UNIVERSITI SAINS MALAYSIA
Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang Sidang Akademik 2011/2012
Ogos 2012
MAT 363 – Statistical Inference [Pentaabiran Statistik]
Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]
Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of printed material before you begin the examination.
[Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi TUJUH muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]
Instructions: Answer all four [4] questions.
[Arahan: Jawab semua empat [4] soalan.]
In the event of any discrepancies, the English version shall be used.
[Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai].
1. (a) If X1,X2,..., Xn is a random sample from the normal distribution, N 2μ,3σ2 and Xm is defined as
m
i i
m X
X m
1
1 , m n,
find the distributions of the following statistics:
(i) Xm Xn.
(ii) 2
2
σ 3
μ
m 2 X
m .
[40 marks]
(b) The random variables U and V have a joint probability density function (pdf) uv
v u
f 4
, 1 , 0 u v 2.
Find
(i) the conditional density function of U given V v. (ii) the conditional mean of U given V 2.
[40 marks]
(c) Assume that X1, X2,..., Xn is a random sample from the Beθ distribution, where 0 θ 1. If Xn denotes the sample mean, show that Xn converges in probability to θ.
[20 marks]
1. (a) Jika X1,X2,..., Xn adalah suatu sampel rawak daripada taburan normal, N 2μ,3σ2 dan Xm ditakrifkan sebagai
m
i i
m X
X m
1
1 , m n, cari taburan untuk statistik berikut:
(i) Xm Xn.
(ii) 2
2
σ 3
μ
m 2 X
m .
[40 markah]
(b) Pembolehubah rawak U dan V mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian (fkk) tercantum
uv v
u
f 4
, 1 , 0 u v 2.
Cari
(i) fungsi ketumpatan bersyarat U diberi V v. (ii) min bersyarat U diberi V 2.
[40 markah]
(c) Andaikan bahawa X1,X2,..., Xn adalah suatu sampel rawak daripada taburan θ
Be , yang mana 0 θ 1. Jika Xn mewakili min sampel, tunjukkan bahawa Xn menumpu secara kebarangkalian kepada .
[20 markah]
2. (a) If Yn denotes the nth ordered statistic of a random sample from the uniform distribution, U 0,λ , find the limiting distribution of Zn n λ Yn .
[30 marks]
(b) Let X1,X2,..., Xn be a random sample of size n with probability mass function (pmf),
! λ λ
; λ
e x x
f
x
, for x 0, 1, 2,... ; λ 0 . Find the maximum likelihood estimator (mle) of λ.
[20 marks]
(c) Assume that X1,X2,..., Xn is a random sample from the normal distribution, θ
θ,
N , θ 0.
(i) Show that f x;θ is an exponential family.
(ii) From (i), find a complete and sufficient statistic.
(iii) Is X an uniformly minimum variance of unbiased estimator (UMVUE) of θ? Explain.
[50 marks]
2. (a) Jika Y mewakili statistik tertib ke-n bagi suatu sampel rawak daripada taburan n seragam, U 0,λ , cari taburan penghad untuk Zn n λ Yn .
[30 markah]
(b) Biarkan X1, X2,..., Xn sebagai suatu sampel rawak saiz n dengan fungsi jisim kebarangkalian (fjk), ; λ λ λ ,
!
x
f x e
x untuk x 0, 1, 2,... ; λ 0. Cari penganggar kebolehjadian maksimum (pkm) untuk λ.
[20 markah]
(c) Andaikan bahawa X1,X2,..., Xn adalah suatu sampel rawak daripada taburan normal, N θ,θ , θ 0.
(i) Tunjukkan bahawa f x;θ adalah suatu famili eksponen.
(ii) Daripada (i), cari suatu statistik cukup dan lengkap.
(iii) Adakah X suatu penganggar saksama bervarians minimum secara seragam (PSVMS) untuk θ? Jelaskan.
[50 markah]
3. (a) Assume that X1 and X2 are random variables from the Poisson distribution, θ
P . Is X1 2X2 a sufficient statistic for θ?
[30 marks]
(b) Let X be a single observation from a distribution with pdf
f x 2 λ x I0,λ x
λ λ 2
; , λ 0.
If X , X
d c is a confidence interval for , find the confidence coefficient, in terms of c and d.
[30 marks]
(c) Let X1, X2,..., Xn be a random sample from the exponential distribution with parameter θ. Based on the sample mean
n
i
Xi
X n
1
1 , derive
(i) the 100 % approximate confidence interval for θ when n is large.
(ii) the 100 % exact confidence interval for θ when n is small.
[40 marks]
3. (a) Andaikan bahawa X1 dan X adalah pembolehubah rawak daripada taburan 2 Poisson, Pθ . Adakah X1 2X2 suatu statistik cukup bagi θ?
[30 markah]
(b) Biarkan X sebagai suatu cerapan tunggal daripada taburan dengan fkk
f x 2 λ x I0,λ x
λ λ 2
; , λ 0.
Jika X , X
d c adalah suatu selang keyakinan bagi , cari pekali keyakinan, dalam sebutan c dan d.
[30 markah]
(c) Biarkan X1,X2,..., Xn sebagai suatu sampel rawak daripada taburan eksponen dengan parameter θ . Berdasarkan min sampel
n
i
Xi
X n
1
1 ,
terbitkan
(i) selang keyakinan hampiran 100 % bagi θ apabila n adalah besar.
(ii) selang keyakinan tepat 100 % bagi θ apabila n adalah kecil.
[40 markah]
4. (a) Let X1,X2,..., Xn denote a random sample of size n having pdf x
I xe x
f ;θ θ2 θx 0, .
(i) Find the uniformly most powerful critical region to test H0:θ 1 versus θ 1
1:
H .
(ii) For testing H0 :θ 1 versus H1:θ 1, the following test is used: Reject H0 if and only if X 2 k. By assuming that n is sufficiently large, find the approximate value of k using the Central Limit Theorem so that
05 . α 0 .
[50 marks]
(b) Assume that X1,X2,..., X20 is a random sample of size 20 from a normal distribution, N 0,θ , where θ 0. For testing H0 :θ 1 versus H1:θ 1, the following critical region is used:
20
1 2 20
2
1, ,..., :
i
i c
x x
x x
C .
Find the value of c if the size of the critical region C is 0.10.
[30 marks]
(c) Assume that X is a single observation having pdf f x;θ 1 θ xθI0,1 x , where θ 1. For testing H0:θ 0 versus H1:θ 0, the following test is used: Reject H0 if and only if
2
X 1 . Find the power function of this test.
[20 marks]
4. (a) Biarkan X1,X2,..., Xn mewakili suatu sampel rawak saiz n yang mempunyai fkk f x;θ θ2xe θxI 0, x .
(i) Cari rantau genting paling berkuasa secara seragam untuk menguji H0 :θ 1 lawan H1:θ 1.
(ii) Untuk menguji H0 :θ 1 lawan H1:θ 1 , ujian berikut digunakan:
Tolak H jika dan hanya jika 0 X 2 k. Dengan mengandaikan bahawa n adalah besar secara cukup, cari nilai hampiran k dengan menggunakan Teorem Had Memusat supaya = 0.05.
[50 markah]
(b) Andaikan bahawa X1, X2,..., X20 adalah suatu sampel rawak saiz 20 daripada taburan normal, N 0,θ , yang mana θ 0. Untuk menguji H0 :θ 1 lawan H1:θ 1, rantau genting berikut digunakan:
20
1 2 20
2
1, ,..., :
i
i c
x x
x x
C .
Cari nilai c jika saiz rantau genting C adalah 0.10.
[30 markah]
(c) Andaikan bahawa X adalah cerapan tunggal yang mempunyai fkk f x;θ 1 θ xθI0,1 x , yang mana θ 1. Untuk menguji H0:θ 0
lawan H1:θ 0 , ujian berikut digunakan: Tolak H jika dan hanya jika 0 2
X 1. Cari fungsi kuasa ujian ini.
[20 markah]
APPENDIX / LAMPIRAN
- ooo O ooo -
