xs u x u t u u  u   x , t , 0  t   , x   x1,, xs  Rs x) F f u(x x,0 f2 x F 2 t u     xRs

15

Ш.АБИКЕНОВА, А.УТЕСОВ, Н.ТЕМИРГАЛИЕВ

О ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, г. Астана)

В данной работе исследуется задача дискретизации решения задачи Коши для волнового уравнения с начальными условиями из обобщенных классов Соболева. Найден точный порядок погрешности дискретизации решений волнового уравнения по линейной информации, при этом полученные оценки сверху и снизу представлены средними функциями систем функций типа модуля гладкости, определяющими свойства функций из рассматриваемых классов.

В данной работе изучается задача Коши для волнового уравнения

 s  1 , 2 ,





2 2 2

1 2 2 2

...

xs

u x

u t

u





 







 u  u   x , t , 0  t   , x   x

₁

,



, x

s

  R

^s



, (1)

(1) 1(x) F f

u(x,0)  ,

 

x,0 f₂

 

x F^{ 2} t

u  







^xRs



. (2) Сначала приведем общую постановку задачи восстановления, различные конкретизации в которой пространств X и Y, классов F, операторов T, вычислительных агрегатов

D

_N, приводят к разным постановкам задач (см., напр., [1-8] и имеющуюся в них библиографию).

Пусть даны нормированные пространства X⁽¹⁾,X⁽²⁾ и Y числовых функций, определенных на множествах (1)

,

(2)

X

X





и



Y соответственно, множества функций

F

^(j)

 X

^(j) (j1,2) и

   Tf y u ( y ; f ) u ( y ; f

₁

, f

₂

)

Tf   

- отображение

F  F

⁽¹⁾

 F

⁽²⁾ в Y. Пусть также даны целое положительное число N и целые положительные числа

N

₁

, N

₂,

N

₁

 N

₂

 N

, набор функционалов

 l

₁

, l

₂



l

^(N)



, l_j (l⁽_j¹⁾,..., l⁽_j^Nj)), l⁽_j^k)():F^(j) C, где

k  1,..., N

_j и

j  1,2

. И, наконец, пусть дана функция



_N

( z

₁

,..., z

_N

; y )

:

C

^N

 

_Y 

C

такая, что



_N

(z

₁

,..., z

_N

; y )

при всех фиксированных

z

N

z

1,..., как функция от y принадлежит пространству Y, где C, как обычно, есть поле комплексных чисел.

Тогда для каждого

^f   ^f

₁

, ^f

₂

  ^F

соответствующую функцию Tf u(y; f) будем приближать в метрике Y функцией (вычислительным агрегатом)

        ^ _ ^

 

 l l l l

N f

y

f f

N

N f ₂^;

2) ( 2 2 ) 1 ( , 2 1 1) ( 1 1 ) 1 (

1

,..., ,...,



, построенной по числовой информации

     

N

 

f f

f N

f l l l

l , ₂⁽¹⁾ _{2 2}^{( 2)} ₂ 1

1) ( 1 1 ) 1 (

1 ,..., ,..., объема N, полученной об

f   f

₁

, f

₂



посредством

функционалов

  _{ }

2 1,l l l

l^(N)  ^N1,N2  и переработанной по алгоритму



_N до функции, зависящей от той же переменной, что и Tf.

Пусть

 

l^(N1,N2),N

 

есть множество всевозможных пар



l^(N1,N2),N



и пусть

D

_N

  

l^(N1,N2)

, 

N

 

. Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины

 

 

 

 







 



 u f

F

F F f f D f N l

N Y N

N N

N N N

N inf sup ;

min

; D B;

A,

) 2 ( ) 1 ( 2 1 2)

1, ( 2

1 ( , ) ,



    ^{ }   ^{ }   ^{ }  

Y

N ^f

N f

f N

f l l l

l 



 



 

 ,..., ,..., ;

2 2 2 2

1 , 2 1 1 1 1

1

 1 (3)

и в указании вычислительного агрегата, реализующего оценку сверху.

При этом, обычно сначала устанавливаются оценки снизу погрешности дискретизации по информации, полученной от всех вычислительных агрегатов из заданного множества _DN, которые затем подтверждаются оценками сверху для конкретных вычислительных агрегатов (построение которых, разумеется, можно продолжить с точки зрения улучшения вычислительных характеристик).

В (3) символами обозначены А - уравнение, В - начальное или граничное условие,

F

^{- класс.}

Пусть _N - заданное множество наборов l^{ N} из

N

функционалов. Тогда при

D

_N

 

_N

   

N , то есть в случае приближения вычислительными агрегатами



l^{ N} ,



N



с l^{ N} из _N и произвольным



N, величину



_N , зависящую только от _N, согласно [1], назовем информативной мощностью семейства функционалов _N . Соответственно через ^{P }

 

^f

 

^f

 

N



^{f F}

N

N   





₁ ,...,



: ,

N 





₁,..., точки из множества задания функций класса

F 

обозначим множество из N функционалов, являющихся значениями функции в точках, через

    ^f     ^{m f m}  ^{f F m Z j N} 

Ф

^{N N j s}

N

  ˆ

⁽¹⁾

,..., ˆ

^{( )}

:  ,

^{( )}

 ,  1 ,  ,



множество из N

функционалов – тригонометрических коэффициентов Фурье-Лебега и пусть

    l   f l   f  f F 

L

^N _N

N

  



₁

,..., :

есть множество из N линейных функционалов, определенных на линейной оболочке класса F, где

Z

^s- множество всех векторов

m  ( m

₁

,..., m

_s

)

из

R

^s с целочисленными компонентами

Здесь рассматривается следующая конкретизация общей задачи восстановления:

]

s

1 , 0

2

[

1

    



,

Y  L

²

( 0 , 1 )

^s , оператор

Т ( f

₁

; f

₂

)

определен как

u ( y ; f

₁

, f

₂

)  u ( x , t ; f

₁

, f

₂

)

- решение задачи (1)-(2), при этом используется термин «дискретизация».

Прежде чем определить классы функций

F  

^j

 j  1 , 2 

, рассматриваемые в данной работе, напомним определение средней функции.

Для данного действительного числа

r  1

всякую непрерывную неубывающую на [0,1]

функцию

 _r   

такую, что

  0  0



r ^и

   

r r r r

r С





 







 ( )

при некотором

С ( 

_r

)  0

и всех 0







1, называют функцией типа модуля гладкости

r

- го порядка.

В качестве функций типа модуля гладкости

r

-го порядка можно указать функции вида



^r

log

^r1

 ¹

^(r1,

0  r

₁

 

^),



 

1loglog ¹

log^{r1 r2}

r (r1,

0  r

₁

 

,

   r

₂

 

^{) и}

т.п.

Пусть

rs

r





,...,

1 - система функций типа модуля гладкости порядков

r

₁

,..., r

s соответственно.

В дальнейшем, не ограничивая общности (в случае необходимости, переходя к

 

1 ) 1 ( 



j j

r

r r









), будем

считать, что все функции

rj

  j  1 ,.., s 

строго возрастают на

  ^{0 , 1}

^и



r_j

  1  1

^.

Обратную к инъективной функции g функцию будем обозначать через g^1. Рассмотрим функции



^1

  

rj , обратные к



rj

  

, и положим )

( )

(

1

1

 

1



 

_



  

 ^s

j rj

 0    1 

.

Очевидно, что

   ^{ 1} (  )

является строго возрастающей функцией на [0,1], причем

1 ) 1

1 ( 

 

^{. Функцию}

^{  }   ^

, обратную к

 ^{ 1} (  )

, следуя В.И.Коляде [9] будем называть средней функцией системы

rs

r





,...,

1 .

17

Отметим, что в случае ( ) ... ( ) ( )

1

    



^v   ^vs  ^v средняя функция этой системы, очевидно, есть функция

   (  )

, обратная к функции

^{    1 (  ) }  ^{ v  1 (  )}  ^s

^.

Класс

W ^

2^r1,...,

^

^rs есть, по определению, множество всех суммируемых 1-периодических по каждой переменной функций

f ( x )  f ( x

₁

,..., x

_s

)

, тригонометрические коэффициенты Фурье- Лебега

f (m )



которых удовлетворяют условию



₁^{, ,}



^{2 1 1}

... 1

1 2 1

1 1 2

)

( 











 



















 



 



 





Zs ms m m

ms rs r m

m f

  

, m_j max{1,m_j},j 1,..,s.

В частности, при



j

^ 

^j

r

r ( ) классы

W

^s

r

r 

 ,..., 2

1

сводятся к обычным анизотропным классам Соболева

W

^r2^,...,rs

1 .

Под классом ^{Lq, Lq,}

 

^0,1s



^0,



будем понимать множество всех функций

 ,  C R

:

g ^s  0  

таких, что для каждого

t   0 ,   g

_t

    x  g x , t

как функция аргумента

R s

x

является измеримой периодической с периодом 1 по каждой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству

   

   

 



 











 

 ^{  } _





q q L t

L

s s

q

q g g x t dx

g

1

1 , 0 0 ,

0 1 ,

0 sup ,

,

, .

Норму пространства L^q

 

0,1^s(1q), как обычно, будем обозначать через



Lqили

q, то есть

 

) (

1

1 , 0

q q q

L f f x dx

f

s

q 















^,

а под

L

^

  0 , 1

^s будем всюду понимать

C   0 , 1

^s.

Через c(, ,…) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.

Если

  ^A _N ^ _{N  1}

– последовательность положительных чисел и

  ^B _N ^ _{N  1}

- произвольная числовая последовательность, то запись

N

,...

N , A

B   

означает, что найдется постоянная c(, ,…), для которой при каждом целом положительном N выполнено неравенство

B _N  c   ,  ,...  A _N

. Если же

  ^A _N ^ _{N  1}

^и

  ^B _N ^ _{N  1}

- две последовательности положительных чисел, то запись

,... N

N , A

B   

означает, что одновременно выполняются соотношения

,... N

N , A

B  и ,... N

N , A

B  ^.

Приведем некоторые результаты, полученные в аналогичном исследуемому случаю направлении.

Ш.У. Ажгалиевым [4] для уравнения теплопроводности при использовании числовой информации в виде всевозможных линейных функционалов получены следующие двусторонние оценки:

1) при

2  q  

,

1    

,

2 r  s  0

,

s  1 , 2 , 

 

   

   

, 1 , 2 ,...

1 , 0

; );

( ) , 0 ( ,

1 2 1

1 , , 0 , 0 ,

2

 



 



    





^_^{ }_^{  }_^_^



 

N N

B L

x f x u t u

u

s q

r

s L r

L r s

N N N

s q

 





2) при

2

 1

r

,

s  1 , 2 , 

 

   

   

ln , 1 , 2 ,...

1 , 0

; );

( ) 0 , ( ,

2 1 ) 1 ( 1 ,

, 0 ,

0

2

 



 



    











 ^



N N

SW N L

x f x

u t u

u

r s r s L r

L r s

N N

N

s

 



,

 

   

   

ln , 2 , 3 ,...

1 , 0

; );

( ) 0 , ( ,

) 1 ( 1 ,

, 0 , 0 2

2

 



 



    





^



 

N

N SW N

L x f x u t u

u

r s r s L r

L r s

N N N

s







^.

А.Б.Утесовым [5] для уравнения теплопроводности, когда в качестве числовой информации используются значения в точках функции из обобщенных классов многомерной гладкости, определяющей начальное условие, получены следующие двусторонние оценки:

 

   

 

1 , 1 , 2 ,..

,.., 1 ,

, 0

; );

( ) 0 , ( ,

1 1 , 0 ,...,

2

2

1

 



 



 



 



    



 N

N r r P s

x f x u t u

u

s L

s N

N

N s

rs

W

r

^





^{   ,}

 

   

 

1 , 1 , 2 ,..

1 , , 0

; );

( ) 0 , ( ,

1 , 0 2

2

 



 



 



 



    



 N

N r

P s x f x

u t u

u

r s L

s N

N N

s

H

^r





 ^

^.

Е.Шангиреевым [6] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки при 2

r s :

 

 

  ^{( 1 , 2 ,..),}

) 1 , 0 (

;

; 0 ) 0 , ( ), ( ) 0 , ( ,

1 2 1 ) ,

, 0 [ ) 1 , 0 ( 2 2

2

,

 



 



  



 



 



^{  }



 

s N

M P

t x x u f x u t u

u

_s^r _q

s L r

s r N N N

s q

 



 

 

  ^{( 2 ),}

) 1 , 0 (

; );

( ) 0 , ( , 0 ) 0 , (

,

²

, , 0 [ ) 1 , 0 ( 2 2

2

, 2

 



 



  



 



 



^



 

s N M

P x f t x

x u u t u

u

^r

s L r

s r N N N

s

 



где

M

₂r

( 0 , 1 )

s есть любой из классов Соболева

W

₂^r

( 0 , 1 )

^s , Никольского-Бесова

B

₂^r_,

( 0 , 1 )

^s

 1     

.

Ш.Абикеновой [7] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки:

1) при

s  s  1 , 2 ,  

и

, 2 s v

r 

,

2  q  

 

 

 

q s

v r

s q v L r

s v s r N N

N x f x W W N

t x u f x u u t

u

s q

1 2 1 ) 1 , min(

, , ) , , 0 [ ) 1 , 0 ( 2

2 )

2 ( )

1 ( 2

2

,

) 1 , 0 ( , ) 1 , 0 ( Ф ;

);

( ) 0 , ( ), ( ) 0 , ( ,



 





 



 



  



 



 

  



2) при ^r

 _

_r ,...,

_

_rs



 1 и ^v

 _

_v ,...,

_

_vs



 1 систем строго возрастающих функций типа модуля гладкости

r

₁

,..., r

s - го и

v

₁

  ,..., v

_s

 

-го порядков соответственно, удовлетворяющих условиям



















 



 





 



 







s s

Z

m m ms

... 1

1 2

1 2

1





 

19

и



_j

     

С

 

_j

    

_j

  

^,



_j

 r

_j

, v

_j

j  1 ,  , s

^,

при некотором

С

_

 0

и для всех

0      1

 

     



^{(0,1) [0, )}



^

2 2

) 2 ( )

1 ( 2

2

, 2

1 , 0 , 1 , 0 Ф ;

);

( )

0 , ( ), ( )

0 , ( ,



 



 



  



 



 



s v

r

L s s

N N

N ^{x f x}

W W

t x u f x u t u

u  _{ }













 

 



 



 



 



 



N

^s

N N

N N

N N N

1 2 2 2 1 1 1 , 1

,

1 min 1

2 1

2 1





 .

Ибатуллиным И. и Темиргалиевым Н. [8] для уравнения Клейна-Гордона получены при 2 2

1

r   s и 1 2

2

r   sследующие двусторонние оценки (N=2,3,…)

 

 

 

^{1 2}

, 2 2

1

2 1

2

1 , ,

, 0 [ ) 1 , 0 ( 2

2 2

2 1 2

1 , 1

, , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ); ; (0,1) , (0,1)

min

r r L s

s r s r N N N

N N

N N

N x f x L H H _s

t x u f x u u u t

u 



 

 

  _



 



  



 





 







 

s r r

N

r r s

2 1 1; min

2 1, ,

 



^.

Теперь перейдем к формулировкам основных результатов.

Все рассматриваемые функции будем считать определенными на всем пространстве

R

^s, 1- периодическими по каждой из своих s переменных и суммируемыми на кубе

  0 , 1

^s.

Для 1-периодической по каждой из

s

-переменных суммируемой функции

f   x

через



^{m Zs}



m

f 



)

( будем обозначать ее тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, в дальнейшем именуемые просто коэффициенты Фурье,

 

dx e

x f m

f

s

x m



^ i



 

1 , 0

) , (

)

2

( )

(

^ .

Теперь перейдем к основным результатам настоящей статьи.

Через

u  x , t ; f , 0 

обозначим решение задачи (1)-(2) в случае

 

,0 ₁( ) ( ) ₂ ^1,...,

 

0,1 , ( ,0) ₂( )0



 



 x f x

t x u

f x f x

u

W ^

^r

^

^{rs s} , (4)

через

u  x , t ; 0 , f 

- в случае

 

^{x f x u}_t ^{x f x f x}

W  

^s

u ,0 ₁( ) 0, ( ,0) ₂( ) ( )



₂ ^,...,



 0,1



 

 (5)

и через

u  x , t ; f

₁

, f

₂



обозначим решение задачи (1)-(2) в случае

 

^{x f x}

W  

^{s u}_t ^{x f x}

W  

^s

u ,0 ₁( )



₂ ^r1,...,



^rs 0,1 , ( ,0) ₂( )



₂ ^,...,



 0,1



 

 . (6)

Теорема 1. Пусть



r,...,



rs 1

- система функций типа модуля гладкости порядков r₁,...,r_s соответственно, удовлетворяющие условию

   

. 1

...

1 2

4

1 2

4 1

1



































 

















 ^s

s Z

m

s r

s

r m

m

m m





(7)

и такие, что

 j  1 ,..., s 

 ^{ }    ^ _ ^{  } _ ^{  }



rj

  С

rj



rj



rj

при некотором положительном

( )

rj

С 

и для всех 0



,



1.

Тогда для решений

u  x , t ; f , 0 

задачи (1) и (4) имеет место соотношение

 N  1 , 2 ,.. 

 

        _

_{   }

_{ }



 



 







_{ }

 

u f l f l f

^

N

r L s

N N

ы f функционалl линейные l

s s

rs r N

N W

; 1 ,...,

0 ,

; sup

inf

1 ,

2 2 1

1 1 0,1 0; ,

1 , ,..., 0 ,

,...,

 



 

, где

 

¹

1

) 1

(





 









^s

j

r x

x  j



Теорема 2. Пусть



^v - функция типа модуля гладкости



-го порядка, удовлетворяющая условию

   

_























 



 





 



 

Z^s m

s s

m m

m m

1 ...

1 ₂

4

1 2

4 1





 

(8)

и такая, что

           



  С     при некотором положительном

С ( 

_

)

и для всех 0



,



1.

Тогда для решений

u  x , t ; 0 , f 

задачи (1) и (5) имеет место соотношение

 N  1 , 2 ,.. 

 

        _

_{ }

_

_

_

r s L s

N N

ы f функционалl линейные

l

N

f N l f l f

u

s

s N

N W

 

 













_{ }

  ^

1

; ,...,

0 ,

; sup

inf

1 ,

2 2

1 1 0,1 0; ,

1 , , 0

,...,









, где

   



¹



¹

) (

 

 _r x ^s x



j



.

Теорема 3. Пусть



r

,..., 

rs

1 и



 - система и отдельная функция типа модуля гладкости

r

₁

,..., r

_s-го и



-го порядков соответственно, удовлетворяющие условиям (7), (8) соответственно и

              



^

^{  С}

^

^

^

^

^

^{ }

^rj,

^

^{,j 1,...,s}

^

(9) при некотором положительном

С   

_ и для всех 0



,



1.

1) Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения (N=1,2,…)

 

 

^{ }

      _

_{   }

_ 1 ,

; ,...,

0 ~ ,

;

sup

1 0,1 0;

1 1

, 0

, 2 2

 

 



 







 



u f l f l f

^ _s

N

r s N N L

W f







где

 

     

 

 

 

_s

 

^{ s s}

j j

s

k x k x i k

k s s

j n k

k k k N

N

l f l f x t f k k t e

^{ }









 

¹



^{,..., 2 ...}

,..., 1

: ,..., 1

1 ₁₁

1 1

,..., ,

; ,...,

~ 

^



,

1 1 1

1





















 



 



 



 



N n

rj

j  

,

j  1 ,..., s

.

2) В случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения