Matematik Matrik - EPrints USM

Peperiksaan Akhir Sidang 1996/97 Mac/April 1997

Kursus Sains Matrikulasi II

TMX 202 - Matematik Matrikulasi - Kertas II Masa : 3 jam

Arahan kepada calon:

Jawab SEMUA soalan dalam Bahagian Adan mana-mana EMPAT soalan dalam Bahagian B.

Markah untuk soalan a tau bahagian soalan diberikan dalam tanda kurung [ ] .

Mulakan setiap jawapan untuk Bahagian B pada helaian kertas yang barn, dan susun jawapan anda mengikut tertib berangka.

Semua kerja yang perlu hendaklah ditunjukkan dengan jelas.

Jawapan berangka boleh diberikan dalam bentuk 7t, e, surd, pecahan, atau sehingga tiga angka bererti, di mana-mana yang sesuai, kecuali yang sebaliknya dinyatakan dalam soalan.

NOTA

Bersama-sama dengan kertas soalan ini, dibekalkan juga bahan-bahan yang berikut:

1. Tatatanda, Takrif, dan Rumus Matematik.

2. Kertas graf.

Kertas soalan ini terdiri daripada 8 halaman bercetak.

, 133

(TMX 202)

Bahagian A (52 mark.ah) Jawab SEMUA soalan dalam bahagian ini.

I. (a) Diberi P =

. (2 -1

3 2 -2 4

~ \ danQ=c~

~

^{~ ) .}

-2)

^{y · z I}

Jika hasil darab PQ ialah suatu matriks segitiga atas, hitungkan nilai-nilai x, y dan z.

(b) Dalam gambar rajah Argand, titik P mewakili nombor kompleks z.

Diberi bahawa

I

z - 4 - 3i

I =

2 , lakarkan lokus bagi P.

Deduksikan nilai terbesar

I

z

I

dan nilai terkecil

I

z

I

untuk titik-titik P yang terletak pada lokus itu.

(c) Jejari dan tinggi sebuah silinder tegak berubah dengan keadaan isipadunya sentiasa sama dengan 1000 cm³. Jikajejari silinder itu bertambah pada kadar

~

^cms·1, cari kadar peruJ:,ahan tingginya pada ketika tinggi ialah 10 cm.

[Isipadu silinder ^.= 1tr2h]

2

13.4

(6]

(7]

[5]

(d)

(e)

N ·1 'k _{1 a1 an}

12

_,./ ^dx _{2 •}

I 3+ 2X - X

Diberi y(l - x²) dy

=

I + y² dan y

=

I apabila x

= _!_ .

dx 2

Selesaikan persamaan pembeza itu dengan mengungkapkan

y2

dalam sebutan x.

Dengan demikian, tunjukkan bahawa

..!. ::;

x < 1 .

. s

(f) Diberi ~ dan

12

adalah dua vektor bukan sifar. Jika

(g)

~- (6~- 2)2)

=

^{3~. (lL} + 2~), buktikan bahawa ~ adalah serenjang dengan )2.

lli1 [y) lli1 [Q]

Rajah di atas menunjukkan 9 keping kad dengan huruf-huruf abjad ditulis atasnya. Kad-kad itu disusun semula dalam satu baris. Cari (i)

(ii)

bilangan perkataan yang dapat dibentukkan ~~~~,<Y bilangan perkataan yang mempunyai huruf-hurufvokal bersebelahan.

3

[5]

[7]

[4]

[5]

(TMX 202)

(h) Satu sampel markah ujian yang diperoleh daripada 20 orang pelajar adalah diberikan dalam jadual di bawah.

Jika min markah bagi 20 orang pelajar itu ialah 71, hitungkan nilai x dan nilai y . .

Seterusnya, cari mod dan median.

(i) A dan B adalah dua peristiwa dengan ~eadaan P(A)

= ! ,

P(B)

= ~

^{dan P(A}

I

B)

= ~ .

Cari P(A'

I

B' ).

4 3

136 .

⁴

[7]

[6]

Bahagian B (48 markah) Jawab mana-mana EMPAT soalan dalam bahagian ini.

2. (a) Garis lurus L mempunyai persamaan vektor

r =

2i + a (i +

31

^{+ 4k).}

(i) Tunjukkan bahawa L bersilang dengan garis Iurus

Seterusnya, cari koordinat bagi titik persilangan itu.

(ii) Titik R terletak pada garis lurus L dan berjarak 5 ✓IO unit dari asalan.

Cari vektor-vektor kedudukan yang mungkin bagi R.

(b) Sistem persamaan

ax -by-cz

=

9 ax + by + cz

=

-5 4x + by + 2cz

=

3

mempunyai penyelesaian x

=

2, y

=

3 dan z

=

2. Dengan menggunakan Petua Cramer, tentukan nilai-nilai a, b dan c.

5

'.·

.

· 137

[6]

[6]

3. (a) Tiga ekor Juicing dipilih secara rawak daripada 6 ekor kucing jantan dan 4 ekor kucing betina. Pembolehubah rawak X mewakili bilangan ekor kucing jantan yang dipilih.

(TMX202)

(i) Salin dan lengkapkan taburan kebarangkalian yang berikut.

I

^{P(X X}

=

^x)

I

^{0 1 2 3}

(ii) Cari P(l ~ X < 3).

(iii) Cari Var (X).

(b) Pembolehubah rawak selanjar X mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian

f(x)

=

e3x

k bagi x ~ 0

0 · bagi x < 0 (i) Tentukan nilai pemalar k.

(ii) Dengan menggunakan nilai k ini, cari E(X).

6

~ 138

[7]

[5]

sekumpulan 28 orang pelajar.

I 50-154 I 55-159 160-164 165-169 I 70-174 175,179 I 80-184 I 85-189

I O 4 8 5 7 2

(a) Lukis sebuah histogram pada kertas graf Daripada histogram anda, cari

(b)

(i) mod (ii) median

X, -167 Dengan menggunakan rumus pengkodan Ui

= '

5

hitungkan min tinggi dan sisihan piawainya. Berikan jawapan anda betul kepada tiga angka bererti.

5. Suatu lengkungan mempunyai persamaan

y

=

x-2

(x- l)(x + 2) (a) Nyatakan persamaan asimptot-asimptot yang selari dengan

paksi-x dan paksi-y.

(b) Cari titik pada paksi-x dan paksi-y yang direntasi oleh lengkungan itu.

(c) . dy x(4- x)

TunJukkan bahawa -

= - - - -

dx (x-1)²(x+2)²

dan tentukan titik-titik pegun pada lengkungan itu.

(d) Lakar lengkungan itu.

7

I

133

• I

.

.

[6]

[6]

[3]

[2]

[4]

[3]

'

.

6.

7.

(a) Dengan menggunakan gantian t

=

tan x, cari nilai

(b) Tunjukkan bahawa

(a)

J

e-x kos 2x dx

= ¼

e-x (2 sin 2x - kos 2x) + c, c ialah pemalar pengamiran.

Jika z

=

kos 8 + i sin 8, ungkapkan z" + -¹- zn dan z" - -¹-dalam sebutan sin n8 dan kos n8.

z"

Dengan demikian, tunjukkan bahawa

kos ⁶8

=

-(kos 68 1 + 6 kos 48 + 15 kos 28 + 10).

32

IC

Seterusnya, cari nilai bagi

fo

⁴ kos ⁶ 8 d0.

(b) Cari persamaan vektor satah ^7t yang mengandungi garis

x-3 y-4 z+l . .

Jurus - -

= - - = - -

dan berserenJang dengan

1 3 2

satah 3x + 2y - z

=

3.

- 000000000 -

8

140

{TMX202)

[6]

(6]

[7]

(5]

rumus mungk in mas i h di per 1 ukan.

SET NOMBOR

!N set integer positif dan sifar

~ set integer

_+ ~ set integer positif

<D set nombor nisbah

(!J + set nombor nisbah positif

!R set nombor nyata

!R+ set nombor nyata positif

([ set nombor kompleks

LOGARITMA

x xln a a = e

SIRI

(

^{n 'I}

dengan n ^{~ [N} dan

J =

r

TRIGONOMETRI

sin (A ⁺ B)

=

^{sin A kos}

kos (A ⁺ B)

=

^{kos A kos}

tan A + tan (A ⁺ B) =

1 + tan A

2 2

sek A = 1 + tan A kosek2

A= 1 + kot2 A sin 2A = 2 sin A kos A

(n

B +

B

+

tan tan

n!

-

^{r ) !}

kos sin B

B

r!

A sin A sin

kos 2A

=

^{2 kos2 A - 1}

=

^{1 - 2sin2 A}

141

1

B.

B.

kos 3A

=

4 kos ³ A

-

3 kos A.

sin 3A

=

3 sin A

-

4 sin ³ A

sin ^p + sin Q

=

2 sin ¹ ₂ ^{(P + Q)} kos ¹ ₂ (P Q).

sin ^p

-

sin Q

=

2 kos ¹ ₂ ^{(P + Q)} sin ¹ ₂ ^{(P Q).}

kos ^p + kos Q

=

2 kos ¹ ₂ ^(P +. Q) kos ₂ ^{1 (P}

-

^Q).

kos ^p

-

kos Q

=

-2 sin ₂ ¹ (P ⁺ Q) sin ¹ 2 ^{(P - Q).}

1 2t ¹

-

^t2

Jika t

=

tan 2x, maka sin ^X

=

^{dan kos X}

=

1 + t2 ₁ + t2

Nil ai utama hubungan trigonometri songsang memenuhi

1 sin ^-1 ~ 1

I

^xi

r! ~ ^X

"

^{~ 1}

2 2

.. '

0 _~ kos ^{-1 X} ~ rr

lxl

~ ¹

1 -1 1

2 ^TT

<

^{tan X}

<

^-₂ ^:!

KAMIRAN

(Nilai utama hubungan songsang hendaklah digunakan; pemalar sebaranga ditinggalkan; a> O).

= ¹ tan-¹ a

J/

^a2

~

^{x2 dx= sin . -1}

Jx2

~

^{a2 dx = ..!._ 2a ln (}

Ia2

~

^{x2 dx = ia}

(:) , Ix! < a .

X -

X +

: )

^{, X ) a.}

a + X

a - ^X

) ' lxl < a.

~ 142

n 2 1

u r

~ x. X.

s2

l n l

= 1 n - 1

Data ter·kumpul

Medi an = L + ( ; - F )

~

m

VEKTOR

Jarak serenjang titik A dari satah

r

d = ^D

lnl

3

143

n = D ialah

I I

...J