2102204 Electrical Engineering Mathematics I

(1)

2102204 Electrical Engineering Mathematics I

ตอน 2 ตึก 3 หอง 304 มานะ ศรียุทธศักดิ์

หอง 508 ตึกภาควิชาวิศวกรรมไฟฟา 6 ชั้น

ตํารา คณิตศาสตรวิศวกรรมไฟฟา ศ.ดร.มงคล เดชนครินทร

สํานักพิมพจุฬาฯ

การวัดผลการเรียน การบาน ทดสอบ 10 %

สอบกลางภาค 45 %

สอบปลายภาค 45 %

2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.

(2)

2102204 Electrical Engineering Mathematics I

เนื้อหา

บทที่ 1-4 สมการเชิงอนุพันธธรรมดาอันดับ 1 และอันดับสูงกวา 1

บทที่ 5-6 ผลเฉลยแบบอนุกรมสําหรับสมการเชิงอนุพันธธรรมดา(สามัญ) บทที่ 12-14 สมการเชิงอนุพันธยอย

บทที่ 15 ปญหาขอบเขต

บทที่ 22 ฟงกชันของตัวแปรเชิงซอน ฟงกชันวิเคราะห

การอินติเกรตในระนาบเชิงซอน อนุกรมเทเลอร อนุกรมโลรองต

ทฤษฎีบทเรซิดิวและการประยุกต การสงคงรูป(คงแบบ)

(3)

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

(ordinary differential equation :ODE)

x y

dx y dy

y x

'

, : อนุพันธของ เทียบกับ

) ( '

, )

( x y f x

dx f

dy = =

: ตัวแปรตน (independent variable) : ตัวแปรตาม (dependent variable)

(4)

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

(ordinary differential equation :ODE)

ODE Linear ODE

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

เชิงเสน

Nonlinear ODE

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

ไมเชิงเสน

ตัวแปรตาม(y) ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชิงเสน อนุพันธของตัวแปรตาม

(y’, y’’, ..)

ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชิงเสน

ไมมีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…

มีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…

Note: ไมสนใจวา x จะเปนอยางไร

y’’+5xy’+4y=0

y’’+5xy’+4y=cos(x)

y’’+5yy’+4y=cos(x)

y’’+ 5xy’+cos(y)=0

(5)

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

(ordinary differential equation :ODE)

ODE Homogeneous

ODE :เอกพันธ Nonhomogeneous ODE :ไมเอกพันธ

Note1: สนใจวา x จะเปน

อิสระจาก y, y’,.. หรือไม x หรือ f(x) อยูติดกับ y, y’,.. เสมอ

มีพจน x หรือ f(x) ที่

ไมอยูติดกับ y, y’,..

Note2: ตองจัดรูปให y, y’.. ไมมีกําลังเปนลบ

y’’+5xy’+4y=0

y’’+ 5xy’+cos(y)=0

y’’+5xy’+4y=cos(x)

(6)

สมการเชิงอนุพันธสามัญ

(ordinary differential equation :ODE)

อันดับ (order) ของสมการ ODE

ระดับขั้น (degree) ของสมการ ODE

y’’+5xy’+4y=cos(x)

y’’’+5x(y’’) ² +4xy’+4y=0 3 1

(y’’’) ² + 5xy’’+4xy’+4y ³ =0 3 2

= อันดับสูงสุดของ อนุพันธ

= เลขชี้กําลังสูงสุดของ อนุพันธอันดับสูงสุด

2 1

(7)

ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

รูปแบบ ลักษณะของผลเฉลย Ex:

ผลเฉลยทั่วไป

(general soln.)

ติดคาคงตัวไมเจาะจง อยางนอย 1 ตัว

y’’-y =o

y=Ae ^x , y=Be ^-x ผลเฉลยเฉพาะ

(particular soln.)

ผลเฉลยทั่วไปที่แทนคาคง ตัวไมเจาะจงดวยตัวเลข

y’’-y =o

y=2e ^x , y=3e ^-x ผลเฉลยบริบูรณ

(complete soln.)

ผลเฉลยทั่วไปที่

ประกอบดวยผลเฉลย ยอยๆที่เปนอิสระเชิงเสน

y’’-y =o

y=Ae ^x + Be ^-x

ผลเฉลยเอกฐาน

(singular soln.)

ไมอาจหาไดจากผลเฉลย ทั่วไปของสมการเชิง อนุพันธ

(y’) ² -xy’+y=0

y=cx-c ² : ^{gen. soln.}

y=x ² /4 ^{: singular}

(8)

สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับที่ 1 ⁽¹ ^st ^{order ODE)}

1 ^st ODE Form

1.ตัวแปรแยกกันได

(variables separable form)

2.เอกพันธ

(homogeneous form)

3. แมนตรง

(exact form)

4.เชิงเสน

(linear form)

x N y

dy M y x N dx

y x

M ∂

= ∂

∂

= ∂ + ( , ) 0 , )

, (

dy y

x N dx

y x

M ( , ) = ( , ) dy y

g dx

x

f ( ) = ( )

) ( )

( x y Q x dx P

dy + =

(9)

y dy dx N

x M

y N x

dx M III dy

y dy Q

y dx q

x P

x p

dy y

q x P dx

y Q x

p II

dy y

g dx

x f

I

) ( ) 1

(

) ( )

( :

) (

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( )

( :

) ( )

( :

=

1 ^st ODE แบบตัวแปรแยกกันได (variables separable form)

(10)

1 ^st ODE แบบตัวแปรแยกกันได (variables separable form)

2 / 1 2 2

2

2 2 2 1

2

1 2

2

2 2

2

)]

1 ( [ ) 1

1 (

) 1

(

) 1

(

) 1

2 ( )

1 (

) 1

(

) 1

2 ( ) 1

1 ) (

1 ( )

1 ( : 1

) 1

( )

1 ( ) 1

1 ( )

1 ( :

ln

: ) 1 2 (

) ( )

( )

( :

x k

y k

x e y

x e C y

x C n y

C x

n y

n x dx

dy x y

x dx dy x

dx y y x

dy x

So

xdx dy

x dy

xydx Solve

Ex

C dy

y g dx

x f dy

y g dx

x f I

C

−

=

⇒

=

±

− =

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

⇒ −

=

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

+

−

=

−

− ⇒

− =

= −

⇒ −

−

=

−

+

= +

−

+

=

⇒

=

∫ ∫

∫

∫ ∫

m l

l

(11)

1 ^st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)

degree same

: ) , ( ),

, ( 2.

function s

homogeneou :

) , ( ),

, ( .

1 ) , ( )

, (

y x N y

x M

y x N y

x M

dy y

x N dx

y x

M =

Homogeneous function

ree n

y x

F y

x F

y y

x x

y x

F

n

deg :

) ,

( )

, (

, :

0 ) ,

(

λ

λ λ

λ

⇒

→

>

Condition:

(12)

1 ^st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)

) (

) 0 (

: )

, 1 ( / ) ,

1 (

) 0 (

: )

, 1 ( / ) , 1 ( )

, ( / ) , (

/ 1 ,

0 / 1 ,

0 ) , ( / ) , ( )

, ( / ) , (

) , ( )

, ( )

, (

x R y dx

dy

x x N y

x M y

x x N y

x M y

y x N y

x M

x x

while

x x

while

y x N y

x M

y x N y

x M

y x N y

x N and y

x M y

x

M

ⁿ ⁿ

=

− <

− −

−

=

>

=

−

=

<

=

>

=

λ λ

λ λ λ

λ

λ λ

λ

λ , ), ( , ) : homogeneou s function (

) , ( )

, ( y x N y

x M

dy y

x N dx

y x

M =

Note: M(x,y), N(x,y) ที่มี คาคงที่ในฟงกชัน จะไมเปนฟงกชันเอกพันธ Ex: M(x,y)=(4xy+5)

(13)

1 ^st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)

form separable

variables }

) ( { :

) 2 (

form separable

variables 1

) ( } 1

) ( { :

) 1 (

) ( )

(

, ) ( )

( ,

) ) (

, (

) , ) (

, ( )

, (

⇒

=

⇒

=

⇒

− =

≠

=

−

⇒ +

=

∴

+

=

⇒

=

⇒

=

x dx y

dy x

y dx then dy x

u y u

R if

x dx u du

u then R

u u

R if

dx x du u

u dx R

x du u

u R

dx x du dx u

u dy x R

R y x u

ux y y

if

x R y y

x N

y x M dx

dy dy y x N dx y x M

(14)

1 ^st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)

#

# ]

[ )

/ (

1 ) 1 2 ( 1

2 2 2

2 2

) )(

2 (

: A2

#

# ]

[ )

/ (

) / 1 ( 2

2 ) (

2 )

2 1 ( )

( 2

) 2 1 ( :

A1

functions.

s homogeneou degree

2 are 2

) 2 (

:

2 )

2 (

: ) 3 2 (

2 / 1 1 1

2

1 2

2 1

3 3

2

2 3

2 2

2

2 / 1 2

2

2 2

nd 2

2

2 2

C x n x y

C x n x

y

C y x n

y y n x

n C

y v n

v n

y dy v dv

dy v v ydv

ydv v

vdy ydv

ydv v

vdy dy

v dy

vy ydv

vdy v

y

ydv vdy

dx vy

x set

C x n x y

C x

n x

y

C x n u

dx x udu

uxdu dx

xdu udx

u dx

u xdu

udx u

x dx

u x

xdu udx

dy ux

y set

xy and

y x

Solution

xydy dx

y x

Solve Ex

−

±

=

⇒

−

=

⇒

+

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

⇒ +

−

=

−

⇒

−

= +

⇒

−

= +

⇒

= +

+ +

⇒

= +

+

⇒

+

=

⇒

=

+

±

=

⇒ +

=

⇒

+

=

⇒

=

⇒

=

⇒

+

= +

⇒ +

= +

⇒

+

=

⇒

=

+

= +

−

∫

l l

l

l l

l

(15)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

#

# ...

0 ) 2

( ) 2 3 (

) 2 (

) ( 3 ) 2 (

0 ) 2 (

) ( 3 ) 2 (

0 ) 2 2

( ) 3 3

( ) 4 (

) 3 2 2

3 3 (

) 1 3 4 (

) 2 2

3 ( ) 2 2

3 ( )

1 3 4

( )

1 3

4 (

. s homogeneou not

are ) 2 2

3 ( )

1 3 4 ( :

0 )

2 2

3 ( )

1 3 4

( :

) 4 2 (

#

# 0

) 0 , ( )

, (

) , ) (

, ) (

, ( :

) , (

, 0

) , ( )

, (

2 2

=

⇒

=

−

− +

⇒

=

− +

+

−

⇒

=

− +

+

−

⇒

=

− +

+ +

−

⇒∴

∂

= ∂

∂

⇔ ∂

∂ =

− +

= ∂

∂

+ +

−

∂

− +

≠

− +

+ +

−

≠ + +

−

− +

+ +

−

=

− +

+ +

+

−

⇒

=

⇒

∂ = + ∂

∂

⇒∴ ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

∃

∂

= ∂

∂

= ∂ +

∫

y C

x x y x

y

C y

y xy

x x

y y

d xy d x

x d

dy ydy

xdy ydx

xdx dx

x N y

M x

y and x

y y but x

y x

and y

x y

x

y x

and y

x Solution

dy y

x dx

y x

Solve Ex

f df

y dy y x dx f

x y x f

y y x y f

x N x and

y x y f

x M y

x f

x N y

dy M y x N dx y x M

λ λ

Q λ

(16)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

# ...#

) 2 ln(

0 1 )

2 ln(

1 ) 0 (

) (

2 0 1

form exact

) (

) 2 1 (

) (

) 2 (

0 ) 1

( 1

. factor g

integratin as

) (

of function a

is which )

( use 1

).

2 ( ) 1

2 ( 1

. form exact

in not ) 2

0 ( ) : (

0 )

( :

) 5 2 (

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

=

⇒

=

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

⇒

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ ⎟ + −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

= + −

⇒ +

= + −

⇒ +

+ ⇔

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

∂

= ∂

∂

= ∂ +

= −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

= ∂

∂

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− + + −

+ ⇒

⇒

+ +

+

⇔ +

= +

∴

⇒

−

∂ =

− +

−

= ∂

∂

≠ ∂

∂ =

= ∂

∂

=

− +

−

∫ ^x ^y ^y ^C ^y

y y

x d

y dy x

y x dy d

y x

ydy xdx

y x

x y y

x y x

x N y

x

y x y

x x y

y Now M

y dy x

dx y y x

x y

multiply x

y y x

x

y x of

form al

differenti exact

y x d ydy

xdx but

x x

y y x x

N y

x y

Solution M

dy y y x xdx Solve

Ex

(17)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

#

# 2 ...

1 1

2 0 1 0 1

) (

. factor g

integratin as

) /(

1 using then

) ( of

form al

differenti is

) (

Since

0 )

( 0

) (

:

form.

exact ) not

( )

. ( 2

function.

s homogeneou not

are )

( ), ( 1.

:

. factor g

integratin using

) (

: ) 6 2 (

2

2 2

2

2 3 2

3 2 3 2 3

2 3

=

⇒

=

− +

⇒

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

⇒

= +

⇒

+

= +

⇒

= +

+

⇒

∂ ∴ +

≠ ∂

∂

+

+ +

−

∫ _xy ^x ^C ^y

xy x d

xy xdx xy d

xy

xy d

ydx xdy

dx y x xy

d dx

y x ydx

xdy reform

y

y y

x x

x

y y

x x

Solution

dx y y

x xdy

Solve Ex

(18)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

#.

2 # 2 tan

1 2 0 2 tan

0 1 )

/ ( 4 1

1 4 4 1

) (

. factor g

integratin 1 as

using then

: but

form.

exact not

: ) ( ), 4

( . 2

eous.

nonhomogen :

) ( ), 4

( . 1 :

) 4 (

: ) 7 2 (

1

1 2

2 2

2

2 2

C x x

y

x x d y

x dx d y

x y

x dx y x

d y x dx

y x

x

ydx xdy

x x

d y x ydx xdy

x y

y x

x y

y x

Solution

dx y

x ydx

xdy Solve

Ex

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⇒ +

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⇒ ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

− =

∴

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

+

−

+

−

+

−

=

−

∫

(19)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

Finding integrating factor:

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

≠ ∂

∂

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

≠ ∂

∂

= +

∫

y dx M x

N y M

y y M x

N but M

x N y

if M

x dx N y

M x N

x x N y

M but N

x N y

if M

dy y

x N dx

y x M For

exp 1 )

( is

factor g

integratin then

) 1 (

. 2

exp 1 )

( is

factor g

integratin then

) 1 (

. 1

0 )

, ( )

, (

μ

μ μ

μ

(20)

1 ^st ODE แบบแมนตรง (exact form)

[ ]

( )

[ ] ( )

( ) ( ) ⁽ ⁾ ^# ^#.

2 1 2

) 1 ( 2

2 0 1

0 )

( 2 )

(

* 0

) (

2 ) (

0 )

( ) (

0 )

(

2 1 exp

exp )

( is factor g

integratin then

) ( 2

) 0 2

1 ( . 1

2 1 . exp )

( factor g

integratin use

not can

then

) ( ))

2 ( 0 ) ( (

1 . 1

1 :

0 )

( )

5 2 )(

8 2 (

1 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

C C

n y

y x

n C

n y

x n y

n

C y

x e

y x

e d

dy y x

y e d x

e e

dy y y x

d x

dy y x

ydy xdx

dy y y

x xdx

e dy y dx

M x

N y M

y x x

y M x

N but M

x N y

M

x dx N y

M x N

x y x

y x

x N y

M and N

x N y

Solution M

dy y y

x xdx Solve

Ex

y y

y

=

− +

⇒

= +

+

−

⇒

= +

⇒

= +

⇒

= +

+ −

⇒

= +

+ −

⇒

= +

− +

⇒

=

− +

−

∴

=

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

=

−

=

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

≠ ∂

∂

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

= ∂

≠

−

− − +

= −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

≠ ∂

∂

=

− +

−

∫

l l

l

μ

μ μ

μ

(21)

1 ^st ODE แบบเชิงเสน (linear form)

+ ∫

∫

= ∫ + ∫

∫ ∫

=

∴

+

=

⇒

+

=

⇒

=

⇒

=

= +

= ∫

± ∫

=

⇒ +

=

⇒

=

⇒

=

= +

⇒

= +

−

∫

dx x P dx

x P dx

x P

dx x P dx

x k P

Ce dx

x Q e

e e

k dx C x Q e

k e

k y

x dx C

x Q x x

y

C dx x Q x y

x dx

x Q x y

x d

x Q dx x

y x y d

dx x d dx x dy then

e k e

e x

k dx x P x

n

dx x x P

x x d

P dx x

x satisfy d

that x

select

x Q x y

x P dx x

x dy x

x Q y x dx P

dy

) ( )

( )

(

) ( )

(

) ( ] [

' ) '

( ] '

[ '

1 ) ( ) '

( ) ) (

( 1

' )

( ) ( )

( )

( ) ( ]

) ( [

) ( ) ] (

) ( [ )

) ( (

' )

( )

(

) ) (

( ) ) (

) ( (

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( factor g

integratin using

) ( )

(

φ φ φ

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

φ φ φ

φ φ

l

(22)

1 ^st ODE แบบเชิงเสน (linear form)

# 5 #

4 1 5

4 1

1 #.

# 4

4 0 )

4 (

4 ) ( 4

) (

: form al

differenti

) 1 1 (

) 4 (

form Exact

0 )

4 ( 0

4 '

: 3

#

# 4

4 4

) (

) 4 ] (

)[

(

) ( factor g

integratin using

: 2

#.

# )

4 ( ]

/ 4 ][

1 [ )

( ) '

( ) ) (

( since 1

) / 1 ( )

( ,

' ) ( factor g

integratin using

/ 4 ) ( ,

/ 1 ) ( ,

/ 4 )

/ 1 ( ' :

Solution1

1 1

, 0 4 '

: ) 9 2 (

) (

) ( )

(

y x C C

y x

x y C

C x

xy

xy d dx

ydx xdy

x x x

N y

y y

M

dx y

xdy y

xy Solution

x y C

C x xy

dx xy

d

dx xy d dx

y dx dx x dy dx y

x dy x

x by multiply

x e

x Solution

x C x

dx C x x x

x dx C

x Q x x

y

x e

e x

n dx x dx

x P e

k x

x x

Q x

x P x

y x y

x when y

y xy Solve

Ex

dx x P

x dx n

x P dx

x P

+

−

=

⇒

=

⇒ +

−

=

⇒

=

+

−

=

⇒

= +

⇒

= +

+

∴

∂ =

= ∂

∂

= ∂

∂ = +

= ∂

∂

⇔

= +

+

⇒

= + +

+

−

=

⇒ +

−

=

⇒

−

=

⇒

−

=

= +

⇒

=

∫ =

=

+

−

= +

−

= +

=

∫ =

⇒∴

=

∫ =

= ∫

−

=

−

= +

⇒

=

= + +

−

∫

Q

l

^l

φ

φ φ φ

φ

(23)

การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา

. 0 0

. :

) 10 2

( − Find i as function of t i = at t = Ex

#.

# )

1 (

0 ,

0 0

,

*

* )

* (

*

* )

( by multiply

) ( :

factor g

integratin

) ( )

( ,

, :

) (

L t t R

L R L t R L t

R

L t R

R e e E

R E R

i E

R C E

R C i E

t R Ce

i E

C R e

L L C E

dt L e

e E i

L e e E

i d L e

e E L i e R

dt x di

e e

e x

t Q i t dt P

di L

i E L R dt E di

dt Ri L di

Ri dt V

L di V

E V

V Solution

L t t R

L R

L t t R

L t R

L R

L t dt R

L dt R

x P

R L

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

−

=

⇒

−

=

⇒ +

=

⇒

=

→

= +

=

⇒

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

=

⇒

=

⇒

= +

⇒

∫ =

=

= +

⇔

= +

⇒

= +

⇒

∴

=

= +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∫

φ

(24)

การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา

EX: ความชันของเสนแรงสนามไฟฟาจะเปนผลหารระหวางสวนประกอบในแนวแกน y (E ^y ) กับ สวนประกอบในแนวแกน x (E ^x ) ถา E=(1/x)a ^x – (1/y)a ^y จงตั้งและแกสมการอนุพันธ

2102204 Electrical Engineering Mathematics I