Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 16
อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series)
ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.
บทนำ
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
• ในบทที่ 1 เราศึกษาการแก้ ODE ที่สัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชัน วิเคราะห์ด้วยวิธีกระจายอนุกรม แต่ถ้าสัมประสิทธิ์ไม่เป็นฟังก์ชัน วิเคราะห์ จะไม่สามารถใช้ได้
• ในกรณีหลังจะใช้การแปลงลาปลาซหากโดเมน คือ [0, ∞)
• สำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคาบ หรือฟังก์ชันนิยามบน ช่วงปิด จะใช้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ (Fourier series
expansion)
• กรณีฟังก์ชันไม่ใช่ฟังก์ชันคาบและมีโดเมนคือ (−∞, ∞) จะใช้ การแปลงฟูเรียร์ (Fourier transformation)
• ทั้งสองวิธีจะใช้ศึกษา ปัญหาค่าขอบ (BVP) และ สมการเชิง
ตัวอย่าง
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 3 / 16
Forced Vibration.
ระบบทั้งสองจำลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์
my′′ + γy′ + ky = r(t)
ตัวอย่าง
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
กำหนดให้แรงกระทำภายนอก r(t) เป็นฟังก์ชันคาบดังรูป
การแก้ปัญหานี้ วิธี Laplace transform จะยุ่งยากมาก
ฟังก์ชันคาบ
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 5 / 16
บทนิยาม ถ้าฟังก์ชัน f : R → R มีสมบัติว่า มีค่าคงตัว p > 0 ซึ่ง
f(x + p) = f(x) ทุก x
จะเรียก f(x) ว่าฟังก์ชันคาบ และเรียก p ว่าคาบของ f(x)
ฟังก์ชันคาบ
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
• สำหรับฟังก์ชันคาบ f(x) ซึ่งมีคาบ p > 0 สามารถระบุค่าของ ฟังก์ชันแค่บนช่วง [0, p] หรือบนช่วง [−p/2, p/2] (หรือทั่วไป
[a, a + p])
• ดังนั้นในการกล่าวถึงฟังก์ชันคาบ นอกจากวาดกราฟแล้ว มักจะระบุสูตร เช่น ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2π โดย
f(x) =
π + x เมื่อ − π ≤ x ≤ 0 π − x เมื่อ 0 ≤ x ≤ π
ฟังก์ชันคาบ 2π
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 7 / 16
EX. ฟังก์ชัน
sin nx, cos nx, n ∈ {0,1, 2, . . .}
มีคาบ p = 2π
อนุกรมฟูเรียร์: คาบ 2π
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
บทนิยาม ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2π อนุกรม
S(x) = a0 2 +
∞
X
n=1
(an cos nx + bn sin nx) โดย
an = 1 π
Z π
−π
f(x) cosnx dx (n = 0,1, 2, . . .), bn = 1
π
Z π
−π
f(x) sin nx dx (n = 1, 2,3, . . .) เรียกว่าอนุกรมฟูเรียร์ของ f(x)
อนุกรมฟูเรียร์: คาบ 2π
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 9 / 16
บทนิยาม (ต่อ)
เรียก an, bn ว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูเรียร์
เรียกการแทน f(x) ด้วยอนุกรม S(x) ว่าการกระจายอนุกรม ฟูเรียร์ของ f(x)
Note ในการศึกษาต่อไปจะพบว่าค่า f(x) และ ผลบวกอนุกรม S(x) มีค่าเท่ากันที่ x ทุกจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ตัวอย่าง 1
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
EX. จงกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันคลื่นรูปสี่เหลี่ยม ดังรูป โดยหาสัมประสิทธิ์ an, bn ทั้งหมด
ตัวอย่าง 1
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 11 / 16
ตัวอย่าง 2
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
EX. จงกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน f(x) =
−x −π ≤ x ≤ 0
x 0 ≤ x ≤ π , f(x + 2π) = f(x)
การลู่เข้าของอนุกรมฟูเรียร์
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 13 / 16
ทฤษฎีบท ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2π และ 1. f ต่อเนื่องเป็นช่วงๆ
2. อนุพันธ์ f′(x−), f′(x+) มีค่าที่ทุก x
สำหรับ x ที่ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x จะได้ผลบวกอนุกรม a0
2 +
∞
X
n=1
(an cos nx + bn sin nx) = f(x)
สำหรับ x ที่ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x จะได้ผลบวกอนุกรม a0
2 +
∞
X
n=1
(an cos nx + bn sin nx) = f(x−) + f(x+) 2
ตัวอย่าง 3
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
EX. กำหนดฟังก์ชัน f(x) เป็นดังรูป จงหาค่า x ∈ [−π, π]
ทั้งหมดซึ่งอนุกรมฟูเรียร์ของ f ลู่เข้าที่ x พร้อมทั้งหาค่าผลบวก อนุกรมฟูเรียร์ที่ค่า x เหล่านั้น
ประยุกต์
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
Lecture 7 สุจินต์ คมฤทัย – 15 / 16
จากทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรมฟูเรียร์ ทำให้เราทราบว่าถ้า f สอดคล้องเงื่อนไขของการลู่เข้า และ f ต่อเนื่องที่ x แล้ว
f(x) = a0
2 +
∞
X
n=1
(an cos nx + bn sin nx)
ตัวอย่าง 4
Introduction Forced vibration Def. Periodic Def. Four Ser: 2π EX 1
EX 2
Convergence EX 3
Applications EX 4
EX. จากตัวอย่าง 1 เราทราบว่าฟังก์ชัน f(x) =
−k −π < x < 0 k 0 < x < π มีอนุกรมฟูเรียร์คือ
4k π
sin x + 1
3 sin 3x + 1
5 sin 5x + · · ·
จงหาค่าผลบวกอนุกรม 1 − 1
+ 1
− 1
+ · · ·