有限离散傅立叶变换

(1)

§5 快速傅立叶变换一、有限离散傅立叶变换

[有限离散傅立叶变换的不同形式]

实（或复）序列 f ( kh )

有限离散傅立叶变换及其反演公式 )

1

(i  hd

N k 0,1,, ( N为正整数）



















 







N

N j

N k j i N

N k

N k j i

e jd F d kh f

e kh f h jd F

1 2 2

) ( )

(

) ( )

(



1 2

1

 N

1 , , 2 , 1 ,

0 

 N

k 

( N为正整数）





















 1

0

2 1

0

2

) ( )

(

) ( )

(

N

j

N k j i N

k

N k j i

e jd F d kh f

e kh f h jd F



N 1

N m k m  

( k, N为整数）





























N m k m

N k j i N

m k m

N k j i

e jd F d

kh f

e kh f h jd F



2 2

) ( )

(

) ( )

(

N 1

[褶积及其性质] 设 f(kh)(k0,1,2,,N1)为实（或复）序列 g (kh)(k0,1,2,) 为具有周期Nh的序列，称



^





 ¹

0

] ) [(

) ( )

(

* ) (

N

k

h k n g kh f h nh g nh f 为序列f和g的褶积.设



^



 ¹

0

2

e ) ( )

(

N

k

N k j i

kh f h jd F





^



 ¹

0

2

e ) ( )

(

N

k

N k j i

kh g h jd G







 



  hd N1 那末



^



 ¹

0

2

e )]

(

* ) ( [ )

( ) (

N

k

N k j i

kh g kh f h jd G jd F





^



 ¹  0

2

e ) ( ) ( )

(

* ) (

N

j

N k j i

jd G jd F d kh g kh f



二、快速傅立叶变换算法

快速傅立叶变换算法（简称FFT算法）是计算有限离散傅立叶变换的快速方法.

[复序列的 FFT 算法] 计算复序列{z_k} (k0,1,,N1)的有限离散傅立叶变换

(2)



 



 

hd N1 ，就是计算形如



^







 ¹

0 2

1 ,

e

N

k

N k j i k

j z i

  ， 0 jN1 的有限项和.对于反演公式，计算的方法类似.

设N=2^m, ^N

i

N e

E

 2

 , 那末

E_N^k E_N^l ,k l( m o dN),E_N^N 1 又设 k (k_m_₁k₁k₀)k_m_₁2^m^¹k₁2k₀ j (j_m_₁j₁j₀) j_m_₁2^m^¹  j₁2 j₀

分别是k和j的二进制表示，k_, j_取值为0或1，v0,1,,m1.那末

 



 

0 1 1

0 1 1 0 1 1 0 1 1 0

1 1

) (

k k k

j j j k k k N k k k j

j j

m

m m

m

m _  z _ E ^ ^



因为 E_N⁽^k^m^¹^^k¹^k⁰⁾⁽^j^m^¹^^j¹^j⁰⁾= E_N⁽^k^m^¹²^m^¹^^^^k¹²^^k⁰⁾⁽^j^m^¹²^m^¹^^^^j¹²^^j⁰⁾

=E_N^k^m^¹^j⁰²^m^¹ E_N^k^m^²⁽^j¹²^^j⁰⁾²^m^²E_N^k⁰⁽^j^m^¹²^m^¹^^^^j¹²^^j⁰⁾ =E_N^k^m^¹⁽^j⁰⁰^⁰⁾E_N^k^m^²⁽^j¹^j⁰⁰^⁰⁾E_N^k⁰⁽^j^m^¹^^j¹^j⁰⁾ 所以

₍ ₎

0 1 1 j j j_m

 ₍ ₎ ⁽ ⁰ ⁰⁾ ⁽ ⁰ ⁰⁾ ⁽ ⁰⁾ ⁰⁽ ¹ ¹ ⁰⁾

0 1 2

0 1 2 0 1

1 2

1

0 1 0 1 1

j j j k n

k k k

j j j k N j

j k N k

j k N k k k

m

m m

m

m E E E E

z _ ^ ^  ^ ^

 ^



 



   













 



 



 

从而得出递推公式：

⁽₍⁰⁾ ₎ ₍ ₎

0 1 1 0

1

1 kk k kk

k_m z _m

z __  __

₍⁽¹⁾ ₎ ₍⁽⁰⁾ ₎ ¹⁽ ⁰⁰ ⁰⁾

1

0 1 1 0

1 2 0



j k N k

k k k k

k k j

m

m m

m z E

z ^



 ^



₍⁽²⁾ ₎ ₍⁽¹⁾ ₎ ²⁽¹⁰⁰ ⁰⁾

2

0 1 2 0 0

1 3 1 0



j j k N k

k k k j k

k k j j

m

m m

m z E

z ^



 ^



 ₍⁽⁾ _ __ ₎ 

0 1 1 1 1 0

l

k k k j j

j _l _m _l

z _ _ ₍⁽ ¹⁾ ₎ ⁽ ¹ ⁰⁰ ⁰⁾

0 1 2 1 0



j j k N k

l

k k k j j j

l l m

l m

l E

z ^ ^





^ 

 ₍⁽ ⁾ _₎ 

1 1 0

m j j

j _m

z _ ₍⁽ ¹⁾ ₎ ⁰⁽ ¹ ¹⁰⁾

0

0 2 1 0

j j j k N k

m k j j j

m

m E

z _ _ ^^



^

最后有

₍ ₎ ₍⁽ ⁾ ₎

1 1 0 0 1 1

m j j j j j

j_m__  z __m_



[实序列的FFT算法] 设有2N (N=2^m)个元素构成的实序列{_k}(k0,1,2,,2N1)要计

算{_k}的有限离散傅立叶余弦变换和正弦变换



^



 ² ¹

0

c o s 1 ^N

k k

j N

k j

c N   (j 0,1,,2N1)



^



 ² ¹

0

s i n 1 ^N

k k

j N

k j

s N   (j 0,1,,2N1) 可先用FFT算法关于复序列

zk=xk+iyk (x_k ₂_k, y_k ₂_k_₁) 计算

(3)



^



 



 ¹

0

1 ^N 2 k

N k j i k j

j

j z e

iv N u

 

而 c_j , s_j 用下列公式去求

















     





     





     





     









N v j

N v u j

u v

v s

N v j

N v u j

u v

v s

N v j

N v u j

u u

u c

N v j

N v u j

u u

u c

v u c

j N j j

N j j N j j

N

j N j j

N j j N j j

j N j j

N j j N j j

N

j N j j

N j j N j j



sin ) (

cos ) (

) 2 (

1

sin ) (

cos ) (

) 2 (

1

cos ) (

sin ) (

) 2 (

1

cos ) (

sin ) (

) 2 (

1

0 0 0





 

 

, 2 , 2 ,

1 N

j 

至于cj , sj 当 jN,N1,,2N1的数值是





























) 1 , , 2 , 1 (

) 1 , , 2 , 1 ( 0

2 2

N j

s s

N j

c c

s

v u c

j j N

j j N N

N N N



有限离散傅立叶变换

§5 快速傅立叶变换 一、 有限离散傅立叶变换























二、 快速傅立叶变换算法



 

   















§5 快速傅立叶变换一、有限离散傅立叶变换

二、快速傅立叶变换算法