JIM 514 - Aljabar Moden.pdf - EPrints USM

UNIVERSITI SAIN

^S

MALAYSIA

PeperiksaanTambahan SidangAkademik ^1994/95

Mei/Jun ¹⁹⁹⁵

W

Masa: [3

jam]

ARAHAN KEPADA QALQN

° Silapastikan bahawa kertas ujian

ini

mengandungi

LIMA

muka surat yang bercetak sebelumandamemulakan ujian ini.

0 Jawab ^mana—mana

LIMA

^{soalan. Setiapsoalanbemilai 100 markahdan markah}

subsoalandiperlihatkan di penghujung subsoalanitu.

.

^' _{Setiapjawapan}mestidiberididalam bukujawapanyang disediakan.

...2/-

491.

(a)

(b)

(C)

(d)

(a)

(b)

(C)

-2- UDASlq

Buktikan^bahawa,

(Au

^B)

n (Bu C)n (CvA)

^{= (A}

n B)U(Bn C)U(CnA).

(30markah)

HubunganH ditakrifkan^atas

2,

_{set semu}integersebagai

xHy c:

^xmembahagikan y,

V

^x, y e Z.

TunjukkanbahawaH transitif.

(20 markah)

Tentukan, sama ada hubungan

K refleksif, simetri

^atau

transitif jika

ianyaditala‘iikan^{atasIR, setsemua}nombor nyata dengan

xKy @x-y S1 Vx,ye R.

(30 markah)

Cariset semuaintegerxyang memenuhi 2x

5

4 (mod 6).

(20markah)

Andaikan

A

⁼

{1,2,3,4}

^{dan B =}

{1,2,3,4,5,6}.

Nyatakan bilangan fungsisatu-ke-satu dari

A

kc B.

(10 markah)

Andaikan IR sebagai set semua nombornyata.

Buktikan

bahawafungsi

f

^{: IR ——>1R yang} ditakn'fkan oleh

2x+1, x33

x

:

x2-2,x>3

adalah fungsi satu-ke-satu ^dan keseluruh. Nyatakan songsangannya.

Apakah yang boleh kamu katakan tentang

fungsi

gubahan,

fof?

Perjelaskan jawapan kamu.

(60 markah)

Jika

A

suatu set terbingga dan

f

^:

A

^-—>

A

suatu

fungsi

satu-ke—satu, buktikan^bahawa

f

adalah keseluruh.

(30^markah)

...3/-

492‘

(a)

(b)

(C)

(d)

(a)

(b)

Andaikan Zsebagaisetsemuainteger.Andaikan

f

dan g sebagai fungsi dari

Z

ke

Zyang

ditakrifkanoleh

xf=2x

^,

er

dan

xg=

i—

[1+(-1)"]

^x,

xe

^Z.

Buktikan

bahawafungsigubahanfog adalahfungsi

identiti

^atas

Z

tetapi fungsi^gubahangofbukan fungsi identiti.

(25 markah)

Andaikan

^IR sebagai set semua nombor ^{nyata dan}

*

_{sebagai operasi}

dedua atasIRyangditakriflmn^oleh

x*y=lx|y ,Vx,yeIR.

Buktikan

^bahawa

*

_{adalahkalissekutuan} tetapi tidak kalis tukar^tertib.

(25 markah)

Jika < G,

*

> adalah suatu kumpulan yang mempunyai

tiga

^unsur,

buktikan

bahawa G adalah kumpulan abelan dengan berpandukan kepada

sifir

Cayleybagi kumpulan ini.

(30^markah)

Andaikan

^{< G,}

*

> adalah suatu kumpulan dengan e sebagai unsur identiti. Jika^{a, b e G dan a2 =b2 = (a}

*

_{b)2 =e,}

buktikan

^{bahawaa "‘ b =b}

*

_a.

(20 markah)

Andaikan

^{G = ]R - { O }, set semua}

nombor

nyata

tidak sifar.

Ditakriflcan

^{operasi * atas G sebagai a}

*

_b = 1 + ab

V

^a, b e G.

Buktikan

bahawa < G,

*

_{> bukankumpulan.}

(20 markah)

Jika

M

^dan N merupakan ^dua subkumpulan kepada

kumpulan

^G,

MN

⁼

{x

^{e G x = mn, m e}

M,

n e

N}. Buktikan

^bahawa

(C)

(d)

(a)

(b)

(C)

(d)

- 4 ^-

[JIM

514]

Berikan

takrif

pilihatur^{genap. Adakah}pilihatur

(l

2) (3 45) (1 2)(7

l

5 8) ganjil atau genap? Nyatakan peringkatnya.

(30_markah)

Nyatakan bilanganunsur bagi A3,kumpulanselang-seliberdaljah3.

(10markah)

Nyatakan pemyataan^yang

BENAB

^{danyangEALSLL}

(i) Setiappilihatur^adalahkitar.

(ii)

Setiap kitax adalahpilihatur.

(iii)

_A5,kumpulanselang-seliberdaljah⁵ mengandungi ^120unsur.

(iv) A4,kumpu1anselang-seliberdaljah⁴ adalahkumpulan abelan.

(v) Set semuapilihatur ganjil^dalam_S3 ^adalahkumpulan.

(25 markah)

AndaikanC

^sebagai kumpulan nombor kompleks, dan IR sebagai kumpulan nombor nyata, kedua-duanya dengan penambahan sebagai operasi dedua.

Ditakrifkan

^(p :C ^{—) 1R} sebagai (a + ib)(p = a + b.

Tentukan,_sama ada(psuatu homomorfisma. Jikaya, dapatkan

intinya.

(30^markah)

Berikansuatucontoh lawan untukmempertjkaikanpemyataan

ini:

Jika G suatu kumpulan

kitar,

maka setiap unsur selain dari

identiti

menjanakanG.

(30 markah)

Jika

M

dan N merupakan dua subkumpulan normal bagi kumpulan ^G.

buktikan bahawa

MON

jugaadalah normal dalam^G.

(15 markah)

494:

(a)

(b)

(C)

(d)

Jika

H

dan

K

adalah dua subgelanggangbagi gelanggang G,

buktikan

bahawa

HnK juga

adalahsubgelanggang bagi G.

(25markah)

Jika H dan

K

adalah dua unggulanbagi_gelanggang^R, buktikanbahawa

HnK

jugaadalah unggulan^bagiR.

(25markah)

Jika ^R adalah suatu gelanggang dengan ^x2 = x

V

^{x e R,}

buktikan

bahawa Rkalis tukartertib.

(25 markah)

Andaikan^1R sebagai set semuanombornyata.

AndaikM- a0

a" ' Ob

pendaraban matriks ^{sebagai operasi atas}

M

dan

f

^:

M ->

^{IR sebagai}

a,belR} dengan

penambahan

^dan

fungsi yangditakrifkan ^sebagai

aOf-b

0b "

Buktikan bahawa

f

adalah suatu homomorfismagelanggang. Dapatkan

Inti

f.

(25 markah)

-

0000000

^-