MAT 517 - Computational Linear Algebra and Function

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Kursus Semasa Cuti Panjang

Sidang Akademik 2008/2009 Jun 2009

MAT 517 - Computational Linear Algebra and Function Approximation

[Aljabar Linear Pengkomputeran dan Penghampiran Fungsi]

Duration

:

3 hours [Masa

^{: 3}

jam]

Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of

^printed

material before you begin the examination.

[Sila

^pastikan

bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi

^TIJJ(JH

muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.l

Instructions: Please use two separate answer books for Section A

and

Section B, respectively. Answer all two [2] questions from Section A and two [2]

questions from Section

B.

Franan:.

^Sila

guna 2 buku jawapan yang berbeza, masing-masingnya untuk Bahagian A dan Bahagian B. Jawab semua dua [2] soalan daripada Bahagian A dan dua [2] soalan daripada Bahagian B.l

...21-

IMAT

⁵¹⁷¹

Section

A

1.

^(a)

Let A

^and

B

^be

nxn

matrices and

let xe lR'. How

many scalar additions

and multiplications

are necessary to compute

(i) (.Ln)x

^?

(ii) A(Bx)

^?

(iii)

Based

on your

answers

in

parts

i)

and

ii), which

computation is more efficient? Why?

Let Q€iRn"

^and

uelR'aresuchthat Q=I-Zuur.

(i)

Show

that Q

is an elementary orthogonal matrix.

(ii) Let xeJR', andA,Be

JR'*'. Show that,

when A is not

orthogonal,

computing Qx is more efficient than computing Ax ,

^and,

computing

QB

^{is more efficient than}

computing AB.

[100 marks]

2. Consider the problem

of finding

a

vector

x e

lR'

that

minimizes

_llu

- *lll ,

^where A €

lR'"n with

m >

n.

and. b e

iR'

^.

Describe a numgrical method

for finding x

in the case

A

is

full

rank.

Let (r 2)

A=l land

t-r -2)

(i)

Find the singular value decomposition

(SVD) of A.

Hence,

verify that A

is rank deficient.

Suppose

the SVD of A is

such

thatA=UXVr. It

can

be

shown that a

vector

x e lR.2 that

minimizes

_llu

- A-ll;

^is

of

^the

form

^{x =}

Vy

^,

where

y

₌

x*Urb,

and

x*

₌

(>tx)-'>t.

^Find

this x

and provide a geometrical interpretation of the least squares solution.

(iii) Are there any other nontrivial solutions to the least

squares

problem Ax=b?Why?

[100 marks]

2

(b)

(a)

(b)

(o)

b=l l.

l-4)

(ii)

[MAr 517]

Bahasian

A

L (a) Biar A dan B menjadi matriks nxn dan xelR".

Berapaknh bilangan hasil tambah dan hasil darab skalar yang diperluknn untuk mengira

(i) (an)x

^?

(iil A(Bx)

^?

(iii)

Berdasarkan

jowapan anda di bahagian i) dan ii),

^pengiraan

manalmhyang lebih efisien? Kenapa?

(b) Biar Q€

lRn"'

dan

ueVn sedemikian rupa sehinggakan Q=

I -2uur

^.

(i)

Tunjukkan bahawa

Q

ialah matrix berortogon asas.

(ii) Biar

^xeRn

, dan

^{A,B e}

R'"n

^Tunjukkan

bahawa, bila A tidak

berortogon, pengiraan Qx adalah lebih efisyen

berbanding

pengiraan Ax , dan, pengiraan QB adalah lebih

^efisyen

berbanding

pengiraan

AB.

P00

^marknhJ

2.

Pertimbangkan

masalah mencari vektor xelRn yang

meminimumkan _llf

-exlli,

dengan.l€lR'"', m>n dan 6elR'.

(a) Huraikan SATa kaedah berangka untuk mencari x dalam kes

A

me mpuny ai p angkat p enuh.

ft) Biar

(i) Cari penghuraian nilai singular (SVD) bagi A. Oleh

^yang demikian, tentusahknn bahawa

A

mempunyai pangkat kurang.

(ii) Kqtaknn SVD A ialah

sedemikian

rupa sehinggakanA=ULvr.

Boleh ditunjukkan bahawa vehor xe

IR2

yang

meminimumksn

lp-exlli ialah dalam

^bentuk

x=Vy, di mana y=E*(Jrb,,

dan

>.

₌

(>t>)-'tt Cari x ini dan berikan

penterjemahan bergeometri terhadap penyelesaian kuasa dua terkecil.

(iii)

Adakah terdapat penyelesaian-penyelesaian

tidak

remeh yang

lain

bagi masalah kuasa dua terlcecil

Ax

₌ b? Kenapa?

fl00

^marknhJ

3

o=(t 2) dan ,=f6).

\-r -2) [-4l

IMAT 517I

If

xo,

x1,...,x1,

are

n + I

^{distinct nodes}

and/is a function

whose values

are given at these nodes, find a unique rth Lagrange

interpolating

polynomial P(x) of degree at most n with lx1,) : P(xD for

_each

k

₌ 0,1,... ,n.

Use appropriate Lagrange interpolating polynomial of

degree

two

to approximate

f(0.9) if

f

^{(0.7) =} 0.0137 5227,

f

^{(0.8) = 0.223 633}

62

^and

f

^{(I .0) = 0. 65 8 09 I 97.}

A

clamped cubic spline,Sfor a

function /is

^defined

on [,3]

^by

4

Section

B

3.

^(a)

(c) (b)

4.

| :("-r) +2(x-t)2-(r-1)3, for

t ^<

x 12,

J(xJ _{= I}

la ⁺

b(x -2)

⁺

c(x -2)2

⁺

d(x -2)3,

^{for 2} < x < 3.

If f'(1)

=

-f'(3),

^{frnd a, b,}

c

^{and d.}

[100 marks]

(a)

State the normal. equations

which

are obtained when

fitting

the best least squares line,

y : aN *

_{at to the}

following

_data:

Thus, find the linear least squares polynomial

fitting

these data.

(b) For

x e

[-1,1], the Chebyshev polynomials {7,(*)} are

^defined

Tr(x)=cos(n arccosx), for

each

n>0. Using an

appropriate change variable, show that

T,*t(x)

₌

2xT,(x) -T^_r(x) for n> l.

as

of

X; _.Vi

xt'

xiVi

I

1.3 I 1.3

2 3.5 4 7.0

3 4.2 9

t2.6

4 5.0

I6

20.0

5 7.0 25 35.0

6 8.8 36 52.8

7 10.1 49 70.7

8 12.5 64 100.0

9 13.0 81 t17.0

t0

15.6 100 156.0

I

^{55 81.0 385 572.4}

IMAT s17]

Xi

li

^{X; X;Vi}

I L3 I

^1.3

2 3.5 4 7.0

3 4.2 9 12.6

4 5.0

I6

20.0

5 7.0 25 35.0

6 8.8 36 52.8

-| 10.

I

⁴⁹ 70.7

8

I2.5

64 r00.0

9 13.0

8I

¹ 17.0

I0

15.6

r00

156.0

I

^{55 81.0 385 572.4}

Dengan demikian, cari

polinomial

_kuasa dua

terkecil

linear yang tersuai dengan data tersebut.

Untuk

.r €

[-1,1], polinomial

Chebyshev,

{7,(x)}, ditalvi/kan

sebagai

Tn@)=cos(t4itrccosx), untuk setiap n> 0. Dengan

menggunalan

pertukaran pembolehubah yang sesuai, tunjukknn

bahawa

T*r(*) - 2xT,(x) - T,_r(x) bagi

n >

I.

5

Bahasian

B

3-

^(a)

(b)

(c)

Jikn xo,xt,.-.,xn adalah n + I nod

berbeza dan

f adalah

^suatu

fungsi dengan nilai-nilai diberikan pada nod tersebut,

dapatkan

polinomial

penginterpolasi Lagrange ke n, P(x), yang unik berdarjah

paling tinggi

n

denganf(xil : P(xil

_{bagi setiap}

k

₌

0,1,-'-,n.

Guna

polinomial penginterpolasi Lagrange berdarjah

dua

yang

sesuai untuk menganggar

f

^(0.9)

jika

f

^(0.7)

=0.01375227,f

(0.8) = 0.22363362 dan

/(1.0)

= 0.65809197.

Splin

lubikpengapit

S untukfungsi

f ditalvf pada ll,3l

^oleh

d. \ | ,t"-tl +2(x-t)2-("-1)3, for

1<

x12,

S(x) ₌ I

la ⁺

b(x -2)

⁺

c(x -2)2

⁺

d(x -2)3,

^{for 2 < x}

<3.

Jikn f'(l)= -f'(3), cari

^{a, b, c}

dan

^d.

fl00

^marknhl

(a)

Nyatakan

persamaan normal yang diperoleh apabila penyuaian

garis

lansa

dua terkecil terbaik,

y :

_aax

+

a1 dilakukan terhadap data berikut:

4.

(b)

...6/-

IMAT

⁵¹⁷¹

Show that the

Chebyshev

polynomials are orthogonal on

^(-1,1)

with respect to the weight function

^a(x) =

(l-

v21-1

, by

considering

17,(x)7,(x) ak,

when n+m.

r-l ,ll- x'

If e* on the interval [-1,1] is approximated

^by

t2 1a

Po(x)=1+x+ {\ / ?*\++, 2 6 24'

^{find P}

j(x),a polynomial of

degree 3 or less that best

uniformly

approximates Pa@)

on [-1,1].

[100 marks]

6

(c)

(d)

(c)

(d)

IMAT 517]

Tunjuklran bahawa

polinomial

Chebyshev

adalah

berortogon

pada (-l,l) terhadap fungsi pemberat ro(x)=(l-x21-2, dengan

mempertimbangknn

I LW&. apabita n*m.

.ll- x'

Jilra

e*

pada selang[-l,l] dianggar oleh Po(x)=1*t*1.+.*,

cari

^P3(x), suatu

polinomial berdarjah 3 atau

kurang

yang

menganggar Pa@) secara seragam

terbaikpada [-1,1].

[100 markah]

-ooo000ooo-