DTM 172 - KALKULUS MAC-APR 1992.

UNIVERSITI _SAINS MALAYSIA

Peperiksaan _{Semester Kedua} Sidang Akademik I99t/92

Mac./Apri

I

^1.992

DTI4 I72

-

Katkulus

Masa [3 ^jamJ

Jawab _semua soalan.

1,. (a) Cari had-had

(i) _{had x}

yang

berikut, jika

wujud:

-x-6

(ii) _had

xi@

( iii ) had

x;0

x+3 x-3

{x-+L

x+1 hx * h-x

---zt-

( 20/ 100 ) Adakah 2y' = ^1,6

-

^{4x2 suatu}

fungsi?

Terangkan.

(b) (rl (ii)

tlLt

Jika

y

₌ rE

- z*t,

apakah domain

Dapatkan

titik

maksimum,/minimum

lakarkan grafnya.

dan julatnya?

bagi fungsi (ii) dan

( 40/ L00 )

(c) (i) (ii)

Berikan Katakan

f(x

dan

takrif f

ialah

+Y)--

bagi f ' ^(x).

suatu fungsi f

(x)

+ f (y)

yang bersifat begini:

Vx, y€R

f(x) =x

^g(x) VxeR

r5

/2

-2-

di ^mana

had g(x) = ¹

x+O

Tunjukkan bahawa f'(x) = ^1.

(4A/rc))

2. (a)

Cari dyldx bagi persamaan-persamaan berikut:

(i) _{Y =} (x-1)2,/x*4 ezx (x+2)3(x+1)

(ii) _Y = (sin xrkos ^x (iii)

"*ko=Y=xeY

( 30/ 100 )

(b) f(x) = u*t + ^bxz + cx + d ial-ah suatu polinomial darjah ^3.

Jika f(1) = 5, f'(1) = 3, f'(I) = -4 ^dan f"'(I) = ^-6, (i) tentukan nilai-nilai a, b, c dan d'

(ii) dapatkan ^persamaan garis tangen dan garis ^normal kepada lengkung di atas ^pada titik x = ^2.

( 50/ 100 )

(c) Jika ^y2 = 1 ⁺ sin x, ^{tunjukkan bahawa}

2=r

( 20/ ¹⁰⁰ )

3. (a) (i) Dapatkan j (tu.r

")' 'ctxo

,,*. i3I)'*u

(TIJ

Kamir

(i)

ITIJ

Tunjukkan bahawa luas pintu ialah A = 5x - (4 g---x+ 1; ²

(ii)

_Cari

nilai x

dan

y

supaya luas pintu -3-

Dengan menggunakan (i)

nilai

fl

1t.., I

T

*

o.or L [4

yang berikut:

"d*

{*+t 3x2-4

_dx x(x2 + 11

(DTt4 _1,72)

kaedah pembeza, _anggarkan

adalah maksinum.

( 60/ L00 )

dan

)l'

( 40/ 100 )

(b)

Sebuah pintu berbentuk segiempat tepat dengan separuh bulatan

terletak di atasnya.

ukuran

pintu

adalah

seperti di

dalam

rajah.

Ukurkeliling pintu ialah LO meter.

(--x---)

t

I

v

I

],

(i)

kan

J

I

4. (a)

I7

/4

-4-

( 30/ ¹⁰⁰ )

(b) Sebiji bola dilontar ke bawah dari atas sebuah bangunan

setinggi 20 m. Jika kelajuan ^permulaan bola tersebut ialah ⁵ m/saat dan pecutannya (disebabkan tarikan graviti) ialah ¹⁰

n/saat?, i

(i) tunjukkan bahawa kelajuan seketika bola diberikan ^oleh persamaanv(t)=10t+5.

(ii) _Bilakah bola tersebut sampai ke ^tanah?

' (Anggap arah ke bawah sebagai positif. )

( 35/ 100 )

(c) Rantau yang dibatasi oleh lengkung-lengkung y = xz ^dan y2 = 8x dikisarkan mengelilingi paksi-x. Cari isipadu bungkah yang terjana.

( 3s/ ¹⁰⁰ )

5. (a) Cari modulus dan argumen nombor kompleks

t= 13+i

| * ifr' . ( | 6

⁺

r l'

^{\^}

Nilaikan | - ^|

Ir+ifiJ

.

^(40/100)

(bj Jikaz =x+ iydan lz-1+.il=2,

tunjukkanbahawa

*t * yt -

^{Zx + 2y}

-

^Z

-

^O

i'_!

?'i

(iii)

J 'i" (f )

^ax

(DTt41,72)

-5-

(c)

Tunjukkan bahawa bagi sebarang nombor kompleks z dan w,

lz

^{+ wlz}

+ lz -

wlz = Zlzl2

*

2lvl2

( 3A/rcO)

- oooOooo -

1{)