グラフ理論

培訓- 4 グラフ理論

グラフ理論

c2251393 November 7, 2013

1 圖 ?

圖 的 一 圖 (Graph) 的 的圖

(Graph) 圖 (Picture) 一 的 在 Graph 點 (Vertex)

的元 (Edge) 元 的 點 的

點 連一 Edge 與

Graph 的 點與點 的 點的 的 的

的

1.1 一

1. 圖 (Graph) : 一張圖 一 點 一 的

G= (V, E) G 圖 V 點 E 的

2. 點 ( 點,Vertex,Node) : 的元 的 圖 G 的點 V(G) 點的

3. (Edge) : 的 圖 G的 E(G) e(v₁, v₂)

存在一 連 v₁&v2 的 雙 的 (Undirected

edge, Edge) e(v₁, v₂) = e(v₂, v₁); (Directed

edge) (Arc) e(v₁, v₂) 一 v₁ v₂ 的 v₁

一 v2 v1 與 v2 一 一

4. (Adjacent) : 點 的 v₁ 與 v₂ 存在

e(v₁, v₂) or e(v₂, v₁)

5. 圖 (Undirected Graph) : 的圖

6. 圖 (directed Graph) : 的圖

7. 圖 (Mixed Graph) : 的圖

I

1.2 在電腦上存一張圖 グラフ理論

8. 路徑 (Path) : 一 點 的 v₁, e₁, v₂, e₂, , , e_n−1, v_n v₁ v_n 的一 路; v_i ∈V(G), e_i ∈E(G), e_i =e(v_i, v_i+1)

9. 路徑 (Simple path) : 一 點 的路徑

10. (Cycle) : 一 路徑 v₁ =v_n 一

11. (Simple Cycle) : 一 點 ( 點) 的

12. (Degree) : 一 點 v 的 點 deg(v)

13. (In-Degree) : 點 v 的 點與 的

deg⁺(v)

14. (Out-Degree) : 點v 的 點與 的

deg⁻(v)

一 ∑

v∈V(G)deg(v)與|E|的 ∑

v∈V(G)deg⁺(v)與∑

v∈V(G)deg⁻(v)

的 ( )

1.2 在電腦上存一張圖

Coder 電腦 存 一張圖

1. Adjacent Matrix : 一 A = [a_i,j]_n×n a_i,j 的

e(v_i, v_j) 的 ( ...) 的 點

O(1) 點 的 點 與

O(|V|²)

2. Adjacent list : 點 一 ( 的

) 與 點 的 的 點 O(|E|+|V|)

點 ( 的 )

3. Forward star : 的 存在一

一 點連 v_i 連 的 在一 [s_i, e_i] 通 一

(v_i, v_j) v_i 在 v_j 一

的 的

II

2.子圖與特殊圖 グラフ理論

2 子圖與特殊圖

2.1

1. 子圖 Subgraph : 圖 G= (V, E), G^′ = (V^′, E^′) V^′ ⊆V, E^′ ⊆E G^′ G的子圖

2. 圖 Compilment graph : 圖 G 的 圖 G^c V(G^c) = V(G) e ∈ E(G)←→e∈/ E(G^c)

3. 樹Spanning tree : 圖T G的子圖 T 一 樹 T G的

樹

2.2 圖 (Simple graph)

一 e(v, v) e1 =e2 圖 上 的

圖

2.3 連通圖 (Connected graph)

一張圖 G 點 v_i, v_j 一 路徑連 點 G 通圖

2.4 圖 (DAG)

一張 的 圖 DP 的 與 的圖 DAG

DP 在一張DAG 上 點A 點 B 的 ( ) 路

2.5 圖 (Bipartite graph)

一張 圖G 點 V₁, V₂ e(v_i, v_j)∈E(G)

v_i&vj G 圖

圖 G 圖 G ( 點

點 與 點 點 與 點 )

2.6 圖 (Complete graph)

圖 G 點 G 圖

III

2.7 平面圖(Plannar graph) グラフ理論

2.7 平面圖 (Plannar graph)

一張圖G 在平面上 G 平面圖 一 平面圖的 平面 的面 F Euler 一 |V| − |E|+|F|= 2

2.8 樹 (Tree)

一 的 圖 G G 的連通圖 G 一 樹

(Tree)

樹 在 圖 G 存在一點 v deg⁺(v) = 0 點 u

deg⁺(u) = 1 v u 一 路徑 連 G 一

v 的 樹(Directed Tree)

一

1. 連通圖 G 在 G 一

2. 連通圖 G 一 連通

3. 連通圖 G 點 一 路徑 連

4. 連通圖 G 的 與點 的 |E|=|V| −1

5. 連通圖 G 的 點 G 樹 ( )

2.9 Exercises

1. Island(IOI 2008, HOJ 247)

樹的 路徑(|V| ≤100000) 2. Dreaming(IOI 2013, HOJ 288)

樹 樹 l 的 連 一顆 樹

樹的 點 的 ( 點 ≤100000)

3. (99 , HOJ 75)

n(≤ 500) 在 的上

一 的 的

面

IV

3.圖的遍歷 グラフ理論

3 圖的遍歷

Graph traversal 的 一張圖 G 點 v

點的點 點 子圖 T 的 與點的

T G 的 樹 T 樹

3.1 DFS

(DFS) 點的子 點 點 的

DFS的 樹 DFS tree

Algorithm 1DFS

1: function DFS(v)

2: mark v as visited

3: for allu that is adjacent tov do

4: if u is not visitedthen

5: DFS(u)

6: end if

7: end for

8: end function

O(|V|+|E|)

在 DFS 的 :

1. Tree edge : DFS tree上的

2. Back edge : 連 DFS tree上 的 3. Forward edge : 連 DFS tree上 子 點的 4. Cross edge : 上面 的 Cross edge

在遍歷 圖 的

DFS 迴 的 在 stack (Windows) 圖

DFS 的 stack (RE)

DFS 迴 stack ( Judge )

的

V

3.2 BFS グラフ理論

3.2 BFS

與 DFS (BFS) 點 的

DFS Stack( 迴) BFS Queue 存 遍歷的點

Algorithm 2BFS

1: function BFS(v)

2: enqueue v to Q ◃ Q is a queue

3: mark v as visited

4: whileQ is not empty do

5: c← dequeue Q

6: for allu that is adjacent tocdo

7: if u is not visitedthen

8: enqueueu to Q

9: marku as visited

10: end if

11: end for

12: end while

13: end function

DFS 一 的O(|V|+|E|)

BFS tree 在 的圖 一 點 點 (root) 的 (

的 ) 圖上 點的

3.3 Time stamp

在 的 點的 與 的 點的

與 的 DFS

一 在 的

3.4 Topological sort

在 圖 G 一 點的 v₁, v₂, , , v_n 點 v_i, v_j i < j e(v_j, v_i) /∈ E(G) 一 (v_i, v_j) v_i 在 v_j 的

面

VI

3.5 壓扁一顆樹 グラフ理論

一張 圖的 存在 圖 G的

存在 G DAG 存在

的 的一 子的

Algorithm 3Topo sort #1

procedure Topo sort #1(G(V,E)) a ←[]

for all v ∈V do if deg⁺(v) = 0 then

enqueue v toQ end if

end for

while Qis not empty do u← dequeueQ

a←a+u

for all v is adjacent to u do deg⁺(v)←deg⁺(v)−1 if deg⁺(v) = 0 then

enqueue v toQ end if

end for end while

if |a| ̸=|V|then return No Topological sort.

else return a end if

end procedure

一 上 的 點的 DFS

3.5 壓扁一顆樹

一顆 樹的 點 子

的 一 的

一 點的 v₁, v₂, , , v_n 一 點 子 點 在

的 的 樹壓扁

的 一 樹的DFS 子 點v_s 的

一 v_a( 一 ) 的 v_a 子 點 v_s 的 的點 v^′ va 的 ( 一 子 點 vs 的 )

VII

3.6 Exercises グラフ理論

點 一

樹的 子樹的 點

3.6 Exercises

1. (101 )

n(≤ 5000) ( ) 一的 子

子 的 子

2. Teleporter (POI XVII, HOJ 96)

一張 n(≤ 40000) 點 m(≤ 1000000) 的 圖

( ) 點 1 點 2 的 >4( 圖 點 1 點

2 >4)

3. 子 (TIOJ 1092)

一 DAG 點 一 點的

的路徑 4. Rare Order(UVA 200)

一 的 元 元 的

元 的 的 的

VIII

4.連通元件 グラフ理論

4 連通元件

圖 G的子圖G^′ 連通 在G^′ 點

G^′ 連通元件 連通 連通元件的

4.1 連通 (Strong Connected Component SCC)

子圖 G^′ 連通的 點u, v 存在 u v v u 的路徑 的 在 圖上 一 的連通 一 的 通 圖 的SCC

在 圖上 連通元件 的 Tarjan's Kosaraju's

的 Kosaraju's 的:

1.在 G 上DFS 點的

2. 在 圖G^T 上 遍歷 一 遍歷 的點 一

SCC

Algorithm 4Kosaraju's

1: procedureKosaraju(G, list[]SCC)

2: mark v ∈V(G)as unvisited

3: G^T ←reverse all arc in G

4: for allv ∈V(G) do

5: if v is not visited then

6: DFS(v, G) with time stamp

7: end if

8: end for

9: Count←0

10: mark v ∈V(G) as unvisited

11: for all v in reverse order of time stampdo

12: if v is not visited then

13: DFS(v, G^T) with time stamp and add every Vertex into SCC[Count]

14: Count←Count+ 1

15: end if

16: end for

17: end procedure

一 SCC 一 點 的圖 G^′ 一 DAG

IX

4.2 點雙連通 グラフ理論

點 在 圖 DP 的 點 SCC

在 DAG上的DP

4.2 點雙連通

在 圖 點雙連通 子圖 G^′ 點雙連通 G^′ 一點 G^′ 連通的

點雙連通元件 圖G的點 V 的元件V₁, V₂, , , V_n |V_i∩V_j| ≤

1 點雙連通元件 一 點 點

點雙連通元件 連通 點(Articulation Point)

點雙連通元件的 :

1. 點 的 一 子 一 點雙連通子圖 2. 點 連的 的點雙連通元件

4.3 雙連通

點雙連通 雙連通 的

連 雙連通元件的 元件 連通

雙連通元件的 : 連通 一 雙連

通元件

4.4 Tarjan's algorithm in finding Articulation Point and Bridges

面 雙連通元件 點 點 ?

Tarjan 一 O(|V|+|E|)

low&df n 圖 一 DFS 圖 一 樹 上 back

edge 樹 DP 的 low df n

1.df n(v): v 在 樹的

2.low(v) = min(df n(v), df n(u), low(w)) : u v 點的 back edge 連 的 點 w v 在樹上的 子 點

X

4.5 Exercises グラフ理論

low&df n ? 一 一 Bridge 的 一

tree edge 的 點 的子樹 back edge

上 : 點 v v 的 low(v) 點u

的df n(u) e(u, v) 一 Bridge

點 點 v 樹的 root 的 v 上的子 點

v 點 ; root 的 存在一 子 點u df n(v)≤low(u))(

u 上 連 v) v 點

SCC 的

4.5 Exercises

1. Kosaraju 的 2. Office (POI XIV)

一張 圖 G G 的 圖 連通 (|V| ≤10⁵,|E| ≤10⁶) 3. ATM (APIO 2009, HOJ 235)

一張 圖 點 ai 元 在 一 點 n 點 一 點 ?(|V|,|E| ≤ 5×10⁵)

4. Blockade (POI XV, HOJ 68)

一 張 圖 G 點 點 連 通?(|V| ≤ 10⁵,|E| ≤5×10⁵)

5. (TOI 2009 p5)

一張 圖 一 點 一 點 點 的點

的 (O(|V|+|E|))

6. The Tournament (POI XI, HOJ 100)

一張 圖 G (vi, vj) ∈ E(G) i j 雙

在 一

(|V| ≤10⁵,|E| ≤10⁶) 7. 漢

N 漢 一 在 Q

的 一

一 的

XI

5.歐拉迴路 (路徑)與漢米頓迴路 (路徑) グラフ理論

5 歐拉迴路 (路徑) 與漢米頓迴路 (路徑)

5.1 歐拉迴路與歐拉路徑

歐拉 路 (Euler circuit) 在一張圖上的一

一 歐拉路徑(Euler trail) 一 一 的路徑

圖的歐拉迴路

一 點的 點 點 歐拉 路

上 點 點 歐拉路徑上 點 點 點 點

1. 一張圖 歐拉迴路 點 點

2. 一張圖 歐拉路徑 圖上 0 2 點 2 的

歐拉路徑的 點 點

的

在 圖上 歐拉路徑 (迴路) 的 (O(|V|+|E|))

XII

5.2 漢米頓迴路與漢米頓路徑 グラフ理論

Algorithm 5Eulerian Trial

1: procedureFind a Eulerian Trial(G)

2: if there is no odd node in Gthen

3: v ←any node in G

4: else

5: v ←an odd node in G

6: end if

7: DFS(v, G, S) ◃ Eulerian trial will be stored in a stack S

8: returnS

9: end procedure

10:

11: functionDFS(v, G,S)

12: for all uthat is adjacent to v do

13: if edge(v, u)is not visited then

14: mark edge(v, u)as visited

15: DFS(u, G,S)

16: push edge (v, u) into S

17: end if

18: end for

19: end function

圖 圖 :

1. 點 deg⁺(v) =deg⁻(v) 存在歐拉迴路

2. 點v₁, v₂ deg⁺(v₁) = deg(v₁)⁻+ 1, deg⁺(v₂) =deg(v₂)⁻−1 點 v deg⁺(v) = deg⁻(v) 存在歐拉路徑

5.2 漢米頓迴路與漢米頓路徑

漢米頓路徑 (Hamilton trail) 圖上一 路徑 路徑 點;

漢米頓迴路 點 點 的漢米頓路徑

的 NP-Complete!! 的 壓

DP O(|V|²×2^|V|)的

XIII

5.3 Exercises グラフ理論

5.3 Exercises

1.

一張圖 的漢米頓路徑

2. (99,100 )

一張 圖G 的一 的路徑

XIV