Тогда задача Коши

v_t+Av+θ(t)B(µ, v) =f(µ, t)−f˜(t), v(0) = 0, 0≤t≤1, (B.2) имеет решение v(t) и для него выполнены оценки

v+Av²_Hβ[0,1]≤8ϕ²₄(C+ 1)(C+ 1)², (B.6)

v+Av²_{Hβ+γ−1[0,1]}≤2C+ 1, (B.6)

v−u+Av−Au²_Hβ[0,1] ≤8ε²₁. (B.6)

Это теорема фактически утверждает, что в области разрешимости решение задачи Коши (В.2) непрерывно зависит от параметра λ и от f ∈H_β[0,1].

При доказательстве теоремы нам приходится рассматривать семейство задач, зависящих от дискретного параметра N. Постоянные в теореме B.1 появляются при оценке решений систем, зависящих от параметра N. Для того чтобы подчеркнуть, что постоянные не зависят от параметра N, они сохранены в том виде, в котором они появились.

Обозначим через P_N ортогональный проектор, определенный формулой

P_Nu= N

0

(dE_λ)u, N >1, (B.7)

где E_λ – спектральное разложение единичного оператора, соответствующее самосопряженно- му положительному оператору A.

Определим нелинейные операторы

BN(λ, u) =PNB(λ, PNu). (B.7)

В дальнейшем мы будем использовать Предположение B.2.а) Если

f²_Hβ[0,1]≡ 1

0

A^βf²Hdt≤C₀ <∞, (B.8)

то решение u_N(λ, t) задачи Коши d

dtu+Au+θ(t)B_N(λ, u) =P_Nf(t), u(0) = 0, 0≤t≤1, (B.9) при любом N существует и аналитически зависит от параметра λ ∈ G = {λ : |λ| < 1}, причем при некотором α∈(−∞,+∞), α < β+ 1/2 выполнена оценка

sup

N≥1

sup

λ∈∂G

1

0

A^α_Nu_N(λ, t)²_Hdt ≤C₁ <∞;

б) при любом N ≥ 1 существует λN ∈ G¯ = {λ : |λ| ≤ 1} такое, что если выполнено условие (В.8), то решение u_N(λ_N, t) задачи (В.9) (при λ=λ_N ) удовлетворяет оценке

N≥1sup ¹

0

A^β d

dtu_N(λ_N, t) ²

H

dt+ 1

0

A^β+1u_N(λ_N, t)²Hdt

≤C₁ <∞.

Справедлива

Теорема B.2.Пусть выполнены условия предположений B.1 и B.2. Тогда

а) если f(·) ∈Hβ[0,1], то при ε∈(0,1) для решения uN(λ, t) задачи (В.9) справедливы оценки

sup

|λ|<1−ε

sup

N≥1

1

0

d

dtA^βu_N(λ_N, t) ²

H

+A^β+1u_N(λ_N, t)²_H

dt=C_ε <∞;

б) если |λ| < 1, то все слабые решения задачи (В.8) при N → ∞ слабо сходятся к единственному пределу u(λ, t), который является решением задачи (В.2), удовлетворяющим условию

1

0

d

dtA^βu(λ, t) ²

H

+A^β+1u(λ, t)²_H

dt <∞;

в) при |λ| < 1 решение u(λ, t) задачи (В.2), а также d

dtu(λ, t) и Au(λ, t) непрерывно зависят в метрике H_β[0,1] от параметра λ∈G={λ: |λ|<1}, а также от правой части задачи (В.2), непрерывно изменяющейся в метрике Hβ[0,1].

Эта теорема утверждает, что из наличия слабой оценки решения задачи (В.2) при всех λ∈∂G и сильной оценки хотя бы при одном λ∈G¯ вытекает сильная оценка решения задачи (В.2) при всех λ, лежащих внутри единичного круга.

Замечание В.1.Отметим, что если вместо PN из (В.7) взять PN =e^−A/N, то теоремы В.1 и В.2 можно сохранить, если A – инфинитезимальный оператор аналитической полугруппы в гильбертовом пространстве. При этом дробные степени оператора A можно определять, как в [1, с. 357].

Вместо задачи Коши (В.2) можно рассматривать задачу

ut+Au+θ(t)B(λ, u) =f(t), u(0) =ϕ, 0≤t≤1, (B.2) где ϕ ∈ D(A^β+1/2), f(t) ∈ H_β[0,1] (β из предположения B.1). Такая задача при наличии теоремы существования в малом легко сводится к задаче (В.2).

Условия предположения B.1 (т.е. условия теоремы B.1) являются естественными.

Для обоснования предположения B.2 мы ниже приведем пример уравнений, когда выпол- няется условие а) предположения B.2.

Пусть B(u, v) – билинейный оператор (т.е. линейный по одному из аргументов при фик- сированном другом), переводящий действительные элементы u и v из H в действительный элемент такой, что выполняется равенство

B(u, g), vH =−B(u, v), gH. (B.10) Этому равенству удовлетворяет нелинейная часть системы уравнений Навье–Стокса.

В п. 4 рассматривается система

u_k+Au_k(t)+α^(k)_sj θ(t)B(u_s, u_j) =f_k(t), k= 1,2, u₁(t)|t=0 =u₂(t)|t=0 = 0, 0≤t≤1, (B.11) где α^(l)_sj (l, s, j = 1,2) – действительные числа, аf₁(t) и f₂(t) – действительные функции со значениями в H. В (В.11) по повторяющимся индексам ведется суммирование.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 45 № 6 2009

Обозначим

d=α⁽²⁾₂₁α⁽¹⁾₁₂ −α⁽²⁾₁₁α⁽¹⁾₂₂ = 0,

a₁₁=d⁻¹[−α⁽²⁾₂₁(α⁽²⁾₁₂ −α⁽¹⁾₁₁) +α⁽²⁾₁₁(α⁽²⁾₂₂ −α⁽¹⁾₂₁)], (B.12) a₂₂=d⁻¹[−α⁽¹⁾₂₂(α⁽²⁾₁₂ −α⁽¹⁾₁₁) +α⁽¹⁾₁₂(α⁽²⁾₂₂ −α⁽¹⁾₂₁)].

Имеет место

Теорема В.3. Если a₁₁a₂₂ > 1, a₁₁ > 0, то для решения задачи Коши (В.11) имеет место априорная оценка

sup

0≤t≤1

(u₁(t)²H +u₂(t)²H) + 1

0

(|√

A u₁(η)|²+|√

A u₂(η)|²)dη≤

≤64

(a11+a22)² 1

0

(|f1(η)|²+|f2(η)|²)dη

[min(a11−a⁻₂₂¹, a22−a⁻₁₁¹)]² . (B.13) Из этой теоремы, как и в [2, с. 88] (в случае, когда оператор A⁻¹ компактен), можно получить, что задача (В.11) имеет слабое решение, удовлетворяющее оценке (В.13).

В системе (В.11) будем считать α^(l)_sj (l, s, j = 1,2) функциями на ∂G ={z : |z| = 1} от ϕ ∈ [0,2π[ (ϕ из представления z = e^iϕ), а a₁₁, a₂₂ удовлетворяющими условию a₁₁a₂₂ >

>1 +δ, δ >0, при каждом ϕ∈[0,2π[, где a₁₁, a₂₂ из (В.12) и

f₁(t) =g₁(ϕ)f(t), f₂(t) =g₂(ϕ)f(t), (B.14) g1(·), g2(·) – действительные функции на ∂G.

Пусть

b≡(b_sj)²_s,j=1, γ = (γ_sj)²_s,j=1= 1

∆

b22 −b12

−b₂₁ b₁₁

, (B.15)

где ∆≡b₁₁b₂₂−b₁₂b₂₁= 0, b_sj (s, j= 1,2) – комплекснозначные функции на ∂G.

При z∈∂G в системе уравнений (В.11) положим

u_k=γ_k1v₁+γ_k2v₂, k= 1,2.

Тогда из (В.11), (В.14) и (В.15) получаем систему

γkl

d

dtvl+γklAvl(t) +α^(k)_sj γsmγjnB(vm, vn) =gk(ϕ)f(t), k= 1,2, vl(t)|t=0 = 0, 0≤t≤1, от которой можно перейти к системе уравнений

d

dtv_l+Av_l+b_lkα^(k)_sj γsmγjnB(vm, vn) =b_lkg_k(ϕ)f(t) (l= 1,2). (B.11) Возьмем α^(l)_sj, bsj, g1(·), g2(·) (l, s, j = 1,2) такими, чтобы функции blkα^(k)_sj γsmγjn, blkgk(ϕ) (l, m, n= 1,2) были значениями на ∂G аналитических в G функций. В п. 4 мы покажем, что такой выбор возможен. Поэтому для укороченных систем, соответствующих системе (B.11), из теоремы B.3 получаем априорные оценки, не зависящие от N (см. теорему B.3, п. 4).

Следовательно, (B.11) – пример, для которого выполняется условие а) предположения B.2 (см. теорему 4.1 и теорему 5.1 из п. 5).

В п. 6 задачу Коши для известных уравнений Навье–Стокса (см. [3, с. 73]) приводим к виду (В.2). Тем самым получаем возможность применить абстрактные результаты к системе

уравнений Навье–Стокса. Хотя система (5.8) “подобна” абстрактной форме уравнений Навье–

Стокса, теорема 5.1 не решает проблему существования глобального сильного решения урав- нений Навье–Стокса.

1. Некоторые теоремы об операторнозначных аналитических функциях. Здесь приведем некоторые оценки для операторов, при доказательстве которых используются идеи интерполяций, восходящие к Риссу.

Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и A ≥ 0 – самосопряженный опе- ратор с компактной резольвентой и {en}^∞n=1, {λn}^∞n=1 – соответственно полная ортонорми- рованная система собственных векторов и последовательность соответствующих собственных чисел. Имеем λ_n≥0 при любом n= 1,2, . . . Пронумеруем λ_n в порядке неубывания с учетом кратности. Для произвольного c∈H справедливо разложение

c=

∞ n=1

cnen.

При α≥0 по определению A^αc=

∞ n=1

c_nλ^α_ne_n, |A^αc|²=

∞ n=1

|c_n|²λ^2α_n .

Имеет место

Лемма 1.1.Пусть 0≤β < γ, 0≤β≤α≤γ. Тогда

|A^αc|²≤2|A^γc|^{2(α−β)/(γ−β)}|A^βc|^{2(γ−α)/(γ−β)}. (1.1) Доказательство. При µ >0 имеем

|A^αc|² =

∞ n=1

|c_n|²λ^2α_n =

λn≤µ

|c_n|²λ^2α_n +

λn>µ

|c_n|²λ^2α_n ≤

≤ _∞

n=1

|c_n|²λ^2β_n

µ^2(α−β)+ _∞

n=1

|c_n|²λ^2γ_n

µ^2(α−γ) =µ^2(α−β)|A^βc|²+µ^2(α−γ)|A^γc|². Возьмем

µ^2(γ−β) =µ^{2(α−β)−2(α−γ)}=|A^βc|⁻²|A^γc|². Тогда получим неравенство

|A^αc|²≤2|A^βc|²

|A^γc|²

|A^βc|²

2(α−γ)/(2(γ−β))

= 2|A^γc|^{2(α−β)/(γ−β)}|A^βc|^{2(1−(α−β)/(γ−β))}, из которого следует оценка (1.1). Лемма доказана.

Эта лемма верна и без предположения компактности резольвенты, т.е. когда спектр само- сопряженного неотрицательного оператора A не дискретен, т.е. верна следующая

Лемма 1.1. Пусть A – самосопряженный оператор в H. Тогда если 0 ≤ β < γ, 0≤β ≤α≤γ, то справедлива оценка (1.1).

Для доказательства этой леммы вместо разложения в ряд Фурье по собственным векторам нужно воспользоваться интегралом Стилтьеса, соответствующим спектральному разложению единичного оператора, отвечающему самосопряженному оператору A.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 45 № 6 2009

Пусть теперь ψ(z) – аналитическая функция со значениями в H. Для ψ(z) имеем пред- ставление

ψ(z) =

∞ n=1

ψnzⁿ, (1.2)

где ψ_n – элементы из H. Вычислим |A^αψ_n|.

Умножив равенство (1.2) на (A^2αψn)zⁿ скалярно (в смысле комплексного гильбертова пространства) и проинтегрировав по окружности радиуса r∈(0,1), взяв ϕ в качестве пере- менной интегрирования из представления z=re^iϕ, получим

2π

0

A^αψ(z), A^αψ_nrⁿe^−iϕdϕ=|A^αψ_n|²r²ⁿ.

Отсюда вытекает неравенство

rⁿ|A^αψ_n|²≤ 2π

0

|A^αψ(re^iϕ)||A^αψ_n|dϕ

или

|A^αψ_n| ≤r⁻ⁿ 2π

0

|A^αψ(re^iϕ)|dϕ. (1.3)

Имеет место

Лемма 1.2. Пусть 0 < β < γ, 0 < β ≤ α ≤ γ и ψ(z) – функция со значениями в H, аналитическая в круге Gri ={z: |z|< ri} (i= 1,2), удовлетворяющая условиям

2π

0

|A^βψ(r1e^iϕ)|dϕ=c1<∞, 2π

0

|A^γψ(r2e^iϕ)|dϕ=c2<∞.

Тогда для r2 < r < r1 справедливо неравенство sup

|z|≤r

|A^αψ(z)| ≤ c0

1−rr⁻₁^{(γ−α)/(γ−β)}r₂^{−(α−β)/(γ−β)} ,

где c0 = 2c^2(γ₁ ^{−α)/(γ−β)}c^2(α₂ ^{−β)/(γ−β)}.

Доказательство. В круге G_ri имеем представление

ψ(z) =

∞ n=0

ψ_nzⁿ.

Отсюда и из (1.3) вытекают неравенства

|A^βψ_n| ≤c₁r⁻₁ⁿ, |A^γψ_n| ≤c₂r⁻₂ⁿ, из которых и леммы 1.1 получаем неравенства

|A^αψn|² ≤2(c1r₁⁻ⁿ)^{2(γ−α)/(γ−β)}(c2r₂⁻ⁿ)^{2(α−β)/(γ−β)} ≤

≤2c^2(γ₁ ^{−α)/(γ−β)}c^2(α₂ ^{−β)/(γ−β)}(r₁^{−2(γ−α)/(γ−β)}r₂^{−2(α−β)/(γ−β)})ⁿ.

В силу последнего неравенства

rⁿ|A^αψn| ≤c0(rr⁻₁^{(γ−α)/(γ−β)}r⁻₂^{(α−β)/(γ−β)})ⁿ, поэтому

|z|≤rsup|A^αψ(z)| ≤ ^∞

n=0

rⁿ|A^αψn| ≤c0

∞ n=0

(rr₁^{−(γ−α)/(γ−β)}r₂^{−(α−β)/(γ−β)})ⁿ≤

≤ c0

1−rr⁻₁^{(γ−α)/(γ−β)}r⁻₂^{(α−β)/(γ−β)}. Лемма доказана.

2. Некоторые оценки решения нелинейного параболического уравнения. Здесь получим некоторые оценки решения параболического уравнения (В.11), когда операторы A и B(λ,·) непрерывны. Предположение, что A и B(λ,·) непрерывны, избавит нас от необхо- димости соблюдения принадлежности области определения элементов при рассмотрении раз- личных выражений, связанных с A и B(λ,·). Но, так как нам необходимо перейти к случаю, когда эти преобразования неограниченные, мы вынуждены указывать оценки (точные по по- рядку) постоянных, которые возникают по ходу и позже будут использованы при переходе к случаюнеограниченных преобразований A и B(λ,·).

Итак, пусть A≥E – ограниченный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбер- товом пространстве H, а B(λ,·) – непрерывный нелинейный оператор, аналитически зави- сящий от параметра λ ∈G, непрерывно зависящий от λ ∈G¯ ={λ: |λ| ≤1}. Промежуток времени, на котором рассматривается задача, можно считать равным (0,1], т.е. a= 1.

В этом пункте мы будем использовать предположение B.1 с теми же ограничениями на функции ϕ₁(·), ϕ₂(·), ϕ₃(·,·) и ϕ₄(·), а также

Предположение B.2.

а) Если f(·)∈Hβ[0,1], где β из предположения B.1, то решение задачи Коши

ut+Au+B(λ, u) =f, u(0) = 0, 0≤t≤1, (2.1) при некотором α ∈ (−∞,+∞) существует, аналитически зависит от параметра λ ∈ G и удовлетворяет оценке

sup

λ∈∂G

sup

0≤t≤1|A^α−1/2u(t)|²+ sup

λ∈∂G

1

0

|A^αu(t)|²dt≤C₀²(A^αfH[0,1]), (2.2)

где C0(·) – непрерывная на [0,+∞) функция;

б) если f(·) ∈ H_β[0,1], то при некотором λ₀ ∈ G¯ решение задачи (2.1) существует и удовлетворяет оценке

1

0

d

dtA^βu(λ₀, t) ²

H

+A^β+1u(λ₀, t)²H

dt≤C₁(A^αfH[0,1]), (2.2) где C₁(·) – непрерывная на [0,+∞) неубывающая функция.

Предположения B.1 и B.2 в леммах 2.1 и 2.2 не используются.

Лемма 2.1. Пусть A ≥ E, θ ∈ (−∞,+∞), ξ ≥ 0, а u(t) – непрерывная функция со значениями в H и d

dtu(t)∈H[0,1]. Тогда имеют место неравенства (A+ξE)^θu²(η)|^t₀+

t

0

(A+ξE)^θ+1/2u(η)²dη≤ t

0

(A+ξE)^θ−1/2 d

dη+A+ξE

u(η) ²dη,

5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 45 № 6 2009

t

0

(A+ξE)^θ−1/2 d dηu(η)

²dη≤

≤4 t

0

(A+ξE)^θ−1/2 d

dη +A+ξE

u(η)

²dη−2(A+ξE)^θu²(η)|^t0.

Доказательствопервого неравенства леммы вытекает из следующих соотношений:

(A+ξE)^θu²(η)|^t0+ 2 t

0

(A+ξE)^θ+1/2u(η)²dη= 2 t

0

u+ (A+ξE)u,(A+ξE)^2θudη=

= 2 t

0

(A+ξE)^θ−1/2(u+ (A+ξE)u),(A+ξE)^θ+1/2udη≤

≤ t

0

|(A+ξE)^θ−1/2(u+ (A+ξE)u)|²dη+ t

0

|(A+ξE)^θ+1/2u(η)|²dη.

Второе неравенство легко выводится из первого и неравенства треугольника. Лемма доказана.

Лемма 2.2.Пусть 1/2< θ <1. Тогда справедливы неравенства 1

0

|(A+ξE)^θTξg|²(η)dη≤ C₁² (ξ+ 1)^1−θ

1

0

|g(η)|²dη ∀g∈DTξ,

sup

0≤t≤1|(A+ξE)^θ−1/2T_ξg|²(η)dη ≤ C₂² (ξ+ 1)^1−θ

1

0

|g(η)|²dη ∀g∈DT_ξ,

где C₁≡C₁(θ), C₂ ≡C₂(θ) – положительные числа, которые зависят только от θ, а T_ξg=

t

0

e−(A+ξ)(t−η)g(η)dη, g∈DT_ξ. Доказательство. Имеем

|(A+ξE)^θ(T_ξg)(t)| ≤(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2}|(A+ξE)^{θ+(1−θ)/2}(T_ξg)(t)| ≤

≤(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2} t

0

[(A+ξE)(t−η)]^(1+θ)/2e−(A+ξ)(t−η)g(η) (t−η)^(1+θ)/2 dη

≤

≤C θ

2

(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2} t

0

|g(η)|

|t−η|^(1+θ)/2 dη . Мы здесь воспользовались неравенством

|((A+ξE)τ)^(1+θ)/2e^−(A+ξ)τ| ≤sup

χ>0

χ^(1+θ)/2e^−χ≤C 1 +θ

2

<∞. (2.3)

Функцию |g(η)| вне отрезка [0,1] продолжим нулем. Тогда из (2.3) имеем

|(A+ξE)^θ(Tξg)(t)| ≤C θ

2

(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2}

+∞

−∞

e−(1/2)|t−η||g(η)|

|t−η|^(1+θ)/2 dη. (2.3) Теперь, воспользовавшись оценками операторов, инвариантных относительно сдвига, из [4, с. 52], получим первое неравенство леммы. Отметим, что при 0< θ <1 ядро |t−η|^−(1+θ)/2 есть ядро со слабой особенностью, поэтому вывод из (2.3) первого неравенства леммы хорошо известен в теории интегральных операторов.

Далее

|(A+ξE)^θ−1/2Tξg|(t) = t

0

e^{−(A+ξ)(t−η)}(A+ξE)^θ−1/2g(η)dη ≤

≤(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2} t

0

|e^{−(A+ξ)(t−η)}(A+ξE)^{θ−1/2−θ/2+1/2}g(η)|dη ≤

≤(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2} t

0

e^{−(A+ξ)(t−η)}[(A+ξE)(t−η)]^θ/2 g(η) (t−η)^θ/2

dη≤

≤C θ

2

(ξ+ 1)^{−(1−θ)/2} t

0

|g(η)|

|t−η|^θ/2 dη≤

≤C θ

2

1 (ξ+ 1)^(1−θ)/2

^t

0

|g(η)|²dη

1/2^t

0

1 (t−η)^θ dη

1/2

.

Здесь использовано неравенство (2.3). Отсюда вытекает второе неравенство леммы. Лемма доказана.

Лемма 2.3. Пусть выполнено предположение B.1 и f ∈ Hβ[0,1] (β из предположе- ния B.1) и, кроме того, при некотором λ ∈ G¯ = {λ : |λ| ≤ 1} задача Коши (B.2) с a = 1 имеет решение u(t), для которого

1

0

|A^β+γ−1(u+Au)|²dt≤C <∞, (2.4)

где числа β, γ из предположения B.1.

Пусть для f˜ и µ ∈ G¯ выполнено условие (B.5). Тогда для решения v(t) задачи Ко- ши (B.2) выполняются неравенства (B.2) и (B.6).

Доказательство. В пространстве H операторы A и B(·,·) непрерывны и выполняется предположения B.1. Поэтому уравнения для u(t) и v(t) имеют решения. Из уравнения для u(t) вычтем уравнения для v(t):

w+Aw+θ(t)[B(λ, u)−B(µ, v)] = ˜f(t), w(0) = 0, 0≤t≤1, (2.5) где w=u−v. Обозначим s(t) =e^−ξtw(t), где ξ >0. Для s(t) из (2.5) выводим уравнение

s+ (A+ξE)s+e^−ξtθ(t)[B(λ, u)−B(µ, u−e^ξts(t))] =e^−ξtf˜(t), s(0) = 0, 0≤t≤1. (2.5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 45 № 6 2009 5^∗