EUM101 - MATEMATIK KEJURUTERAAN I APRIL 1994

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA

Peperiksaan Semeter Tambatran Sidang

Akademik

Lgg3tg4

Jun 1994

Masa:

_[3

jam]

ARAHAN KEPADA CALON:

^:

Sila pastikan

_bahawa

kertas

peperiksaan

ini

mengandungi

ENAM

(6) soalan sebelum anda mernulakan peperiksaan

ini.

Jawab LIIvIA(SJ soalan sahaja.

11

muka surat bercetak

_dan

Agihan markah bagi setiap soalan diberikan

di

sut sebelah kanan sebagai peratusan daripada markah keseluruhan yang diperuntukkan bagi soalan berkenaan.

Jawab kesemua soalan dalam Batrasa Malavsia.

I

,,.2/-

1.

-?-

(a)

Berikan

takrif

keselanjaran suatu fungsi y ₌

f

(x) pada x ₌ n"

Seterusnya dapatkan nilai

k

supaya fungsi,

IEUM loll

QaVo)

$aVo)

...3 / -

f (x)

x*1 x=1

[6x

-) lt*

lirn sin t

_l

t-)0 tr

-1 +k

xZ

*

^2x

- I

xz

sin x

e* - e-*

^t

adalah selanjar pad& x

=

^1.

(b) Buktikan

bahawa

Tentukan setiap

limit

berikut:

(i)

^lim

x-)

²

(ii

₎

(iii

₎

lim

x-+0

rim tfr -Z

x-+ 4 x- 4'

2

(c)

IEUM

¹⁰¹¹

-3-

Sebuah syarikat telah mendapati bahawa keuntungan yang diperolehi _hasil dari pengiklanannya _adalatr diberi oleh fungsi,

P(x) = -3x3 + 225x +

50, 0

Tentukan keuntungan maksimum yang drperolehinya, itu.

(IO7o)

(d)

Dapatkan terbitan pertama bagi setiap fungsi-fungsi berikut:

(iii ) f(x)

=

\,tr

xzF5x+6

QAVo)

3

x-z

...4|-

2. (a) Selesaikan setiap kamiran tak tentu berikut:

IEUM 10ll

(40Vo)

(ii) J#dx;

Sin (ln 3 z2)

(iv )

J

ln 2z \,8

^dz

(iii ) I dz;

4 3x2+ 7

dx

...51-

(b)

-5-

Dapatkan setiap kamiran tentu berikut:

f3

JJ,. +

¹⁾³

dx

^;

J, tz lnvdv

;

f

³

"

Jl?dx;

3tx

I

nl4

Jo .sin t cos t

dt

lEuM 10ll

(4OVo)

QATo)

(i)

(iv

₎

(ii

₎

(iii

₎

(c)

Nilaikan karniran gandadua berikur:

(6x2y *2x) dx dy

_;

(ii

₎

lnx dy

dx

(i) I: I,o

l" jj

.5

.,,6/-

3,

IE{JM

^10U

-6-

(a) Jikah=h(x, y)

^dan

x=2s -t, y =

^s

+ 2t,

selesaikan

sdan tdalamsebutan

x dan

y.

SeterusnYa daPatkan,

(i) ain

.

Dx2

^'

(ii

₎

(iii

₎ ^a2n

Exdy

dalam sebutan terbitan-terbitan terhadap ^s dan

t,

Tunjukkan bahawa,

a1n

,

oyz

^'

- [ a'r,

'La-,

+

'

a2r,_ZyZ

a'h ,

2s2

+ '

a2n

Et2

(b)

(60Vo)

Terangkan kaedah Newton-Raphson bagi mendapatkan penghampiran punca bagi suatu persamaan.

Dengan

menggunakan

tiga lelaran berturut-turut dalam

kaedah

Newton-

Raphson, dapatkan punca positif yang terkecil bagi fungsi,

f(x)=x3- xz 2x+1

jika diberi nilai

arval x

o =

^0.

(4OVo)

6

..,7

l-

IEUM

_101]

-7

-

(a)

Diberi,

y =2x3 -

^3x2

- l2x +

¹⁵

carilah titik-titik

genting bagi fungsi di atas, dan tentukan

nilai

maksimum atau

minimum

tempatan atau

titik

lengkuk _batas

(iika wujud).

Lakarkan graf _bagi

fungsi

tersebut _dengan memberikan selang-selang

bagi fungsi itu

menokok, menyusut, cekung ke atas dan cekung ke bawah.

(5OVo) (b) Nilaikan,

(i)

(ii

₎

(iii

₎ f ntz ,0

{' {

x2 lnxdx

gx1 2

+ ex

^\{

(c)

Carilah isipadu yang terkandung di antara permukaan

f(x,y)=m

dan rantau segiempat dalam

2 S x

S T

dan

0

(3OVo)

satah

x y

yang

ditakrifkan oleh

ketaksamaan

(207o)

7

.,.8/-

*8-

5, ^(a

) Tentukan

samada siri berikut

menumpu atau mencapah:

an=

^-5.n3

t-?rt -J

n4+3

(ii

₎

(iii

₎

(b) Dapatkan

jejari

penumpuan bagi siri kuasa

n- ian

¹

( - 5)"

IEUM

¹⁰¹¹

{3oVo}

(4oVo)

(i)

&n=#;

4+ Cos

n

an=T

n=0 i

(2n)!

_-,

r Tx'' (n!)"

Carilah nilai x

sup ^aya

oo

slrl /-

..\t

ll= 0

n(xz +

^1)*

menumpu ^secara rnutlak.

B

.,.91-

(c) (i)

-9

-

Jika h(x) fungsi

ganjil

, buktikan

^bahawa

adalah

gungsi

genap,

IEUM tOrl

lrX*)N

dan hz (x)

(ii)

Tunjukkan bahawa siri Fourier bagi fungsi

e(x) = +, -n

diberi

oleh ,

t+

t2

T

nrl

(- l)n

11

"

^Cos

no

t30Vo)

I

,.:1 AL

IEUM

^101]

t0-

6. (a) Katakan

vektor

^a,

= * 2t

Carilah;

+ 2i - 8[ dan

^vektor

b= *i-j 9k,

(i)

(

ii) {iii) (iv)

g"b

^;

? xb;

lexh l;dan

suCut di

antara a

^{dan b}

(b)

Nyatakan perbezaan matriks simetri dan matriks simetri pencong.

Jika matriks

A

diberi sebagai;

t

3

1

Carilah matriks songsang bagi

A

dan tentusahkan bahawa

-1 -t

A'.A=A A*=L

2\

11, 4)

A=l-1 (1

t3

$AVo)

(30Vo)

,,"Lu-

10

selesaikan sistern persarnaan yang berikut:-

-xl * *z+ 2*, =

²

*xr * 3*r+ 4*, ={

msnggunakan kaedatr:

matriks sCIngsang ; ^dan

penghapusan _Gauss"

oooOOOooo

(i)

(ii)

[EUM 10u

(40Vo)